随着纳米加工技术的进步，零部件的尺寸进入到纳米尺度，为深入了解纳米尺度下两个接触表面之间的摩擦磨损特性，常使用分子动力学方法，这种方法能够捕捉到单个原子的运动模式，有利于从本质上揭示纳观下的摩擦磨损行为等[1-3]. 纳观尺度下，模型由原子堆叠而成，变得不再连续，而固体表面的结构在该尺度下又呈现出分形的特征[4]，为了研究真实表面的摩擦接触特性，就需要对工件表面的纳观几何形貌进行合理建模[5].

为研究粗糙表面的接触特性，现有的纳观分析研究常常将粗糙表面简化为单个或多个规则粗糙峰[6–11].由于实际工程表面往往是具有统计意义上的自仿射或自相似的分形特性[12]，这种粗糙面简化方式使得实际表面的某些重要信息丢失，存在局限性，为更好从原子层面上解释纳观下的接触行为就需要建立更为复杂的粗糙表面模型. Luan等[13]在利用混合原子/连续介质的研究方法中，建立了具有自相似性的二维粗糙表面；Spijker等[14–15]引入Hurst指数，并将其作为随机中点位移法(RMD)的输入值，通过调整高度缩放系数生成了符合给定的RMS值的随机粗糙表面；Zheng等[16]在研究不同润滑条件对三维纳观粗糙表面接触的影响中，利用高斯分布描述粗糙表面的形状，结合RMD方法建立了符合给定RMS的随机粗糙表面.

为了实现纳观尺度上分形粗糙面的建立，本文中提出一种通过删除原子法实现任意几何形貌的表面模型建立. 以单晶铜为例，结合分形理论实现在常规MD法构建出的平面上建立纳观分形粗糙面的数字化模型，通过滤波消除删除法中产生的孤立原子以便于后续的接触计算，同时分析了滤波器通带半径及能量最小化对表面特征的影响. 最后，用试验验证了此方法的有效性.

  

Fig.1 Two - dimensional model of FCC图1 面心立方二维纳观模型

1 原子删除法

纳观模型主要由一系列满足晶体拓扑结构的原子构成，原子的空间排布决定了模型的轮廓与表面形貌. 图1是满足面心立方结构的二维纳观模型. 图中，每一个圆都代表着一个原子，X、Z方向的数值代表着原子所在行列的坐标值或坐标值对应的行列编号. 将这些原子视为一个个小球，并假设小球之间不会发生相对运动. 若要获得给定z≤0.5x得到的轮廓曲线，则可从该二维模型的表面(即z=5所在的平面)按给定的规律移除一些小球，则该二维模型的表面即为所需轮廓曲线，如图1(b)(图中虚线所示的小球代表移除的小球).

将此推广到三维表面，可得构建三维纳观粗糙表面的方法：通过给定x、y坐标，可以确定一个原子列，这些原子有着相同的x、y坐标和不同的z坐标，按给定的输入函数(如W-M分形函数)得到对应Z向的高度z(x,y)，将模型中Z方向的坐标值大于z(x, y)的原子从模型中删除即完成一次移除操作，通过遍历x、y的值，即可得到符合输入函数特征的表面形貌.

具体操作过程如下：

(1) 输入原子坐标(x, y, z)；

(2) 根据坐标值大小，由小到大，分别对原子的x、y、z坐标进行编号，x对应行编号i，y对应列编号k，z对应编号为p，编号后原子坐标值表示为(xi, yk, zp)；

光电发射光谱分析法测定钛合金中硅元素的分析范围在0.002%～0.7%，在此分析范围内选取两个钛合金样品，按照实验方法，考虑和避免了各种不利影响因素后，进行精密度试验，测定结果见表2。光电发射光谱分析法中精密度允许值如表3所示。从表2可知，RSD均小于5%，均在精密度允许值范围内，表明试验结果具有良好的精密度。

(3) 给定z(x, y)表达式，计算z(xi, yk)的值，将该数值存储在二维矩阵A中，存储的位置为A(i, k)，设A为n×n矩阵，则其形式如下：

粗糙表面微凸体的高度分布可以看作是一种随机信号或噪声信号，它可归纳为依赖于时间参数的随机过程[4]，而二维离散傅里叶变换可将函数空间域(时域)的信息变换到频域，建立空域与频域的一一对应关系. 因此通过控制频域内的滤波过程，可实现粗糙表面微凸体的平滑处理，即消除不合理的结构.

