边缘、轮廓是图像灰度不连续的体现，而灰度的这种不连续性可用微分来表示[1]。一般而言，微分绝对值越大，图像信息变化就越剧烈；微分绝对值越小，图像信息变化就越平缓；微分值为0时，则图像信息变化幅度很小。一阶微分算子(如Sobel算子)对阶跃型边缘有较强的响应，但同时会产生较粗的边缘[2]。二阶微分算子(如Laplacian算子)等效于高通滤波器，可有效提取图像的边缘、轮廓等高频信息，但对图像变化不大的信息增强有限。图像增强不但要增强变化剧烈的高频信息，也要增强变化不大的低频轮廓信息。低频或直流信息的整数阶微分值接近0[3]，会造成这些信息的大幅衰减，不利于图像的增强处理[3]。

近年来，分数阶微分在图像锐化处理等方面得到广泛关注[4]，它既有整数阶微分可锐化边缘的特点，能大幅提升图像边缘和轮廓等高频成分，还能在一定程度上非线性地加强图像低频信息的特点[3-6]。尽管分数阶微分在图像处理中具有独特的优势[3]，然而，使用时没有考虑周围像素和中心像素间的相关性，认为所有周边像素的相关性是一样的，造成当微分阶次较大时，图像局部会出现过度增强现象。

为此，本文考虑中心像素和周围像素之间的相关性。根据不同像素和中心像素距离的不同，相关性因子不同的原则，提出一种改进的分数阶微分图像增强算法。

1 传统分数阶微分图像增强模板

Grünwald-Letnikov（G-L）定义是一种基本的分数阶微积分定义[7]，其定义格式为

杂交温度的选择是 ISH 杂交成败的关键因素之一。教科书上推荐的 RNA 检测的杂交温是48 ℃；各 miR 探针因 GC 含量不同，其理论推荐的杂交温度差异较大。从理论上分析，若反应温度低于杂交温度 10～15 ℃，碱基顺序高度同源的互补链可形成稳定的双链，错配碱基对减少；若反应温度再低（低于杂交温度 30 ℃），虽然互补链之间也可形成稳定的双链，但互补碱基对减少，错配碱基对增多，氢链之间的结合更弱；调整杂交温度可使它们之间的杂交率变化 10 倍，因此在实验前必须首先确定杂交温度。

国内对于马克思终极关怀问题的研究肇始于20世纪90年代马克思哲学的“人学”探究。黄克剑在其所著《人韵——一种对马克思的解读》一书中，就曾强调，“马克思从来就不是只在急近的功利——阶级的、民族的乃至人类当下功利——中打滚的人；在他那里，现实关切的热忱为一种终极眷注所发动，现实关切的方式和向度为涵贯于其中的终极眷注所贞辨和导引。”[17]

 

施药后3 d对杂草及叶菜残茬生长情况进行观察发现，与空白对照区相比，药剂处理区的鳢肠、酸模叶蓼等阔叶草已明显失水萎蔫，牛筋草、稗草等禾本科杂草叶片已枯死、茎秆发黄，碎米莎草已褪绿失色，菜心叶片边缘已褪绿干枯、茎秆略发黄，芥蓝叶片已枯死脱落，茎秆仍呈淡绿色。其中，处理C和处理D的杂草及叶菜残茬受害症状较为明显，草铵膦在同等剂量下，不同喷雾方式及喷液量处理未观察到明显差异。

其中，。令a=0，把区间[0，t]按等步长 h=1 等分，则一维函数 f（x）的G-L分数阶微分的差分格式为[3，5-6]

 

他突然有了一次报复吴天成的机会。那天晚饭过后，他站在阳台上吸烟。想见小竹的念头变得非常强烈。白天，小竹有意无意地告诉她这几天自己一个人在家，言下之意就是家里那位又出差了。想象着两人之间醉人的厮磨，他突然有了一个绝妙的主意。

  

图1 G-L分数阶微分增强基本模板

杨慎认为十二生肖是“天地自然之理”，并非人为所能编造出来的，他还主张：日中的鸡之所以出现在傍晚的“酉”时，而月中的兔之所以出现在清晨的“卯”时，是因为“日月阴阳互藏其宅”。何谓“日月阴阳互藏其宅”？按《淮南子·天文训》所云：“积阳之热气生火，火气之精者为日；积阴之寒气为水，水气之精者为月。”由于日为阳、月为阴，金鸡因是日中之物，故应属阳；而玉兔是月中之物，则应属阴。但属“阳”的金鸡出现在“太阴之精”的月亮初升的“酉”时，而属“阴”的玉兔出现在太阳之精的日初升之“卯”时，所以说是“日月阴阳互藏其宅”。

