0 引 言

M×N方格矩阵中移子类智能游戏是高级程序设计人员必备的程序设计训练题目[1-4]。例如3×3方格矩阵中移动不同数码滑块的“九宫八数”游戏，8×8棋盘中跳马的“骑士游历”游戏，4×5方格矩阵中移动不同大小、不同形状矩形滑块的“华容道”游戏。

“九宫八数”游戏是一个古老的中国数学游戏。在一个3×3的方格矩阵中，放置标志为“1”到“8”的八个数码滑块，留有一个空方格，每次可以移动一个空方格相邻的数码滑块到空方格中，给定原始状态与目标状态(如图1所示)，要求找出最快捷的移动步骤。

  

图1 原始状态矩阵和目标状态矩阵

“九宫八数”问题是一个典型的深度优先搜索编程问题[5-8]。数码滑块的移动即为数码滑块与空方格的互换，可以把空方格看作“移动子”，这样不同位置的“移动子”可有2到4种移动方法。以图1为原始状态及目标状态，其深度优先搜索可树型图解如图2所示。

  

图2 深度优先搜索的树型图

基于上述编程思想，可以在方阵的存储方式及移动路径的存储方式上优化编程，可以有效地改进程序时间复杂度或空间复杂度，提高程序效率[9-14]。

1 方阵存储法

利用整型方阵a与b存储“九宫格”的原始状态及目标状态(以图1为例：int a[3][3]={8,7,6,5,4,3,2,1,0}，b[3][3]={1,2,3,4,5,6,7,8,0}；数组中0代表空方格)，存储滑块移动过程的路径矩阵可以利用三维数组存储(int pass[40][3][3])，为优化编程，本例采用二维数组存储(int pass[40][9])(三维存储路径与二维存储路径的转化代码可参看实例main()函数中“设置初始路径”循环)。程序输出的第一路径矩阵如图3所示。

  

图3 移动路径矩阵pass[k][9]

实例中全局变量说明如下：

int b[3][3]={1,2,3,4,5,6,7,8,0} : 目标状态矩阵。

int pass[40][9] : 移动路径矩阵。

int mc[40] : 移动点记录数组，记录移子过程(记录每次与空方格交换滑块的数码标志)。

int m : 用户输入的移子次数要求。

int sn : 移子方法计数(完成题目要求，可有sn种移子方法)。

如何编篡教材，怎样做到课堂教学生动灵活，如何使学生思想有效转化等，解决这些问题需要科学的方法。编撰教材要采用教、学、做统一的方法。课堂教学采用专题讲授、案例教学、课堂研讨、实践教学等方法，坚持以思政课为主，各类课程渗透，形成各类课程与思政课协同育人效应。进学生头脑要多管齐下，加强自我教育、课外辅导、实践实训等方法，使习近平新时代中国特色社会主义思想内化于心，外化于行。

核心递归函数void move ( int x[][3], int i,int j,int n ) ，其参数x为当前方阵状态，i与j为空方格坐标，n为当前移子次数。move函数及main函数程序描述如下：

化肥利用偏低成为我区普遍面临的问题，据相关数据调查显示：全国在磷肥10%-20%、氮肥使用率为30%-40%、钾肥的使用率为50%-60%，而综合我区的化肥使用情况，整体利用率处于全国平均水平之下。此外，化肥使用率偏低，在一定程度上增加了农业生产成本。与此同时，化肥使用率普遍偏低，造成氮肥、钾肥、磷肥使用比例不协调，出现严重的差异性。微量元素缺乏成为制约我区农业发展面临的主要问题，并且在很大程度上对于农产品质量的提升造成了严重的影响，成为制约我区农业经济发展的重要阻碍因素。

遗传算法着重于全局最优解的搜索能力，具有随机搜索性、快速性、全局收敛性，但是容易陷入局部收敛得到次优解。蚁群算法有很好的并行性、启发性与正反馈机制；模拟退火算法局部搜索能力强，运行时间较短。改进的遗传算法结合了其他两种算法的优点，弥补了自身的不足。

{ int y[3][3];

/* 备份当前数组(当前矩阵状态) */

mcopy(y,x);

/* 判断移动矩阵x是否为目标矩阵，若为目标矩阵则输出路径。*/

if ( moveover(x) ) putpass();