 

图5是利用盒计数法求得的图4中四条曲线对应的分形维数. 对于空间分形维数为D的图形，其截面分形维数为D–1[27]，因此对于图4中无滤波的曲线，其理论分形维数应为1.5，而从图5中可以得到，未滤波曲线的斜率为–1.400 9，对应的分形维数为1.400 9，误差约为6.6%，与文献[4, 28]的误差相当，在误差允许的范围内. 图5中可以看出，随着滤波器通带半径D0的减小，曲线对应的分形维数逐渐减小，当D0=8时，曲线的分形维数已接近于1，即曲线已几近无分形特征，这与文献[29]得到的结论类似，证明了此法的可行性.

自2010年起，部分房地产估价机构先后开启了信息化探索之路，并取得了一定成果。主要分为两种类型：一类为独立运营，较为典型的有深圳世联、深圳国策、深圳评估中心、北京国信达等；另一类为联盟运营，较为典型的有中估联行、中房评、恒基数据、云估价、云房等。不管是独立运营，还是联盟运营，各房地产估价机构都致力于自动估价系统、知识管理系统、业务流程系统、自动办公系统、押品重估系统、不动产运营管理系统、投贷后资金管理服务系统等信息产品的开发与应用，以进一步提升传统业务服务效率和不断开拓新型业务发展空间，也对行业面临的现状困境起到了一定的改善作用。

(5) 重新对每一个原子的坐标(xi, yk, zp)进行扫描，比较zp与A(i, k)的大小，若：zp≤A(i, k)，则将该原子的坐标信息输出到原子的模型文件，否则不输出(即意味着zp＞A(i, k)的原子被删除).

扫描完最后一个原子，就可以得到符合z(x, y)表达式特征的表面形貌，其中二维矩阵A存储着表面形貌的高度分布信息.

2 分形W-M函数决定的粗糙表面

由于上述方程的两边都为正，因此可以对方程两边取对数，得：

2.1 纳观分形粗糙面建立

二维W-M分形函数[17–18]广泛应用于摩擦学中粗糙表面的构建，其函数表达式为

 

式中：L是模拟表面的尺寸大小；G是独立于频率的高度比例系数，反映着表面高度的大小；D是分形维数(2＜D＜3)；γ是频率密度，对于服从正态分布的随机表面γ一般取为1.5；n是频率指数，nmax=int[log(L/Ls)/log γ]是迭代时n的上限；x、y为轮廓位移坐标；z(x, y)为随机粗糙表面的高度；M是表面粗糙峰的叠加数量； 为(0,2π)中均匀分布的随机相位；Ls为最小分辨率.

对于由式(1)决定的连续表面，Ls取决于模拟表面所需达到的最小分辨率，而在离散表面中，为遍历每一个原子列对应的高度，Ls需取为晶胞中相邻两原子的最短垂直距离.

单晶铜是面心立方晶体，其晶体内部的原子间距存在一个最小公倍数，因此Ls应设置为该最小公倍数.利用前述删除原子法，可得单晶铜纳观分形粗糙面模型，如图2所示，图中模型尺寸为18.073 5 nm×18.073 5 nm×14.097 3 nm，粗糙表面的参数为D=2.5，G=0.107 Å，M=10，L=18.073 5. 从图2(a)看到，该粗糙表面存在着许多孤立的原子列，即该列原子比相邻列要高出数个(＞3)原子的高度，这样的结构在分子动力学模拟中是不稳定的；图2(b)则显示了这种不稳定性，图中孤立原子列中的原子脱离基底悬浮在基底上方，这样的模型无法用于分子动力学模拟中，因此，还需对模型进一步处理.

  

Fig.2 Isolated atomic columns and suspended atomic groups formed by themselves图2 孤立原子列及其所形成的悬浮原子团

2.2 纳观分形粗糙面的滤波

孤立原子列的出现主要与W-M分形函数的特性有关，在连续介质中W-M分形函数处处连续但处处不可微，而进入到不连续介质后，由于其不可微的特性，导致对于某一个原子列而言，其周围原子列的高度相对于该原子列的高度的变化率是不同的，即进入到不连续介质后，函数的连续性被破坏. 必须通过对二维矩阵A进行滤波处理.

