常微分方程多点边值问题在数学、物理等学科有着广泛的应用,例如非均匀电磁场、湿土动力学及弹性稳定性问题都可以归结为带多点边值条件的微分方程[1-3].受Il'in等[1]研究二阶线性多点边值问题的启发,Gupta[2]研究了一类非线性二阶三点边值问题的可解性.此后，对更一般的非线性多点边值问题的可解性及正解的存在性,基于不动点定理、度理论等方法,建立了一些研究成果[4-12].例如,2008年,Zhong等[6]利用锥拉伸与压缩不动点定理研究了四阶四点边值问题

 

的可解性.Bai[8]利用Avery-Peterson不动点定理

研究了一类四阶三点边值问题

 

的三个正解.但是对于高阶多点、特别是四点边值问题的三个正解的存在性研究,结果并不多见.

基于此,本文利用Leggett-Williams不动点定理研究四阶四点边值问题

 

(1)

三个正解的存在性,其中,c1,c2,c3和c4是非负常数,c1c4+c2c3+c1c3>0且0≤ξ1<ξ2≤1.

1 预备知识

Step1：证明算子A是的映射.

(A1)f∈C([0,1]×[0,+∞)×(-∞,+∞)×(-∞,0]×(-∞,+∞),[0,+∞))；

由表2知，灼烧时间大于30 min后，坩埚即达到恒重，试验中为了避免反复灼烧的过程和节约时间，可以高温灼烧空坩埚30 min即可。

(A2)h∈C([0,1],R+),t∈[0,1].

由y(0)=y(1)=0以及式(2)可得：当t∈(0,1)时,

令α和φ是K中的非负连续凸函数,β是K中的非负连续凹函数,ψ是K中的非负连续函数,a,b,c和d均为正实数.定义下面三个凸子集：

K(α,d)={y∈K|α(y)<d},

一是扩大旅游业融资。商城县政府应支持旅游业发展，帮助县内旅游企业拓宽融资渠道，提供信用担保，在财力状况允许的情况下为旅游企业贷款担保机构提供一定的风险补偿。

K(α,β,b,d)={y∈K|b≤β(y),α(y)≤d},

K(α,φ,β,b,c,d)={y∈K|b≤β(y),φ(y)≤c,α(y)≤d}

然后对Rss进行特征值分解，进而根据方向向量与噪声子空间的正交性，利用式(3)式(4)表达式，得到波达方向.

和一个闭子集L(α,ψ,a,d)={y∈K|a≤ψ(y),α(y)≤d}.

(H3)当y∈L(α,ψ,a,d)且ψ(y)=a时,0∉L(α,ψ,a,d),ψ(Ay)<a

设K是实Banach空间X中的一个锥,α和φ是K中的非负连续凸泛函,β是K中的非负连续凹泛函.当λ∈[0,1]时,ψ是K中满足ψ(λy)≤λψ(y)的非负连续泛函,且存在正数M和d,使得当时,β(y)≤ψ(y)且‖y‖≤Mα(y).若是全连续算子,且存在正数a,b,c,其中，a<b时,使得：

在自然条件下地膜很难被降解，在降解过程中会产生较多有害性物质，使土壤中水分含量逐步降低，使农田土地自身抗旱能力不断降低，会导致次生盐碱化、土壤肥力降低、土壤板结等问题，最终致使土壤环境出现不同程度恶化，农作物正常生长受到影响。地膜残留还会限制诸多农作物有效生长，作物根部难以穿过地膜，根系发育不正常，致使农作物整体产量不断降低。

(H1)当y∈K(α,φ,β,b,c,d)时,{y∈K(α,φ,β,b,c,d)|β(y)>b}≠Ø且β(Ay)>b；

(H2)当y∈K(α,β,b,d)且φ(Ay)>c时,β(Ay)>b；

定理1.1[12] (Leggett-Williams不动点定理)

成立,则A中至少存在三个不动点使得α(yi)≤d(i=1,2,3)以及β(y1)>b,a<ψ(y2),β(y2)<b和ψ(y3)<a.

