通常来说,一个偏微分方程连同其定解条件(初始条件和边界条件)组成一个定解问题[1].寻求满足偏微分方程定解条件的解,这就是偏微分方程正问题.偏微分方程的反问题[2]则指已知或部分已知偏微分方程的解,欲求方程中的未知量.与正问题相比,反问题具有不适定的特点.与一般的抛物型方程不同,本文研究的问题主要难点在于该问题的强不适定性和完全非线性.一方面会导致方程的解没有足够的正则性,另一方面会增加分析问题的难度.由于许多非线性方程的正问题都难以解决,因而解决非线性偏微分方程的反问题及相应的适定性问题就成为摆在我们面前的更加艰巨的任务.

目前，国内外许多学者针对抛物型方程系数反问题的研究成果已经很多.例如文献[3]利用最优化理论和终端观测值对一类Kolmogorov型方程

ut-Δu+b(x,t)ux=f(x,t),(x,t)∈QT=(0,l)×(0,T]

的对流系数b(x,t)进行了讨论,得到了最优解的存在性、唯一性和稳定性.文献[4]利用Tikhonov正则化方法研究了带有源项的热传导方程

·(q(x)u)=f(x,t),(x,t)∈Ω×(0,T)

的系数q(x)的稳定性和收敛性.类似地,文献[5]也利用Tikhonov正则化方法研究了Black-Scholes方程

关键创新和贡献是提出一种新的、类似研究中没有出现过的面向大型群决策的自动一致性方法（简称ACMLGD）用于自动计算面向在线客户偏好的大群客户偏好。其中，采用了人工蜂群优化算法优化个体的权重与群组权重方法以达到个体之间意见一致性最大化，并结合仿真一致性达成过程，预先设置确定优化的一致性过程的重要参数，以实现在有限时间内达到合理一致性的大群客户偏好计算目的。人工蜂群优化算法具有全局优化的杰出能力而获得大量应用，如神经网络训练、预测股票市场。人工蜂群优化算法超越其他类似的启发式优化算法，如遗传算法与粒子组优化等[18-20]。

 

波动率的稳定性和收敛性,并进行了理论分析结果的数值模拟,文献[6-8]也对这类方程进行了研究,得到了解的相关性质.文献[9]利用离散数据,基于最优控制理论反演了线性抛物型方程

 

的辐射系数q(x),得到最优解的收敛性.

从数学角度讲,纵观偏微分方程的反问题可分为线性和非线性两大类(拟线性的可以化为线性问题讨论).从研究的深度和广度论,对线性偏微分方程的研究更透彻一些.但近年来对非线性问题的研究也出现了可喜成果,见参考文献[10-11].然而研究基于离散数据的非线性抛物型方程反问题的学者国内外也寥寥无几,该问题的主要难点在于问题的强不适定性,完全非线性以及利用离散数据进行线性插值作为终端观测值,其难度是显而易见的.

学校大力投资建设多媒体设备，满足各类课程建设和教学需要，特别是本科教学水平评估期间，2015年学校多媒体覆盖率77%至2017年达100%(图1攀枝花学院历年多媒体建设图表)。现阶段多媒体设备技术水平较高，管理难度较大，基于这种设备特点，在实际使用的过程中，如果没有采取规范化的管理方案，势必增加多媒体设备的运营管理费用，导致设备实际作用的难以发挥。

本文主要考虑了一类利用终端观测值对非线性抛物型方程系数的反演问题,该问题可表述如下:

问题P 考虑如下的二阶非线性抛物型方程的混合问题:

 

(1)

其中：φ(x)和f(u)分别是区间(0,1)和Q上给定的光滑函数；p(x)是方程(1)中的未知系数.一般地,假设有如下终端观测值:

1.3疗效判定标准[2]患者身体上的皮疹均已消失,只剩下色素减退后或者是沉着的斑片为治愈;患者的皮疹其消失程度>75%为显效;患者的皮疹消失程度>50%为有效;患者的皮疹其消失程度<50%为无效。总有效率=(治愈+显效+有效)/总例数×100%。

u(xi,T)=g(xi),xi∈(0,1),i=1,2,…,N,

(2)

其中：g(x)是一个满足齐次Neumann边界条件的函数.如何利用方程(1)和条件(2)来同时确定函数u和p?这一类反问题出现在物理科学和工程领域中,人们通常是将得到的测量数据作为一个必要条件来确定未知系数p(x).

式中：u(x,T;p)是方程(1)对应于任意给定的系数p(x)∈A的解；N是正则化参数；α和β是两个给定的正数.

