随着工程结构逐渐向微型化、智能化的方向发展，纳米梁在微机电系统、生物传感器和原子力显微镜等领域得到日益广泛的应用[1].在研究微尺度结构力学性能的诸多方法中，实验研究由于对试样、仪器和测试方法的严苛要求，以及对精度控制的困难性而备受局限.分子动力学模拟和离散位错动力学模拟也因程序计算量巨大，计算效率较低而难以进行[2].在微纳米尺度下，材料特征长度尺寸接近材料颗粒尺寸，结构的尺度效应不可忽略，传统连续介质理论已无法准确预测微纳米尺度结构的力学性能 [3]，因此，考虑尺度效应的非局部理论 [4]，偶应力理论[5]，应变梯度理论[6]等高阶理论成为微纳米力学领域的研究重点.

非局部理论认为，结构内某一点的应力不仅与该点的应变有关，而且与该点附近区域内所有点的应变有关 [7].应变梯度理论则将连续体中的每一个物质点看作含有高阶应变的胞元，据此引入长度尺度参数来表征其对结构力学性能的影响 [8].Lim等[9]在2015年提出了非局部应变梯度理论，该理论考虑了非局部效应和应变梯度效应.基于该理论，Li等[10]分析了尺寸相关杆的轴向振动，得到了不同边界条件下杆的固有频率解析解.Li等 [11]建立了非局部应变梯度非线性欧拉--伯努利纳米梁模型，并进行了屈曲分析，获得了简支梁的后屈曲挠度和临界屈曲力.Ebrahimi等[12]探究了热环境下功能梯度纳米梁内的波传播行为，以及温度、非局部效应、应变梯度效应对波频和相速度的影响.Ebrahimi等[13]还建立了非局部应变梯度理论下的非均匀功能梯度纳米板的波传播模型，并与经典弹性理论模型做了对比.S¸im¸sek[14]研究了功能梯度纳米梁的非线性振动，通过新型哈密顿法给出了非线性振动频率的近似解.

本文基于非局部应变梯度理论和Reddy高阶剪切变形理论，建立了纳米梁的动静力学问题理论模型，以简支纳米梁为例，给出了梁的弯曲、振动和屈曲的纳维级数解，探讨非局部参数、材料特征长度参数及结构尺寸对纳米梁挠度、固有频率和临界屈曲力的影响.

1 控制方程建立

考虑一个两端简支矩形截面Reddy梁，梁的横截面积为A,其余尺寸参数及坐标设置如图1所示，u1,u2,u3分别为纳米梁沿x,y,z方向的位移

 

式中u,φ,w分别为梁的平移位移，转角位移和挠度.相应的非零应变为

 

其中，c1=4/3h2,c2=4/h2.在Reddy梁理论下，无需额外引入剪切修正系数，且在梁的上下表面(即z=±h/2时)，剪应变等于0，相较于欧拉--伯努利梁和铁木辛柯梁而言更符合实际情况[15].

  

图1 纳米梁尺寸参数及坐标设置示意图

对于纳米梁的静弯曲问题，挠度和转角与轴向力、频率及时间相关项无关，令式(27)和式(28)中FN,ωn和所有关于时间的求导项为0，可以得到

 

其中，▽是拉普拉斯算子，σij和分别是经典非局部应力和高阶非局部应力

 

鉴于非局部应变梯度积分本构方程求解困难，实际计算中，常使用其微分形式

式中， 和 分别为应变和应变梯度.ea是表征非局部效应的长度参数，α0(|r−r′|,ea)和α1(|r−r′|,ea)是非局部核函数，|r−r′|是弹性体内不同两点间的距离，l是表征高阶应变梯度效应的材料特征长度.

 

其中

(2)提高高技术产业内部的创新能力，注重创新技术的开发，增强创新技术的竞争力。高技术产业之所以获得快速的成长，主要依靠的是创新技术的迅猛发展。创新主体要想在众多竞争对手中脱颖而出，其关键就是创新技术。

当ea=0时，式(8)和式(9)退化为应变梯度理论本构方程；当l=0时，退化为非局部弹性理论本构方程.

非局部应变梯度理论下的应力和高阶应力沿横截面的内力分别为

 

式中，P,R,P(1)和R(1)只在高阶理论中出现.