【美国国家核军工管理局网站2018年9月28日报道】 美国能源部(DOE)国家核军工管理局(NNSA)2018年9月28日宣布，B61-12核航空炸弹的最终设计评审已经完成，确认该航弹能够满足国防部的标准。军工局拟于10月在潘得克斯工厂(Pantex Plant)启动生产认证活动，目标是在2020年3月启动首枚B61-12的生产。

式中：D0表示滤波器的通带半径；D(u, v)表示采样频率点与图像频域中心点的距离.

过电压检测装置内部结构如图2所示。由图2可知，测量电极为铜质金属圆盘状，通过连接电缆与受电弓相连。天线为球形，半径为3.9 cm,位于底部中心位置。天线罩由薄金属制成，呈光滑抛物面，而球形天线位于空间抛物面的天线罩焦点处。当圆盘电极上有变化的电压出现时，会引起装置检测腔内电场与磁场的变化。在抛物面所在空间，电磁场主要是以感应场存在，此时磁场分量与电场分量无特定的关系，且磁场分量数值极小。因此仅检测电场分量在天线中的极化响应强度[7-9]，则可以保证高电压检测精确度。

水平三角形的第（4）浪之后，进入一气呵成的第（5）浪，至2015年6月7559点结束。当初将2013年6月底的低点划分作第（4）浪终点，将（4）浪D看作（5）浪1——这是常见的错误——因此才有后来的（5）浪5预期。7559点结束第（5）浪，这是循环浪III的顶点，因此后面的调整属于循环浪IV。其中，第一个浪A可能会于2019年结束，特别是当国证A指跌至上升通道的下轨时，配合波浪理论，将成为循环浪IV第一个买点。

 

式中：u、v为频域采样序号；F(u,v)为A(i, k)的傅里叶系数；(–1)i+k为滤波的中心化变换(便于后续的滤波)；N2为二维粗糙表面的采样点数，该模型中N=L/Ls；det Z为模型中心平面的高度值，为保证后续傅里叶逆变换过程中中心平面负方向的点不丢失，需使det Z＞max{|A(i, k)|}，max{|A(i, k)|}表示矩阵A中元素绝对值的最大值；j为虚数单位，j2=–1.

自始至终抓学习。新时代组织路线是指南，是遵循，每个组工干部都要认真学习。一要学深点，领会精神把方向。要把握新时代组织路线的科学内涵，吃透总要求，理解新精神，抓住新重点，落实新部署。二要结合实际，找准落实切入点。将新时代组织路线同学习习近平新时代中国特色社会主义思想、同贯彻党的十九大精神结合起来，同“两学一做”学习教育常态化制度化、同“不忘初心、牢记使命”结合起来，自觉做到思想上认同、政治上依靠、工作上服从。三要当好主角，扛起践行总责任。组工干部要把落实新时代组织路线作为重大政治任务来抓，真正把落实主体责任放在心上、扛在肩上、抓在手上，切实做到落实有责、推动尽责、深入负责。

对应的二维离散傅里叶逆变换如下：

 

其中：Asmooth(i, k)为经过H(u, v)滤波后的分形粗糙面的高度值；(–1)i+k为将变换后的图像移回原图像的中心；G(u,v)=H(u,v)F(u,v)，H(u,v)表示低通滤波器. 孤立原子列可视为粗糙表面的高频信号，通过调节H(u,v)可滤去高频信号，逐步消除孤立的原子列，其表达式为

 

将二维矩阵A看成是一个二维信号，对于A中的元素A(i, k)，其二维离散傅里叶变换的表达式如下[19–20].

例3：原文：I need you to go to London and meet someone,a Richard Bromley in SO15.

  

Fig.3 Filtered W-M fractal rough surface morphology图3 经滤波后的W-M分形粗糙表面形貌

2.3 通带半径对分形特征的影响

  

Fig.4 Influence of passband radius D0 on the fractal curve图4 通带半径D0对分形曲线的影响

滤波过程中，通过改变通带的半径D0可以得到粗糙程度不同的表面，但D0的改变会影响粗糙表面的分形特征. 图4是不同D0对图2(a)中截面y=50的轮廓曲线的影响，可以看到，随着D0的减小，曲线越来越光滑，原分形曲线的特征丢失越来越严重.

