引言

稳定和不稳定流形是非线性动力系统的重要几何结构，是研究动力系统全局动态特性的重要工具[1].稳定和不稳定流形的计算在动力系统分析和控制系统设计等领域有重要应用[2-7]，例如非线性系统稳定平衡点的稳定域的边界可由边界上不稳定平衡点的稳定流形获得[8-11].不稳定流形可看作稳定流形的时间反向，因此本文重点研究稳定流形的情形.

一般系统的全局稳定流形无法得到解析表达式，并且稳定流形无法通过隐式方法计算[12].稳定流形定理[13-14]表明，系统的稳定流形与其线性化系统的稳定特征子空间在平衡点处相切.因此可以由稳定特征子空间上平衡点的邻域出发，通过迭代计算系统的稳定流形.最直接的迭代方法是简单积分法，即以稳定特征子空间上的一个椭圆作为稳定流形的初始估计M0，然后以M0上的离散点为初始条件，对系统积分(稳定流形是对系统进行反向积分)固定的时间Δt或轨道长Δs，这样便得到新的点集M1，类似地由Mi产生 Mi+1，逐渐计算出稳定流形.这种方法中Mi+1受系统向量场影响极易扭曲变形，甚至闭曲线Mi+1会与Mi相交，因此局限性较大.

社会福利政策是社会政策的一个类别，不是孤立存在的，每一个政策都和其他政策有千丝万缕的联系，并相互作用。考虑社会福利政策的统合性意在强调一个政策和其他政策的方向大致统一、效果基本复合的关系。例如，地方制定高龄老人补贴的政策，既要符合国家养老政策方向，又要考虑本地经济发展情况和相关财政政策，从而因地制宜出台本地的高龄老人补贴政策。当然，政策的统合除了进行横向统合，还要进行纵向统合，既要考虑本项政策的出台会不会和已经存在政策相冲突，还要有前瞻性，考虑到本项政策出台后对于本领域后续政策的影响。

为克服简单积分法的局限性，一些适用性较强的算法被相继提出.轨道弧长算法[15]将向量场各方向的生长速度归一化，使得轨道沿各方向同速生长.然而轨道的生长仍然受制于系统向量场，相邻的初始点也可能产生较大的分离.测地水平集算法[16-17]通过在Mi上搜索出一个合适的初始点得到沿最佳生长方向推进固定长度的Mi+1，避免了简单积分法中Mi+1变形的问题.但因为要在Mi上进行插值和搜索，因此测地水平集算法的计算效率较低.盒子细分算法[18-19]可以较容易地确定流形的轮廓，但该算法无法反映出流形的增长趋势.边值问题(BVP)连续算法[20]基于微分方程解的连续性，利用轨道扫描出流形面，因此该算法将在近平衡点处产生大量的点，需要对计算结果进行相应的后期处理.偏微分方程(偏微分方程)算法[21]借鉴前沿推进网格生成算法[22-23]，该算法对流形网格具有较好的控制能力，计算效率较高.此外还有扩展轨迹算法[24]，参数化算法等[25-28].国内方面，两步法[29]的第一步通过求解初值问题快速确定流形上点的位置，第二步则利用第一步计算出的点勾画流形的图像.自适应因子轨道延拓算法[30]根据计算的精度要求自适应的调整轨道的数目，以保证轨道间距小于误差限.该算法中轨道上的点是等间距的.误差限和轨道点间距都是全局统一的，没有根据流形曲率进行调整.径向增长控制算法[31]通过引入径向控制因子将原始动力学系统进行归一化，使得各方向的轨道生长速度相同.异构算法[32-33]利用相邻的取样轨道连接形成三角形构成局部流形，但其取样轨道间的距离限制和轨道点间距也是全局统一的，没有根据流形曲率进行调整.

可见这些算法的共同点是：流形是从平衡点附近逐渐生长出来的.根据流形生长方式的不同，可以将这些算法分为两类：一类是利用系统的轨道生成流形网格，如轨道弧长算法、边值问题连续算法、扩展轨迹算法、两步法、自适应因子轨道延拓算法、径向增长控制算法、异构算法等.这类算法的优点是可以利用成熟的数值积分算法求解系统的轨道，并且每段轨道可以构建出流形网格的多个单元.其缺点是不便于利用流形本身的几何特征调整计算过程.另一类算法则不利用轨道构建网格，而是直接生长出流形网格的单元，如测地水平集算法和偏微分方程算法.这类算法的优点是流形生长过程不受系统向量场影响，并且对流形网格具有较强的控制能力.其缺点是无法直接给出系统的轨道.