纳米梁应变能的变分形式可写为

由于各地经济、社会和教育发展环境不一样，校内托管模式也呈现多样化发展态势。如南京市实行弹性离校，广州实行延迟放学，青岛实行家委会主导、学校参与配合的托管模式等。其中，武汉模式具有一定的代表性。2014年6月发布的《武汉市教育局关于进一步规范全市小学生托管服务工作的通知》，通知明确：全市有托管条件的小学，按照“学生自愿，家长委托，规范管理，安全第一，成本收费”的原则，在中午和下午放学后提供托管服务。参加托管服务的学生收费标准为每月80元（每天托管4小时）、每月60元（每天托管3小时）。

 

当前随着互联网、手机等通讯工具的普及，除了传统的广播电视及报纸以外，微博、短信等新的媒介在传播言论、传染心态的作用日益突出。要培育健康向上的社会心态，还要善于运用最先进的理念、语言和技术，牢牢把握宣传主导权，加强正面引导，及时化解不良信息，把各种矛盾化解在萌芽状态，让真实的民意、民心、民愿成为主流，并占居各类媒体的重要位置［21］。

 

考虑轴向压力 FN和横向均布力 q所做外力功，其变分形式为

4.4.3 目镜头眼间距过小，不能双眼观察 出现这种情况主要是个别人眼间距太小，不能适应正常摆放的显微镜的目镜头的眼间距，但目镜头进一步缩小受镜架的阻挡，不能双眼观察。解决办法：可以把固定目镜的螺栓松动后旋转180°，重新固定，进一步缩小两目镜头的距离，适合眼间距窄的学生使用。

 

根据哈密顿原理

 

将式(12)～式(14)分别代入式(15)中进行分部积分，由变分基本引理提取δu,δw和δφ项相关系数可得到梁的运动方程

 

 

其中

 

同时，根据积分边界项，可得在x=0和x=L处的边界条件为

 

控制方程(16)与经典理论下相同，对式(8)、式(9)进行积分和变换，可以将式(17)和式(18)转化为位移形式

为方便起见，引入以下参数来简化方程

You can do()you want,but you should find its valuable.

 

其中，E为材料的弹性模量，G为剪切模量.

 

临近夜半的时候，一台推土机，后面跟着两台吉普，呼呼啦啦开了过来。车上的灯光，像一把把雪亮的杀猪刀划破宁静的夜空。最后直划到屋前的砖堆上。

动能的变分形式为

 

2 弯曲、振动及屈曲求解

对于简支梁，其挠度，转角和分布载荷可以展开为傅里叶级数

 

其中，Wn和Φn为傅里叶系数，Qn是载荷幅值，ωn是固有频率.显然，式(25)满足梁的边界条件.

将式(25)和式(26)代入式(21)和式(22)可得

 

其中

 

根据非局部应变梯度理论，应力可以表示为

 

对于自由振动问题，高阶惯性项对频率影响较小，不予考虑 (即令 m2=m4=m6=0)，并令式(27)和式(28)中Qn和FN等于0，可以得到纳米梁的固有频率

 

对于屈曲问题，令式 (27)和式(28)中Qn,ωn和所有关于时间的求导项等于0，并设n=1,可以得到纳米梁的临界屈曲力

 

3 数值算例及分析

为了探究非局部应变梯度理论下的剪切变形梁模型特点，采用如下几何和材料参数：L=20h,b=2h,E=30×106MPa,ν=0.3,ρ=1kg/m2,q=1N/m,并对相关变量做无量纲化处理

 

为满足精度要求，取傅里叶级数前 100项，分别研究非局部参数和材料特征长度的比值对纳米梁弯曲、振动和屈曲的影响，如图2～图4所示.

4.2.1 乡土材料展现地域文化 通过对当地的乡土材料以及废弃的石板石刻的收集组合，并以新的设计语言进行表达，以达到能够组合造景的目的。乡土材料在表现地域文化上有着得天独厚的优势，将当地收集来的建筑废料(砖、瓦、老石板等)组合重构，建成一段城墙形式的景墙，墙内嵌入刻有临安钱王文化、吴越文化简介的石板、锈板等，借助乡土材料表达地域文化[7](图5)。

从客观的角度来分析，公路施工期噪声的出现，是多种原因共同造成的，而且在处理的难度上较高，必须坚持长久监测，并且落实多元化的防治手段。与此同时，公路施工期噪声的应对过程中，应加强不同影响因素的科学应对，这样才能在未来工作的实施过程中，不断的取得更好的成绩。有些地方的公路施工期噪声监测，由于没有在体系上达到健全状态，由此造成的损失是持续性的，应保持高度关注，并且在借鉴力度上不断的巩固。

  

图2 非局部参数与材料特征长度的比值对挠度的影响

  

图3 非局部参数与材料特征长度的比值对固有频率的影响

  

图4 非局部参数与材料特征长度的比值对临界屈曲力的影响

纳米梁刚度总体随非局部长度参数的增加而降低，随特征长度参数的增加而增强.但当ea/l＜1时，最大弯曲挠度随材料特征长度的增大而减小，固有频率和临界屈曲力随材料特征长度的增大而增大；当ea/l＞1时，最大弯曲挠度随材料特征长度的增大而增大，固有频率和临界屈曲力随材料特征长度的增大而减小；当ea/l=1时，纳米梁挠度、固有频率和临界屈曲力值保持不变.当l=0时，所得结果与非局部理论下结果一致[16]，当ea=0时，与应变梯度理论下结果相同[17].

