1 预备知识

一些与本文主要结果相关的主要引理和命题，详细的证明可以参考文献[1-3]。

对于α>0，函数f∈L2(a,b)的左刘维尔分数次积分和右刘维尔分数次积分有以下的定义：

 

 

通过杨不等式，可以得到函数和属于L2(a,b)。在L2(a,b)上，和有界且单射，下面的公式给出密集分布的范围：

①在小区治理研究中，大多数研究者不准确地使用了“社区治理”这一概念，为了尊重研究习惯，在综述部分本文沿用了“社区治理”概念。

 

 

并且这些空间的范数形式是希尔伯特空间：

 

得到以下形式的连续嵌入：

因为老师经常会叫人带信来，多数时候是小羽的同学带信来的，说是周小羽的作业老是没完成，这样下去学校要让他退学了。

 

以下一些简单的结论将会经常用到。

引理1.1 α>0且a<x<b。

1)(左边界条件限制)如果那么并且有下面的不等式成立：

 

2)(右边界条件延拓)如果并且定义对于s∈(a,x)，有fx(s)=f(s)等式成立，s∉(a,x)时，fx(s)=0，那么就有并且下面的式子成立：

 

3)(映像)当且仅当成立，可以得到其中，并且在这种情况下，有：

 

登子说开了：央青很小的时候跟着母亲来到了塔公，可没过几年母亲死了，她在这里无亲无故，是靠大家的施舍长大的。

1)(右边界条件限制)如果则且

 

2)(左边界条件延拓)如果定义当s∈(a,x)时fx(s)=f(s)，且fx(s)=0，当s∉(a,x)时，且

 

引理对于任意的a≤x<y≤b，指示函数1[x,y)在Hα(a,b)中定义一个元素。而且，指示函数的线性生成空间在Hα(a,b)中是稠密的。

定义1.1 由β控制的刘维尔分数次布朗运动，0<β<1，s,t∈[0,T]是一个高斯过程Wβ=(Wβ(t))t∈[0,T],且满足

命题1.1(伊藤等距I)若f:(0,T)→R是一个阶梯函数，那么fdWβ是高斯的并且：

只不过，当这种“绝对坦白”被麦克风无意间从私人交流转为庭堂之言时，由此引发的风波往往也令当事者始料未及。

以下简称SACP，其中A是E上的一个C0-半群S={S(t)}t≥0中的生成元，B∈L(H,E)是一个给定的有界线性算子，是概率空间(Ω,F,P)上的一个刘维尔圆柱型的分数布朗运动，0<β<1。

(2)C-E mistranslation of publicity materials of red tourism in Hunan Province will hinder Hunan Province from boosting its Red Tourism

 

(1)

结论是，映射f|→fdWβ有从到L2(Ω)的唯一延拓的等距同构。

命题1.2(伊藤等距∏)如果f:(0,T)→R是一个阶梯函数，那么就有fdWβ是高斯的并且：

引理有有等价范数。因此，对于所有的a<x<b，有一个常数使得：

 

结论是，映射f|→fdWβ存在从到L2(Ω)的唯一延拓的等距同构。

通过文献[9]中的定理4.6.1，有连续的嵌入：

 

其中，cα,β是一个只与α和β有关的常数。

应用γ-radonifying算子空间的右理想属性，应用到嵌入对于和嵌入对于可以得到定理1.1的第一部分的简单结论，如下所述。

 

结论为，关于的E-valued随机积分从到L2(Ω;E)有唯一的延拓形成等距。

如果对于所有的x*∈E*，都有Φ*x*由式子(1.1)，称函数Φ:(0,T)→L(H,E)是关于的随机积分，并且存在一个算子满足以下式子：

R*x*=Φ*x*.

在中对于所有的x*∈E*。算子R如果存在，则是唯一确定的，在这种情况下，Φ表示R。

定理1.1(伊藤等距)是一个圆柱型的刘维尔分数布朗运动，β的取值范围为0<β<1。对于所有的初等有限秩函数Φ:(0,T)→L(H,E),有以下式子成立：

推论是一个H-cylindrical刘维尔分数布朗运动，WH表示H-cylindrical布朗运动，讨论函数Φ:(0,T)→L(H,E)。

(7)智慧城市预期与智慧城市市民抱怨的假设未得到验证(H13)。理论上认为智慧城市预期应该与智慧城市市民抱怨呈负相关，但实际数据并不支持这一假设。从表4看，智慧城市预期对智慧城市市民抱怨的影响路径系数为0.085且P值为0.065大于0.05，与假设不符。

