1 引言(Introduction)

多传感器信息融合滤波广泛应用于通信、图像处理、GPS定位、飞行器姿态估计、目标跟踪等领域,已成为备受人们关注的热门领域[1].它的目的是优化组合或加权局部估计或局部观测得到系统状态的更精确的估计[1].集中式与分布式是两种基本的融合方法.分布式融合包括加权观测融合和加权状态融合方法[2].基于无偏线性最小方差原则,加权状态融合又可分为按矩阵、对角阵、标量加权融合.其中按对角阵加权融合也称为按状态分量标量加权融合,它既克服了按矩阵加权融合计算负担较大又克服了按标量加权融合精度较低的缺点.

Kalman滤波方法是获得局部和融合状态或信号估计的重要工具.然而,Kalman滤波理论的基本前提假设为:模型参数和噪声方差是精确已知的.在许多实际应用问题中,由于未建模动态、建模误差、非线性系统线性化、模型简化、不确定干扰等因素使得这一假设常难成立.一方面,这使得经典Kalman滤波理论失去最优性.另一方面,若忽略系统模型的不确定性,将会导致滤波精度下降,甚至发散.系统模型参数的不确定性包括确定的不确定性和随机不确定性[3].确定的不确定参数是指参数是不确定的但属于某一已知确定的有界集,例如范数有界不确定参数等.噪声方差不确定性也可用确定的不确定性来描写,即它是不确定的但有已知的保守上界.带范数有界不确定参数的不确定系统鲁棒滤波问题通常用Riccati方程方法[4]或线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)方法[4]解决,而对带不确定噪声方差的不确定系统鲁棒滤波问题可利用Lyapunov方程[2,5–6]方法解决.随机参数不确定性是指在常参数中含有随机扰动,也称随机参数扰动为乘性噪声.在系统状态空间模型中,相加到含有状态项的噪声称为加性噪声,可分为过程噪声和观测噪声,而与状态相乘的噪声称为状态相依乘性噪声,与加性噪声相乘的噪声称为噪声相依乘性噪声.带乘性噪声系统鲁棒滤波广泛应用于目标跟踪、信号处理、航空航天、机械制造等领域,受到特别关注[7–15].带乘性噪声系统可分为状态方程中包含乘性噪声[7–9]或观测方程中包含乘性噪声[10]或二者均包含乘性噪声[11–15].但对含有噪声相依乘性噪声系统很少研究[16].

对于带随机参数系统,常通过对随机参数阵取数学期望而将其分解为确定的参数阵(均值矩阵)和零均值随机扰动阵之和,并通过引入虚拟噪声将原系统转化为带确定参数阵和虚拟噪声的系统,进而利用经典Kalman滤波方法解决滤波问题,称之为虚拟噪声补偿方法[11].带加性和乘性噪声系统最优滤波问题可通过新息分析方法[10]或虚拟噪声补偿方法解决[11].但文献[10–11]的局限性为假设加性和乘性噪声方差已知.文献[7–8]考虑了带乘性噪声和不确定方差线性相关加性噪声和丢失观测的不确定系统,文献[12]考虑了带乘性噪声和不确定方差线性相关加性噪声系统,利用推广的虚拟噪声方法[7],将原系统化为带确定参数阵和不确定噪声方差系统,进而用Lyapunov方程方法和极大极小鲁棒估计原理设计了鲁棒融合Kalman估值器.但文献[7–8,12]的局限性为假设乘性噪声方差已知,文献[7–8]的局限性是仅状态转移阵包含乘性噪声,文献[12]的局限性是假设状态方程和观测方程中的乘性噪声相同.文献[9,13–15]考虑了同时带不确定方差乘性和加性噪声系统.文献[9]将分布式融合估计问题转化为凸优化问题,利用LMI方法求解,但其局限性是仅状态方程包含乘性噪声.对带不确定方差随机参数扰动的自回归滑动平均(auto-regressive and moving average,ARMA)信号系统,利用状态空间方法可将其转化为等价的带不确定方差乘性和加性噪声系统,文献[13]利用博弈论的鞍点理论设计了极大极小鲁棒反卷积滤波器,但计算滤波增益阵需要搜索极大极小解,计算复杂且计算量很大,且未解决多传感器融合滤波问题.文献[14]利用频域多项式方法解决了带不确定方差随机参数扰动的ARMA信号系统反卷积鲁棒估计问题,但其未能解决多传感器鲁棒融合问题.文献[15]针对带不确定方差乘性和加性噪声的多模型不确定系统鲁棒加权融合估计问题,用基于虚拟噪声Lyapunov方程方法,将原系统化为仅带不确定加性噪声方差的系统,进而设计了加权状态融合极大极小鲁棒Kalman估值器,但其局限性为没有考虑噪声相依乘性噪声,从而无法解决带随机参数的ARMA信号鲁棒滤波问题[13–14].

