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一类三维神经元模型的分支分析

更新时间:2016-07-05

1 模型介绍

为了能够更加准确地研究神经元的复杂的放电现象,需要把这些模型转化为有意义的数学模型来研究,但是建立起来的模型往往都是高维的,研究起来比较困难。在考虑降维之后,形式虽然简单,但却不是基于离子通道的数学模型,失去了相应的生物学意义。如Wilson在研究多项式神经元模型时,虽然相应的生物、物理背景,是基于Na+,K+的通道电流,但该模型是四维的,相对于三维模型来说研究更为复杂。为了解决这一问题,文献[1]取了Wilson模型的二维快子系统和Hindmarsh-Rose模型的一维慢子系统,构成了如下三维神经元模型,本论述就是在此基础上进行讨论的。

其 中 参 数 c,v0,v1,v2,VNa,r2,gR,τR,τH,gH取正值,Vk,V4,Vh取负值,V表示膜电位,R表示K+离子通道的门控变量,H表示慢调节电流,参数VNa,Vk表示Na+,K+电流的平衡电位,gR,gH分别表示相应的离子电流的最大电导,τR,τH为时间常数,Iext为外部应用电流,本文中取Iext=0。

文献[1]通过数值模拟说明了系统(1)能产生多种放电模式,并讨论了神经元的兴奋性,周期放电与混沌现象。文献[4]分析了系统(1)中由快子系统和慢子系统构成的整个系统的平衡点个数及稳定性,以及平衡点的分支情况,本文将只分析前两个方程(即快子系统)对应的平衡点稳定性条件和在平衡点处的分支现象。

(3)覆土植草和无覆土植草均能够较好的拦截固体污染杂质,其中无覆植草组和覆土植草组对固体杂质拦截率高于普通硬化护坡,该研究能为植生混凝土在实际工程中的应用提供参考。

由图 3可知,扬稻 6号(Ghd7-EZ18)株系中的1个株系(C1312)同对照扬稻6号的抽穗期进行对比,表现了扬稻6号(Ghd7-EZ18)株系同对照扬稻6号之间播始历期的差异。在图3A中,株系C1312的穗部基本抽出时,扬稻6号仍处于营养生长阶段,尚未抽穗;在图3B中,扬稻6号穗部刚开始抽出时,株系C1312已经结束灌浆,进入蜡熟期。

2 相关概念介绍

引理2.1 设有自治系统

其中 x∈Rn,如果存在 x0∈Rn,满足 f(x0)=0,我们称 x0为系统(2)的平衡点[5]

引理2.2 假定系统(2)过初值 (t0,x0)的解ϕ(t,t0,x0)在 t0≤t<+∞ 有定义,若对于任给的 ε>0,都存在 δ(ε)>0 ,使得当‖x1 - x0‖<δ时,过初值(t0,x1)的解ϕ(t,t0,x0)也在t0≤t<+∞存在,且对一切t≥t0满足

则系统(2)的解 ϕ(t,t0,x1)是稳定的。

户外的环境需要通过动画来表现,与样板房产生关系的有周围的交通环境、商铺的类型极其分布情况、社区的人流量、周边的绿化环境等。另一部分动画用于表现样板房各部分灯光进行智能的调控,对室内的窗帘进行控制,以提供合适的遮阳效果;展示防盗、报警、监控、电锁、门禁、对讲等安全措施;动画控制模拟相应的展示效果可以真实地展现智能家居和样板房设计的相关概念,从而全方面展现样板房的设计理念。

若存在 δ1>0,使得当‖x1 - x0 ‖<δ1时,过初值(t0,x0)的解 ϕ(t,t0,x1)满足

则称解 ϕ(t,t0,x1)是吸引的,使(3)式成立的 x1所在的区域D,称为ϕ(t,t0,x0)的吸引域。

若系统(2)过初值 (t0,x0)的解 ϕ(t,t0,x0)满足条件:(a)稳定的;(b)吸引的,则称此解是渐近稳定的。

当Δ<0时,方程(8)有三个不相等的实根,对应地,系统(1)有三个平衡点;当Δ=0时,方程(8)有两个实根(其中一个为重根)对应地,系统(1)有两个平衡点;当Δ>0时,方程(8)有一个实根,对应地,系统(1)只有一个平衡点。