1)如果且Φ关于是随机可积的，那么就有Φ关于WH也是随机可积的。

2)如果且Φ关于WH是随机可积的，那么就有Φ关于也是随机可积的。

事实上，对于任意的两个数β1和β2，满足0<β1<β2<1，关于的随机可积分性必然能推出关于的随机可积分性。

进一步讨论随机可积性的两个充分条件。同样，认为是一个关于参数β的H-cylindrical刘维尔分数布朗运动，WH是一个H-cylindrical布朗运动。

2 由刘维尔分数布朗运动驱动的发展方程

在这一节，应用前面部分得到的结论来研究随机抽象柯西问题

 

根据故事中的对联，归纳特点：（1）字数相等，结构相同。（2）对应位置，词性相同。（3）上仄下平，音调相和。（4）上下衔接，内容相关。（5）停顿一致，节奏相应。并详解蒲松龄所对例联：细羽家禽砖后死（仄）；粗毛野兽石先生（平）。而后让学生连线选择对联，根据语言环境将对联补充完整。

如果，对于所有的t>0，L(H,E)值函数S(t-·)B是在(0,t)区间上关于随机可积分的，如下形式的解：

 

(1)

如图2所示，上部装置本体是一个月牙形部件，其内侧圆弧将与无磁悬挂紧密贴合，装置内侧分布有均匀的齿状增摩带以及钻井液通道；上部装置本体两侧各有一个固定圆环用于连接链条；在上部装置本体中部有一个圆孔，用来放置红外激光发射器。激光发射器由发射器本体和电池组成。上部固定装置由链条、锁紧板及锁紧螺栓组成，链条连接上部装置本体与固定装置，当逐渐旋紧锁紧螺栓时，将增大上部装置本体与无磁悬挂间的接触压力，从而增大两者间摩擦力。

下面的定理证明了在空间E为第二种类型时，算子B是γ-radonifying算子的情况下，mild解的存在性。在某种程度上，这可以看作文献[4-5]中一些结论的推广；文献[6]中还考虑了由非高斯Lévy过程扰动的方程这种情况。

定理2.1 S是巴拿赫空间E上的一个C0-半群，p∈(1,2]，那么对于所有的和B∈γ(H,E)，函数S(t-·)B在(0,t)上是随机可积的关于对于所有的t>0。结论是，SACP有唯一的mild解U，正是式子(2.1)中给出的。

水的pH值(酸碱度)是水质的重要指标，若水体 pH 值超出6.5～8.5，水体中微生物生长会受到一定程度的抑制，影响水体的自净能力；若水体长期受到酸、碱污染，将对生态平衡产生不良影响。因而 pH 值是环境监测工作中水体的一项必测项目。但在实际工作中，部分实验室出现一些做不准的现象，笔者针对实验室常出现的问题作出总结，并提出解决方案。

证明：首先假设空间E是第二种类型，在那种情况下，有一个连续的嵌入：L2(0,T;γ(H,E))→γ(L2(0,T;H),E)。显而易见，S(·)B属于L2(0,T;γ(H,E))，因此，这个函数关于H-cylindrical布朗运动WH是随机可积的。下面的结论由推论1.1而来。

下面，假设1<p<2。参考文献[7-8]中的结论，对于类型为p的巴拿赫空间有一个连续的嵌入：

 

引理1.4 Wβ是一个刘维尔分数布朗运动，β的取值范围为0<β<1。对于所有的和0≤s<t<∞，

 

 

结合上面的式子，可以得到一个连续的嵌入：

现状水质和目标水质差距较大的水功能区，综合考虑水功能区水质现状、水功能区达标需求、社会经济发展水平等因素，确定限制排污总量。滹沱河上中游各个水功能区限制排污总量详见表2。

 

回顾已经给出的嵌入，对于有限元秩函数，通过：

f⊗(h⊗x)|→(f⊗h)⊗x

等距使之产生一个连续的嵌入：

2.学生不能主动、积极地借助学校和家庭的支持应对心理问题，为家校合作的顺利开展带来了阻力。学生只有把对于心智、心性的成长的困惑说出来，与家长或老师及时沟通才能更好地促进自身的心理健康。

称它为随机抽象柯西问题的mild解。由随机积分的定义，可以得到一个简单的推论是过程Ux作为一个从[0,∞)×Ω到E是强可测的。

 

(2)

现在应用定理1.1。

定理2.2 0<β<1，如果S是任意的一个巴拿赫空间E上的一个解析的C0-半群，那么对于所有的B∈γ(H,E)，函数S(t-·)B在区间(0,t)上关于是随机可积的，结论为：问题SACP对于式子(3)所给形式的mild解是存在的，更进一步，对于所有的1≤p<∞和所有的α,θ≥0满足α+θ<β,有：

U∈Lp(Ω;Cα([0,T];Eθ)).

