0 引言

图像增强是数字图像处理的一个重要组成部分，其目的主要是突出图像中感兴趣的部分，减弱或去除不需要的信息，使有用信息得到加强，从而得到一种更加实用的图像或者转换成一种更适合人或机器进行分析处理的图像。近年来，研究者尝试将分数阶微积分理论应用到图像增强中并且取得了令人满意的增强效果[1-6]。由分数阶微分算子的“弱导数”性质及分数阶傅里叶变换理论可知，分数阶微分算子可以在增强图像高频成分的同时，非线性地保留图像中的甚低频成分。因此，分数阶微分算子可以使增强后图像的边缘更加突出，同时适当保留了图像平滑区域的纹理信息。偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）理论是近些年来提出的一种重要的图像处理方法。到目前为止，国内外众多研究者已经提出了许多基于PDE的图像处理模型[7-8]，其中最具代表性的是P.Perona和J.Malik提出的基于整数阶偏微分方程的图像处理模型，该模型提出了正向扩散有平滑图像的作用，并推测了逆向扩散可以对图像进行增强处理，即当P-M模型的扩散系数为正时，线性扩散起平滑图像作用，当PM模型的扩散系数为负时，线性逆扩散起增强图像作用[9]。Osher和Rudin进一步研究了基于整数阶偏微分方程的图像增强模型，提出了面向图像特征增强的震荡滤波器，该滤波器可以在一定程度上增强图像的边缘特征信息[10]。文献[11-14]以分数阶微积分理论和偏微分方程理论为基础，提出了基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该去噪模型不仅具有整数阶偏微分方程图像处理模型能够有效去除图像噪声的优点，而且在一定程度上更多地还保留了图像的边缘和纹理等细节信息。

图像增强和图像去噪可以简单地认为是相反的处理过程，同样分数阶正向扩散模型和分数阶逆向扩散模型也可以看作是互为逆运算。分数阶正向扩散模型在图像去噪中取得了较好的仿真效果[13]，本文尝试将分数阶逆向扩散模型应用到图像增强处理中，引入合理的边缘增强算子，通过构建中心像素八邻域的分数阶微分掩模算子来实现分数阶逆扩散模型的数值计算。因此，本文提出的基于分数阶变分逆扩散的图像增强模型通过引入演化时间因素，使得图像增强模型能够由单次分数阶增强处理拓展为多次迭代分数阶增强处理，并通过边缘增强算子实现在逆扩散的过程中根据图像的局部信息量来自适应地控制图像增强的程度，由此可以解决传统分数阶微分图像增强模型由于单次使用微分增强算子造成的在图像的强边缘处过度增强，在图像纹理和弱边缘处增强不足的问题。

1 相关工作

1.1 分数阶微分算子

任意平方可积的能量信号，其Fourier变换为。假设信号 f（x）的n阶导数为，根据Fourier变换的性质可以得到：

 

假设信号f（x）的v阶导数为，根据分数阶Fourier变换的性质可以得出[15]：

 

其中，

物理学中的扩散方程是指流体从高浓度区域向低浓度区域流动，应用到图像处理当中就是指灰度在时间轴上从高灰度区域向低灰度区域扩散，从而达到平滑图像的作用。流体的流量密度和浓度差之间的关系为，其中为流量密度，β为扩散系数，为流体浓度的梯度。Koenderink等人提出了各向同性扩散模型[16]，如式（4）所示，其解为，其中高斯核为。

 

1.2 整数阶逆扩散方程

《意见稿》提到，快递运单已注明为生鲜产品、贵重物品、易碎品、代收货款等需要当面交接的快件，不得使用智能快件箱收寄或者投递，智能快件箱使用企业与用户另有约定的除外。快件出现外包装明显破损、重量与快递运单记载明显不符等异常情况的，不得使用智能快件箱投递快件。

 

逆向扩散的作用类似于高通滤波，即在图像的边缘处产生一个冲击。典型的逆向扩散冲击滤波器是由Osher和Rudin提出的[10]，如式（5）所示。该模型使得图像的扩散由低灰度变化区域向高灰度变化区域扩散，从而使得图像的边缘得到锐化。

由泛函极值理论和分数阶微积分基本性质，可以得到能量泛函式（11）的Euler-Lagrange方程，如式（12）所示：

 

