由于翼板的剪切变形而造成的弯曲正应力沿梁宽度方向分布不均匀的现象称为“剪滞”效应［1-2］，蔺鹏臻等［3］基于势能变分原理，推导出了单室混凝土箱梁剪滞效应的分析方法，在剪力滞翘曲位移函数选定的基础上，建立了变厚度翼板广义截面常数计算公式。朱明坤［4］在考虑材料非线性本构关系情况下，研究了箱梁剪力滞效应。雒敏等［5］根据试验测试，对单箱三室箱梁剪力滞效应进行研究。黄文雄等［6］运用有限元法对预应力混凝土箱梁剪力滞效应影响因素分析，发现宽跨比对箱梁顶板的剪力滞效应影响最大。蔺鹏臻等［7］以能量变分法为理论基础，结合预应力等效荷载法，建立了预应力束不同布置方式下的简支梁在预应力作用下的剪力滞效应解析解。通过文献检索可知，目前尚未有学者利用能量变分原理推导多个集中荷载作用下剪力滞效应的解析解，所以本研究通过能量变分原理导出了薄壁箱梁的控制微分方程组，利用MATLAB依此推导出两个集中力、三个集中力作用下的解析解，归纳总结出在多个集中力作用情况下的解析解，并建立了简支梁算例对本研究理论进行了验证。

1 薄壁箱梁控制微分方程的建立

对于单箱单室截面（见图1）的矩形箱梁应用最小势能原理的变分法分析其剪力滞效应。应用最小势能原理分析箱梁的弯曲时，引入了两个广义位移即梁的竖向挠度W(x)与纵向位移U(x,y,z)，并表达为：

图1 单箱单室箱梁截面

式中：b—箱梁径宽的一半；

z—板厚或梁高；

u(x)—为翼板最大纵向位移差函数。

因为对称，y总取正值。式（1）是坐标的连续函数，满足变形协调条件，而且式（1）还满足在肋板与翼板交接处y=b的变形连续条件。

梁的应变能为腹板部分与上、下翼板部分应变能之和。梁腹板部分仍然采用平面梁理论计算其弯曲应变能，对上、下翼板按板的受力状态计算应变能，并认为板的竖向纤维无挤压εz=0，板平面外的横向应变εy以及剪应变 γyz均很小，略去不计。而剪应变γxz=W′(x)-ϕ(x)。于是全梁的应变能可写为：

将以上所述条件代入（2）式积分：对于全截面的纵向应变εx产生的应变能为：

通过求解方程组，得：

I=Iw+Is为忽略翼缘板自身惯性矩时全截面的惯

设沿Z方向的横向力集度为q=q(x)，则外力功为：

总势能为Π=V1+V2-W，由最小势能原理δΠ=0得单箱单室薄壁箱梁的控制微分方程，经整理后可得控制微分方程组为：

对处于地下水变动带内的24个矿体，其中V-02、V-03、V-20、Ⅵ-05、Ⅵ-06、QpAL-315、QpAL-316、QpAL-317、QpAL-372等矿体底板下有地下暗河经过或矿体范围内有地下河天窗。此类矿体采矿活动对矿体周围地下水含水层造成结构破坏，产生导水通道，不同含水层(组)串通水质恶化；改变和影响地下暗河水的流向和流量，改变地下水径流、排水系统，对地下河天窗产生破坏导致地下水补给系统发生改变，因此处于地下水变动带内的矿体开采活动对地下水含水层影响较大。

由（10）式得：

设不考虑剪切变形时的挠度及最大纵向位移差函数分别为W0及 u0，则由文献［1］中（3～10）式得W0及u0须满足的微分方程组及边界条件为：

弯曲正应力为：

2 薄壁箱梁在承受两个集中力作用下剪力滞公式推导

附加弯矩为：

图2 简支梁承受两个集中力作用示意图

简支梁承受两个集中力作用下的边界条件为：

（4）式中后三式为自然边界条件，而由前两式可得：

电气设备点检工作是一项平凡而又伟大的事情，平凡是点检工作按期进行，伟大是点检工作关系到整个生产线电气设备安全、稳定运行，给企业带来效益；同时点检工人应该熟悉设备，掌握主要的影响因素，可以重点分析现场状况，进行有效控制设备工作状态。

令：Is=Isu1+Isu2+Isb为忽略翼板自身惯性矩时上、下翼缘板对中性轴y的惯性矩；

水分测定采用恒重法[4]，称取10.0～15.0 g鲜窖泥样品（准确到0.01 g）于烘干至恒重的称量皿中，摊平，放入已升温至105℃±1℃烘箱中干燥1 h，取出放在干燥器中冷却后称重，反复此过程直至恒重。

式中：σ0为按初等梁理论所求得的纵向正应力。挠度方程为：

单箱单室简支箱梁承受两个集中力作用见图2所示，等截面简支梁承受两个集中荷载P（对称作用于箱梁的肋板上），弯矩与剪力都是分段函数。

第一个极小极大值问题是文献[4]中叙述的在分析一个二人纸牌博弈时得到的，当时并未用到极小极大值术语。此后在1865年法国数学家德哈特在他的《概率的数学理论史》中曾提到过这个问题，但这在当时并未引起概率论专家的注意。极小极大问题的解和思想，一直到1921年才又一次被著名的法国数学家波莱尔在研究零和博弈时发现。此后以美国数学家卢密斯的完全代数方法的极小极大值定理的证明为开端，在数学界发起了一场进一步证明极小极大值定理的运动，直到1928年冯诺依曼正式提出和证明了极小极大值定理，此后，这一定理的证明和求解方法又进一步得到了完善[5]。