另一方面，现有算法未能充分利用流形的曲率信息对计算过程进行动态调整，流形单元的基准尺寸是全局统一的.然而一般系统的流形曲率在全局范围内可能有较大的变化，全局统一的单元尺寸无法适应流形各部分的特点.例如洛伦兹流形，随着计算面积的增大，流形的一部分将变得越来越卷曲，这意味着其曲率逐渐增大，而流形另一部分则比较平坦.在曲率较大的部分应采用更小尺寸的单元才能得到较为准确的结果，而在曲率较小的部分则可以使用较大尺寸的单元以减小计算量.可见单元尺寸的全局自适应对于提高稳定流形的计算质量是十分必要的.

为适应稳定流形曲率在全局范围内的变化，本文将设计一种能根据流形的曲率对流形网格尺寸进行动态调整的算法.考虑到偏微分方程算法对流形网格具有较强的控制能力，且便于利用流形的曲率信息.因此本文将在偏微分方程算法的基础上提一种二维稳定流形自适应推进算法.本工作采用自适应推进算法，研究了二维不变流形的计算问题，以期为动力系统分析及控制系统稳定性分析提供参考.

1 稳定和不稳定流形

对于由常微分方程组所描述的系统

 

其中，x∈Rn，向量场 f∶Rn→ Rn足够光滑，满足解的存在性与唯一性条件.设x0为系统(1)的平衡点，即 f(x0)=0，则x0的稳定流形Ws(x0)和不稳定流形Wu(x0)定义为

 

其中，φ(t,x0)为起始于x0的系统(1)的解.可见，不稳定流形可以通过计算反向系统=−f(x)的稳定流形获得.

从生源来看，大多数中职学生的基础较弱、学习兴趣不浓，而会计专业课程又很抽象，专业术语比较难理解，教师应改进教学方法，采用先进的教学方法进行教学。在教学过程中，教师应该充分利用多媒体，促使学生加深对会计知识的理解，对凭证账簿报表制作课件进行演练，使学生掌握数据的来龙去脉和填写的位置和顺序，步骤清晰，容易操作。这样以学生的需求为动力，激发了学生的学习兴趣，调动了学生的主动性和积极性，有效提高了实践性教学的效率与质量。

系统(1)对应于x0的线性化系统可以通过计算f(x)在x0处的雅可比矩阵Df(x0)=∂f/∂x获得.记e1,e2为Df(x0)的具有负实部特征值的特征向量，则系统(1)的稳定特征子空间Es(x0)由e1,e2张成，即Es(x0)=Span(e1,e2).稳定流形定理指出，在x0处Ws(x0)与Es(x0)相切[13-14].因此可以将Es(x0)中x0的某一邻域作为Ws(x0)的局部估计，并由此邻域出发计算Ws(x0)的其余部分.

二维稳定流形自适应推进算法正是从Es(x0)出发，借鉴曲面网格生成算法(曲面三角化算法)计算全局稳定流形.二维稳定流形计算与曲面网格生成的最大不同之处在于：曲面网格生成是对已知曲面进行剖分，稳定流形曲面并非事先已知的，而是在计算的过程被逐渐构建出来的.在本文的自适应推进算法中，稳定流形曲面的计算和剖分是同时进行的.

2 二维稳定流形自适应推进算法

自适应推进算法的基本思路是：首先确定稳定特征子空间中平衡点的一个邻域，并生成一层围绕该邻域的初始备选点和备选网格，根据相切条件更新备选点的坐标.将距离平衡点最近的备选点接受为稳定流形网格的已知点，并根据稳定流形的曲率自适应地扩展出新的备选网格单元(三角形单元).通过持续的网格扩展逐渐计算出更大面积的稳定流形.该算法的主要步骤为：

步骤1利用稳定特征子空间计算初始邻域，生成初始备选点和备选网格.

原点是系统的一个平衡点，其对应的雅可比矩阵特征值为λ≈−2.67,−22.8,11.8.因此原点有二维稳定流形，该流形沿著名的蝶形吸引子向内螺旋.在向内螺旋的过程中，稳定流形的曲率逐渐增大.按本文的自适应推进算法，在洛伦兹流形的螺旋部分，网格三角单元的尺寸将逐渐减小以适应曲率的变化.

步骤3将到平衡点轨道长度最短的备选点¯v接受为稳定流形的已知点，更新稳定流形的前沿.

步骤4根据稳定流形的曲率自适应地扩展出新的备选网格单元.

步骤5更新¯v附近备选点的坐标.

步骤6若到平衡点的轨道长度Σ达到预设值则计算结束，否则转到步骤3.

2.1 初始邻域和初始备选网格

根据稳定流形定理[13-14]，系统稳定特征子空间中 x0的邻域可以作为稳定流形的局部估计，因此该邻域可作为计算稳定流形的初始条件.记e1,e2为Df(x0)对应于负实部特征值的特征向量.为得到初始邻域前沿上均匀分布的点，将e1,e2经施密特正交单位化，即有

 

由式(3)可知q1,q2与e1,e2平行于同一平面，因此系统的稳定特征子空间也可由q1,q2张成.由于q1,q2正交，由式(4)可以得到前沿点分布均匀的圆.