到目前为止,据作者所知,对同时包含不确定方差乘性和加性噪声且同时包含状态相依和噪声相依乘性噪声的混合不确定多传感器系统,鲁棒加权融合估计问题尚未见报道.为此,本文研究带这类混合不确定性的多传感器系统鲁棒加权状态融合估计问题,主要贡献为:

1)对带上述混合不确定性的多传感器系统,本文发展了虚拟噪声补偿方法[11],并将推广的虚拟噪声方法[7–8,12,15]进一步推广至带不确定方差乘性和加性噪声的混合不确定系统,并且状态矩阵、观测阵和过程噪声转移阵均包含乘性噪声,克服了现有文献[7–15]的局限性.

2)本文基于推广的虚拟噪声补偿方法,和极大极小鲁棒估计原理,利用Lyapunov方程方法设计了在统一框架下的按对角阵加权鲁棒融合稳态Kalman估值器,不同于LMI[9]方法、博弈论方法[13]和频域多项式方法[14],且避免了搜索极大极小解[13],给出了实际融合估值误差的最小上界,并证明了鲁棒精度关系.

3)给出了带随机参数扰动的3传感器UPS[17]系统的鲁棒Kalman估值器设计的仿真应用例子.

文中E表示均值符号,T表示转置,δij为Kronecker δ函数,δij=0(ij),δij=1(i=j),diag{·}表示块对角阵,A6B表示B−A>0是一个半正定矩阵.

注1 由文献[2]知按矩阵加权融合估值器的精度高于按对角阵加权融合估值器精度,按对角阵加权融合估值器精度高于按标量加权融合估计精度.按矩阵加权融合虽精度高,但需要计算nL×nL高维逆矩阵,计算复杂度为O((Ln)3).当传感器数较大时,计算负担较大,不便于实时应用.按标量加权融合等价于各局部估值器分量按相同系数加权的融合估计,而按对角阵加权是对按标量加权的改进,为提高分量融合估计精度,各局部估值分量按不同系数加权,二者仅需计算L×L维逆矩阵,计算复杂度为O(L3).因此与按标量加权相比,按对角阵加权即提高了精度,又不增加计算复杂度,而与按矩阵加权相比,当L较大时,按对角阵加权显著减小了计算复杂度,且按对角阵加权融合器有明显的物理意义,它等价于对具有相同物理意义的分量估值器按标量加权融合器,实现了分量解耦信息融合估计.

管沟基础采用中粗砂垫层，厚15～20 cm，砂料含泥量不应大于5%。遇有淤泥时，清淤换土，进行基础换置，使地基承载力达到设计要求。

2 问题提出(Problem formulation)

注3 鲁棒Kalman滤波的Lyapunov方程方法及其应用在专著[2]中有专门的阐述.它的基本原理是分别求得保守和实际滤波误差方差阵所服从的Lyapunov方程,它们有相同的形式.这引出保守和实际误差方差阵之差,也服从相同形式的Lyapunov方程.于是将证明Kalman滤波器的鲁棒性归结为证明保守与实际误差方差阵之差所服从的Lyapunov方程解的半正定性.而这可由引理1的判别准则来判定,详见定理2中6Σ的推导部分.

 

其中:x(t)∈Rn为状态,yi(t)∈Rmi为第i个传感器子系统的观测,w(t)∈Rr为过程噪声,vi(t)∈Rmi为第i个传感器子系统的观测噪声,随机扰动ξk(t),ηp(t),βiq(t)为乘性噪声,L是传感器的个数,Φ,Hi和Γ分别为已知的状态阵、观测阵和过程噪声转移阵,Φk,Γp和Hiq为已知适当维数扰动方位矩阵.

