随着科技和生产水平的进步，工业对旋转机械工作效率的要求越来越高.为了满足高效率的要求，旋转机械转子与定子的间隙变的越来越小，增加了转子定子间的碰摩机率[1].据统计，国内80%的弯轴事故由转子定子间碰摩引发[2].因转子在运行过程中的碰摩力状态复杂，因此国内外的转子系统碰摩研究主要基于单盘模型，例如，曹素兵、陈多花和袁惠群等人以Jeffcott转子模型为对象，分别研究了转速比[3]、偏心量和转子质量[4-5]等参数对碰摩系统的影响以及碰摩系统的分岔和混沌行为[6-7]；文献[8-9]则建立了基于单盘转子模型的含有弹性支撑的碰摩转子系统，并研究了其分岔和混沌行为.

本文在考虑转子重力的基础上，建立了一个刚性支撑的双盘碰摩转子模型，并通过数值仿真，揭示其分岔和混沌行为，以期为双盘或多盘转子碰摩故障的诊断和不稳定振动控制提供参考.

1 力学模型与运动微分方程

1.1 碰摩力

图1为碰摩力简化的示意图.在简化时，没有考虑摩擦所产生的热效应，并且假定转子和定子的碰撞为弹性碰撞[10]，符合库仑摩擦定律，即切向摩擦力正比于接触面的法向力.

面对以上种种的妥协与委屈，女性也不是一味地忍耐与接受，她们在对于旧习俗的反抗、真爱的向往、事业的追求及独立人格的要求方面有着不断的尝试。

  

图1 碰摩力模型Fig.1 Rub-impact force model

如图1所示，设d为转子与定子未发生碰撞时的间隙，转子在转动过程中因不平衡性而发生径向偏移，当径向位移r大于间隙d时，则转子与定子发生碰撞.此时的切向摩擦力Ff和径向力FN的关系为

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(1)

其中:式中:s=ω/ω0；s2=ωc/ω0；a=c/(2mω0)为无量纲阻尼系数；ρ=e/d为无量纲偏心量；G=g/(dω2)为无量纲外载荷.

将式(1)进行直角坐标转化，因为sin θ=y/r；cos θ=x/r，故其碰摩力的表达式为

由图3可知，随着kc值的增加，碰摩转子系统所展现的动力特性越来越丰富.当kc=1.0×107时，转子只进行周期1、周期2、周期4和周期8的周期运动，随着刚度的增加，逐渐出现拟周期和混沌运动.为了保证转子的正常运行，应尽量避免转子在混沌区工作.

 

(2)

1.2 双盘转子系统的运动微分方程

设转盘1和转盘2的径向位移分别为(x1,y1)、(y1,y2)，则根据牛顿第二定律建立方程为

  

图2 双盘转子系统模型Fig.2 Two-disk rotor system model

为了充分考虑碰摩力对双盘转子系统的影响，假定转轴为刚性轴并且忽略其质量、扭转振动和回转力矩的影响[11]，可建立如图2所示的双盘转子模型.

 

(3)

1.2 仪器和试剂 迈瑞Mindray公司的五分类细胞分析仪；Dympus BX50型显微镜；广州万孚公司的恶性疟原虫抗原检测试剂；染色液为RR8姬姆萨染液。

采用变步长四阶龙格库塔法对运动微分方程(4)进行数值求解.在求解过程中，为了获得稳定的周期解，计算了2 000个周期，并选取后200个周期的计算结果对系统进行分析，得到了该双盘转子系统非线性响应的分岔图、相图、轴心轨迹图以及Poincaré截面映射图.各主要参数如下：圆盘的质量m=m1=m2=3.0 kg；圆盘1、圆盘2的阻尼系数c1=1 200 N·s/m、c2=

 

(4)

式中：f为摩擦因子；r为转子的径向位移，为定子的径向刚度.

2 双盘转子系统的分岔与混沌

采用此方法，在一些处于停止状态下的设备如果短时停电，对电网是没有冲击的，所以瞬间停电干扰对设备的影响不是很大。电机制动时回馈的能量可以被利用，所以比较节能。而因能够回馈能量的电机无功功率损失较小，所以以此方法还可以可以提高设备的功率因数。而且多台变频器共用直流母线可以稳定直流母线电压，减小因设备启停造成的电网电压波动。

1 350 N·s/m；偏心距e1=0.015 mm、e2=0.01 mm；间隙d=0.15 mm；转子的刚度系数k=2.5×105；定子的径向刚度系数为kc=2.0×107；频率比s=3.0.

2.1 不同定子刚度下双盘转子系统的动力学特性

在研究碰摩转子系统过程中，定子刚度和转子的频率是重要参数，对转子系统动力特性产生影响.本文主要探讨刚度变化对转子系统动力特性的影响，通过设定不同的刚度系数，以频率比s为分岔参数，得到不同的分岔图，如图3所示.

