引言

颗粒材料是指由大量离散固体颗粒及颗粒间孔隙构成的集合体，其具有强烈的非均匀性与复杂的力学性质，诸如多尺度行为、可破碎性、各向异性等[1-3].深入研究颗粒材料的基本力学行为不仅有助于减少其生产运输的过程中不必要的浪费，也有助于提高预测和控制诸如泥石流、山体滑坡等由于颗粒材料变形、破坏而导致的自然灾害[4].考虑到颗粒材料的离散特性，离散单元法是模拟其力学行为的更加自然与合理的一个方法.但是在实际应用中，颗粒数量往往十分庞大，其运动规律也很复杂，基于离散单元法模拟和预测工程问题仍然是一个巨大的挑战.因而，连续体方法或者多尺度方法模拟颗粒材料仍是比较合适与便捷的途径，建立连续体框架下的模型研究其力学行为具有十分重要的意义[5-6].

颗粒材料的宏观性质与细观尺度上的颗粒排布、接触刚度等信息密切相关[3].Chang等[7]认为通过微结构连续体途径(microstructural continuum approach)可以考虑细观结构的影响，基于能够反映细观离散特性的宏观变形量，得到宏观尺度上的本构关系.这种方法已被大量用于研究颗粒材料的力学行为中[7-15].其中，Cosserat理论[8-13,16-18]十分具有代表性且得到了广泛应用.该理论通过引入旋转自由度，推导出与其对应的偶应力及表征细观结构信息的特征长度，从而适合模拟颗粒材料的微结构，且更加符合颗粒材料的物理实际.但是，经典Cosserat理论只能部分表征微结构信息，不能与颗粒材料的离散结构特性建立显式联系[14].Nemat-Nasser等[14-15]为表征微结构特性，引入了结构张量，并建立起其与宏观应力的联系，使本构关系能够反映微结构的演化，从而发展出基于细观力学的连续介质描述.该理论通过应力、应变概念描述颗粒材料的宏观变形行为，基于相互接触的颗粒间的局部运动及力学行为建立细观本构关系，其关键是如何建立颗粒材料离散的细观力学响应与宏观上连续行为之间的联系[19].考虑颗粒材料的细观离散特性，基于经典连续体的应力应变定义不再适用，大量研究[19-25]致力于发展颗粒材料细观结构的描述、细观结构应力应变的定义以及采用均一化方法建立宏细观的联系.如Chang等[20]将颗粒材料的本构关系划分为3个层次：表征元、微单元及颗粒接触，以表征元体现宏观应力应变关系，以微单元体现局部应力应变关系，以颗粒接触体现力与位移的关系.并基于Vogit均一化理论应用最优拟合假设、运动假设、静态假设等建立颗粒材料宏细观联系及本构关系[26-27].

微形态理论[28-33]同样具有描述复杂微结构变形的能力，可以被用于模拟颗粒材料.Misra[28]根据Mindlin[29]和Eringen[30]的微结构线弹性理论建议了基于细观力学方法的颗粒材料微形态模型.微形态理论假设物体是由宏观物质与细观物质组成的变形协调体，其每个物质点都是一个微结构胞元，并且引入9个变形自由度用以描述微结构的变形与旋转，适用于复杂微结构的变形模拟.针对颗粒材料Misra等[28]认为一个物质点即为一个颗粒集合体体积单元，将颗粒运动分解为宏观运动与细观运动两个部分，并基于细观变形能求和得到宏观变形能函数，再通过对宏观变形能求导构建基于细观结构信息表示的宏观本构关系.