因此由以上公式可得，u也必满足偏微分方程

水利财务工作涉及面广，政策性强，必须牢固树立全局观念、法治观念、效率观念和服务观念，加大工作力度，完善各项措施，确保水利财务工作各项任务落到实处。

剪力滞系数λ为：

得 u1、u2、u3 解析解为：

随着气温的回升，可慢慢加大通风口和通风时间，一般到3月中下旬，可在上午 8∶00～10∶00，棚内温度上升到 20℃时，及时通风；下午 2∶00～3∶00棚内温度下降到14～16℃时，关闭通风口。当夜间温度稳定在10℃以上时，可以不关闭通风口；如果棚内湿度大，阴雨天也需要通风排湿。

3 薄壁箱梁在承受n个集中力作用下剪力滞公式推导

当n=z（z＞2）时，梁被分为z+1段，每段长度为：n1、n2、……、nz+1，有2(z+1)个系数：C1、C2、……、C2（z+1），B=2、3、4、……、z，D=1、2、3、4、……、z-1。则：

C1=0，

式中CE、CF为，

同理，将系数 C1、C2、……、C2（z+1）代入 u1、u2、u3、……、un+1的代数式可得该值具体表达式，再代入（11）～（14）式可以求得每一段上的弯曲正应力、剪力滞系数和挠度值。

4 算例

以跨度为L=30 m的简支梁为例，简支梁承受两个集中力作用时，分别在10 m、20 m处承受100 KN的集中力；承受三个集中力作用时分别在7.5 m、15 m、22.5 m处作用100 KN的集中力。薄壁箱梁的横断面图见图3所示，材料采用C50细石混凝土，弹性模量为E=3 450 MPa，泊松比为0.2，简支梁ANSYS有限元模型见图4所示。

第一种方法根据第2、3节中承受两个、三个集中力作用下的剪力滞系数表达式，利用MATLAB编制了计算程序对本算例的剪力滞系数进行计算；第二种方法是利用叠加法原理计算出两个、三个集中荷载作用下的剪力滞系数；第三种方法是从ANSYS的实体单元模型中提取出的应力值和按照弯曲初等理论所求得正应力之比得到剪力滞系数。

图3 薄壁箱梁的横断面

图4 简支梁ANSYS有限元模型

图5 两个集中荷载作用下顶板与腹板交接处的剪力滞系数

图6 三个集中荷载作用下顶板与腹板交接处的剪力滞系数

通过以上三种方法得到两个集中荷载作用下顶板与腹板交接处的剪力滞系数见图5和三个集中荷载作用下顶板与腹板交接处的剪力滞系数见图6。从表1可看出，三种计算方法计算得到的剪力滞系数变化趋势吻合良好，本研究理论值和叠加法原理得到的剪力滞系数曲线完全重合，两者的差值比最大为0.385%，ANSYS计算值与本研究理论值变化趋势相同，两者的差值比最大为3.765%，在两个集中力和三个集中力的情况下三者的计算值都小于5%。

表1 三种方法计算的剪力滞系数

荷载工况距梁端长度m α β两个集中力2 4 6 8 1 0三个集中力12 14 15 2 4 6 8 1 0 12 14 15本文理论值1.006 1.012 1.025 1.061 1.178 1.031 1.012 1.004 1.006 1.015 1.055 1.100 1.014 1.007 1.073 1.118叠加法原理1.005 1.014 1.025 1.063 1.179 1.031 1.011 1.003 1.005 1.015 1.055 1.101 1.016 1.007 1.076 1.114 ANSYS计算值1.013 1.028 1.052 1.095 1.185 1.046 1.014 1.007 1.014 1.036 1.078 1.141 1.025 1.019 1.082 1.125 0.099%0.198%0.000%0.189%0.085%0.000%0.099%0.100%0.099%0.010%0.000%0.155%0.197%0.000%0.280%0.358%0.696%1.581%2.634%3.205%0.594%1.455%0.198%0.299%0.795%2.059%2.180%3.765%1.085%1.192%0.839%0.626%

5 结论

本研究运用有限元分析法，通过能量变分原理导出了薄壁箱梁的控制微分方程组，利用MATLAB依此推导出两个集中力、三个集中力作用下的解析解，归纳出在多个集中力作用情况下的解析解。通过计算简支箱梁的算例可知，本研究理论值和ANSYS计算值、叠加法原理计算值得到的剪力滞系数变化趋势吻合良好，本研究理论值和叠加法原理得到的剪力滞系数曲线完全重合，两者的最大差值比为0.385%，ANSYS计算值与本研究理论值变化趋势相同，两者的最大差值比为3.765%，在两个集中力和三个集中力的情况下三者的差值比都小于5%，验证了本研究理论的正确性，可靠性。该方法为工程实践中多个集中荷载作用下剪力滞效应提供了一种新的计算手段。

1.2 MRI检查方法 采用GE Signal 1.5 T MR扫描仪及8通道相控阵头颅线圈。所有早产儿于扫描前静脉注射苯巴比妥(鲁米那)镇静，待其熟睡后进行扫描。检查时早产儿在家属的陪同下进入MRI检查室，取仰卧位，平躺于扫描床上，采用头先进的方式，用儿童专用耳塞保护听力，并用海绵垫固定颅脑，同时加盖棉被。为了减少风险，新生儿主治医师随同检查。

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参考文献：

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［2］ 郭金琼，房贞政，郑振.箱型梁设计理论［M］.北京：人民交通出版社，2008：1-50.

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