式中：Eθ表示指数为θ，与A有关联的分数域空间。

3 具体例子

在这一部分将应用前面得到的结论去证明随机偏微分方程的mild解的存在性和时空正则性，方程形式如下：

与陆长安副理事长的谈话很自然地转到对我国印刷产业发展的探讨上来，陆长安副理事长由此向我们介绍了协会编制《中国印刷产业技术发展路线图》的经过。

当δR=0时,将其代入式(17),可得到发射机的相关函数(correlation function,CF),即

 

(3)

其中，D是一个Rd上的有界C2域，表示一个时空噪声，其中，在空间中是白噪声，在时间上是刘维尔分数，0<β<1。

假定A是D上的一个二阶一致椭圆算子，A具有以下形式：

 

 

(4)

则问题(3)可以写成下面的抽象形式：

 

(5)

式中：为在某些概率空间(Ω,F,P)中，参数为β的一个L2(D)-cylindrical分数布朗运动。

在对系数进行mild有界和正则性的假设下(为了更精确，对于一些ε>并且bj,c∈L∞(D)，A在空间Lp(D)上生成一个解析的C0-半群S，更进一步，由文献[10]，由A构成的分数域空间和复杂的插值空间相等，即范数相等，由以下形式：

(Lp(D))θ=[Lp(D),Z(A)]θ=

在的情况下，扰动过程是一个L2(D)-cylindrical布朗运动，在那种情况下，维数d=1，mild解U满足：

 

对于所有的1≤q<∞，α,γ≥0，满足参考文献[10-11]。参考这些文献所用的方法，对于一般的情况，当0<β<1时，可以应用定理3.2在负的外推空间Lp(D)中，指数大于半群S的正则性可以承认问题(3.2)一个mild解U存在，即：

 

⊆

 

中成立，对于所有的1≤q<∞，α,θ≥0，满足并且α+θ<β，把这些结论和Sobolev嵌入在<2η情况下成立)结合，让p足够大时可以得到解关于时间和空间的联合的Hölder连续性。

参考文献

[1] LELAND W, TAQQU M, WILLINGER W, et al.On the self-similar nature of ethernet traffic[J]. IEEE/ACM Trans. Networking 2,1994:1-15.

[2] MANDELBROT B B, VAN NESS J W.Fractional Brownian motion, fractional noises, and applications[J]. SIAM Rev. 10,1968:422-437.

[3] MASLOWSKI B, NUALART D.Evolution equations driven by a fractional Brownian motion[J]. J. Funct. Anal. 202,2003:277-305.

[4] BREZNIAK Z.On stochastic convolutions in Banach spaces and applications[J]. Stochastics Stochastics Rep. 61,1997:245-295.

[5] VAN NEERVEN J, WEIS L.Stochastic integration of functions with values in a Banach space[J]. Stud. Math. 166,2005:131-170.

[6] BRZE′ZNIAK Z, ZABCZYK J.Regularity of Ornstein-Uhlenbeck processes driven by a Lévy white noise[J]. Potential Anal. 32,2010:153-188.

[7] KALTON N J, VAN NEERZVEN J, VERAAR M C, et al.Embedding vector-valued Besov spaces into spaces of gamma-radonifying operators[J]. Math. Nachr. 281,2008:238-252.

[8] VAN NEERVEN J, VERAAR M C, WEIS L.Conditions for stochastic integrability in UMD Banach spaces. Inn: Banach Spaces and their Applications in Analysis: In Honor of Nigel Kalton’s 60th Birthday. De Gruyter Proceedings in Mathematics[J]. Walter De Gruyter, Berlin, 2007:127-146.

[9] TRIEBEL H.Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. North-Holland Math[J]. Library, vol. 18. North-Holland, Amsterdam, 1978.

[10] PALMER T N, SHUTTS G J, HAGEDORN R,et al.Representing model uncertainty in weather and climate prediction[J]. Annu. Rev. Earth Planet. Sci. 33,2005:163-193.

[11] MASLOWSKI B, SCHMALFUSS B.Random dynamical systems and stationary solutions of differential equations driven by the fractional Brownian motion[J]. Stochastic Anal. Appl. 22,2004:1577-1607.