则存在三元函数组满足如下方程:

ut-uxx+p(x)u=0,(x,t)∈Q,

这就是经常提到的热传导方程,其中未知系数p(x)称为辐射系数,u=u(x,t)是固体的传热过程中在x处、t时刻的温度.文献[12]对此类方程进行了研究,得到了极小元的存在性及其必要条件.一般而言,线性方程描述热传导系统是一个有效的计算工具.然而当温度范围很大时,非线性方程具有很好的效果.

在连续的情况下,给出如下形式的终端观测值:

日照时长与水体蒸发的强度呈现出正相关的关系.流域内1995年日照时长为1 874.1 h，均高于其他年份，由此推测，椒江水体1995年蒸发强度为五年内最大，地表径流因蒸发作用而损失的水量最多.同时，流域于1995年降雨最少，地表径流的补充相对减少，其与日照综合作用，推测椒江地表径流年内水量最少，进一步减弱了水体对悬浮泥沙的“稀释”作用，导致椒江水体悬浮泥沙浓度高于其他年份.

u(x,T)=g(x),x∈(0,1),

(3)

其具备理论分析,然而在实际中,它并不适用.事实上,考虑到测量成本,根本不可能得到x∈(0,1)的所有数值u(x,T).因此在本文中,假设式(2)是一个符合实际情形的例子,并且所有的测量数据都是在等距离处得到的,即:

x1=xi+1-xi=1-xN≡h,i=2,…,N-1,

2012年，我们又启动了对《教育学》(第六版)的修订工作，于2016年出版了《教育学》(第七版)。这次修改的指导思想比较明确。一是把教育以育人、成人、以人为本的观念和学生是教育活动主体的观念进一步落到实处，注重实践智慧与实践能力的培养，为社会实践活动在育人的过程中争取应有的一席之地。二是删繁就简，大力压缩篇幅，使基本概念、基本理论更加明确、切实、有价值，注重教材的规范性、可教性。

(4)

其中：网格参数

首先利用线性插值方法,由式(2)得到一个新的连续函数zN(x),即:

 

(5)

然后考虑如下的问题：

问题PN 假设有如下的终端观测值：

u(x,T)=zN(x),x∈(0,1),

(6)

如何利用方程(1)和条件(6)来同时确定函数u和p?

1 最优控制问题

在本文中,假设

φ(x)>0,φ(x)∈C2,α[0,1].

(7)

令考虑到问题P,假设函数f∈C2[0,Φ]且满足:

f(0)=0,f′(x)>0,f″(x)≤0,x∈[0,Φ].

(8)

对任意给定的系数p(x)∈Cα[0,1],p≥0,则方程(1)存在唯一解由于问题P是不适定的,即它的解不连续依赖于观测数据,于是考虑如下的最优化问题P1:

潞新矿区内变形较大且较难控制的巷道基本都是实体煤掘进巷道，掘进过程中均出现煤炮频繁、煤体自行片冒、迸射等强烈矿压显现现象。冲击性载荷是造成潞新矿区巷道掘进成形困难和变形量大的主要原因，而冲击性载荷的根源则主要包括高应力、煤岩体的储能特性及结构特性。

证明 当0<x<1时,有

 

(9)

其中：

p|2dx;

(10)

A={p(x)|0<α≤p≤β,p∈L2[0,1]},

(11)

式中：u(x,t;p)是方程(1)对应于任意给定的系数p(x)∈A的解；N是正则化参数；α和β是两个给定的正数.

①加味逍遥散治疗,基础药方由柴胡、郁金、茯苓、合欢皮、远志、炒白芍各10g,酸枣仁、珍珠母各20g,夜交藤309、煅磁石各30g,炙甘草以及当归分别取5g、9g。辨证分治:对于心脾两虚者,应加炙党参、白术各10g以及淮小麦30g等;对于心肝火旺者,加、黄芩各9g,灯芯草3g、炒栀子10g;阴虚火旺者,加生地、麦冬各10g,黄连5g以及阿胶9g等;对于肝郁脾虚甚者,应加炙黄芪20g,香附6-9g,川芎9g以及生姜5g等;对于痰热内扰者,应加竹茹、半夏、枳实各10g等。以上药方均用水煎服,早晚各1次,共4周。

定理1.1[13] 如果T≪1,则对任意的ω∈A,最优控制问题P1存在唯一解和

(12)