 

其中，i=1,2,···,N，N为圆上的点数，R为圆的半径.R决定了初始邻域的大小，是与系统有关的计算参数.实际计算中可以通过观察x0附近的稳定轨道来确定R.具体地说就是先计算出x0附近的多条稳定轨道段，然后试出合理的R使得稳定轨道段与初始圆的偏离较小.另外，R也可以利用稳定流形的计算结果进行调整，如果计算的稳定流形在x0附近的曲率较大，则可以减小R以提高计算精度.N由网格单元的初始尺寸 Δ0决定，即实际计算中取Δ0≤R.

则Ws(x0)与曲面g(x1,x2)−x3=0在x处相切，既有如式(6)的偏微分方程[21]

  

图1 根据轨道确定稳定特征子空间示意图Fig.1 Schematic of determination of stable eigenspaces based on trajectory

如图2所示，初始邻域的前沿点和平衡点构成的三角形单元给出了初始的稳定流形网格.稳定流形的剩余部分则是从这个初始估计逐渐生长出来.连接相邻的前沿点构成稳定流形的前沿，基于前沿上的每个线段产生备选点和备选网格.初始备选点位于系统的稳定特征子空间中.备选点与对应的前沿边相连构成备选三角单元，全体备选三角单元构成备选网格.初始备选单元为等边三角形，在图2的示意中 R=0.3,Δ0=0.2.

落实“八二分”原则， 把功夫花在平时，经常性近距离有原则地接触干部。通过民主生活会、年度考核、干部培训、谈心谈话、巡察督查、调研座谈等多种渠道，全方位、多角度、立体式考察干部，实现干部考核的经常化、制度化、全覆盖。

  

图2 初始邻域和初始备选网格示意图Fig.2 Schematic of initial neighborhood and initial considered mesh

2.2 相切条件

上林路站是16号线和1号线二期车站的换乘站，位于世纪大道与沣泾大道交汇处。1号线二期上林路站为地下二层、宽11 m的岛式站台标准站，沿世纪大道东西向敷设。该站在设计时，未考虑与其它线换乘，未预留换乘节点，因此需后期接入改造。目前,该站的围护桩、冠梁、挡墙已施工完成,一、二段底板已浇筑。世纪大道与沣泾大道的十字路口四个象限均有在建楼盘，十字路口北侧约300 m处有上林大桥。

 

若e1,e2为复向量，系统的稳定特征子空间无法由e1,e2直接张成，但可以利用距离平衡点x0较近的一段轨道构造平行于稳定特征子空间的两个实相量.记e1,2=u±iv，其对应的特征值为α±iβ.如图1所示，由点x=x0+Ru/‖u‖出发，对系统(1)按时间反向积分，积分时间Δt= π/(2β)，得到点 xq= φ(Δt,x)，继续积分得到点xh=φ(2Δt,x).于是可以得到平行于系统稳定特征子空间的向量xqx，xqxh.对xqx，xqxh按式(3)正交单位化，即可由式(4)生成初始邻域的前沿点.

 

解方程 (6)即可得到稳定流形的局部描述g(x1,x2).由于方程(6)具有明显的几何意义，因此可以采用几何解法.方程(6)的几何含义为在x处，确定一个面g(x1,x2)−x3=0，使得该面与稳定流形相切，亦即系统向量场在x处与面g(x1,x2)−x3=0的法向量垂直.在计算中，取面g(x1,x2)−x3=0为三角形v1v2v，其中v1,v2,v∈R3.如图3所示，该三角形的两个顶点v1和v2为稳定流形前沿上的已知点，设其为已知三角形v0v1v2的顶点.因此问题的实质是求三角形的第3个顶点v的坐标.

  

图3 相切条件的几何解释Fig.3 Geometric explanation of the tangent condition

为计算顶点v，先由三角形v0v1v2扩展出一个备选点，位于三角形v0v1v2所在的平面上，且与v0处于v1v2的异侧.本文中备选三角单元v1v2的尺寸不是全局固定的，而是由单元尺寸自适应原则确定.根据方程(6)，如果三角形v1v2的法向量n与垂直，则点位于稳定流形上，v=.然而，通常并不满足这个条件.此时可以在过点且垂直于备选三角单元v1v2的直线上搜索点v=+αn，使其满足方程