2 分数阶逆扩散增强模型的构建

2.1 分数阶P-M逆扩散模型

与分数阶正向扩散模型不同，本文提出的分数阶逆扩散模型是应用到图像增强当中，这样在逆扩散的过程中不涉及到图像主要特征的保护，因此可以忽略保真项系数，即可令λ＝0。因此在式（12）的基础上，利用信号处理的卷积、相关定义和梯度下降法理论，并推广到目标像素的八领域方向，可以推导得出式（13）：

随着国家对科技经费投入的逐年增长，加强对科技经费的规范化管理已经成为科技管理的核心问题［1］。加强对高等院校及科研院所的科技经费的有效管理，直接关系到科技项目（课题）完成的质量和效果，对于提高国家及地方的科技创新能力建设具有重要意义。

国家企业信用信息公示系统于2014年2月上线运行，用户只要输入企业名称、统一社会信用代码或注册号，就可以查询相关企业的信用信息。

 

其中，表示图像梯度，是梯度的模值，表示散度，扩散系数或。

以非线性扩散去噪P-M模型为基础，引入分数阶梯度算法和高斯平滑算法，并将其扩散方向进行改变，可以得到分数阶逆扩散模型，如式（7）所示。

近年来，T2DM与LA之间的相关性成为神经科学领域研究的一个热点。本文将对T2DM与LA的关系及其影像学表现与认知损害相关性问题的研究进展进行综述，以更好的加深临床对LA的认识。

 

然而，式（7）构造的分数阶逆扩散模型缺乏理论推导基础，仅仅是一种简单的推测，其离散化实现也较为困难，因此本文不用该模型来实现图像增强。

其中，分数阶梯度算子为，高斯平滑算子为，边缘增强函数为。

2.2 分数阶变分逆扩散模型

设图像I（x，y），满足x，y∈Ω，并且假设图像I（x，y）在X轴和Y轴方向上完全独立。因此，二维图像可以简化为一维形式来分析。根据Grümwald-Letnikov分数阶微分定义得到图像I（x，·）沿X轴负方向的分数阶微分为：

 

假设某一函数满足：

 

一般而言，图像相邻像素之间的距离可以认为h=1，这样可以将图像I（x，·）的分数阶微分转换为图像I（x，·）与函数的卷积形式如式（10）所示。

 

其中，“*”表示卷积操作。

或如爱情，只有知晓并接受、包容对方的缺陷和弱点，只有懂得在片刻璀璨的激情之后是流年似水的无尽平淡，才能在花前月下的有限“温存”之后，能够承受柴米油盐的无限“辛酸”，才能得以“与子偕老”。

由此，将式（10）代入基于分数阶空间的能量泛函[13]，可得到基于卷积积分的分数阶变分去噪模型，如式（11）所示：

3.3 悬挂式土壤改良机工作原理 土壤改良机的运动流程见图3。由22.05 kW(30PS)拖拉机(张家口地区应用较广)提供动力，动力由液压油泵传输至液压马达和液压缸。液压马达带动钻头旋转，同时液压缸驱动升降架及钻坑部件垂直下行20～25 cm以形成深坑。螺旋钻罩的出土口定向排出钻土，坑深由位置传感器控制。深坑形成后液压缸驱动钻坑部件回程，待螺旋钻回到指定位置时，排肥机构中的步进电机精确转动实现定量出肥，肥料依靠重力和弯型排肥管独特的结构精准落入深坑，土壤改良机移动至下一工位的过程中覆土板带动少量薄土实现覆盖，完成深坑定量施肥。

 

大学生正位于价值观形成和发展的关键时刻，对自我价值与社会价值的判断相对片面，极容易受到外界环境的冲击与干扰，陷入政治信仰缺失、理想信念迷茫、价值判断模糊、功利思想严重等思想困境。因此，高校应从大学生的全面发展以及“中国梦”的实现两方面出发，对社会主义核心价值观培养策略进行探究。

 

在图像去噪的过程中，为了达到“去噪保边”的效果，可以使高斯去噪模型的扩散系数按照图像局部特性变化而改变，即在图像较为平坦的区域其传导系数较大（平坦区域的噪声被去除），在图像的边缘和纹理区域其传导系数较小（边缘和纹理得到适当保留），因此Perona和Malik提出了图像处理的P-M模型[9]：