/* 按用户最多移子次数要求，递归调用move()，生成输出路径。*/

if(n

{ n++;

{ mc[n]=x[i][j]; move( x, i+1, j, n); }

{ mc[n]=x[i][j]; move( x, i-1, j, n); }

mcopy(x,y);

{ i=k/3 ; j=k%3 ; pass[0][k]=a[i][j] ; }

if ( i!=0 && moveok ( x, i, j, i-1, j, n) )

kernel移植时,修改Makefile文件,选中machine-＄(CONFIG_ARCH_DAVINCI):=davinci;修改Kconfig文件,选中source“arch/arm/mach-davinci/Kconfig”;对内核进行menuconfig配置,根据设计需求选择相应模块;修改源码包中板级初始化程序board-dm368-evm.c,完成UART、EMAC、USB、SPI0等接口初始化以及NAND分区配置。

mcopy(x,y);

if (j!=0 && moveok ( x, i, j, i, j-1, n) )

{ mc[n]=x[i][j]; move( x, i, j-1, n); }

“这个社会，选择太多，你再优秀，也抵不上父母双方的退休工资，和一套房产……我说这些，你明白吗？易非？”

孕妇甲状腺功能异常会诱发孕妇出现全身性代谢综合征，引发不良妊娠结局，对母婴的健康会造成严重威胁。近年来，妊娠合并甲状腺功能异常疾病发生率明显升高，需要给予高度重视[1]。但是，目前阶段，对于甲状腺功能的筛查仍未做出具体规范，现针对其对母婴的影响以及诊断标准问题进行详述。

{ int i, j, k ;

if (j!=2 && moveok ( x, i, j, i, j+1, n) )

{ mc[n]=x[i][j]; move( x, i, j+1, n); }

mcopy(x,y);

} }

void main()

mcopy(x,y);

int a[3][3] = {8,7,6,5,4,3,2,1,0} ;

党的十八大把生态文明建设纳入中国特色社会主义事业“五位一体”总体布局。此后，党中央、国务院就加快推进生态文明建设作出一系列决策部署，先后印发《关于加快推进生态文明建设的意见》《生态文明体制改革总体方案》，强力推动全国范围内的生态文明建设。

/* 设置初始路径 pass[0][] */

for ( k=0; k<9; k++ )

if ( i!=2 && moveok ( x, i, j, i+1, j, n) )

printf( ″enter m:″ ) ; scanf( ″%d″ , &m) ;

move(a,2,2,0) ;

/* 本例初始空方格坐标为(2,2) */

printf(″Total number of the problem solving methods is :%d
″,sn); getch();

}

程序中调用的各相关函数程序略，功能描述如下：

(1) void putpass() ：输出满足用户要求的实现路径。

(2) void mcopy( int x1[][3], int x2[][3])：复制方阵x2到x1。

(3) int moveok( int x[][3], int i0, int j0, int i1, int j1, int n)：判定空方格x[i0][j0]是否可以移到x[i1][j1]，即判定移子后的新矩阵状态是否已在路径矩阵pass[40][9]中存在，若不存在，在路径矩阵中插入新路径，返回1，否则不插入新路径，返回0。

(4) int moveover(int x[][3])：判断矩阵x[3][3]是否为目标矩阵，返回1或0。

使用方阵存储状态信息，存储直观清晰，程序标准易读。程序运行实例如下：

【输入】

Enter m: 30

【输出】

Pass No 1:

void move ( int x[][3], int i, int j, int n )

从表3看出，该矿TFe品位60.80%，为富铁矿；磁性率(FeO/ TFe)×100.00%=21.79%，为假象赤铁矿矿石；矿石有害元素均较低；(CaO+MgO)/(SiO2+Al2O3)=0.19，为酸性矿石。

3，4，7，8，5，2，1，7，8，5，

2，1，7，8，5，6，4，3，8，5，

通过分析及居民生态城市和城市林业的内涵和特点，宣传在构建生态城市建设中发展城市林业的作用，提出推进城市林业和生态城市可持续发展的建议，充分发挥城市林业在构建生态城市中的作用。让每一位公民参与到建设生态城市的工程中，全力打造一个生态良好的发展中城市，为我国生态环境的改善及生态经济的发展贡献力量。