本试验结果表明，当P20 2018款植保无人机飞行速度为3 m/s、高度为1.5 m(距植物冠层)、喷液量为15.0～22.5 L/hm2、草铵膦有效成分用量为750～1 500 g a.i./hm2时，药剂处理区雾滴总沉积密度可达44.8～60.7个/cm2，在飞行边界5.0 m处雾滴飘移量极少，上述处理对叶菜田常见杂草及叶菜残茬具有优良的防效，建议植株较大时使用高剂量处理。同等施药剂量下，不同施药方式及喷液量处理对杂草或叶菜残茬的株防效和鲜质量防效均无显著性差异，P20 2018款植保无人机可用于叶菜田清园处理。

 

则三角形v1v2v所在的平面满足方程(6)，并将备选点的坐标更新为v.可见问题最终转化为求解方程(7)中的未知数α.另外，为保证算法的稳定性和精度，点v还需满足迎风条件[34]才能被接受为已知点[21].

研究中所纳入的14例（14髋）患者术后影像学资料均显示翻修后的髋关节假体位置优良，较健侧旋转中心和偏心距解剖重建。患者髋关节功能评分显著提升、患者主观感受较好。但本研究纳入病例较少，随访最长时间较短，远期疗效需进一步扩大例数并长期随访观察。

由相切条件的几何解释可知，只要备选三角单元的尺寸选择的合适，则备选点的初始坐标与其最终被接受的坐标相差很小.网格单元的长宽比是衡量流形网格质量的重要指标.对于三角形网格，网格单元越接近正三角形，则网格质量越高.此外，网格单元尺寸对流形曲率的适应性也是衡量网格质量的重要方面.网格单元尺寸对流形曲率的自适应性越好，则流形计算结果越准确，网格的质量也就越高.可见稳定流形网格的质量可以由备选三角单元的生成规则控制的.本文重点考虑网格单元尺寸对流形曲率的自适应性.所提的自适应推进算法正是根据稳定流形的曲率特征自适应地生成备选三角单元，从而实现稳定流形网格的自适应推进.

2.3 单元尺寸自适应

根据相切条件，可以在稳定流形的前沿得到一个新的三角单元作为局部估计，并且估计的误差阶数为O(Δ2)，其中Δ为该三角单元的尺寸[21].当稳定流形某部分卷曲程度高于其他部分时，就要求相应的估计误差小于其他部分.因此必须根据稳定流形的曲率来自适应的调整三角单元的尺寸.在估计离散曲率的诸多算法中[35-37]，Meyer的方法几何意义简明且便于三角网格实现，因此本文采用Meyer方法来估计稳定流形的平均曲率[38].

稳定流形曲面并非事先已知的，因此在对其进行网格剖分时，需要先计算出稳定流形上点的坐标，这可以通过相切条件实现.对于R3中的二维稳定流形Ws(x0)，设其在点x=(x1,x2,x3)的某邻域内满足

如图4所示，设稳定流形在A,B,C点处的平均曲率分别估计为hA,hB,hC，则由前沿边AB向前推进生成新的网格点时，三角形单元ABˆv的尺寸ΔABˆv由式(8)确定

  

图4 网格单元尺寸自适应示意图Fig.4 Adaptability of mesh simplex size

 

其中，ΔABC为三角形单元ABC的尺寸，ε为足够小的正数(在软件MATLAB环境中取为浮点运算的相对精度eps).ε的作用是在曲率值为零时仍能确定一个合适的单元尺寸.若‖AB‖接近或大于2ΔABˆv时，则对AB进行插值分割，基于分割线段估计ˆv.在实际的编程实现中，应对单元尺寸自适应设定限制，如限制ΔABˆv的上限为2ΔABC以防止出现过大的三角形单元.

单元尺寸自适应的引入提高了算法对流形曲率变化的适应性，同时也对算法的性能带来了影响.在迭代误差方面，若流形曲率持续减小，则网格单元尺寸会随之增大，迭代误差相应地增大，计算精度随之下降.因此为保证算法的全局精度，应设置单元尺寸的上限(本文中设置为初始尺寸的二倍).偏微分方程算法的全局误差阶数为O(Δ)[21]，设置网格单元尺寸上限后，本文算法也可获得全局一阶精度.在计算量方面，如果流形曲率急剧增大，则本算法使用的网格单元的尺寸就会急剧减小，为计算至指定轨线长度，所需的网格单元数将显著增多，计算量也将随之急剧增加.实际编程实现中，可以通过设置单元尺寸的下限来防止计算量的急剧增加.在计算速度方面，由于单元尺寸自适应本身需要额外的计算时间，并且单元尺寸的减小会增加计算网格数，因此本算法的计算速度比偏微分方程算法慢.