近年来，基于颗粒材料冲击与波动响应特性的调控波传播行为的超材料设计引起了研究者的兴趣，为此研究者已开展了大量基于广义连续体模型(高阶梯度模型或 Cosserat连续体模型)的波动分析[34-36].正如上文所述，Cosserat连续体模型因包含了可与细观上颗粒转动相关联的转动自由度以及能够反映一定细观结构的内禀特征长度，且相对简单而受到颗粒材料研究领域的广泛关注[17,30,34-35,37].但是 Cosserat连续体仅能反映细观结构的刚体转动[35,38]，考虑到颗粒材料细观结构或者中尺度结构上诸如拉压与剪切等其他变形模式的重要性[39-40],因而，能够反映细观结构完整运动模式的微形态连续体模型[29,38]引起了研究者的重视[28,41-43].一阶微形态连续体模型除了描述宏观运动的自由度外，还包含描述微/细观结构变形的自由度，因此在其框架下基于细观途径发展颗粒材料连续体模型能在一阶梯度情况下为更多细观信息的均匀化提供对应的描述变量.

本文基于 Mindlin-Eringen的微结构理论 [29-30]和Misra的微形态理论[28]，给出了一个颗粒材料的微形态连续体模型.不仅对颗粒的平动进行分解，同时对颗粒转动也进行了分解：颗粒运动分解为宏观平均运动(平动与转动)和细观真实运动(平动与转动)两部分，并认为颗粒的细观真实运动(平动与转动)是由宏观平均运动(平动与转动)与相对运动(平动与转动)组成.基于此分解，求得相应的细观本构关系和细观变形能函数.结合宏观变形能的细观变形能求和表达式与细观本构关系的表达式，可获得基于细观量表示的宏观本构关系与相应的本构模量，其中包括了偶应力(相对偶应力)与微曲率(相对微曲率)的关系及其本构模量.通过推导的微形态模型探讨波在弹性颗粒介质中传播的现象，考察纵波、横波、横向剪切波、横向旋转波的频散关系[44]，并对其频率带隙[44]进行预测.

1 颗粒的运动描述

根据Mindlin的微结构理论[29]，建立一个全局坐标系x，并考虑一个体积单元为V，此时，V代表了一个物质点P，如图1所示.然后在P的重心建立一个局部坐标系x′，保持x′的坐标轴平行于x的坐标轴，见图1.考虑V中的两个颗粒分别为p和它的临近颗粒q，那么颗粒p的位移可由颗粒q的位移用泰勒级数展开[28]

基于Creo 2.0平台,对厂房大门进行自顶向下的模块化设计,如图8和图9所示.通过特征参数化,可以实现模型的快速设计与修改,提高了设计效率,利于标准化和系列化.

 

(C)横向旋转波

通过旋转张量将局部坐标转换为全局坐标，颗粒的细观本构关系可以写为

公道正派是组工干部的立身之本、履职之要。我们的一言一行都要体现公道正派，凡事出于公心，摒除主观喜恶，公道对待干部，公平评价干部，公正推荐干部。要弘扬正气，坚持按政策办事、按原则办事、按纪律办事、过得了人情关、说情关，顶得住压力、顶得住歪风，为敢于担当的干部撑腰鼓劲。

  

图1 物质点P与其微体积元VFig.1 Material point P and its microstructural volume element V

 

此时，ψij只是x和t的函数.那么，通过宏细观的位移梯度，可以定义一个相对变形量γij

 

式中为宏观位移的梯度，并且，假定和t的函数，即那么，宏观应变可以求得为

采用差异化战略，实现战术4Ps中的产品策略与4Cs中的顾客需求策略、4Rs中的关联策略相融合。差异化战略是著名的美国管理学家迈克尔·波特于1995年提出来的，是指企业通过产品、形象、市场、渠道等方面实现与其他企业的差异，从而吸引消费者注意力，提高其购买欲望，使企业获得竞争优势的非常有效的做法。

 

式中的对称部分.