但美味并非是纯客观的，也有属于主观因素的一面，往往因人而异。例如有人爱吃这，有人爱吃那，没有统一标准；即便是同一个人在吃惯了一样东西之后，也会想着去换换口味，俗话说：“少吃多滋味，多吃无滋味。”我曾吃过鱼翅、燕窝、海参和其他一些野味，感到都不怎么样。

 

在此基础上，改变式（13）的扩散方向，令t=-t，即取时间的负方向，实现在迭代的过程中进行逆扩散。最后，在式（13）中引入边缘增强函数g(·)，由此可以得到基于分数阶变分逆扩散的图像增强模型，如式（14）所示：

 

其中，边缘增强函数一般取，x表示图像某一方向的分数阶梯度模值，K表示阈值，一般可以取八个方向分数阶梯度模值得平均值。

3 实验及理论分析

本实验利用MATLAB软件分别对几幅经典图像进行了仿真对比。在以下实验中，基于分数阶微分的增强模型和基于分数阶偏微分方程的增强模型的微分阶次设定为v=0.9，基于整数阶逆扩散偏微分方程的增强模型和基于分数阶逆扩散偏微分方程的增强模型（以下分别简称IPDE算法和FIPDE算法）的迭代次数n、间隔时间△t都设置成相同的值，FIPDE增强算法的边缘增强函数为，分数阶梯度算法的微分阶次设定为v=0.5，阈值K设定为目标像素点八个方向梯度模值的加权平均值，利用文献[5]中的八个方向的分数阶微分掩模算子来对FIPDE模型进行数值计算。

如图1所示，图（b）～（f）分别表示利用prewitt算子、laplacian算子、分数阶微分算子、IPDE算法和本文提出的FIPDE算法对lena图像增强的效果图。图（g）～（k）分别表示利用prewitt算子、laplacian算子、分数阶微分算子、IPDE算法和本文提出的FIPDE算法对lena图像增强后图像的残差图像（残差图像为增强后图像减去原始图像差的绝对值）。直接观察可以得出：a）prewitt算子，laplacian算子，分数阶微分算子，IPDE算法和本文提出的FIPDE算法都能够对lena图像进行不同程度的增强，且增强后的图像的视觉效果也有不同程度的改善。b）prewitt算子和laplacian算子主要增强了图像的边缘部分信息，几乎完全没有提升图像中平滑区域的纹理信息。c）分数阶微分算子相比整数阶微分算法，能够增强图像弱边缘和平滑区域的纹理信息，但是由于分数阶微分阶次一般控制在[0，1]的范围并且只进行一次卷积操作，因此对图像的边缘及平滑区域的纹理信息增强幅度都不大，增强的效果并不明显。d）IPDE算法能够利用迭代的方法对图像进行逐渐增强，但是因为IPDE算法的数值计算仍然利用整数阶微分来实现，因此在迭代增强的过程中，IPDE算法主要还是对图像的强边缘部分进行增强，这样会导致图像强边缘处出现一些明亮的细线，同时忽略了增强图像平滑区域纹理信息。e）本文提出的FIPDE算法由于在IPDE算法中引入了分数阶微分理论，可以实现在迭代增强过程中既保留整数阶微分算法适当增强图像“强边缘”信息的优点，又具有分数阶微分算子增强图像“弱边缘”和平滑区域纹理信息的特点，同时也能够增加图像的整体对比度，从而获得更高质量的图像。

  

图1 不同图像增强算法对lena图像的增强效果及残差图像

图2表示不同图像增强算法对lena图像增强后的直方图，直接观察可以得出，这几种图像增强算法都具有灰度均衡化的作用，且可不同程度地将原图的灰度直方图拓展到0.9～1.0这个范围，使得图像的灰度分布扩展到整个灰度区间。然而，本文提出的FIPDE算法相比其他增强算法，可使得增强后图像的灰度分布更加均匀，并且能够基本保持原图的灰度分布形状，这样可以使得增强后图像的整体对比度增大，从而在图像不失真的情况下获得了更好的视觉效果。

  