假设1 w(t),vi(t),i=1,···,L分别为零均值带不确定实际方差各为和i的加性白噪声,相应的已知保守方差上界分别为Q和Ri,即

INCI中文名称：炭黑，英文名称：Carbon black，CAS号：1333-86-4，7440-44-0。活性炭是传统而现代的人造材料，又称碳分子筛，是黑色粉末状或颗粒状的无定形碳。活性炭主成分除了碳以外还有氧、氢等。由于原料来源、制造方法、外观形状不同，活性炭的品种也各不相同。根据牙膏应用的需要，一般选择颗粒状木质活性炭。

 

假设2 乘性噪声ξk(t),ηp(t),βiq(t)的不确定实际方差各为已知它们的保守方差上界各为即

 

其中ξk(t),ηp(t),βiq(t),w(t)和vi(t)均为零均值互不相关白噪声.定义方差扰动分别为

 

则由式(3)和式(4)有

 

问题是对带不确定方差乘性和加性噪声的多传感器系统式(1)和式(2)设计鲁棒加权融合Kalman估值器f(t|t+N),N>−1,其中当N取值为N=−1,N=0,N>0时,f(t|t+N)分别表示融合预报器、滤波器和平滑器,下标f表示按对角阵加权融合.它应具有鲁棒性,即对于满足式(3)和式(4)的所有容许实际噪声方差,相应的实际融合估值误差方差被保证有最小上界.

注2 定义带噪声方差保守上界(极大值噪声方差)的系统为最坏情形系统,或保守系统.由保守系统产生的状态和观测分别称为保守状态和保守观测.定义带实际噪声方差的系统为实际系统,由实际系统产生的状态和观测分别称为实际状态和实际观测.注意通过传感器测量,仅实际观测是可利用的(已知的),而保守观测是不可利用的(未知的).所谓极大极小鲁棒估计原理就是极小化最坏性能,即对最坏情形系统(极大噪声方差系统)设计最小方差最优Kalman估值器,其中用实际观测代替不可利用的保守观测,就引出了鲁棒Kalman估值器,并可证明其实际估值误差方差的最小上界恰好就是最坏情形系统的最小估值误差方差阵.

2.1 模型转换(Model transformation)

展开式(1),并引入虚拟过程噪声

 

可得带常阵Φ的状态方程

 

由式(6)和式(7),可知保守和实际状态x(t)的稳态非中心二阶矩E[x(t)xT(t)]分别满足推广的Lyapunov方程

 

故由式(43)知欲证式(42)只需证P(N)−(N)>0.当N=−1时,由式(25),可得保守总体预报误差方差阵服从的Lyapunov方程

假设3 Φa是稳定的.

令由式(8)减式(9)可得推广的Lyapunov方程

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因X>0,Q>0,易知式(10)右边后4项为非负定阵,由Φa的稳定性引出[18]

 

由式(5)和式(6)易证wa(t)为零均值白噪声,其保守方差Qwa为

 

实际方差可由上式用分别代替X,得到.将观测方程式(2)各项展开,引入虚拟观测噪声vai(t):

 

可得带常观测阵的观测方程

和矩阵迹不等式精度关系

 

由式(13)可得,虚拟观测噪声vai(t)的保守方差为

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实际方差可由上式用分别代替R得到.由式(6)和式(13)易证vai(t)是零均值,且不相关于wa(t)的白噪声.由式(12)和wa表达式,并由式(3)和式(11)及X>0,Q>0可得

 

由式(15)和表达式,式(3)–(4)(11),可得

 

由上两式引出

 

即Qwa和Rai分别为和的保守上界.

现阶段，我国水利工程建设中还存在着一些不足，如缺乏环保设计理念，缺乏专业技术知识作为指导，设计人员整体素质不高。只有落实科学的设计理念，才能设计出更为适宜的水利工程。

至此,作者将带不确定方差乘性和加性噪声的多传感器系统式(1)和式(2)的鲁棒加权融合估计问题转化为对带确定参数和不确定加性噪声方差的多传感器系统式(7)和(14)设计鲁棒局部和加权融合Kalman估值器问题.

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3 鲁棒局部和融合Kalman估值器(Robust local and fused Kalman estimators)

基于带常参数阵和不确定加性噪声方差的多传感器系统式(7)和式(14),本文基于鲁棒局部Kalman预报器,统一处理局部滤波器和平滑器,进而得到在统一框架下的鲁棒加权融合Kalman估值器.