2 改进的分数阶微分增强模板

传统分数阶微分对图像的增强效果明显，但存在将分数阶微分阶次限定在0～1的缺点；且当分数阶微分阶次v较大时，会过度锐化图像，反而使图像变得模糊不清[8]。

其中，n为模板半径，值为。为了进一步提高图像的分数阶微分增强效果并降低增强造成的模糊，修正分数阶微分增强模板的系数（以5×5大小为例，n=3），L=0时，表示中心像素点本身，相关性因子为，表示自身和自身的相关性最大，对自身的影响最大，因此保持系数不变；L=1时，周围像素离中心像素稍远些，对中心像素的影响比中心像素对自身的影响稍小些，相关性因子为，系数从原来的c1变为；L=2时，周围像素点离中心像素更远，对中心像素的影响更小些，相关性因子为，则系数从原来的c2变为；之后对模板进行归一化处理除以即可得到修正后的分数阶微分增强模板。

将式（2）扩展到二维空间 f（x，y），在 x 和 y方向分别分数阶微分处理，选择（2）式的前三项系数构建5×5的G-L分数阶微分增强模板[3，5-6]如图1所示。

其中，L=0表示自身到自身的距离，则可定义P点和点的相关性因子为

 

设P为中心像素为P点相邻像素，分数阶微分增强模板大小为N×N（N为大于1的正奇数），则相邻像素个数不超过 N2-1。像素 P（x1，y1）和像素（x2，y2）的距离 L 定义为

图1中，，最后用对模板进行归一化处理即可得到图像的G-L分数阶微分增强模板[3，5-6]。

 

实际中，图像的相邻像素之间存在相关性，这种相关性会随着像素与中心像素 (或感兴趣像素)的距离而发生变化。传统分数阶微分图像增强假定各个像素与中心像素的相关性都一样，即：相关性因子均为1。事实上，图像像素间的相关性会随着离中心像素距离的增加而逐渐减弱，即离中心像素距离越远，和中心像素的相关性就越低，对中心像素的影响就越低。因此，中心像素周围的像素对中心像素的影响是不一样的，在应用分数阶微分进行图像处理时，应该考虑其他像素和中心像素的距离和相关性。

3 实验结果及分析

3.1 不同微分阶次下的图像增强

 

  

图2 不同微分阶次下的图像增强结果

图2是用本文方法对 512×512的 lena图像在不同微分阶次下增强的结果。其中，增强模板的大小为 5×5（n=3），图2(a)是原图，图2(b-f)分别 v值为 0.5、0.7、0.9、1.1和 1.3下得到的增强结果。

实验表明，本文方法的微分阶次超过1，克服了传统分数阶微分算子将微分阶次限定在0到1的范围内的缺点。从图2可看出，当微分阶次v范围为[0，1.3]时，图像无过度增强现象发生，其中：v在0～0.5范围内，图像增强效果不太明显；当v在0.5～1.3范围内，图像增强效果逐渐明显，且随着微分阶次的逐渐增大，图像中灰度变化剧烈的边缘（如帽檐等）和纹理信息的增强幅度也更大，图像的视觉效果更明显。当v大于1.3时，出现过度增强现象。

3.2 多种增强方法对比

图3是采用灰度直方图均衡化法、G-L法及本文方法对512×512的man图像进行增强处理的结果及其直方图，本文方法和G-L方法的模板大小均为 5×5（n=3）。

从图3可看出，原图的灰度分布不均匀，采用这3种方法处理后，灰度分布相对均匀。从灰度分布范围来看，本文方法和G-L法的灰度分布更广泛，而灰度直方图均衡化法部分灰度分布为0；其次从图形处理效果来看，灰度直方图对图像的部分细节信息增强效果不明显 (男士右手衬衣条纹不明显)，而本文方法和G-L法对图像的细节信息增强明显 (男士右手衬衣条纹清晰可见)；再从增强效果来看，本文方法的增强效果和G-L的增强效果都非常明显，且本文方法的灰度分布比G-L的灰度分布更均匀，说明本文方法比G-L增强效果更加明显。

  

图3 不同增强方法增强效果

本文在分数阶微分算子的基础上，根据邻域内不同像素对中心像素距离和相关性因子的不同，改进了分数阶微分增强基本模板，并在此基础上提出了基于一种分数阶微分的图像增强方法。该方法具有扩展微分阶次，对图像边缘、轮廓等信息增强效果明显的特点。

参考文献：

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[2]邹斌.几种图像边缘提取算法比较[J].重庆文理学院学报(自然科学版)，2010，29（5）：44-46.

[3]蒲亦非.将分数阶微分演算引入数字图像处理[J].四川大学学报(工程科学版)，2007，39（3）：124-132.

[4]周激流，蒲亦非，廖科.分数阶微积分原理及其在现代信号分析与处理中的应用[M].北京：科学出版社，2010.

[5]PU Y F，ZHOU J L，YUAN X.Fractional differential mask:A fractional differential-based approach for multiscale texture enhancement[J].IEEE Transaction on Image Processing，2010，19（2）：491-511.

[6]杨柱中，周激流，晏祥玉，等.基于分数阶微分的图像增强[J].计算机辅助设计与图形学学报，2008，20（3）：343-348.

[7]OLDHAM K B，SPANIER J.The fractional calculus：Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order[M].New York：Academic Press，1974，25-60.

[8]陈庆利，黄果，门涛，等.数字图像的局部分数阶微分增强[J].四川大学学报（工程科学版），2016，48（4）：115-122.