将式(2)代入式(1)中，可以得到颗粒p与q的相对位移为

取大鼠脑组织置于4%多聚甲醛溶液中固定24 h后，常规脱水、石蜡包埋、切片（5 μm），经苏木精-伊红（HE）染色后，置于荧光倒置显微镜下观察各组大鼠脑组织的病理学变化。

 

式中，eijk为置换张量，χi表示颗粒转动，rk为颗粒的半径.此时，将相对位移分解，分别定义为

 

其中表示宏观平均应变引起的位移，表示颗粒位移波动的梯度引起的位移，表示可以转动引起的位移，所以，颗粒的相对位移可以看作由宏观上的平均位移，相对波动的位移，以及颗粒相对转动的位移3个部分组成.同理，颗粒p的转动也可以用颗粒q的转动泰勒级数展开

 

那么，这两个颗粒间的相对转动为

 

与位移的分解相似，颗粒的转动可以分解为整个体积元的转动与相对于体积元的转动两个部分，并定义这个相对的转动的梯度αij为

小样本显示，以“95后”为主体的当代大学生群体，成长在一个多元化的时代，社会和个体层面对创新思维的追求，尤其是“双创”背景下对创新创业的引导，使得个性得到较充分发展，同时权利意识的提升使得他们更加关注时事政治和社会民生，并且在互联网信息爆炸时代倾向于获取外部信息进行横向对比，排斥传统说教式灌输。表1显示在对学校管理方式的评价上，15.3%的学生认为目前管理过于紧密，是认为过于松散的人数的2倍多，这充分展示了当代大学生对自身独立思考、发展的需求。图1则直观地表明了当代大学生对时事政治的关心，社会治理的方式和效果将影响他们对管理者的评价。

 

其中，Γi是整个体积元的转动，并且有

 

那么，式(8)中的相对转动可以表示为

 

对其进行分解，令

 

以求得微曲率

 

2 颗粒的宏细观本构关系

颗粒的宏观变形能密度W可以表示为连续变形量的函数：从而可以求得与这些变形量共轭的宏观应力量

 

其中，τij为柯西应力，σij为相对应力，µij为偶应力，νij为相对偶应力.Tordesillas和Walsh等[45]认为颗粒材料的宏观变形能密度为颗粒接触间的细观变形能密度w之和，而细观变形能密度w是颗粒间相对运动的函数，即那么，整个体积元的V的变形能密度为

 

对细观变形能密度w求偏导，可以得到对应细观运动量的颗粒接触力fi与接触力矩mi

 

其中，ξ=M,m,R，η=R,s,u.式(15)和式(16)代入式(14)中，宏观应力可以用细观尺度上的颗粒接触力来表示

 

为建立颗粒的细观本构关系，首先对一个颗粒接触对建立局部坐标系，如图2所示[46].向量n是接触面的法向向量，另外两个正交向量s与t在接触面切向平面上

 

其中，e1,e2,e3分别为平行于坐标轴的3个单位向量.

忽略法向与切向的交叉项，细观变形能密度w可以简单写为

 

  

图2 颗粒接触的局部坐标[46]Fig.2 Local coordinate system at a contact of particles[46]

其中，ξ=M,m,R;η=R,s,u.下标n,s,t分别为上述局部坐标系的分量.则，进一步对于线弹性各向同性材料，细观变形能密度为

 

其中，分别为对应于上文分解后的位移与转动的接触刚度.对于一个接触对的两个圆形颗粒来说，接触面是一个圆形区域，那么s与t方向的接触刚度应该一致，则令

 

气象观测系统由气象铁塔风温梯度测量系统、地面气象诸要素自动观测系统、监控系统平台3个部分构成。该气象观测系统采用先进的观测设备对大气状况不间断、系统地观测和数据收集，并把所得数据存储和处理，提高观测准确性，对天气状况作出预警预报，为现代化农业生产提供及时准确的气象信息服务，帮助农业管理部门应对各种气象灾害，避免或降低气象灾害损失，为现代化农业发展撑起一把保护伞[3]。

 