引理1[19] 考虑Lyapunov方程

 

其中Ψ为稳定阵.若输入U是(半)正定的,则式(19)存在唯一(半)正定解P.

图9所示为基于T-Map的两部件交点装配协调流程。首先，依据设计经验进行交点协调装配特征几何要素公差的初分配；其次，构建各装配特征几何要素的T-Maps；接着，将各T-Maps用同一基本单形进行统一表示；然后，利用闵可夫斯基和进行各T-Maps的累积，得到协调要素的累积T-Map；再对累积T-Map进行降维，以获得协调要素偏差波动的2维、3维空间域，最后，依据累积T-Map和交点轴线T-Maps的几何关系进行公差累积与分配。

3.1 鲁棒局部Kalman预报器(Robust local Kalman predictors)

根据极大极小鲁棒估计原理,考虑带保守上界Qwa和Rai的最坏情形系统式(7)和式(14),由假设3引出Φ为稳定矩阵,则可得实际局部稳态最小方差Kalman预报器[2]

 

其中:Ψpi是稳定矩阵,yi(t)为实际观测.保守一步预报误差方差Σi满足Riccati方程

 

由式(7)减式(20),可得预报误差i(t+1|t)为

 

进而可得保守预报误差方差和互协方差满足如下Lyapunov方程:

 

实际预报误差互协方差可由上式用分别代替Σij,Qwa,Rai得到.定义则有最小上界Σi[2],即

 

3.2 鲁棒局部Kalman滤波器和平滑器(Robust local Kalman filter and smoother)

考虑带保守上界Qwa和Rai的最坏情形系统式(7)和式(14),进一步可得实际局部稳态Kalman滤波器(N=0)和平滑器(N>0)[2]:

 

 

由式(7)减式(27),可得滤波和平滑误差[20]:

 

其中定义In为n×n单位阵,且当N>0,定义

 

当N=0,置则由式(31)知保守误差方差和互协方差为

 

实际误差方差和互协方差可将上式中Σij,Qwa,Rai分别用代替得到,其中:Pi(N)

定理1 对带保守上界Qwa和Rai的最坏情形系统式(7)和式(14),在假设1–3下,实际局部稳态Kalman滤波器和平滑器式(27)是鲁棒的,即对所有容许的满足式(3)和式(4)的不确定实际噪声方差,相应的实际局部滤波和平滑误差方差(N)有最小上界Pi(N),即

 

称实际局部Kalman滤波器和平滑器式(27)为鲁棒局部Kalman滤波器和平滑器.

证定义∆Pi(N)=Pi(N)−i(N),在式(35)中置i=j,由Pi(N)和i(N)表达式,可得

 

其中令则由式(26)可得∆Σi>0.由式(18)有∆Qwa>0,∆Rai>0.于是由式(37)引出∆Pi(N)>0,即式(36)成立.类似于文献[7–8],易证Pi(N)为的最小上界.证毕.

3.3 按对角阵加权鲁棒融合Kalman估值器(Robust fusion Kalman estimators weighted by diagonal matrices)

统一形式的按对角阵加权鲁棒融合Kalman估值器为

 

其中为由式(20)或式(27)给出,保守的最优按对角阵加权阵[2,5]为

采用口服乌灵胶囊（国药准字Z19990048，由浙江佐力药业股份有限公司生产）进行治疗。3粒/次，3次/d，患者需连续服药7 d。

 

且为矩阵Pij(N)的第(k,k)个对角元素.它引出保守和实际的融合估值误差方差各为[2]

 

定理2 对带保守上界Qwa和Rai的最坏情形保守系统式(7)和式(14),在定理1的假设条件下,按对角阵加权融合稳态Kalman估值器式(38)是鲁棒的,即对满足式(3)和式(4)的所有容许的实际方差,相应的实际融合估值误差方差f(N)有最小上界Pf(N),即

 

证 定义融合估值误差方差扰动

 

由式(40)减式(41)有

 

注意式(8)和式(9)右边第4项为非负定阵,定义Φa=其中⊗表示Kronecker积.则推广的Lyapunov方程式(8)和式(9)存在唯一的半正定解X>0和>0的充分条件为矩阵Φa的谱半径ρ(Φa)<1,即Φa是稳定的[18].