引理2.3[7]对于依赖于一个参数的连续时间动力系统

令系统(1)前两个方程右端为0,易得平衡点(V,R)的V坐标满足:

不良的口腔卫生习惯:不经常刷牙和漱口,为细菌或霉菌在口腔内孳生、繁殖创造了条件,从而有利于亚硝胺及其前体的形成,促成了舌癌的发生。

若在该平衡点处满足以下三个条件:

设 q(α)∈C2是 A(α)对应特征值 λ(α)的特征向量,则满足:

(2)非退化性 fxx(x0,α0)≠0

(3)横截性 fα(x0,α0)≠ 0

就称这样的平衡点为鞍-结点分支,如果在这个平衡点出现特征值 λ1,2=±ω0i,ω0>0,则称这个点对应的分支称为:Hopf分支,此时n≥2。

引理2.4 Hopf分支规范型[8]

考虑二维系统

其中f是光滑的,设α=0时,系统有平衡点x=0。在此平衡点有特征值λ1,2=±ω0i,ω0>0,不妨设对充分小|α|,x=0为系统(5)的平衡点,此系统可写为

公募体育基金会受体育行政部门的主导,更倾向服务于体育系统的教练员、运动员以及体育部门直接管理的各运动项目。例如,国家体育总局主管的中华全国体育基金会就十分重视教练员、运动员的培养和保障及各运动项目的发展等问题,主要设立的公益项目有运动员保障专项资金,优秀运动员伤残互助保险,国家队老运动员,老教练员关怀基金,退役运动员创业扶持基金及乒乓球、篮球、登山运动、健身气功等运动项目专项基金。非公募体育基金会因其独立性、灵活性较强,服务对象主要为社会性较强的体育公益活动、体育公益宣传、体育赛事支持、群众体育开展、体育产业等[3]。

其中F为光滑向量函数,其分量F1,2可以做关于x的泰勒展开,且至少从2次项开始,F(x,α)=O(‖‖x 2)。A(α)是以α的光滑函数为元素的Jacobi矩阵,可写为:

由Hopf分支条件可得特征值的表达式

(1)非双曲性特征值λ=fx(x0,α0)=0

AT(α)p(α)=

A(α)q(α)= λ(α)q(α)

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设 p(α)∈C2 是转置矩阵 AT(α)对应于特征值的特征向量,则满足:

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其中 p 关于 q 的标准化 <p(α),q(α)>=1 。这里< p(α),q(α)>=pˉ1q1+pˉ2q2 为 C2 中的标准数量积。对某复数z和任意足够小α,任何向量x∈R2都可唯一的表示为:x=zq(α)+zˉqˉ(α),其中z由下面公式确定:

ż= λ(α)z+ < p(α),F(zq(α)+zˉqˉ(α),α)>

其中令 g(z,zˉ,α)=< p(α),F(zq(α)+zˉqˉ(α),α)> 。将g写成关于复变量z与zˉ的泰勒级数

“当时进这个榜单,本来我是很引以为骄傲的,第二年这个榜单继续公布我排名第43位,等到第三期公布的时候,我就被抓进秦城监狱里去了。”刘晓庆事后接受媒体采访说。国人当时税法意识淡薄,乃至有评论说,政府用处罚一个女明星为严行税法祭旗。

根据土壤墒情、种子质量、土质、整地质量而定。墒情好,种子发芽率高,整地质量好,亩播量控制在0.4-0.5 kg,土壤粘重,亩播量控制在0.6-0.75 kg。

l1(0)称为一阶Lypunov系数,当l1(0)<0,发生超临界Hopf分支,产生稳定的极限环;当l1(0)>0,出现次临界Hopf分支,产生不稳定的极限环。

定理2.1[8] 假设任何一个含单参数的二维系统

其中f是光滑函数,对所有充分小||α有平衡点x=0,其对应的特征值

λ1,2(α)=μ(α)± iω(α)

其中 μ(0)=0,ω(0)=ω0>0

令其满足以下条件:(a)μ(0)≠0 ;(b)l1(0)≠0,l1是第一个Lypunov系数。

则存在可逆的坐标和参数变换以及时间重参数化,使系统(7)在原点邻域内局部拓扑等价于以下系统:

3 平衡点个数及稳定性分析

其中f关于x和α都光滑。设x0是这个系统当α=α0时的一个平衡点。

其中:

一元三次方程(8)的根的判别式为:

其中:

若系统(2)的解 ϕ(t,t0,x0)是稳定的,且吸引域是全空间的,则称此解是全局稳定的[7]

推荐理由:包祖晓医学博士深入地剖析和提炼了真正意义上的健康和幸福的主题,如尊严、自信、接纳、爱、自由、体验、追求、安住当下、觉察、保持正念等,分45篇阐述,以禅学故事、电影故事以及心理治疗中的真实案例为主要组成部分,带领读者认清生命的实相,摆脱常见的“心理误区”走出困境,拥抱生活,过真正意义上的幸福生活。

定理2.2(Routh-Hurwitz定理)[7]

多 项 式 方 程 a0λn+a1λn-1+a2λn-2+...+an-1λ+an=0(a0>0)。它的所有根具有负实部的充要条件是

i=1,2,…,n。其中j>n时,aj=0。

为了讨论系统(1)中快子系统平衡点的稳定性,考虑在任一平衡点(V0,R0)处的Jacobi矩阵如下:

则矩阵J对应的特征方程为:

Δ=27A2D2-18ABCD+4AC3+4B3D-B2C2

由Routh-Hurwitz定理知,当的所有根有负实部,因此模型(1)的快子系统是渐近稳定的。

沉默良久,我终是说:“陆浩宇,谢谢你曾经拒绝我,你的拒绝成了我前进的动力。是你骂醒了我,曾经我恨你,但现在,我只想说:谢谢你!。”

即当+g RR]>0,平衡点(V0,R0)局部渐近稳定,将Δ表示为

Δ=A0V 2 0+B0V0+C0

4 Hopf分支分析

定理3.1[7] 设 μ0为系统的Hopf分岔值,则从Hopf分岔定义出发的Hopf分岔条件转化为条件

则在平衡点(V0,R0)处(1)的快子系统在该点处存在Hopf分岔。此时V0满足

方程(13)的解分别为

农业生产经营的组织化程度较低,标准化生产滞后。现阶段,农业生产技术水平有了一定的提升,农业生产经营也逐渐凸显出规模化等优势。但是农户与农户之间、企业与企业之间、公司和农户之间,普遍存在着很大差异性。这种差异不仅仅体现在生产技术方面,还包括生产环境、资源等方面,使得品牌的内在一致性难以维护,从而制约农业品牌发展。

因为V0要同时满足(13)和(14)式,综上讨论可知

据此可以得到模型(1)的快子系统产生Hopf分支的临界参数值gH,gR满足相应的条件,即系统在该点处的特征方程有一对纯虚根±iω0

得到Hopf分支的产生条件后,接下来讨论Hopf分支的方向,作如下变换:

则系统(1)可以写为

下面利用文献[5]中的公式来计算一阶Lyapunov系数l1(0)。

取满足 Jq=iωq,JT p=-iωp且<p,q>=1的p,q如下:

其中:

文献[5]中引用公式:

[7][13] 阿兰·罗伯-格里耶:《未来小说的一条道路》,《快照集/为了一种新小说》,余中先译,长沙:湖南美术出版社,2001年,第79-85页。

因此可以通过一阶Lypunov系数来判断Hopf分支的超临界和次临界状态,并判断在平衡点附近是否有极限环产生。

5 结束语

本论述第一部分首先对该三维神经元模型的产生背景做了相关介绍;第二部分讨论了快子系统的平衡点的稳定性条件,算法上主要借助于maple来运算,并根据已有的理论推出该模型平衡点稳定性的判断方法;第三部分对平衡点处发生Hopf分岔的条件做了简单的讨论,通过对一阶Lypunov系数的讨论来判断Hopf分支的临界状态,这其中还有许多不足之处,将在以后的工作学习中作进一步完善。

参考文献:

[1] X,Zhao,JW Kim,PA Robinson,CJ Rennie.Low dimen⁃sional model of bursting neurons[J].Journal of Computation⁃al Neuroscience,2014:81-95.

[2] 林楚衍.两类神经元模型的动力学分析[D].广州:华南理工大学,2015.5.

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[9] 李敏,刘宣亮,刘深泉.一类Hodgkin-Huxley模型的分支研究[J].生物数学学报,2013,28(1):71-76.

张卓越
《甘肃科技纵横》 2018年第05期
《甘肃科技纵横》2018年第05期文献

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