进行城市发展和建设工作的最终目的实际上是为了造福子孙后代，为他们留下更好的环境，不重视对环境的破坏，浪费、消耗资源，不仅仅会对人们的健康造成影响，还会使得城市的竞争力降低，在多年以后还可能面临无法生存的问题，所以，通过先进的技术手段节约资源、最大限度的保护环境，实现资源循环利用，建设生态城市，促进城市的可持续性发展，促进我国长期繁荣。

 

(13)

 

(14)

对于问题PN,继续利用最优控制理论来考虑最优化问题P2:

问题P2 求pN(x)∈ A使得:

 

(15)

其中：

p|2dx,

(16)

A={p(x)|0<α≤p≤β,p∈L2[0,1]},

(17)

如果非线性项f(u)=u,本文研究的方程可变换为

定理1.2 如果T≪1,则对任意的ω∈A,最优控制问题P2存在唯一解pN和

甲组和乙组手术时间、术中出血量、骨愈合时间、Harris评分、住院时间比较，差异有统计学意义（P＜0.05），如表1。

pN·(pN-ω)dx≥0,

(18)

则存在三元函数组(uN,vN;pN)满足如下方程:

 

(19)

 

(20)

该定理的证明与定理1.1的证明类似,此处略.

2 收敛性

其中：M是一个正数.

 

(21)

首先,由式(2)给定一个函数g(x)假设满足:

引理2.1 由式(5)定义的zN(x),有如下估计:

|zN(x)-g(x)|≤Mh2,x∈[0,1].

证明 令RN=zN(x)-g(x),x∈[x1,xN].对于RN(x)[14]有

 

因此,由式(21)得到

 

(22)

对于x∈[0,x1],有

在南宋时期，李清照颠沛流离之前，与丈夫赵明诚分隔两地之时也写过闺怨词。“楼上几日春寒，帘垂四面，玉阑干慵倚。”（《念奴娇》）春寒料峭，词人深坐楼头，帘垂四面。“玉阑干慵倚”，刻画词人无聊情绪，而隐隐离情也在其中。鸿雁飞过，却捎不来半丝丈夫的音讯，纵使阑干倚遍，亦复何用。阑干慵倚，楼内春深重，枯坐只会令人更加愁闷，于是词人只有恹恹入睡了。心事无人可诉，唯有寄托于梦境之中，凄然之情溢于言表。此词写于南迁之前丈夫远离之时，思念丈夫，情深意切。

 

(23)

⊂[0,x1].

(24)

由式(21),(23),(24)得到

 

(25)

对于x∈[xN,1],也有

|zN(x)-g(x)|≤Mh2,x∈[xN,1],

(26)

果肥汁甜有“秘方”——农场的果树作业，必须严格依照农场特有小气候及时完成，定时调整花期、错开授粉，开展病虫害综合防治、按时防寒抗冻、防雨水侵害等。另外，果农们相信“好水养好果”，果树用水必须经过过滤、杀菌，方能施用于果园。

引理2.2 对任意的有界连续函数ρ(x)∈C(0,1),有

其中：x0是(0,1)中的一个固定点.

问题P1 求使得:

广垦粮油公司成立于2013年12月，注册资本3.4亿元。公司以实施农业农村部农垦局培育本土垦区国际大粮商战略为己任，全面导入现代企业经营理念，按照资源整合、资本运作、产业链延伸的发展方向，通过实施大项目带动战略，兼并重组迅速切入粮油行业，充分利用自身资源优势，创新粮油原料种植、加工、销售经营模式，构建涵盖粮油原料生产、加工、零售服务三大环节于一体的全程产业链。目前拥有7个下属子公司，产品销售网络已覆盖全国大部分省区，产品畅销我国华南、西南、华中和华东等主要省区。

引理2.2证完.

令

1.既注意发挥政府强制作用又尊重公民个人选择。一般来说，政府认为尽量减少对社会保障制度运行的干预，可以使社会保险项目的内部实现均衡，同时可以减少财政的负担；但政府在保险项目无法实现自我平衡，导致收不抵支时，又会发挥它“兜底”的作用，通过公共计划的形成来影响私人保险公司的决策，如老年残障健康保险（Medicare）和联邦政府对各州医疗援助资助计划（Medicaid），也可以通过制定相关政策来规范保险公司的行为。为了使潜在的计划者在大量的复杂计划中选出自己真正满意的计划并加入，政府甚至会采取相应的惩罚措施，如“第四类医疗费”计划就有选择时间限制，超过这个时间再加入每月都会有1%的罚金。

uN-u=U,vN-v=V,pN-p=P.