 

实际总体预报误差方阵可由上式分别用代替Σ,得到,其中:

 

令由式(44)与的Lyapunov方程,有

 

由式(16)和式(47)及文献[5]中引理1,可得由式(17)和式(48)及文献[5]中引理2,可得∆Ra>0,故对式(46)应用引理1可得∆Σ>0即6Σ,且易证Σ是的最小上界[2,5].

当N>0时,由式(35)及ij(N)表达式,可得

 

实际总体平滑和滤波方差可由上式分别用代替Σ,Ra得到,其中分别定义

 

令∆P(N)=P(N)−(N),由式(49)及(N)表达式,可得

无论是达柳斯，还是图科、杰特，都算不上天纵奇才，实力也很难称得上CBA顶级外援。但这三个人的共同特点是，跟山东人很能处得来，毫无陌生感。达柳斯喜欢烟酒，跟山东队友关系亲密；图科带着拉米扎纳，管叶鹏叫“爸爸”；而杰特，则是丁彦雨航等年轻球员的大哥。前有“71分先生”艾米特，以及后来的比斯利、劳森等球员，都比他们名气更大，实力更强，但论到敬业踏实，前述几位，更称得上是“山东名宿”。

 

由∆Σ >0及∆Ra>0,可得∆P(N)>0,N>0,进而由式(43)引出∆Pf(N)>0,即式(42)得证,易证Pf(N)是f(N)的最小上界[2,5].证毕.

陶瓷艺术是通过造型和装饰的形式特征表现的，也是利用材料和技术为基础实现的。众所周知，中国绘画是独领风骚的，所必需的工具是毛笔、墨、砚和颜料，线条和笔墨死基本构成要素，中国绘画所表现的画中意及韵味在陶瓷上都可以得到很好的表现，且中国绘画对于陶瓷装饰同样有着深远的影响，形成与众不同的装饰理念和表现方法。而陶瓷绘画是指在只有两度空间的平面瓷板上进行的纯绘画创作表现，是作为一幅画而独立存在的，不是器物上的装饰纹样，它和一般的中国画本质是相同的，不用考虑对器物造型的适应，只是在瓷质的表面上去探寻符合工艺特点的处理手法。

考虑带不确定方差乘性和加性噪声的多传感器系统:

4 精度分析(Accuracy analysis)

定理3 对带保守上界Qwa和Rai的最坏情形系统式(7)和式(14),在定理1的假设条件下,局部和按对角阵加权融合鲁棒Kalman估值器存在如下矩阵不等式精度关系,即

证式(42)即式(51).因保守融合估值器f(t|t+N)是保守局部估值器i(t|t+N)的无偏极小化误差方差迹的加权融合估值器[2],故有式(55)的第2式成立.由式(30)可引出式(53).对式(51)–(53)取矩阵迹运算,引出式(54)−(55)的第1式和式(56). 证毕.

 

所以，每次当我隔壁的人家到处吹嘘自家的马被驯服得多么耐跑的时候，我都只能佯装出佩服的笑脸，继而得到一个更爽朗的大笑作为回报。尽是聊赖。日子一天天溜走，到了人大概已经老得上不去马，马也已经老得再驮不动人了，人马一前一后，走在下午的黄昏时光里。那一刻，我竟分不清是人为了马而活，还是马为了人而生了。

 

——上海市委办公厅印发的《关于市管国有企业经营管理活动中防止领导人员利益冲突的办法（试行）》，从经营业务往来、投资融资合作、企业改革改制、人员使用安排、个人经济往来等方面，对企业领导人员在履行经营管理职责中可能发生的利益冲突提出了“七个不得”的具体规定。对此，上海市纪委书记、监委主任廖国勋说。（《人民日报》11月6日）

注4 以估值误差方差的迹值作为精度指标[5],较大的迹值意味着较低的精度.由式(54)定义实际融合估值误差方差的迹trf(N)为实际精度,其最小上界的迹trPf(N)为鲁棒精度(总体精度)[5].由式(54)–(56),可知融合器的实际精度高于其鲁棒精度,融合器的鲁棒精度高于每个局部估值器的鲁棒精度,局部平滑器的鲁棒精度高于局部滤波器的鲁棒精度,且局部滤波器的鲁棒精度高于局部预报器的鲁棒精度.称式(51)为融合器的鲁棒性.定义鲁棒加权融合估值器的第k个分量的实际标准差为鲁棒标准差为其中kf(N),Pkf(N)分别为f(N)和Pf(N)的第(k,k)个对角元素,则由式(51)引出从而有