图2 不同图像增强算法对lena图像增强后的直方图

图3和图5的子图（b）～（f）分别表示利用prewitt算子，laplacian算子、分数阶微分算子、IPDE算法和本文提出的FIPDE算法对barbara图像和baboon图像增强的效果图。图（3）和图5的子图（g）～（k）分别表示利用prewitt算子、laplacian算子、分数阶微分算子、IPDE算法和本文提出的FIPDE算法对barbara图像和baboon图像增强后图像的残差图像。直接观察可知，本文提出的FIPDE图像增强算法与其他图像增强算法相比，既可以增强图像的边缘和纹理区域，又可以整体提升图像的对比度，从而使得增强后图像的视觉效果更佳。图4和图6分别表示不同图像增强算法对barbara图像和baboon图像增强后的直方图，直接观察可以得出，FIPDE增强算法相比其他增强算法也可使得增强后图像的灰度分布更加广泛和均匀，并且能够基本保持原图的灰度分布形状，由此可以使得增强后图像的整体对比度增大，从而获得更佳清晰的较高质量图像。

 

  

图3 不同图像增强算法对barbara图像的增强效果及残差图像

  

图4 不同图像增强算法对barbara图像增强后的直方图

 

  

图5 不同图像增强算法对baboon图像的增强效果及残差图像

  

图6 不同图像增强算法对baboon图像增强后的直方图

图像熵是一种特征的统计概念，将其应用到图像处理当中可以反映图像中平均信息量的多少。熵可表示信息的不确定性，一般情况下，可以认为图像的熵越大，其边缘和纹理信息越丰富，图像的质量也相对越好。图像熵的计算公式为：

 

其中，p为图像直方图统计结果。

为了检验分数阶变分逆扩散增强模型较整数阶逆扩散增强模型具有的优势，图7表示FIPDE算法和IPDE算法对lena图像、barbara图像和baboon图像增强后的“迭代次数-熵值”曲线比较，本文提出的FIPDE增强算法与IPDE增强算法相比，其增强后的图像可以获得更高的熵值。进一步观察“迭代次数-熵值”曲线比较图可知，对lena图像和barbara图像而言，FIPDE增强算法增强后的图像的熵值曲线完全在IPDE增强算法增强后图像的熵值曲线之上，而对于baboon图像，在迭代次数小于90次范围内，FIPDE增强算法增强后图像的熵值小于IPDE增强算法增强后图像的熵值，但是迭代次数大于90次以后，IPDE增强算法增强后图像的熵值快速下降，FIPDE增强算法增强后图像的熵值高于IPDE增强算法增强图像后的熵值。表1为不同增强算法对lena图像、barbara图像和baboon图像增强后图像的熵值，FIPDE增强算法相比其他增强算法可以获得更大的熵值，因此本文提出的基于分数阶变分逆扩散的图像增强算法能够使增强后的图像具有相对更高的信息量，即可以使增强后的图像保持更好的边缘和纹理特征。

  

图7 IPDE算法和FIPDE算法对不同图像增强后熵值曲线比较

 

表1 不同增强算法增强后图像的熵值

  

Lena barbara baboon Prewitt 7.6227 7.6129 7.6347 Laplacian 7.5868 7.7062 7.6763分数阶微分7.7142 7.5768 7.4024 IPDE 7.5039 7.6120 7.4718 FIPDE 7.7808 7.7856 7.7412

分数阶微积分理论和分数阶偏微分方程作为一种基础研究理论在工程应用研究中已经引起了众多学者的高度关注，并在数字信号处理领域，特别是数字图像底层处理中取得了较好的仿真效果。本文提出的基于分数阶变分逆扩散的图像增强模型将分数阶微分理论和分数阶偏微分方程有效结合，引入了演化时间因素和边缘增强函数，实现了在逆扩散的过程中可根据图像的局部信息量来自适应地调整图像增强的强度，即控制迭代增强的次数。该增强模型与传统的增强模型相比，不仅能有效提升图像的全局对比度，而且能非线性保留图像平滑区域的纹理信息，同时增强图像的边缘细节特征。然而，本文提出的图像增强算法还存在不足之处：在逆扩散模型中引入边缘增强函数缺乏理论基础，仅仅是对模型的一种简单扩展；逆扩散具有不稳定性，对噪声比较敏感，在逆扩散的过程中有可能会一定程度上增强噪声；逆扩散模型的自适应能力较弱，只能根据不同图像的特征，人为设定图像增强的迭代次数。因此，在今后的研究工作中还需要重点解决以上两个方面的问题。

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