（5）建立青甸洼蓄滞洪区、津南五洼蓄滞洪区、永定河泛区的数据高程地形模型；确定边界条件，建立二维非恒定流数值模型，模拟不同标准洪水的演进，评价建设项目对洪水的影响和洪水对杆塔的影响等。

Pass No 2-10：略(见图4)。

  

图4 九宫八数(图1)问题的10种移子方法

2 字串存储法

利用字符串a与b存储“九宫格”的原始状态及目标状态(char a[]=″876543210″，b[]=″123456780″；)，存储滑块移动过程的路径矩阵可以利用二维字符数组存储(char pass[40][10])。核心递归函数void move( char x[], int p,int n) ，其参数x为当前方阵状态，p为空点位置(p>=0 && p<=8)，n为当前移子次数。

程序全局变量说明、move函数及main函数程序描述如下：

6，4，3，4，6，2，1，4，5，8，

char b[]=″123456780″ : 目标状态矩阵。

char pass[40][10] : 路径矩阵。

char mc[40] : 移动点记录数组，记录移子过程。(记录每次与空方格交换滑块的数码标志)

int m，sn : 功能同“矩阵存储法”中同名变量。

用型号为Hitachi S-3400的扫描电镜观察冲蚀后贴片表面的损伤形貌，选取部分典型损伤形貌如图2～5所示。 贴片表面的损伤形貌基本特征为：所有贴片在冲蚀后具有明显被颗粒划压及磨损的损伤形貌。布置在弯管段不同位置的贴片都存在大量压痕，并且贴片的原生纹理和沟槽基本被磨平；贴于弯管段外拱璧侧的贴片上不均匀地分布着单个或连成串状的圆形蚀坑，且呈现较多的铲削坑和犁沟型划痕。两颊处方贴片中常见的冲蚀形貌为砂粒多次撞击形成的凹坑，凹坑中和凹坑外都有明显的腐蚀。蚀坑大都清晰可辨，以点坑、铲削、划痕为主，大部分都存在腐蚀的情况。图2～4为含大粒径砂粒流动冲蚀的结果，蚀坑普遍较大。

void move( char x[], int p,int n)

{ int i,j;

采用测力锚杆开展持续性观测[21]，来监控锚杆是否对围岩起到应有的作用、评估锚杆支护质量。通过锚杆承载性能监测，得出强力锚注支护试验段巷道锚杆承载力随时间逐渐增大并趋于稳定，整体承载力较为均匀，顶板至两帮锚杆承载强度依次降低，顶板承载力达到130 kN，肩窝处锚杆承载力118 kN，帮部锚杆承载力为98 kN，均完全在锚杆可承载范围之内。由此验证了锚注支护质量是合格的，支护参数设计是合理的，取得了较好巷道支护效果。

char y[10];

/* 备份当前数组(当前矩阵状态) */

strcpy(y,x);

国庆节前，牛皮糖生日，照例请客。以前请客请的是三亲四戚。这回他没有请亲戚，却请了几个八竿子打不着的人，但个个都是有点来头的。席上一顿酒肉胡劝乱吃之后，一帮人就在地坪里就着暖洋洋的太阳扯白。

/* 判断移动字串x是否为目标字串，若为目标字串则输出路径。*/

if ( strcmp(b,x)==0 ) putpass();

/* i,j为当前空点位子坐标 */

i=p/3, j=p%3;

/* 按用户最多移子次数要求，递归调用move()，生成输出路径。*/

if(n

{ n++;

if ( i!=0 && moveok( x, p, p-3,n) )

{ mc[n]=x[p]; move(x,p-3,n); }

strcpy(x,y);

if ( i!=2 && moveok( x, p, p+3,n) )

{ mc[n]=x[p]; move(x,p+3,n); }

strcpy(x,y);

if ( j!=0 && moveok( x, p, p-1,n) )

{ mc[n]=x[p]; move(x,p-1,n); }

strcpy(x,y);

if ( j!=2 && moveok( x, p, p+1,n) )

{ mc[n]=x[p]; move(x,p+1,n); }

strcpy(x,y);

}}

void main()

{ char a[]=″876543210″;

strcpy( pass[0], a );

printf(″enter m:″); scanf(″%d″,&m);

move(a,8,0);