令X=C3[0,1],定义X中的范数其中,

定义1.2 令X是Banach空间,定义X中的非负锥

之前，以H公司为例，谈到了农资企业应收账款管理存在的一系列问题，包括管理责任不明确，催收制度不合理，合同管理制度不完善，员工专业素质低，销售员的考核方式不对。本周，将为大家带来农资企业应收账款管理问题一部分解决策略。

K={y∈X|y(t)≥0,y(0)=y(1)=0,y是[0,1]内的凸函数}.

另外,当0<ωξ1,ξ2,-ξ1}时,定义K中的非负连续凸泛函α,φ,非负连续凹泛函β和非负连续泛函ψ如下：

y″(t)=y″(1)+y‴(η2)(t-1)≤y‴(η2)(t-1),其中，η2∈(t,1).

引理1.1[6] 若σ=c1c4+c2c3+c1c3(ξ2-ξ1)>0且g(t)∈C[ξ1,ξ2],则边值问题

人类应该选择登月，还是去火星（或者先去往月球，然后去火星）？对此的争论已经持续很久。主张该先登月的人有时被称为“疯子”（lunatics），主张先去火星的人被称为“火星人”（martians）。火星从地质学上来说更加有趣，从化学上来说更加有趣，可能曾经适合人类居住，还能告诉我们关于行星如何从颇为不错变得有点像地狱一般的更多情况。

 

有唯一解:y(t)=G1(t,s)G2(s,τ)g(τ)dτds,其中：

 

 

在空间C3[0,1]中定义算子Ay(t)=G1(t,s)G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴(τ))dτds.那么边值问题(1)有解当且仅当算子A有不动点.

引理1.2 当y∈K时,有

证明:因为y∈K 时具有凸性,所以t∈(0,1)时,

 

(2)

定义1.1 令X是Banach空间且K⊂X,在K中,若映射θ满足：K→[0,+∞)是连续的且当t∈[0,1]时,对任意的x,y∈K,有θ(tx+(1-t)y)≥(≤)tθ(x)+(1-t)θ(y),则映射θ是一个非负连续凸(凹)函数.

那么,当t∈(0,1)时,

 

(3)

因此,当t∈(0,1)时,y(t)=|y(t)|≤max{|y′(0)|,|y′(1)|}.又由y(0)=y(1)=0及可知‖y‖0≤max{|y′(0)|,|y′(1)|},即由y′(0)≥0和y′(1)≤0,可得

|y″(t)|=-y″(t)=y′(0)-y′(1)≥max{|y′(0)|,

|y′(1)|}.因此即

β(Ay)=Ay(1-ω)=G1(1-ω,s)G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴(τ))dτds>G1(

y″(t)=y″(0)+y‴(η1)t≤y‴(η1)t,其中,η1∈(0,t),

(4)

以及

在江苏现行高考模式下，学生将主要精力投入到语、数、外的学习上，将生物视为可有可无的副科，导致他们基础薄弱。随着所学内容的增多、知识的深入，长期不理解知识的积聚，使学生对生物的学习失去信心。

(5)

由式(4)和(5)可得：2|y″(t)|≤|y‴(η1)|t+

|y‴(η2)|(1-t).所以,2‖y″(t)‖0≤‖y‴(η1)‖0t+‖y‴(η2)‖0(1-t)=‖y‴(t)‖0,即：从而

引理1.3 令y∈K且当t∈[ω,1-ω]时,有y(t)≥ω‖y‖0.

证明类似文献[5]中的引理2.2,故省略.

引理1.4 假设(A1)和(A2)成立.若σ=c1c4+c2c3+c1c3(ξ2-ξ1)>0,c2-c1ξ1≥0且c3(ξ2-ξ1)+c4≥0,则A∶K→K.

证明类似文献[8]中的引理3.3,故省略.