 

由Kalman滤波理论,在系统式(1)和式(2)中不含乘性噪声且w(t)和vi(t)是正态白噪声的情形下,融合器的第k个分量的实际估值误差ek(t)服从带零均值(无偏性)和实际方差(k(N))2的正态分布.于是根据概率论有概率

 

但在系统含有乘性噪声的一般情形下,实际估值误差的分布是未知的,且不服从正态分布,应用Chebyshev概率不等式:对任意正数ε>0有概率不等式

 

取ε=3k(N),则有概率不等式

“以写促读”策略在阅读教学中常常用于阅读能力提升的某一个拐点，而学生恰恰需要教师在这个拐点给予他们帮助。另外，在运用“以写促读”策略时，教师还要有文体意识，因为阅读是一种文体思维，教师应在此基础上思考搭建的方式、搭建的时机和搭建的效果。

 

这意味着不管实际估值误差ek(t)服从何种分布,实际估值误差位于±3倍的实际标准差界内的概率大于0.8889.这引出在固定时间区间内ek(t)的采样值基本上位于±3k(N)界内,且也基本上位于±3σk(N)界内.

5 仿真例子(Simulation example)

带乘性噪声系统鲁棒滤波问题应用背景很广泛,例如状态监视系统[9]、IS--136移动通信系统[14]、UPS系统[16–17,21]、三容器水箱系统(three-tank system,TTS)[22]、弹簧系统[23–24]等.考虑带随机参数扰动和不确定噪声方差的不间断电源(uninterruptible power supply,UPS)三传感器系统[16],其离散时间模型为

 

则式(61)和式(62)可化为形如系统式(1)和式(2)的状态空间模型,进而可用本文所提方法解决其按对角阵加权鲁棒融合估计问题.其中:x(t)为待估状态;ξk(t),βk(t),ηik(t),k=1,2的实际方差分别为已知保守上界各为vi(t)的实际方差分别为其已知保守上界各为Q,Ri.

问题是设计鲁棒按对角阵加权融合估值器f(t|t+N),N=−1,0,2.仿真中选取

 

为便于说明问题,以下主要以按对角阵加权鲁棒融合预报器第1分量为例验证本文所提算法的正确性和有效性.令1f(t|t+N),N=−1,0,2表示相应融合估值器的第1分量.注意按对角阵加权融合器的第1分量1f(t|t+N)等价于每个局部估值器的第1个分量按标量加权融合器.

 

表1 鲁棒局部和加权融合估值器的鲁棒和实际精度比较Table 1 Robust and actual accuracy comparison of robust local and weighted fusion estimators

  

trPf(−1)1.6875trf(−1)1.3511 trP1(−1)2.1020tr1(−1)1.8307 trP2(−1)2.8930tr2(−1)2.5024 trP3(−1)2.0447tr3(−1)1.8379 trPf(0)1.4697trf(0)1.1256 trP1(0)1.8481tr1(0)1.4378 trP2(0)2.5130tr2(0)2.2431 trP3(0)1.7342tr3(0)1.3764 trPf(2)1.2555trf(2)1.0124 trP1(2)1.7926tr1(2)1.3208 trP2(2)2.3963tr2(2)1.9437 trP3(2)1.5859tr3(2)1.3074

表1给出了鲁棒局部和加权融合估值器的实际精度tri(N),N=−1,0,2,i=1,2,3,f与鲁棒精度trPi(N)比较.由表1可见,局部和按对角阵加权融合估值器的鲁棒精度高于其实际精度,且融合估值器的鲁棒精度高于每个局部估值器鲁棒精度.平滑器的鲁棒精度高于滤波器,滤波器的鲁棒精度高于预报器,表1验证了精度关系式(54)–(56).

图1中(a)–(c)子图分别表示鲁棒对角阵加权融合估值器的第1个分量1f(t|t+N),N=−1,0,2和实际状态的第1个分量x1(t)的仿真对比,其中:实线表示x1(t),虚线表示1f(t|t+N).由图1可见,平滑器的估计精度高于滤波器,而滤波器的估计精度高于预报器.事实上,通过理论计算结果也可验证上述精度比较的结论,即tr1f(−1)=0.4362,tr1f(0)=0.3847,tr1f(2)=0.3015.