式中，i,j=1,2,3.将式(27)与式(28)代入式(17)～式(20)中，可以求出基于细观信息表示的宏观本构关系为

 

3 颗粒的宏观本构参数识别

从式(29)～式(32)可以看到，宏观本构参数是接触刚度和分支向量的函数.对于一个体积元V来说，其中的每个接触对的接触刚度和分支向量通常是不同的，为了简化计算，假设材料为各向同性，Chang等[47]提出了一个方向分布密度函数ξ，并令ξ(α,β)=1/4π，这样可以保证下式成立

 

由此能够将式(29)～式(32)的离散求和转化为积分形式

 

 

式中，NV表示体积元的体积密度.那么，求解上述积分，就可以得到宏观本构模量

 

式中，ξ=M,m,R;η=R,s;i,j=1,2,3且i≠ j.

苍峄铁矿带位于鲁西隆起南缘尼山凸起的南缘，尼山-白彦断块凸起与陶枣断陷盆地之间[1-2]，是山东省内非常重要的成矿带，属沉积变质型铁矿(“鞍山式”铁矿)[2]。自20世纪50年代以来，该区陆续开展过不同程度的地质勘查工作[2]，先后发现和评价了多处大中型铁矿床，2007年后，山东省鲁南地质工程勘察院、山东省地质科学研究院沿苍峄铁矿带(白水牛石)向东陆续又发现了王埝沟铁矿床、凤凰山铁矿床和沟西铁矿床。笔者通过分析以往勘查成果，认为其成矿受原始矿源层和褶皱构造、断裂构造作用控制，探讨了铁矿形成过程及成矿模式。

4 平衡方程

根据能量守恒，外力做功转化为动能与势能，则，由哈密顿原理可以得到

 

其中，W为总势能，T为总动能，Wext为外力功.

再将式(55)代入这5个方程组，就可以求得关于波数ξ与频率ω的频散方程.(1)对于方程组(A)与(B)，波沿x1方向传播，形变方向为x2与x3方向，且其形变由剪切应变组成，即可称为横向剪切波；(2)对于方程组(C)，形变方向同样为 x2与 x3方向(χ1表示以x1为轴进行旋转的转动自由度)，且形变由剪切应变与旋转组成，可称为横向旋转波；(3)对于方程组(D)，波沿x1方向传播，形变方向沿x2或者x3方向传播，可视为经典波动理论的横波概念；(4)对于方程组E，波沿x1方向传播，形变方向沿x1方向传播，即为经典波动理论的纵波：

 

(E)纵波

 

其中，式(58)～式(60)中波数ξ与频率ω的关系比较复杂，具体的解并未给出.由于假设材料各向同性，式(56)与式(57)求得的频率是相等的.令ξ=0，上述各种波的截止频率为：

 

其中，d为体积元的边长，ρ为宏观质量密度，ρ′为细观质量密度.式(42)中的外力功的变分可以定义为[29]

 

其中，fi，mi，Φij分别为单位体积上的体力、力矩、二阶体力，ti，Mi，Tij分别为单位面积上的面力、力矩、二阶面力.

从而，将式(43)～式(46)代入式(42)中，可以得到

我还是不相信，不相信我的眼睛。不是明明约好了周六来看我的么。明天就是星期六，窗台上有一大捧不知名的野花，开得灿烂耀眼，是我特意下乡时从山里采摘来迎接女友的。

企业在公允价值计量时，需要考虑多方面的因素，例如：会计目标定位、风险、经营环境、市场价值等，如果公允价值计量不准确就会导致企业的经营业绩受到一定程度的影响，这些变动都会在财务报表中体现，会使经营者的经营状况不稳定，因此，不同的企业在使用公允价值计量时，会出现不同的财务安全隐患，这会直接对企业股东和利益相关者的利益产生一定的影响。

 

为了使式(47)成立，要求式中每一项均为0，那么，就可以得到3组平衡方程的变分

 

以及3组边界条件

 