在绿色思维下，可以反映出设计师的很多设计要点，在绿色理念下，以“绿色”作为设计的出发点，在这个点的基础上，设计师们进行头脑风暴，将自己的新奇创意与简洁构想表现出来。一个好的绿色设计，除了之前提到的设计点，还要注重人性化设计，即注重产品能更好的满足个人的需要，包括功能更加完善，使用起来更加安全、舒适，外观更加美观等。

2.4 自适应推进

通过对原点附近稳定轨道的观察，选取初始邻域半径R=2，初始尺寸Δ0=0.6.计算至轨道长度Σ=130，结果如图8所示.

  

图5 接受备选点与更新前沿Fig.5 Accepting considered points and updating front

情形1 γ≥π/2，如图6所示，以vkvl为底生成一个等腰的备选三角形该备选三角形不会与已有网格交叠.三角形的尺寸按式(8)的自适应原则来确定.为使网格单元尽可能规范(即接近与等边三角形)，可对新备选三角形的尺寸进行调整，记则

设vkvl为新接受三角形vkvlvi的一条边，且vkvl位于稳定流形网格的前沿，‖vkvl‖=L.现考虑为vkvl扩展出新的备选点，考察所有与vkvl相邻的边(含备选三角形的边).记vjvk和vlvm为与vkvl相邻且处于现有网格(含备选网格)最外围的边，则vjvk和vlvm为前沿边或备选三角形的边.不妨设vlvm为前沿边，则vm为稳定流形上的已知点，且vlvm没有对应的备选点.此时现有网格的最外围是由前沿边和备选三角形边组成的空间多边形，并称最外围的边为外围边.记 γ1=∠vjvkvl为 vjvk和 vkvl所构成的外角，γ2=∠vkvlvm为vkvl和vkvm所构成的外角，γ=min(γ1,γ2).根据γ的大小，分以下两种情形产生新的备选点.

如图5所示，由于此时稳定流形网格的前沿已经发生了变化，需要根据前沿线段局部的几何特点自适应地放置新备选点.一方面，新放置的备选点及备选三角形要避免与已有网格交叠；另一方面，新的备选三角形的尺寸应适应稳定流形的曲率变化.前者需要考虑V点附近备选网格线段和前沿线段的角度关系，后者需要考虑V点相对于其相邻点的曲率变化.

 

式(9)中的常数是经验性的，借鉴了曲面三角化中网格单元控制的经验方法[22-23].式(9)中当L≤Δvkvlˆv/2时，令L1=2L是为了避免过于细长的三角形单元，这将允许生成尺寸小于自适应尺寸的三角形.另一方面，为避免过于扁平的三角形单元，当 ‖vkvl‖＞1.8Δvkvlˆv时，应对vkvl进行分割，基于分割线段产生备选三角形.

  

图6 γ≥π/2时新备选三角形生成示意图Fig.6 Sketch map of new alternative triangle generation when γ ≥ π/2

情形2 γ＜π/2，不失一般性，假设如图7所示，若即新备选三角形为vkvlvm.若则以vkvl为底生成一个等腰的备选三角形边长按式(9)确定.

  

图7 γ＜π/2时新备选三角形生成示意图Fig.7 Sketch map of new alternative triangle generation when γ ＜ π/2

3 算例应用

3.1 洛伦兹流形

洛伦兹系统[39]是验证稳定流形算法的经典算例，其方程为

之前，网上也有“孕妇吃火锅可致胎儿畸形”的传言。“孕妇吃火锅可致胎儿畸形”的说法建立在“火锅→生肉→弓形虫→孕妇→胎儿畸形”逻辑链条基础之上。吃火锅有生肉，而生肉会被弓形虫污染，弓形虫进入孕妇体内会引起流产、死胎、脑积水或无脑儿等畸形。这个推理过程可谓漏洞百出。

 

其中，ς=10,β=8/3,ρ=28.

步骤2根据相切条件更新备选点的坐标，并估计备选点与平衡点之间的轨道长度.

当有备选点被接受为已知点时，就意味着稳定流形网格向前推进了至少一个三角单元.图5(a)中，当V被接受时，将有3个备选三角形被加入到稳定流形网格中.此时需要对稳定流形网格的前沿进行更新，更新后的网格和前沿如图5(b)所示.在更新后的前沿中将出现没有对应备选点的线段.因此需要产生新的备选点和备选三角形为后续的推进做准备.