/* 本例初始空方格为a[8] */

printf(″Total number of the problem solving methods is :%d
″,sn); getch();

}

程序中调用的各相关函数程序略，功能同“方阵存储法”中同名函数。程序输出的全部路径同上例，见图4。

3 “方阵存储法”与“字串存储法”程序复杂度分析

“方阵存储法”与“字串存储法”程序中调用各函数的时间复杂度分析如表1所示。表中move()函数递归调用最低次数为输出第一次移动路径时的递归调用次数，move()函数递归调用最高次数为输出最后一次移动路径后的递归调用总次数。在“字串存储法”中没有使用自编函数mcopy()和moveover()，而是利用了系统函数strcpy()和strcmp()。

 

表1 “方阵存储法”与“字串存储法”程序中调用各函数的时间复杂度及递归调用次数

  

函数名“方阵存储法”时间复杂度“字串存储法”时间复杂度putpass()O(n)O(n)mcopy()O(n2)调用系统字串函数strcpy()moveok()O(n2)O(n)moveover()O(n2)调用系统字串函数strcmp()move()O(n2)O(n)Move()递归调用最低次数129262848292445Move()递归调用最高次数7726965649560975

分析表1可知，“方阵存储法”所调用函数总体程序时间复杂度ΣT(n)=O(n)+4O(n2)=O(n2)，为平方级时间复杂度。“字串存储法”所调用函数总体程序时间复杂度ΣT(n)=2O(n)=O(n)，为线性级时间复杂度。即使在“字串存储法”中附加调用了系统已优化的2个字串函数，“字串存储法”程序时间复杂度也明显优于“方阵存储法”。无论是move()函数的最低调用次数还是最高调用次数，“字串存储法”都比“方阵存储法”优化近40%。

“方阵存储法”与“字串存储法”程序全局变量及各函数局部变量使用如表2所示。

 

表2 “方阵存储法”与“字串存储法”程序变量使用

  

全局变量和局部变量“方阵存储法”“字串存储法”全局变量intb[3][3]，pass[40][9]，mc[40]charb[10]，pass[40][10]，mc[40]mcopy()intx1[][3]，x2[][3]调用系统字串函数strcpy()moveok()intx[][3]，inttm[3][3](临时使用)charx[10]chartm[10](临时使用)moveover()intx[][3]调用系统字串函数strcmp()move()intx[][3]inty[][3](备份数组)charx[10]chary[10](备份数组)

分析表2可知，在全局变量及各函数局部变量的使用上，“方阵存储法”的空间使用要明显高于“字串存储法”。“九宫八数”问题终归是递归编程问题，递归调用函数的空间使用，将随递归调用次数的增加而线性增加。

综上所述，无论在时间复杂度，还是在空间复杂度，“字串存储法”都比“方阵存储法”更优化。“字串存储法”还可以充分调用C语言系统提供并已优化的字符串处理函数，更进一步提高程序时空效率。实例运行如表3所示，在整体的运行时间上，“字串存储法”比“方阵存储法”缩短近35%。

 

表3 四种编程方法运行时间比较 s

  

运行时间方阵存储法字串存储法路径标识矩阵法保留路径信息法首次路径161098十次路径80535048结束遍历99595351

4 建立路径标识矩阵

为“九宫格”的9个位置按行优先排序做标记为0到8，利用方阵存储“九宫格”原始及目标状态，可以预先建立一个9×9标识矩阵sign[9][9]。其中置1点的横坐标i代表空白点移动前的初始位置，纵坐标j代表该空白点可以移动到的目标位置，例如sign[0][1]=1代表位置0处的空白点可以移动到位置1处。按照上述规则，建立“九宫格”的路径标识矩阵如图5所示。

  

图5 路径标识矩阵

递归函数void move(int x[][3], int p, int n)，参数p为空方格坐标的序号(p=3×i+j)。建立路径标志矩阵后，每次移动坐标序号为p的空方格时，就可以直接在标志矩阵的指定行中确定可移动点的坐标序号k ( if (sign[p][k]==1 && moveok(x,p,k,n) )。move函数及main函数程序描述如下：

void move( int x[][3], int p, int n )