这里{u,v},{uN,vN},分别是系统(13)/(14)和(19)/(20)分别对应于p和pN的解,则U和V满足：

 

(27)

 

(28)

本文中若无特殊说明,符号C表示各种场合下的不同常数.

引理2.3 对方程(27)有如下估计式成立:

 

dxdt,

(29)

其中：C与T无关.

结合式(22),(25),(26),很容易得出结论.

证明 当0<θ<1时,有

f(uN)-f(u)=f′(u+θ(uN-u))(uN-u)=f′(u+θU)U,

(30)

所以式(27)即可得到

 

(31)

由方程(31),有

 

(32)

由式(8)和式(17)可得

pNf′(u+θU)>0.

(33)

由式(32)和式(33),有

 

(34)

由Gronwall不等式即可得到

 

|f(u)|2dxdt.

引理2.3证完.

推论2.4 存在一个常数C,使得

(35)

证明 注意到f∈C2[0,Φ],假设:

|f′(x)|,|f″(x)|≤M,x∈[0,Φ],

(36)

其中：M是一个正数.

因此,由式(29),(30),(36)得到

 

推论2.4证完.

引理2.5 对方程(28)有如下估计式成立：

 

dx,

(37)

其中：C与T无关.

证明 由方程(28)有

 

 

亦即

 

(38)

这里用到了估计式(29).

注意到存在一个常数C使得

 

 

 

(39)

由式(36)可得

|f′(uN)-f′(u)|=|f″(u+θ(uN-u))(uN-u)|≤M|uN-u|,

(40)

所以

 

(41)

这里用到了式(11)和式(39).

由式(38)和式(41),有

 

(42)

由Gronwall不等式即可得到

 

引理2.5证完.

定理2.6 令p(x)和pN(x)分别为对应于最优控制问题P1和P2的极小元,如果存在一点x0∈(0,1)使得

pN(x0)=p(x0),

则T≪1时,有

pN→p(h→0).

证明 在式(12)中取ω=pN,式(18)中w=p,于是有

p·(p-pN)dx≥0,

(43)

pN·(pN-p)dx≥0,

(44)

这里{u,v},{uN,vN}分别是系统(13)/(14)和(19)/(20)的解.

由式(43)和式(44)可得

N|

(45)

由定理2.6的假设知,存在一点x0∈(0,1)使得

P(x0)=pN(x0)-p(x0)=0.

(46)

由引理2.2以及式(46)可得

max|P(x)|≤(|

(47)

由式(45)和式(47),有

max|P|2≤|

(48)

这里用到了式(35)和式(37).

由式(39)和式(48)得到

max|P|2≤CTmax|P|2+CT|zN-g|2dx.

(49)

选取T≪1使得

 

(50)

联立式(49),(50)和引理2.1,容易得到

max|P|2≤|zN-g|2dx≤M2h4,

(51)

因此,当h→0时,由式(51)得到

 

定理2.6证完.

3 总结

尽管目前已有许多学者从不同的角度,采用不同的方法使数学物理方程中的反问题这一领域有了迅速的发展,对于经典的线性抛物方程已经有许多卓有成效的工作,然而基于离散数据的非线性抛物型方程反问题的研究文献却很少.

在最优化理论的框架下,根据测量的离散数据进行线性插值作为终端观测值讨论了二阶非线性抛物型方程

ut-uxx+p(x)f(u)=0

反演系数p(x)的问题,并研究了极小元的渐进性.这一结果为相关的数值试验建立了坚实的理论基础.本文的研究对象是一维的,但是对于高维的情形研究结论也适用即：反演如下的非线性抛物方程

ut-Δu+p(x)f(u)=0,(x,t)∈Q=Ω×(0,T]

的系数p(x),其中，Ω⊂Rm(m≥1)是一个给定的边界区域.

参考文献：

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[4] ENGL H W,ZOU J.A new approach to convergence rate analysis of Tikhonov regularization for parameter identification in heat conduction[J].Inverse Problems,2000,16:1907-1923.

[5] EGGER H,ENGL H W.Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing:convergence analysis and rate[J].Inverse Problems,2005,21:1027-1045.

[6] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

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[11] 张雷,李照兴.关于一类非线性系数反演问题最优解的适定性研究[J].兰州交通大学学报,2016,35(6):131-136.

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[13] DENG Z C,YANG L,YU J N,et al.An inverse problem of identifying the coefficient in a nonlinar parabolic equation[J].Nonlinear Analysis,2009,71:6212-6221.

[14] STOER J,BULIRSCH R.Introduction to numerical analysis[M].New York:Springer,1980.