  

图1 鲁棒融合器第1分量1f(t|t+N)和实际状态第1分量x1(t)的比较Fig.1 Comparision of first components1f(t|t+N)andx1(t)of robust fusers and actual state

为了说明本文所提算法的鲁棒性,由大到小各任选3组满足式(3)和式(4)的实际噪声方差

 

 

相应的比例系数δ取值分别为δ=0.8,0.4,0.2,可得相应的实际误差曲线值

 

图2中(a)–(c)子图分别给出了当取第u组值时(u=1,2,3)相应的鲁棒加权融合预报器的第1分量实际误差曲线及其±3倍实际和鲁棒标准差界.其中:实线表示虚线和短划线分别代表相应的±3倍实际和鲁棒标准差界±和±3σ1(−1).由注4知,图2中实际和鲁棒标准差和σ1(−1)可由实际融合估值方差及其最小上界Pf(−1)的第(1,1)元素开方得到.由图2可见,随着实际噪声方差逐渐增大,±界逐渐增大,实际估值误差曲线值也随之逐渐增大,但±3σ1(−1)界始终保持不变,且实际标准差界±始终位于鲁棒标准差界±3σ1(−1)以内.对于任意选取的容许的实际噪声方差,超过99%的信号平滑误差曲线值均位于±界限以内,且也均位于±3σ1(−1)界限以内.图2验证了鲁棒性,也验证了理论实际方差公式的正确性.

  

图2 第1分量实际融合预报误差曲线及其±3倍实际和鲁棒标准差界±和±3σ1(−1)Fig.2 The curves of actual fused estimation errorsand the actual and robust standard deviation bounds±(u=1,2.3)and ±3σ1(−1)for the first component

为了更直观的说明乘性噪声方差对融合估值器鲁棒精度的影响,图3给出了乘性噪声方差保守上界与按对角阵加权融合预报器鲁棒精度trPf(−1)之间的关系图.其中α,β(06α61,06β61)为比例系数,且分别满足

 

显然,当α,β由0变化到1时,相应的各乘性噪声方差值也相应的由0变化到其相应的保守上界.由图3可见,随着乘性噪声方差保守上界分别由零逐渐增大,融合预报保守方差的迹trPf(−1)也随着逐渐增大到trPf(−1)=1.6875(见表1).即融合预报器保守方差的迹trPf(−1)随着各乘性噪声方差保守上界的增大而增大,这说明乘性噪声方差的保守上界越大,融合估值器的鲁棒精度越低.

  

图3 鲁棒融合预报器的鲁棒精度trPf(−1)相对于乘性噪声方差保守上界的变化Fig.3 The roubst accuracicestrPf(−1)of robust fusion predictor vary versus the conservative upper boundsof multiplicative noises

6 结论(Conclusions)

对带不确定方差乘性和加性噪声的混合不确定多传感器系统,本文发展了基于虚拟噪声补偿的Lyapunov方程方法,将其推广到处理在状态转移阵、过程噪声转移阵和观测阵中均带不确定方差乘性噪声情形,提出了在统一框架下的按对角阵加权融合极大极小鲁棒Kalman估值器(预报器、滤波器和平滑器),克服了文献[7–15]的局限性,且本文Lyapunov方程方法不同于Riccati方程方法[4]和LMI方法[9]和频域多项式方法[14],又避免了基于博弈论鞍点理论搜索极大极小解[13],并给出了在UPS系统鲁棒滤波问题中的仿真应用例子,具有重要理论和应用意义.

进一步的研究课题包括对带随机参数和不确定噪声方差、丢失观测、丢包、随机滞后观测等的更复杂的混合不确定多传感器网络化系统设计加权状态或观测融合鲁棒Kalman估值器.

参考文献(References):

[1]LIGGINS M E,HALL D L,LLINAS J.Handbook of Multisensor Data Fusion:Theory and Practice[M].NewYork:CRC Press,2009.

[2]DENG Zili,QI Wenjuan,ZHANG Peng.Robust Fusion Kalman Filtering Theory with Applications[M].Harbin:Harbin Institute of Technology Press,2016.(邓自立,齐文娟,张鹏.鲁棒融卡尔曼滤波理论及应用[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2016.)