随着时代的变化，对于中学生的思政教材也在随之发生改变。如2004年，初中《思想政治》正式更名为《思想品德》，表明将在义务教育阶段更加重视道德教育；2011年教育部发布《义务教育思想品德课程标准》，用相关规章规则来规定中学生应达到的德育标准。2016 年，为更好的加强中学生的德育教育，在中学生价值观、人生观、世界观的引导方面取得更加理想的效果，教育部办公厅发布《关于2016 年中小学教学用书有关事项的通知》，初中《思想品德》教材正式更名为《道德与法治》，将思政教育与社会的大环境发展紧密相连，让中学生的课堂与时代接轨。

(1)初始化种群设置好相关参数，初始种群数用2N表示，遗传算法的初始交叉率Pc(1)和变异率Pm(1)，惯性权重w，及粒子群中的加速常数c1和c2；

由图8可知，利用本文所提算法计算稳定流形，所得流形网格在各方向上的推进速度大致是均衡的，不受系统向量场影响.径向因子法 [31]通过引入径向控制因子也能得到各项均衡发育的流形.不同之处在于：径向因子法的主要目的是控制流形的径向增长速度，使得流形的发育在径向上是均衡的，而不关注流形网格单元尺寸对流形曲率的适应性；而本文算法的主要目的是让流形网格单元尺寸在全局范围根据流形曲率自适应地变化.本文算法没有严格控制流形的径向生长速度，而是在算法步骤3中，选择距平衡点最近的流形备选点作为新的流形生长点，来大致平衡流形在各方向的生长发育.在迭代的过程中，径向因子法实现了流形边缘到平衡点的径向距离相等，而本文算法则是使得流形前沿到平衡点的轨道长度相等.

图9是原点附近不同方向上的初始点的解轨道，各轨道的演化时间相同，但各轨道段的长度差异显著.这表明洛伦兹系统向量场在不同方向上的演化速度有较大差异.而图8的计算过程表明，稳定流形网格的扩展在各方向上是一致的，这表明算法不受系统向量场在各方向上演化速度差异的影响.

史料记载可以佐证民间传说并非空穴来风。崇祯十七年（公元1644年）甲申之变后，李自成率大顺军攻入北京，崇祯自缢前令三个太子出宫匿于王侯府中求庇护。长子出宫后走失于民间，三子和四子双双藏于嘉定府，却被嘉定侯出卖。其中四子朱慈炯即永王，因在太子中排行第三，民间称三太子，他被押去见李自成，临危不惧。

  

图8 洛伦兹流形的计算过程Fig.8 The computational process of Lorentz manifolds

  

图8 洛伦兹流形的计算过程(续)Fig.8 The computational process of Lorentz manifolds(continued)

  

图9 向量场在不同方向上演化速度的差异Fig.9 The difference of the evolution velocity of vector fiel in different directions

图10是本文所提算法与偏微分方程算法在网格单元尺寸方面的对比.可见随着洛伦兹流形的螺旋部分曲率的增大，利用本文所提算法，网格三角单元的尺寸自适应地逐渐减小.而偏微分方程算法计算的网格单元尺寸无明显变化，仍然使用全局统一的单元尺寸.洛伦兹流形的螺旋部分持续向内部卷曲，当螺旋半径接近全局统一尺寸时，偏微分方程算法将失效.由于本文所提算法能根据流形曲率自适应地调整单元尺寸，因此可以持续有效地计算下去.图10的结果充分表明了所提算法对流形曲率变化的自适应性.

  

图10 所提算法与偏微分方程算法网格对比Fig.10 Mesh comparison between the proposed algorithm and the PDE approach

3.2 类球面流形

考虑如下系统[40]

综上所述，早期护理干预在老年非小细胞肺癌护理中的干预效果确切，可减少患者焦虑情绪，有效提高其治疗依从性和改善血气分析指标，减少并发症的发生，促进患者早期康复和出院，患者满意水平高。

 

其中，该系统在 x3轴上有平衡点：xa= (0,0,−3)，xb= (0,0,1.5)，xc= (0,0,0.5)，xd=(0,0,3).其中xa对应的雅可比矩阵特征值为λ= −3,−3,4.5，因此 xa有二维稳定流形.系统(11)在x1x3平面内的相图如图11所示，xa的稳定流形是图11中的黑色曲线绕 x3轴旋转而成的类球面.

通过对原点附近稳定轨道的观察，选取初始邻域半径R=0.3，初始尺寸Δ0=0.2，计算至轨道长度Σ=8.5，结果如图12所示.系统(11)的稳定流形的曲率在全局范围内变化不大，使用本文的自适应推进算法时网格单元的尺寸不会有明显变化，这与图12的计算结果是一致的.

  

图11 系统(11)在x1x3平面内的相图Fig.11 The phase portrait in the x1x3plane of the system(11)

  

图12 类球面流形的计算过程Fig.12 Computational process of sphere-like manifolds

4 结论

本文提出了一种二维稳定流形的自适应推进算法，该算法相对于现有算法的改进之处在于，计算过程中算法能根据稳定流形的曲率自适应的调整计算网格单元的尺寸.这也是该算法相对于现有算法的最大优势.这一改进使得该算法能持续有效地计算全局流形，并产生高质量的流形结果.在洛伦兹流形计算中本文所提算法与偏微分方程算法进行了对比，结果表明了所提算法的自适应性.