取不同尺寸纳米梁，分别计算经典弹性理论(图中②)和非局部应变梯度理论(图中①)下的挠度、固有频率和临界屈曲力，如图5～图7所示.

在非局部应变梯度理论中，当ea/l＜1时，纳米梁挠度与经典弹性理论值相比偏小，固有频率和临界屈曲力偏大；当ea/l＞1时，纳米梁挠度与经典弹性理论值相比偏大，固有频率和临界屈曲力偏小；当ea/l=1时，两种理论下所得结果相同.随着纳米梁高度与材料特征尺度越接近，结构尺度效应越明显，非局部应变梯度理论下结果与经典弹性理论结果相比偏差越大，该现象与实验结果相符 [18].而在经典弹性理论中，纳米梁尺寸的等比例变化对无量纲的挠度、固有频率和临界屈曲力没有影响，纳米结构的尺度效应在经典弹性理论中无法得以体现.

这是2001年起实施的中国新一轮数学课程改革的主要发展线索，即由传统的“双基”过渡到了“三维目标”，然后又有所谓的“四基”（“数学基础知识”“基本技能”“基本数学思想”“基本活动经验”），以及近期提倡的“核心素养”．以此为背景即可理解以下一位小学数学教师的亲身感受，包括为什么应当特别重视“理论的实践性解读”：

  

图5 两种理论下结构尺寸对挠度的影响

 

(①为非局部应变梯度理论，②为经典弹性理论)

  

图6 两种理论下结构尺寸对固有频率的影响

 

(①为非局部应变梯度理论，②为经典弹性理论)

  

图7 两种理论下结构尺寸对临界屈曲力的影响

 

(①为非局部应变梯度理论，②为经典弹性理论)

4 结论

本文从非局部应变梯度理论本构关系出发，建立了能同时反映剪切变形效应和尺度效应的Reddy梁模型，并通过哈密顿原理得到了梁的控制方程和边界条件，求得纳米梁最大弯曲挠度、固有频率和临界屈曲力的解析解，结合数值算例分析发现：

(1)非局部效应的引入对纳米梁起刚度软化作用，而应变梯度效应的引入对纳米梁起刚度硬化作用.

(2)当非局部参数大于材料特征长度 (ea＞l)时，结构呈现刚度软化效应；当非局部参数小于材料特征长度(ea＜l)时，结构呈现刚度硬化效应；当其相等(ea=l)时，硬化效应和软化效应相互抵消，挠度、固有频率和临界屈曲力值保持不变并与经典弹性理论下的值相等.

下坠的感觉真好，甚至比有钱还要惬意。此刻我一无所有，名下所有资产都捐给了孤儿院里那些失去母亲的女孩子们。

(3)纳米梁高度与材料特征尺度越接近，非局部应变梯度理论下结果与经典弹性理论结果相比偏差越大.

参考文献

1 高世桥,刘海鹏.微机电系统力学(第1版).北京:国防工业出版社,2008

2 尹春松,杨洋.基于非局部铁木辛柯梁模型的碳纳米管弯曲特性研究.固体力学学报,2015(S1):165-169

3 尹莉.微尺度下结构的静动力学行为研究.[博士论文].武汉：华中科技大学,2010

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9 Lim CW,Zhang G,Reddy JN.A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation.Journal of the Mechanics and Physics of Solids,2015,78:298-313

10 Li L,Hu Y,Li X.Longitudinal vibration of size-dependent rods via nonlocal strain gradient theory.International Journal of Mechanical Sciences,2016,115:135-144

11 Li L,Hu Y.Buckling analysis of size-dependent nonlinear beams based on a nonlocal strain gradient theory.International Journal of Engineering Science,2015,97:84-94

12 Ebrahimi F,Barati MR.Wave propagation analysis of quasi-3D FG nanobeams in thermal environment based on nonlocal strain gradient theory.Applied Physics A,2016,122(9):843

13 Ebrahimi F,Barati MR,Dabbagh A.A nonlocal strain gradient theory for wave propagation analysis in temperaturedependent inhomogeneous nanoplates.International Journal of Engineering Science,2016,107:169-182

14 S¸im¸sek M.Nonlinear free vibration of a functionally graded nanobeam using nonlocal strain gradient theory and a novel Hamiltonian approach.International Journal of Engineering Science,2016,105:12-27

15 Zhang B,He Y,Liu D,et al.Size-dependent functionally graded beam model based on an improved third-order shear deformation theory.European Journal of Mechanics-A/Solids,2014,47:211-230

16 Reddy JN.Nonlocal theories for bending,buckling and vibration of beams.International Journal of Engineering Science,2007,45(2):288-307

17 Thai HT.A nonlocal beam theory for bending,buckling,and vibration of nanobeams.International Journal of Engineering Science，2012，52：56-64

18 Kong S,Zhou S,Nie Z,et al.The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams.International Journal of Engineering Science,2008,46(5):427-437