2 主要结论

由引理1.3和1.4可知,对y∈K有:

 

(6)

另外,为了证明本文的主要结论,f还需满足如下增长性条件:

假设存在满足的正常数a、b和d,使得f满足

(A3) 当时,

许多人第一次看完这句子都没发现句子里词序次序的颠倒，能准确理解语义。齐沪扬还在《传播语言学》中举了一个例子，将一句话的文字减掉10%到60%的笔画，要求学生把省略的笔画填充出来，试验结果是有一半以上的人能在规定的时间内回复原状。他将这种现象的产生归结为汉语符号的冗余性，认为汉语符号的冗余性特点使得其具备抗干扰性，能准确地理解语义。

(A4) 当时,

(A5) 当时,,

其中：

 

m=min{m1,m2}；

 

 

下面给出本文的主要结论：

定理2.1 令c2-c1ξ1≥0且c3(ξ2-ξ1)+c4≥0.假设(A1)-(A5)成立,则问题(1)至少存在三个正解y1,y2和y3,并满足：

 

(7)

证明：不难验证问题(1)有解等价于算子A在X中有不动点.由引理1.4易知算子A∶K→K是连续的,再由Arzela-Ascoli定理可知算子A是相对紧的,因而算子A是全连续的.下面分两步来证明定理2.1：

为了方便,首先给出本文用到的假设条件、相关定义和主要工具：

当时,由可知：当t∈[0,1]时,-d≤y‴(t)≤d.又由引理1.2可知：和而K(α,d)⊂K,结合K的定义可知：和从而由(A3)可知,f(t,y,y′,y″,y‴

 

(8)

如下可证α(Ay)≤d.

当0≤ξ1≤s≤ξ2<t≤1时,

 

 

当0≤t≤ξ1≤s≤ξ2≤1时,

 

 

故式(8)可以表示为

宪法学研究要坚持正确的政治方向。高举中国特色社会主义伟大旗帜，以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一，认真领会宪法的精神、原则和核心要义，加强宪法修正案学习教育研究工作。要坚定宪法自信，增强宪法自觉，讲好宪法故事，大力弘扬宪法精神，维护宪法法律权威，充分发挥宪法学在建设中国特色社会主义法治理论体系、建设社会主义法治国家中的重大作用。

s))h(s)f(s,y(s),y′(s),y″(s),y‴

制度建设是生态文明建设的“压舱石”，也是实现绿色可持续发展的“指挥棒”。在打好污染防治攻坚战、推进资源节约和环境保护等体制机制持续完善的同时，多部地方法规为绿色发展保驾护航，立起了生态云南建设的“四梁八柱”。

.

即α(Ay)≤d.因此,

Step2：验证定理1.1中的条件(H1)～(H3).

首先验证(H1).当t∈[0,1]时,令易知：且因此Ø.若则当ω≤t≤1-ω时,当时,由可知：当t∈[0,1]时,-d≤y‴(t)≤d.又⊂K,由K的定义及引理1.2可知:和从而由(A4)可知,当t∈[ω,1-ω]时，f(t,y(t),y′(t),y″(t),y‴根据K和β的定义,分以下两种情况证明对任意的都有β(Ay)>b.

1) 当β(Ay)=Ay(ω)时,

为了检测新系统的运行效果，于某煤矿生产企业内针对新系统的实际应用情况进行了为期6个月的试运行，结果发现，应用新系统后，皮带机电控系统的设备故障率显著降低，使用期间内，并未出现由于电控系统故障而导致的设备停机情况，且相较于老系统，新系统的平衡性能得到了显著的提升，原系统在启动或变速的过程中会出现由于震动导致的煤屑散落情况，而新系统运行下此类问题并未再次出现，有效降低了故障发生概率。

β(Ay)=Ay(ω)=G1(ω,s)G2(s,τ)h(τ)

f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴(τ))dτds>G1(ω,s)

G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴(τ))dτds≥

y‴(τ))dτds (由文献[6]引理2.3(2)可得

正月初七，也称“人日”。 传说女娲初创世，在造出了鸡狗羊猪牛马等动物后，于第七天造出了人，所以这一天是人的生日。 南朝梁宗懔在《荆楚岁时记》中记载了两汉魏晋时代江南民众的习俗：“七日为人日，以七种菜为羮，剪彩为人，或镂金箔为人，以贴屏风，亦戴之头鬓。 又造华胜以相遗。 登高赋诗。”[19]4 唐代之后，每至人日，皇帝赐群臣彩缕人胜，又登高宴请群臣。 陆龟蒙《人日代客子》说：“人日兼春日，长怀复短怀。 遥知双彩胜，并在一金钗。”

2)当β(Ay)=Ay(1-ω)时,

由泰勒展式得:

学习情境的设定是根据实际工作过程提出的，这要求教师有工程意识、过程意识及全局意识，要求教师具有行业从业经验。因此，制约地方新建本科院校向应用技术大学转型的瓶颈应该是具有行业背景的师资。

1-ω,s)G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴(τ))

 

也即对任意的都有β(Ay)>b.因此,定理1.1中的(H1)成立.

