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豪斯道夫导数扩散模型的谱熵与累积谱熵1)

更新时间:2009-03-28

熵是定量描述随机系统不确定性和复杂程度的物理量[1].熵越大,表明系统不可知的信息越多,系统越复杂.1948年,现代信息理论创始人Shannon提出了著名的Shannon熵,也称为信息熵,用来度量信号的平均信息量[2].该定义极大地发展了熵理论并推广了熵的应用.随后发展了很多种熵的定义,包括相对熵 [3]、累积熵 [4]、扩散熵 [5]、谱熵 [6]等.熵理论已广泛用于多个学科领域,包括热力学[7]、医学成像 [8]、天体物理 [9]、经济学 [10]等.Magin等[8]和Ingo等[11]结合分数阶导数扩散模型,并结合Shannon熵和时间序列谱熵的定义,提出了描述磁共振衰减信号的谱熵,即空间频率下的谱熵,将其应用于区分大脑的组织结构,并度量结构的复杂程度.

最近Liang等[12]和Magin等[13]分别给出了时空分数阶导数扩散模型的累积谱熵和豪斯道夫导数扩散模型的空间谱熵,描述了水分子在交联葡聚糖凝胶小珠中和老鼠大脑组织中反常扩散过程的复杂程度,且谱熵和累积谱熵均能够表征复杂组织结构的特征和反映内部扩散的不确定性.谱熵提供了一种可以量化非均质结构复杂程度的工具.谱熵与累积谱熵被用来度量分数阶反常扩散模型的信息内容[13].Liang等[14]根据分数阶导数模型推导了量化反常扩散过程中时间相关性的谱熵,即时间谱熵.

本文将基于豪斯道夫导数扩散模型的谱熵,推导描述反常扩散过程时空复杂程度的空间累积谱熵,并考察个体谱熵、谱熵、累积谱熵随时空豪斯道夫导数、扩散系数和扩散时间的变化性质.

1 理论

1.1 豪斯道夫导数的介绍

考虑一个粒子沿着一维曲线按分形时间匀速运动[15],运动距离与时间的关系如下

 

式中,s为距离,v为速度,t0为初始时间,t为当前时间,α为时间分形维.如果为非匀速运动,运动距离可写为豪斯道夫积分形式[16]

 

由式(2)得到只含有时间豪斯道夫导数的一般表达式[16]

 

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类似地,只含有空间豪斯道夫导数的表达式可写为

 

基于物理概念,分形时空下的速度可以定义为[17]

 

其中,sα,β为具有尺度指数α和β的分形时空距离.式(6)涉及了时空尺度变换[17]

 

利用式(7),则可以推导出下述时空豪斯道夫导数扩散方程,具体过程见文献[17]

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当 α=1,β=1时,式 (14)退化为经典高斯分布[12]

时间和空间豪斯道夫导数定义为[17]

 

豪斯道夫导数(9)和(10)不同于分数阶导数,它是一个局部算子,不涉及卷积积分[16].

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当 α=1,β=1,式 (8)退化为经典的扩散方程,用于来描述高斯扩散,即该经典扩散方程为

 

当α=1时,式(8)称为空间豪斯道夫导数扩散方程;当β=1时,式(8)称为时间豪斯道夫导数扩散方程.采用时空尺度变换,可以将式(8)还原为分形时空下的“高斯”扩散方程

 

结合香农熵和时间序列谱熵的定义,文献[8,11]给出了度量磁共振衰减信号的谱熵,以固定时间t,变化空间频率k,谱密度为

 

然后将式(7)代入式(13),则可以得到式(8)的解,即扩展高斯分布[17]

 

其中Dα,β为广义扩散系数(mβ/sα),α是时间豪斯道夫导数,β是空间豪斯道夫导数,p(x,t)为扩展高斯分布,是粒子在时间t,空间上位于以x为中心无限小邻域的概率密度函数.

 

该反常扩散的均方位移不再是时间的线性函数[18],而是时间的幂率函数[19]

如果假设初始时间t0=0,则式(3)可改写为

 

当 (3α−αβ)/(2β)< 1时,式 (8)描述的扩散过程为慢扩散;当(3α−αβ)/(2β)=1时,式(8)描述的扩散过程为经典的布朗运动;当(3α−αβ)/(2β)>1时,式(8)描述的扩散过程为快扩散.

式(14)的傅里叶变换,即特征函数q(k,t)为扩展指数函数[17]

 

1.2 谱熵

初值条件为 p(x,0)=δ(x),−∞<x<+∞,δ(x)为狄克拉函数.在分形时空尺度变换下,式(12)的解为“高斯”分布[17].即

 

其中,q(ki,t)是q(ki,t)的共轭复数,N 是空间频率的个数,标准化的ˆq(ki,t)的和为1.