{ int y[3][3], k ;

mcopy (y,x);

if ( moveover(x) ) putpass();

if (n

{ n++;

for ( k=0;k<3*3;k++ )

{ if ( sign[p][k]==1 && moveok(x,p,k,n) )

{ int i, j ;

i=p/3, j=p%3; mc[n]=x[i][j]；

move(x,k,n);

}

mcopy(x,y);

} } }

void main()

{ int p;

int a[3][3]={8,7,6,5,4,3,2,1,0};

mcopy( pass[0],a );

printf( ″enter m:″ ); scanf( ″%d″,&m );

creatsm(); /* 建立路径标识矩阵 */

p=2*3+2;

/* 本例初始空方格坐标为(2,2)，序号为p。*/

move(a,p,0); getch();

}

利用路径标识矩阵辅助递归，虽然在程序开始要预先调用标识矩阵生成函数，但可以减少递归函数中的条件判断，减少递归代码，从而能够优化程序运行时间。实例运行结果同“方阵存储法”图4所示，实例运行时间如表3所示。

路径标识矩阵是三角矩阵，针对不同的移子要求，路径标识矩阵的遍历可以采用多种优化方法。尤其是单元格移动方向较多(例如骑士游历程序，每一个单元格最多有8个移动方向)，且递归调用频繁的程序，利用路径标识矩阵辅助递归编程，可以显著减少程序的运行时间。针对移动滑块形状不同的实例(例如“华容道”游戏)，可以为不同滑块建立不同的路径标识矩阵来辅助递归编程。

5 保留路径信息的递归方法

以上3种move函数编程方法中，都有形参数组(int x[][3]或char x[10])和备份数组(int y[][3]或char y[10])做局部变量，用于保存状态信息。保留状态信息的递归方法便于理解，每次调用后恢复调用前状态即可向下执行。由于递归处理是内存压栈式存储，所有递归函数中的局部变量都将作为状态信息被压栈存储，当递归深度较深，局部变量空间较大，就会出现内存空间不足，程序运行速度降低，以至程序中断执行。以上述“字串存储法”为例，move()函数的局部变量有形参数组char x[10]，备份数组char y[10]。move()函数最低递归调用次数为8 292 445，最高递归调用次数为12 926 284，可知内存压栈空间较大。“矩阵存储法”内存压栈就需要更大空间。

为了最大程度地减少递归函数中的局部变量，节省递归压栈空间，本例将删除递归函数中的形参数组及备份数组。采用全局变量int a[][3]存储九宫格状态，恢复时使用路径矩阵中的最新矩阵即可。

move函数及main函数程序描述如下：

int a[][3]={8,7,6,5,4,3,2,1,0} ,

b[][3]={1,2,3,4,5,6,7,8,0};

void move(int p,int n)

{ int k;

if ( moveover() ) putpass();

if ( n

{ n++;

for ( k=0; k<3*3; k++ )

{ if ( sign[p][k]==1 && moveok(p,k,n) )

{ int i,j;

i=p/3,j=p%3; mc[n]=a[i][j]; move(k,n);

}

mcopy( a,pass[n-1] );

/* 恢复移动前矩阵状态 */

} } }

void main()

{ int p;

mcopy( pass[0],a );

/* 此时全局变量a为矩阵初始状态 */

printf( ″enter m:″ ); scanf( ″%d″,&m );

creatsm(); p=2*3+2;

move(p,0); getch();

}

实例证明，由于保留路径信息的递归方法节省大量内存使用空间，运行速度可显著提高,运行结果同上述各方法，运行时间如表3所示。

上述四种算法实例，应用WIN-TC 1.91编程，在Intel(R)Core(TM) i5-4460s CPU配置上运行时间如表3所示。

6 结 语

M×N方格矩阵中移子类智能游戏还有多种形式，编程思想也有多种[15-16]，上述4种常规编程方法也有多种优化方式。本文各函数都采用基本编程方法，主要是提高程序可读性，方便编程爱好者阅读。

参 考 文 献

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[3] 惠燕,潘煜.骑士游历问题算法的研究[J].电子设计工程,2011,19(11):112-114.

[4] 李彦辉,李爱军.一种改进的广度优先求解华容道问题的方法[J].计算机系统应用,2010,19(11):222-225.

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