[3]WANG F,BALAKRISHNAN V.Robust Kalman filters for linear time-varying systems with stochastic parametric uncertainties[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2002,50(4):803–813.

[4]LEWIS F L,DAN P,XIE L.Optimal and Robust Estimation[M].New York:CRC Press,2008.

[5]QI W J,ZHANG P,DENG Z L.Robust weighted fusion Kalman filters for multisensor time-varying systems with uncertain noise variances[J].Signal Processing,2014,99(1):185–200.

[6]YANG Zhibo,YANG Chunshan,DENG Zili.Guaranteed-cost robust Kalman filters for time-invariant systems with uncertain noise variances[J].Control Theory&Applications,2016,33(4):446–452.(杨智博,杨春山,邓自立.不确定噪声方差定常系统保性能鲁棒Kalman滤波器[J].控制理论与应用,2016,33(4):446–452.)

[7]LIU W Q,WANG X M,DENG Z L.Robust centralized and weighted measurement fusion Kalman estimators for uncertain multisensor systems with linearly correlated white noises[J].Information Fusion,2017,35(3):11–25.

[8]WANG X M,LIU W Q,DENG Z L.Robust weighted fusion Kalman estimators for systems with multiplicative noises,missing measurements and uncertain-variance linearly correlated white noises[J].Aerospace Science and Techonology,2017,68(9):331–344.

[9]CHEN B,HU G,HO D W C,et al.Distributed robust fusion estimation with application to state monitoring systems[J].IEEE Transactions on Systems Man&Cybernetics Systems,2017,47(11):2994–3005.

[10]LIU W Q.Optimal estimation for discrete-time linear systems in the presence of multiplicative and time-correlated additive measurement noises[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2015,63(17):4583–4593.

[11]KONING W L D.Optimal estimation of linear discrete-time systems with stochastic parameters[J].Automatica,1984,20(1):113–115.

[12]LIU W Q,WANG X M,DENG Z L.Robust weighted fusion Kalman estimators for multisensor systems with multiplicative noises and uncertain-covariances linearly correlated white noises[J].International Journal of Robust&Nonlinear Control,2017,27(12):2019–2052.

[13]CHEN Y L,CHEN B S.Minimax robust deconvolution filters under stochastic parametric and noise uncertainties[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1994,42(1):32–45.

[14]ZHANGH,ZHANGD,XIEL,etal.Robustfilteringunderstochastic parametric uncertainties[J].Automatica,2004,40(9):1583–1589.

[15]WANG X M,LIU W Q,DENG Z L.Robust weighted fusion Kalman estimators for multi-model multisensor systems with uncertainvariance multiplicative and linearly correlated additive white noises[J].Signal Processing,2017,137(8):339–355.

[16]LIU W Q,WANG X M,DENG Z L.Robust centralized and weighted measurement fusion Kalman predictors with multiplicative noises,uncertain noise variances and missing measurements[J].Circuits,Systems and Signal Processing,2017,DOI:10.1007/s00034--017--0578--6.

[17]YANG F,WANG Z,HUNG Y S,et al.Control for networked systems with random communication delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2006,51(3):511–518.

[18]WANG Z,HO D W C,LIU X.Robust filtering under randomly varying sensor delay with variance constraints[J].IEEE Transctions on Circuits and Systems,2004,51(6):320–326.

[19]KAILATH T,SAYED A H,HASSIBI.Linear Estimation[M].New York:Prentice Hall,2000.

[20]SUN X J,GAO Y,DENG Z L,et al.Multi-model information fusion Kalman filtering and white noise deconvolution[J].Information Fusion,2010,11(2):163–173.

[21]SHI P,LUAN X,LIU F.Filtering for discrete-time systems with stochastic incomplete measurement and mixed delays[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2012,59(6):2732–2739.

[22]ZHOU D H,HE X,WANG Z,et al.Leakage fault diagnosis for an internet-based three-tank system:an experimental study[J].IEEE Transactionson ControlSystems Technology,2012,20(4):857–870.

[23]GAO H,CHEN T.H∞estimation for uncertain systems with limited communication capacity[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2007,52(11):2070–2084.

[24]SUN S,MA J.Linear estimation for networked control systems with random transmission delays and packet dropouts[J].Information Sciences,2014,269(4):349–365.