(1)效果观察:每天由1名经过培训的护士及1名麻醉师专门对全院所有自控镇痛患者进行为期2d的抽样调查。其中麻醉医生对自控镇痛患者进行2次随访评估, 分别在术后第一日的8am、4pm进行,护士于术后24h或48h再次进行随访, 并向患者详细解释调查的目的、注意事项, 获取调查结果并记录, 同时每次进行现场患者满意度调查问卷, 并记下满意度评分。

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其中为个体谱熵,它是在单一特定波数下的熵,总体谱熵是变换波数下的熵,需要对个体谱熵进行累积求和.lnN谱熵的取值范围为(0,1],当一个波数谱密度趋于 1,其余波数谱密度趋于 0时,谱熵趋于 0;当所有波数的谱密度同为1/N时,即均匀分布时,谱熵为1.此外,谱熵满足熵的基本性质.将式(17)代入式(19)中,可以计算该模型对应的谱熵,以此来表征扩散过程的空间相关性.

1.3 累积谱熵

Liang等 [20]给出了一种描述反常扩散过程时空复杂程度的累积谱熵法.与谱熵相比,累积谱熵依赖于累积分布函数,且能够描述特定空间邻域范围内,扩散过程的复杂程度.推导过程如下:

随机变量x(t)的累积分布函数F(x,t)是概率密度函数p(x,t)的积分[21]

 

式(20)的傅里叶变换[22]

 

以固定时间t,变化空间频率k,用来描述空间相关性的公式为[20]

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此前,公司涉嫌信息披露违法违规,中国证监会决定对公司立案调查。披露违法强制退市情形,公司股票交易被实行退市风险警示。实行退市风险警示三十个交易日期限届满后,公司股票将被停牌,直至深圳证券交易所在十五个交易日内作出是否暂停公司股票上市的决定。二级市场上,该股近期走势维持强势震荡,但该消息对于股价后市增加了不确定性,后市注意风险。

 

其中,Q(ki,t)是 Q(ki,t)的共轭复数,N 是频率的个数,标准化的ˆQ(ki,t)其和为1.

对应的累积谱熵Hc[20]

 

将式(17)代入式(19),计算描述反常扩散过程的空间谱熵.图1给出了扩散系数 Dα,β=1,扩散时间t=2,空间豪斯道夫导数0<β≤1,时间豪斯道夫导数0<α≤1对应总体谱熵的曲面图.谱熵的三维曲面图的形状像一个瀑布,谱熵值随着α和β的增大而减小,且随着空间豪斯道夫导数β变化幅度较时间豪斯道夫导数α明显.高斯扩散即正常扩散(α=1,β=1)对应的谱熵较反常扩散的值小,其值接近于瀑布汇流的底部.

2 结果与讨论

2.1 谱熵的结果

累积谱熵的取值范围 (0,1],将式 (17)代入式 (23)中,可以计算该模型对应的累积谱熵,以此来表征扩散过程的空间相关性.

  

图1 扩散系数 Dα,β=1,扩散时间 t=2,谱熵随着空间豪斯道夫导数β,时间豪斯道夫导数α变化的曲面图

图2~图5中空间频率k的取值范围为[1,5],区间长度为0.01,扩散系数Dα,β的取值为1~4,扩散时间 t的取值为 1.5~4.5.从图 2中可以看出,谱熵随着时间豪斯道夫导数α增大而减小,且随着扩散系数的减小,谱熵值逐渐增大,增加幅度逐渐变大.此外,随着时间分形导数α的增大,4种扩散系数对应的谱熵衰减速率基本一致.

  

图2 扩散时间t=2.5,空间豪斯道夫导数β=1,4种不同扩散系数对应谱熵随时间豪斯道夫导数α的变化曲线

图3中谱熵随着β的减小而增大,当β值接近于0时,谱熵值接近于1.此外,扩散系数Dα,β越大,谱熵值越小.当扩散系数 Dα,β=4时,α=1(即高斯分布)时,谱熵值接近于0.

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图3 时间豪斯道夫导数α=1,扩散时间t=2.5,4种不同扩散系数对应的谱熵随空间豪斯道夫导数β变化的曲线

  

图4 扩散系数 Dα,β=1,时间豪斯道夫导数 α=1,4种不同扩散时间对应谱熵随空间豪斯道夫导数β的变化曲线

  

图5 空间豪斯道夫导数β=1,扩散系数 Dα,β=1,4种不同扩散时间对应的谱熵随时间豪斯道夫导数α变化的曲线

图4和图5中,当扩散时间t=4.5时,谱熵随着时空豪斯道夫导数的减小而逐渐增大.谱熵随 β变化的幅度比随α的变化幅度大,说明空间豪斯道夫导数β对谱熵的影响更大.并且随着扩散时间的增大,谱熵值减小;随着空间豪斯道夫导数β的增大,谱熵曲线下降的趋势较平稳,而随着时间豪斯道夫导数α的增大,谱熵曲线下降的趋势并不是很平稳.