5 运动方程与波的传播

将式 (29)～式 (32)代入上文的平衡方程 (48)中，得到3组15个运动方程

 

其中，忽略 fi，mi，Φij项.并且，假定波沿x1方向传播，那么为了求解平面波，要求运动量只是x1的函数

 

将式(51)代入式(50)中，得到这15个运动方程具体的分量形式

 

那么，式(52)～式(54)的解是下列简谐波函数形式

其次，这部小说的结构也具有一定的象征意义。福斯特在写作这部小说时，将隐喻和转喻两种修辞手法糅合于整部小说的结构中，因此，《印度之行》这部小说就具有了双重结构。《印度之行》这部小说结构包括表层结构和深层结构，小说的表层结构是直线型的，这种结构形式能够促使小说情节按照时间顺序发展；小说的深层结构是循环型的，这种结构形式能够深化小说的主题，揭示其主题思想。

 

其中，ξ为单位长度内的波数，即波长的倒数，ω为角频率，Ai,Bi,Cij为振幅.然后，将式(52)～式(54)的15个方程进行分组，具体分为5个方程组

(A)式(54b)与式(54c)

 

(B)式(54g)与式(54i)

 

(C)式(53a),式(54g)与式(54i)

 

(D)式 (52b),式 (53c),(54d)与 (54f)

 

 

上文中假设总势能密度W是宏观应变量的函数，根据式(14)，总势能密度W的变分应为

(A)横向剪切波

丁珰又道：“天哥他确有过犯，自己送了命也就罢了，最可惜石庄主夫妇这等侠义仁厚之人，却也要赔上两条性命。”

 

(B)横向剪切波

 

式中，φi为颗粒中心的位移，lj为连接颗粒p中心与颗粒q中心的分支向量.值得注意的是，φi应假定为x′的一个特定函数与x和t的任意函数之和[29].由此，可以求得细观的位移梯度ψij

 

(D)横波

 

那么，可以求得总势能W的变分

 

同时，根据Mindlin的微结构理论[29]，求得动能的变分为

(A)/(B)横向剪切波

查阅了大量的参考文献不难发现，如今的建筑工程施工项目中安全事故的发生大多是因为没有对项目的安全管理[1]进行足够的资金投入，安全管理水平的低下极易造成不可控的生产安全事故，进而造成人员的伤亡。所以，构建一套科学且有效的安全管理模式就显得十分重要，而施工安全管理挣值法[2]是一种既可进行微观安全管理又可进行宏观安全控制的管理方法，同时还能够将安全控制所需要的成本降到最低。

 

(C)横向旋转波

 

(D)横波

 

(E)纵波

 

其中，将截止频率从大到小排列有ω1＞ω2＞ω3＞ω4＞ 0，且

 

 

对于行波来说，可根据截止频率是否为零分为两类：截止频率为零的声波(acoustic wave)与截止频率非零的光波(optical wave).从式(61)～式(64)可以看到，横波与纵波均有一个声波分量和两个光波分量，横向旋转波具有两个光波分量，横向剪切波的形式为一条光波.此外，截止频率与颗粒接触尺度上的细观参数相关，当接触刚度取为零时，所有波型均变为声波.

6 结果与讨论

上一部分中推导了横向剪切波、横向旋转波、横波、纵波的频散方程，根据此频散方程，可以求得波数与频率的频散关系.从频散方程可以看到，频散关系与细观参数相关.通常来讲，基于细观尺度的颗粒材料研究一般取法向接触刚度为10～1000MN/m量级，切向接触刚度取为法向接触刚度的0.5倍，滚动刚度取为100Nm量级.理论研究中，颗粒的尺度常取为1mm量级.本文选取的参数来自Misra等的研究[28]，如表1所示，那么，上文中非零的截止频率分别为：ω1=8.19×106rad/s，ω2=6.86×106rad/s，ω3=5.74×106rad/s，ω4=77.5rad/s.