实验动物及分组 采用雄性SD大鼠60只，6～7周龄，体重180～220 g，购于维通利华公司。将60只大鼠使用简单随机分组法分为正常对照组(n=15)、实验组1(n=15)、实验组2(n=15)、实验组3(n=15)。

(1)该算法对流形曲率具有全局自适应性，能根据稳定流形的曲率自适应地调整网格计算单元的尺寸，因而能持续有效的计算全局稳定流形.

(2)该算法中备选点的生成规则是由稳定流形的几何特征决定的，能充分利用流形曲率等几何特征，因此流形网格的扩展不受系统向量场在各方向上演化速度差异的影响.

后续将利用并行计算技术将所提算法并行化，进一步提高算法的计算效率.

参考文献

1 Guckenheimer J,Krauskopf B,Osinga HM,et al.Invariant manifolds and global bifurcations.Chaos:An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science,2015,25(9)∶097604

2 贾蒙.高维非线性映射系统的不稳定流形计算方法研究.振动与冲击,2017,36(17)∶262-266(Jia Meng.Computation method for unstable manifold of h´enon map.Journal of Vibration and Shock,2017,36(17)∶262-266(in Chinese))

3 郑丹丹,罗建军,张仁勇等.基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算.力学学报,2017,49(5)∶1126-1134(Zheng Dandan,Luo Jianjun,Zheng Renyong,et al.Computation of invariant manifold based on symplectic algorithm of mixed Lie operator.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5)∶1126-1134(in Chinese))

4 Qu L,Li YH,Xu HJ,et al.Aircraft nonlinear stability analysis and multidimensional stability region estimation under icing conditions.Chinese Journal of Aeronautics,2017,30(3)∶976-982

5 贾建华,吕敬,王琪.带脉冲的三维引力辅助变轨研究.力学学报,2016,48(2)∶437-446(Jia Jianhua,Lü Jing,Wang Qi.Powered gravity assist in three dimensions.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(2)∶437-446(in Chinese))

6 李渊,邓子辰,叶学华等.基于辛理论的载流碳纳米管能带分析.力学学报,2016,48(1)∶135-139(Li Yuan,Deng Zichen,Ye Xuehua,et al.Analysing the wave scattering in single-walled carbon nanotube conveying flui based on the symplectic theory.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(1)∶135-139(in Chinese))

7 钱霙婧,翟冠峤,张伟.基于多项式约束的三角平动点平面周期轨道设计方法.力学学报,2017,49(1)∶154-164(Qian Yingjing,Zhai Guanqiao,ZhangWei.Planar periodic orbit construction around the triangular libration points based on polynomial constraints.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)∶154-164(in Chinese))

8 Wang T,Chiang HD.On the number of unstable equilibrium points on spatially-periodic stability boundary.IEEE Transactions on Au-tomatic Control,2016,61(9)∶2553-2558

9 袁国强,李颖晖.积冰对飞机本体纵向非线性动力学稳定域的影响.西安交通大学学报,2017,51(9)∶153-158(Yuan Guoqiang,Li Yinghui.Effect of ice accretion on aircraft longitudinal nonlinear dynamical stability region.Journal of Xi’an Jiaotong University,2017,51(9)∶153-158(in Chinese))

10 Chiang HD,Wang T.On the number and types of unstable equilibria in nonlinear dynamical systems with uniformly-bounded stability regions.IEEE Transactions on Automatic Control,2016,61(2)∶485-490

11 Alberto LFC,Chiang HD.Characterization of stability region for general autonomous nonlinear dynamical systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(6)∶1564-1569

12 Krauskopf B,Osinga HM,Doedel EJ,et al.A survey of methods for computing(un)stable manifolds of vector fields International Journal of Bifurcation and Chaos,2005,15(3)∶763-791

13 Kuznetsov YA.Elements of Applied Bifurcation Theory.2nd ed.NY∶Springer Verlag,1998

14 Guckenheimer PJ,Holmes.Nonlinear oscillations,dynamical systems and bifurcations of vector fields 2nd ed.NY∶Springer-Verlag,1986

15 Johnson ME,Jolly MS,Kevrekidis IG.Two-dimensional invariant manifolds and global bifurcations∶Some approximation and visualization studies.Numerical Algorithms,1997,14(1)∶125-140

16 Krauskopf B,Osinga HM.Computing geodesic level sets on global(un)stable manifolds of vector fields SIAM Journal on Applied Dynamical Systems,2003,2(4)∶546-569

17 Guckenheimer J,Worfolk P.Dynamical systems∶Some computational problems.Dordrecht∶Springer Netherlands,1993

18 Dellnitz M,Hohmann A.A subdivision algorithm for the computation of unstable manifolds and global attractors.Numerische Mathematik,1997,75(3)∶293-317