众所周知，只有对某一项学习产生兴趣，才能提高学习效率，小学生的年龄小，在课堂学习中容易受到其他因素制约，注意力无法集中，对此，需要做的工作便是提高学生的学习兴趣，只有如此，才能让学生积极地参与到学习之中。信息化教学资源在一定程度上改变了传统教学所存在的缺陷与不足，可以让学生产生好奇心，并且在图文并茂的环境下提高学习兴趣，进而提升学习质量与学习效率。

 

  

图3 kc取不同值的分岔图Fig.3 The bifurcation diagram when kc varies

为了准确描述转子系统的混沌运动，选取刚度系数为kc=2.0×107进行分析.由图3(c)可知，频率比较小时，转子做周期1运动，当频率比增大至s=5时，系统响应发生周期倍化分岔进入到周期2运动.随后当s=5.22时，发生逆周期倍化分岔转子又回归到周期1的运动.随着频率比继续增加，转子系统经历周期1、周期2、周期4、周期2和周期4运动最终进入混沌区.当s∈(10.38,10.52)时，转子进入拟周期运动区域，随后进入混沌区.

2.2 固定频率下系统响应随定子刚度的变化

为了进一步研究定子刚度对碰摩转子系统响应的影响，选取固定频率比s=5.95，以定子的刚度系数为分岔参数，画出系统响应分岔图以及相应的轴心轨迹图和Poincaré截面映射图.

为了便于数值计算，引入无量纲参数τ=ωt；X1=x1/d；Y1=y1/d；X2=x2/d；Y2=y2/d,其中:τ为无量纲时间;ω为转速，式(3)无量纲变换后，其公式为

图4为转子系统随定子刚度系数变化的分岔图和局部放大图，由图4(a)可知，转子系统的运动过程大致为：周期1→周期2→周期4→周期8→混沌→周期6→混沌.为了更加清晰地分析转子系统通往混沌的途径，分别绘制了kc=4.32×107，kc=5.0×107和kc=5.56×107的轨迹图和Poincaré截面映射图，如图5所示.

  

图4 s=5.95分岔图和局部放大分岔图Fig.4 Bifurcation diagram and partial magnification bifurcation diagram when s=5.95

 

 

  

图5 不同刚度下转子的轨迹和poincare截面映射图Fig.5 The Orbit and poincare section map when kc varies

由图5(a)和图5(b)可知，当kc=4.32×107时，转子的Poincaré截面映射图为有限个离散的点，并且其转子轴心轨迹图为有限个封闭曲线相交，这表明转子是通过倍周期途径进入混沌的；当kc∈[4.42,5.52]∪[5.58,5.72]时，转子为混沌运动，其轴心轨迹为多圆相交，Poincare截面为两条短线，如图5(c)和图5(d)所示.当kc=5.56×107时，其Poincaré截面映射图为6个孤立的点，轴心轨迹为6环相交，说明此时转子做周期6运动，随后进入混沌区，故此段也是由周期途径进入混沌的.

3 结论

本文建立一个含有碰摩故障的双盘转子系统模型，采用变步长四阶龙格库塔法对其进行数值仿真，利用分岔图、轴心轨迹图和Poincaré截面映射图对碰摩过程中产生的分岔和混沌行为进行分析.

1) 不同定子刚度系数下分岔图的对比分析表明，随着刚度系数减小，低速区的分岔点后移，中速区的多周期运动区域变宽，高速区的混沌区域减小，因此，在转子正常运转范围内，降低定子刚度系数可以有效的抑制混沌发生.

2) 对比分析固定频率比下的刚度系数-转子位移分岔图、轨迹图和Poincaré截面映射图，发现系统进入混沌的途径为倍周期途径，主要表现为周期倍化分岔和逆周期倍化分岔两种.

灵魂在于创新和发展。马克思主义理论是开放的理论，不同的时代面临不同的时代主题。新时代的时代主题就是坚持和发展怎样的中国特色社会主义、如何坚持和发展中国特色社会主义。为了回答这一时代课题，以习近平同志为核心的党中央以无畏的理论勇气，创新和发展马克思主义理论，最突出的理论成果是习近平新时代中国特色社会主义思想。正是基于这些异于西方资本主义的理论创新，可以肯定地判定，中国搞的是社会主义，而不是其他的什么主义。当然，党的十九大只是破了题，这一开放的理论体系还将在实践中不断丰富与完善。

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[2] 王海飞.碰摩转子系统非线性动力学数值模拟分析[D].昆明:昆明理工大学,2012:1-5.

[3] 曹素兵,朱蝉.Jeffcott转子系统碰摩的非线行为研究[J].设计与研究,2011,38(8):39-43.

[4] 陈多花.单一故障转子系统的非线性动力学特性分析[D].兰州:兰州交通大学,2016:13-20.

[5] 袁惠群,闻邦椿,李鸿光.非线性转子局部碰摩故障的分叉与混沌行为[J].东北大学学报,2000,21(6):610-613.

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[8] VARNEYN P,GREEN I.Nonlinear phenomena,bifurcations,and routes to chaos in an asymmetrically supported rotor-stator contact system[J].Journal of Sound and Vibration,2015,336:207-226.

[9] 蔡成松,蒲新会,李照兴.一类碰摩转子在弹性支撑下的分岔分析[J].宁夏大学学报,2017,38(3):257-262.

[10] 刘桂珍,于影,马晓君,等.质量偏心影响下的碰摩转子非线性分析[J].中国工程机械学报,2016,14(1):21-26.

[11] 韩清凯,于涛,俞建成,等.单跨双圆盘不平衡转子一轴承系统的非线性动力学分析[J].机械工程学报,2004,40(4):16-20.