 

表1 细观参数取值Table 1 Values of micro parameters

  

Parameters Values Parameters Values Parameters Values l,d 10−3m KM 100MN/m NV 10−3m KRn 0.02MN/m KRw 0.01MN/m ρ 1570kg/m3 GR 100MN/m r 0.5×10−3m Km n 200MN/m KMwn 200MN/m Kmw 10−8MN·m ρ′ 3000kg/m3 Gs n 2 × 10−8MN·m GRwn 2 × 10−8MN·m Gsn 10−8MN·m

图3分别给出了表示横向剪切波、横向旋转波、横波与纵波的频散曲线.从图3(a)可以看到，对于横向剪切波来讲，只有一条呈平直的光波型的频散曲线，在本文参数取值下，无论波数为多大，频率始终为6.86×106rad/s，保持截止频率不变化，即此介质无论只能传递频率为6.86×106rad/s的横向剪切波.同样地，在图3(b)中，横向旋转波也具有一条呈平直的光波型的频散曲线，保持频率为5.74×106rad/s，此外，当波数较小时，有一条频率较小(小于80rad/s)且迅速衰减的双曲线型光波的频散曲线，表明频率为5.74×106rad/s与0～77.5rad/s的横向旋转波能够传递.从图3(c)可以看到，横波具有四条频散曲线：第1条为低频线性增长的声波，最后达到7.26×105rad/s；第2条频率从0开始随波数增大线性增长，后增速减小，频率逐渐趋向平稳达到4.46×106rad/s；第3条起始频率 (即截止频率)为 5.74×106rad/s，随后略微增大达到稳定的频率6.34×106rad/s；第4条起始频率为6.86×106rad/s，随后快速地呈双曲线式增长.可以看到，第2条与第3条曲线之间、第3条与第4条曲线之间分别存在一个狭长带，期间没有任何频率的波通过，即为横波的频率带隙：4.46×106～5.74×106rad/s与6.34×106～ 6.86×106rad/s.对于纵波，如图3(d)，具有3条频散曲线，除不存在低频的曲线外，其变化规律与横波基本相同：第1条频散曲线达到稳定频率5.13×106rad/s，第2条频散曲线的频率从6.86×106rad/s增长为7.75×106rad/s，第3条从截止频率为8.19×106rad/s呈双曲线式快速增大，且有存在两条频率带隙：5.13×106～6.86×106rad/s与7.75×106～8.19×106rad/s.此频散曲线的产生与式(56)～式(60)的频散方程直接相关.其中，横向剪切波只受与细观的平动项相关的参数的影响，纵波的频散由与宏观和细观平动项相关的参数共同影响，而横向旋转波由细观的平动与转动项控制频散现象，横波的频散则受宏--细观的平动与转动项的共同影响.所以，各种形式的波的频散现象会存在差异.值得注意的是，已有物理实验与离散元模拟[34,48-49]证实六方密排结构中横向旋转波与频率带隙的存在.

二是建立完善企业党建工作指导机制。继续发挥各级党员领导干部的作用，建立党员领导干部企业党建工作联系点，定期或不定期深入企业调查研究，指导开展党建工作。另外，完善企业党建指导员制度，专职靠上指导企业组建党组织和开展党建工作。例如，山东省广饶县建立了县级领导干部联系非公有制企业抓党建制度，34名县级党员领导干部每人联系一家非公有制企业和一个乡镇（街道），指导开展企业党建工作；同时，在没有党员或党员不足3名的非公有制企业，派驻党建指导员，帮助建立“兼合式”党组织，在企业开展党组织活动。

  

图3 横向剪切波、横向旋转波、横波与纵波的频散曲线Fig.3 Dispersion curves for transverse shear wave,transverse rotational wave,transverse wave and longitudinal wave

  