其次验证(H2).由式(6)和可知,对所有的y∈K(α,β,b,d),当时,则定理1.1中的(H2)成立.

最后验证(H3).显然,当与ψ(0)=0<a时,0∉L(α,ψ,a,d).当y∈L(α,ψ,a,d)且时,0≤y(t)≤a.当y∈L(α,ψ,a,d)

时,由可知：当t∈[0,1]时,-d≤y‴(t)≤d.又y∈L(α,ψ,a,d)⊂K,则

由K的定义及引理1.2可知：

和因此,由(A5)可知：

 

G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(t),y″(t),y‴(t))dτds≤

G1(s,s)G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴(τ))

dτds=s(1-s)G2(s,τ)h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴

y′(τ),y″(τ),y‴(τ))dτds=h(τ)f(τ,y(τ),y′(τ),y″(τ),y‴

 

故定理1.1中的(H3)成立.那么,由定理1.1可知,边值问题 (1) 至少存在三个正解y1,y2和y3满足式(7).

3 应用

例3.1 考虑下面的四阶四点边值问题

 

(9)

这里,式(1)中的且

f(t,y,p,v,n)=

 

令以及c3=0,通过计算可知：

 

 

假设a=1,b=2和d=2 000.

当(t,y,p,v,n)∈[0,1]×[0,1 000]×[-1 000,

1 000]×[-1 000,0]×[-1 000,-1 000]时,其中,

当

1 000]×[-1 000,0]×[-1 000,-1 000]时,f(t,其中,

当(t,y,p,v,n)∈[0,1]×[0,1]×[-1 000,

1 000]×[-1 000,0]×[-1 000,-1 000]时,f(t,其中,

又c2-c1ξ1≥0和c3(ξ2-ξ1)+c4≥0,从而定理2.1的所有条件都成立.因此边值问题(9)至少存在三个正解y1,y2和y3,并满足：和

参考文献：

[1] IL'IN V A,MOISEEV E I.Nonlocal boundary value problem of the first kind for a Sturm-operator in its differential and difference aspects[J].Diff.Eqns.,1987,23(7):803-810.

[2] GUPTA C P.Solvability of a three point nonlinear boundary value problem for a second order differential equation[J].Math.Anal.Appl.,1992,168:540-551.

[3] GRAEF J,WEBB J.Third order boundary value problem with nonlocal boundary conditions[J].Nonlinear.Anal.,2009,71:1542-1551.

[4] 杨赟瑞.奇异的广义m-点边值问题解的存在性[J].兰州交通大学学报,2005,24(6):146-150.

[5] LIU B.Positive solutions of three-point boundary value problems for the one-dimensional p-Laplacian with infinitely many singularities[J].Appl.Math.Lett.,2004,17:655-661.

[6] ZHONG Y L,CHEN S H,WANG C P.Existence result for a fourth-order ordinary differential equation with a four-point boundary condition[J].Appl.Math.Lett.,2008,21:465-470.

[7] 范虹霞.Nagumo 条件下四阶两点边值问题的可解性[J].兰州交通大学学报,2008,27(6):154-156.

[8] BAI C.Triple positive solutions of three-point boundary value problems for fourth-order differential equations,Comput[J].Math.Appl.,2008,56:1364-1371.

[9] 丁建华.一类含参二阶三点边值问题正解的存在性及多解性[J].兰州交通大学学报,2010,29(1):146-150.

[10] 陈永亮,马烜,卢整智.一类四阶随机微分方程边值问题正解的存在性[J].兰州交通大学学报,2013,32(1):185-188.

[11] 蒋玲芳.一类四阶四点边值问题正解的存在性和多解性[J].四川大学学报(自然科学版),2013,36(6):830-835.

[12] YANG Y R.Triple positive solutions of a class of fourth-order two-point boundary value problems[J].Appl.Math.Lett.,2010,23:366-370.