19 Dellnitz M,Klus S,Ziessler A,et al.A set-oriented numerical approach for dynamical systems with parameter uncertainty.SIAM Journal on Applied Dynamical Systems,2017,16(1)∶120-138

20 Doedel EJ,Champneys AR,Fairgrieve TF,et al.Auto97∶Continuation and bifurcation software for ordinary differential equations.1997.http∶//cmvl.cs.concordia.ca/

21 Guckenheimer J,Vladimirsky A.A fast method for approximating invariant manifolds.SIAM Journal on Applied Dynamical Systems,2004,3(3)∶232-260

22 Peraire J,Peir´o J,Morgan K.Advancing front grid generation//Handbook of Grid Generation.Boca Raton,FL∶CRC Press,1998

23 Frey P,George PL.Mesh Generation.2nd ed.Wiltshire∶Wiley-ISTE,2008

24 Henderson ME.Computing invariant manifolds by integrating fat trajectories.SIAM Journal on Applied Dynamical Systems,2005,4(4)∶832-882

25 James JM.Polynomial approximation of one parameter families of(un)stable manifolds with rigorous computer assisted error bounds.Indagationes Mathematicae,2015,26(1)∶225-265

26 van den Berg JB,James JDM,Reinhardt C.Computing(un)stable manifolds with validated error bounds∶Non-resonant and resonant spectra.Journal of Nonlinear Science,2016,26(4)∶1055-1095

27 Haro À,Canadell M,Figueras JL,et al.The Parameterization Method for Invariant Manifolds∶From Rigorous Results to Effective Computations.New York∶Springer International Publishing,2016

28 Cabr´e X,Fontich E,de la Llave R.The parameterization method for invariant manifolds iii∶overview and applications.Journal of Differential Equations,2005,218(2)∶444-515

29 李清都,杨晓松.二维不稳定流形的计算.计算物理,2005,22(6)∶79-84(Li Qingdu,Yang Xiaosong.Computation of two dimensional unstable manifolds.Chinese Journal of Computational Physics,2005,22(6)∶79-84(in Chinese))

30 贾蒙,樊养余,李慧敏.基于自适应因子轨道延拓法的不变流形计算.物理学报,2010,59(11)∶7686-7692(Jia Meng,Fan Yangyu,Li Huimin.Computation of invariant manifolds with self-adaptive parameter and trajectories continuation method.Acta Physica Sinica,2010,59(11)∶7686-7692(in Chinese))

31 孙恒义,樊养余,李慧敏等.基于径向增长因子的二维不变流形计算.计算物理,2011,28(4)∶621-625(Sun Hengyi,Fan Yangyu,Li Huimin,et al.Computation of two-dimensional invariant manifolds with radial growth factor.Chinese Journal of Computational Physics,2011,28(4)∶621-625(in Chinese))

32 李清都,杨晓松.一种二维不稳定流形的新算法及其应用.物理学报,2010,59(3)∶1416-1422(Li Qingdu,Yang Xiaosong.A new algorithm for computation of two-dimensional unstable manifolds and its applications.Acta Physica Sinica,2010,59(3)∶1416-1422(in Chinese))

33 李清都,谭宇玲,杨芳艳.连续时间系统二维不稳定流形的异构算法.物理学报,2011,60(3)∶0302061-0302067(Li Qingdu,Tan Yuling,Yang Fangyan.A heterogeneous computing algorithm for twodimensional unstable manifolds of time-continuous systems.Acta Physica Sinica,2011,60(3)∶0302061-0302067(in Chinese))

34 Strikwerda J.Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations.California∶Wadsworth&Brooks/Cole Advanced Books and Software,1989

35 WorringM,Smeulders AWM.Digital curvatureestimation.CVGIP:Image Understanding,1993,58(3)∶366-382

36 Razdan A,Bae M.Curvature estimation scheme for triangle meshes using biquadratic b´ezier patches.Computer-Aided Design,2005,37(14)∶1481-1491

37 Magid E,Soldea O,Rivlin E.A comparison of gaussian and mean curvature estimation methods on triangular meshes of range image data.Computer Vision and Image Understanding,2007,107(3)∶139-159

38 Meyer M,Desbrun M,Schröder P,et al.Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-manifolds.Berlin,Heidelberg∶Springer,2003

39 Pinsky T.On the topology of the lorenz system//Proceedings of the Royal Society A∶volume 473.The Royal Society,2017

40 Zaborszky J,Huang G,Zheng B,et al.A counterexample of a theorem by tsolas et al.and an independent result by zaborszky et al.IEEE Transactions on Automatic Control,1988,33(3)∶316-317