图4 所建议模型与Misra模型[28]的横向剪切波、横向旋转波、横波与纵波的频散曲线对比图Fig.4 Dispersion curves of the proposed model vs.Misra model[28]for transverse shear wave,transverse rotational wave,transverse wave and longitudinal wave

图4所示为所建议模型与Misra模型[28]的横向剪切波、横向旋转波、横波与纵波的频散曲线对比图.对于横向剪切波，频散曲线基本重合.对于横向旋转波，本文所建议模型多具有1条低频的频散曲线，而另1条基本重合.对于横波，本文所建议模型多具有1条较低频的直线型频散曲线，而另外3条与Misra模型[28]的频散曲线的变化规律相近，其中1条频散曲线基本重合，所建议模型低频的频率带隙比Misra模型[28]更窄，高频的频率带隙基本一致.对于纵波，两个模型均具有3条频散曲线，且相互重合，频率带隙基本一致.横向旋转波与横波同Misra模型所预测存在差异，而其他形式的波基本一致，主要因为本文所建议模型多考虑了一个独立的转动自由度，因而具备了一个考虑转动的变形模式，通过式(52)～式(54)可以反映出来，转动自由度主要影响横向剪切波与横波的频散方程.

图5所示为所建议模型预测频率带隙的宽度.从图中可以看到，综合考虑横向剪切波、横向旋转波、横波与纵波的频散曲线，存在两个狭长带(图中红色与蓝色阴影区域)，无论波数如何变化，期间均无任何频率的波能够在此介质传播，即此介质的频率带隙为 5.13×106～ 5.74×106rad/s与 6.34×106～6.86×106rad/s.对比于Misra模型[28]预测的频率带隙，总体上，频率带隙的宽度相一致，但横波的频率带隙的宽度，本文建议模型所预测要窄于Misra模型，这还是由于所建议模型具有多考虑转动的变形模式的存在所引起的.

  

图5 所建议模型预测频率带隙Fig.5 The frequency band gaps predicted by the proposed model

7 结论

颗粒材料的细观力学方法已经被应用于发展颗粒材料的微形态模型.基于此方法发展的颗粒材料宏观连续体模型可以反映细观结构信息.本文针对颗粒材料提出了一个基于细观力学的微形态模型.首先采用Mindlin-Eringen的微结构理论[29-30]进行运动分析，对颗粒的平动与转动均进行分解，分解为宏观平均运动(平动与转动)和细观真实运动(平动与转动)两部分，并认为颗粒的细观真实运动(平动与转动)是由宏观平均运动(平动与转动)与相对运动(平动与转动)组成.基于此分解，求得相应的细观本构关系和细观变形能函数，并且宏观变形能由细观变形能求和得到.由此可获得基于细观量表示的宏观本构关系与相应的本构模量.

基于所建议的微形态模型预测和探讨波在弹性颗粒介质中传播的现象，考察了纵波、横波、横向剪切波、横向旋转波的频散关系，并对其频率带隙进行预测，主要结论如下：

(1)所建议模型能够模拟频散现象.由于纵波、横波、横向剪切波、横向旋转波的频散关系分别受宏-细观尺度上的与平动项与转动项相关的参数的影响，其频散曲线各不相同.横向剪切波具有1条平直的频散曲线；横向旋转波具有1条平直的频散曲线与1条呈双曲线衰减型频散曲线；纵波具有3条频散曲线，且与Misra[28]所预测的频散曲线基本重合；由于所建议模型具有考虑了转动自由度的变形模式，横波具有四条频散曲线，比Misra[28]所预测的多出一条低频的呈线性增长的频散曲线，另外3条变化规律相似且其中一条频散曲线基本重合.

(2)所建议模型预测了弹性颗粒介质的频率带隙.无论波数如何变化，频率范围为5.13×106～5.74×106rad/s与6.34×106～6.86×106rad/s的波均不能在此介质中传播，即为所建议模型预测的频率带隙.

参考文献

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