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由以上4幅谱熵图可以看出,对于某一特定的时间豪斯道夫导数α和空间豪斯道夫导数β,谱熵随着扩散时间或者扩散系数增大而减小.该结果与之前文献[18]分析分数阶导数模型空间频率对应的谱熵结果一致.从数学角度看,以扩散时间与扩散系数为例,傅里叶变换将t和Dα,β从分母转移到分子上(见方程(14)和(17)),显然,随着扩散系数或者时间的增加,波数(空间频率)的范围减小.从连续时间随机游走模型的物理角度看,在空间频域下,随着扩散时间或者扩散系数的增加,分布范围变窄,谱熵值减小可以预测扩散粒子位置的不确定性,则可描述扩散环境需要的信息量将变小.

(2)柱梁质量控制:确保浇筑柱混凝土的一次成型,应当将30mm厚的水泥砂浆进行底部铺设,然后再确定水泥砂浆强度与混凝土强度一致时,再进行混凝土的浇筑实时,且进行一排柱的浇筑工作时,需要遵循从两端到中间的浇筑操作,避免出现浇筑变性的情况。对于梁与板的同一浇筑操作,需要先将梁浇筑到板底后,才能进行板的浇筑。

图6和图7中分别给出了不同时空豪斯道夫导数下的个体谱熵图,其中扩散系数Dα,β=1和扩散时间t=2,空间频率k的范围为1~2,步长为0.01.图6描述了4种不同空间豪斯道夫导数对应的个体谱熵随空间频率变化的曲线.随着空间豪斯道夫导数β从1(即高斯扩散)降至0.25(即快扩散),个体谱熵变化幅度越来越小,且具有拖尾特征;随着空间频率的增大,正常扩散对应的个体谱熵衰减的速率比反常扩散快.

对应的谱熵Hk

图7描述了4种不同时间豪斯道夫导数对应的个体谱熵随空间频率变化的曲线.随着时间豪斯道夫导数α由1(即高斯扩散)降至0.25(即慢扩散),正常扩散对应的个体谱熵衰减的速率比慢扩散快,同样具有拖尾特征.由图6和图7可知,反常扩散个体谱熵的幂律尾部可以增加总体谱熵的值.

  

图6 扩散系数Dα,β=1,时间豪斯道夫导数 α=1,扩散时间t=2,4种不同空间豪斯道夫导数对应的个体谱熵随空间频率k变化的曲线

  

图7 扩散系数Dα,β=1,空间豪斯道夫导数 β=1,扩散时间t=2,4种不同时间豪斯道夫导数对应的个体谱熵随空间频率k变化的曲线

  

图8 扩散时间t=2.5,空间豪斯道夫导数β=1,4种不同扩散系数对应的累积谱熵随时间豪斯道夫导数α变化的曲线

  

图9 扩散时间t=2.5,时间豪斯道夫导数α=1,4种不同扩散系数对应的累积谱熵随空间豪斯道夫导数β变化的曲线

2.2 累积谱熵的结果

图8~图11中的累积谱熵Hc与图2~图5中的谱熵Hk具有相似的特征,曲线的衰减趋势基本一致.不同的是,相同情况下,整个曲线的累积谱熵值比谱熵值小.例如,图2的谱熵与图8的累积谱熵对比,当Dα,β=1,时间豪斯道夫导数α取特定的值时,累积谱熵值显然比谱熵值小.图3的谱熵图与图9的累积谱熵图对比,谱熵值从1开始下降,而累积谱熵值从0.9开始下降.谱熵与累积谱熵的值越大,表明内部结构的不确定性越大.累积谱熵也可以作为一种定量表征非均质介质复杂程度的工具.

  

图10 扩散系数 Dα,β=1,时间豪斯道夫导数 α=1,4种不同扩散时间对应的累积谱熵随空间豪斯道夫导数β变化的曲线

  

图11 扩散系数 Dα,β=1,空间豪斯道夫导数β=1,4种不同扩散时间对应的累积谱熵随时间豪斯道夫导数α的变化曲线

3 总结

本文根据豪斯道夫导数扩散模型的谱熵推导了描述反常扩散过程时空复杂程度的空间累积谱熵,并分析了个体谱熵、谱熵、累积谱熵随时空豪斯道夫导数、扩散系数和扩散时间变化的性质.主要结论如下:

(1)谱熵的三维曲面图的形状像一个瀑布,谱熵值随着α和β的增大而减小.高斯扩散即正常扩散对应的谱熵较反常扩散的值小,其值接近于瀑布汇流的底部.

降序首次适应算法FFD(First Fit Decreasing):是按照FF(First Fit)算法进行装入箱子,不同之处会对先对货品按容量从大到小进行排序。

(2)谱熵和累积谱熵随着扩散时间 t或者扩散系数Dα,β的减小而增大.

(3)随着空间频率的增大,正常扩散对应的个体谱熵衰减的速率比反常扩散快.当α,β偏离整数阶时,随α或β减小时,个体谱熵分布具有拖尾特征.

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秦雅楠,梁英杰,陈文
《力学与实践》 2018年第02期
《力学与实践》2018年第02期文献

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