鉴于洪水来势凶猛，11月13日22时，云南电网公司将自然灾害Ⅳ级响应调整为Ⅱ级响应，迪庆、丽江立即启动并进入自然灾害应急一级响应实战状态，工作人员到岗到位，应急指挥中心有序开展应急指挥工作，提前做好洪水过境区间相关指挥部和安置点的供电和服务工作，同时做好相关工作人员的生活后勤保障工作，做到统一领导，紧张有序，临危不乱。

现代课程论指出：“课程现象表现为三个方面或层次：一是物质性；二是活动性；三是关联性。”[4]我国当前的微课程现象均从不同的角度表现出三种层次或关联：在物质性上，微课程是各种教学资源的整合（包括视听资源、网络资源、信息技术工具等）；在活动性上，微课程包括独立的学习活动、交互学习活动，具有学习形式灵活多样便捷，不限时、不限地、碎片化学习优势；在关联性上，微课程的目标、内容和组织结构等是在吸收了传统课程思想的基础上与现代信息技术的有机结合。

根据式(2～5)，对图2(a)中的孤立原子列进行滤波，可得到消除了孤立原子列的分形粗糙面如图3(a)所示，图中D0=8；图3(b)为弛豫后的模型，除边界原子外，其与原结构完全相同，且无悬浮于基底上方的原子或原子团.

对于用分形几何表征的表面，分形维数是其分形特征的重要参数，反映着表面粗糙度的水平[21–22]. 对于不同的测度和研究对象，分形维数有着不同的定义方式，其中常出现的是相似维数Ds和Hausdorff维数DH，对于多数分形而言，这两种维数是难以计算的，因此出现了许多等价和相似的维数，其中计盒维数[23-26]因易于程序化计算得到了广泛的应用. 该方法[26]是通过改变图形的观察尺度来实现的，设A是Rn空间的任意非空有界子集，对于任意的一个r＞0，Nr(A)表示用来覆盖A所需边长为r的n维立方体(盒子)的最小数目，如果存在一个数d，使得当r→0时，有：

病虫害是农业种植中必须注意的部分，也是玉米高产栽培技术推广过程中需要进行配套推广的内容，推广工作人员需要针对所选玉米品种进行病虫害防治内容的筛选，例如某山区多发玉米丝黑穗病和玉米螟，玉米种植过程中需要进行相应的药物处理和施用，用粉锈宁、萎锈灵、速保利、氧环宁缓释剂、多菌灵可湿性粉剂等对玉米的拌种都可以达到防治的好效果，玉米喇叭口期用苏云金杆菌300ml兑水50kg进行喷雾可以有效抑制玉米螟，因此玉米病虫害并不可怕，只要采取了合适的防治手段，就可以得到有效抑制，可以成为玉米高产栽培技术推广应用的有效辅助手段。

 

那么称d为A的盒维数. 注意：盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得：

 

基于以上建模方法，以单晶铜为例，建立以单晶铜为基底的纳观分形粗糙表面模型.

 

进一步求得：

 

这里，舍去了logk这一项，因为它是常数项，当r→0时，分母趋于无穷大.

由式(9)可知，对上述过程中得到的r和Nr(A)在双对数坐标中进行线性回归，得到的回归直线的斜率的负值即为图形的分形维数.

(4) 遍历所有原子坐标，计算出所有A(i, k)的值；

由前述可知，滤波过程会导致表面分形维数的减小，即会造成表面分形特征的丢失，为了尽可能多地保留粗糙表面的初始分形特征应选择尽可能大的滤波器通带半径D0；而另一方面，D0过大会使得表面不合理结构过多，造成模拟过程中悬浮原子团的出现.通过能量最小化可以在一定程度上改善这个过程.

为了确定最合适的D0，可以先通过对滤波后的表面结构进行能量最小化，并弛豫使得体系的总能量达到平衡. 体系能量稳定后，如果表面出现图2(b)中悬浮在基底上方的原子团，则意味着此时的D0过大，需减小D0的值；如果表面已经不存在悬浮原子团，则可以适当增大D0的值，以使表面具有更多的分形特征. 通过这一调节过程即可获得最合适的D0，即：当D0达到某一个值后，表面恰好不出现悬浮原子团，则此时为最合适的D0.

  

Fig.5 Dimension calculation results by box counting method图5 盒计数法维数计算结果

  

Fig.6 Energy minimization of rough surface图6 粗糙表面的能量最小化

2.4 能量最小化

能量最小化是以初始结构为起点，寻找系统总势能最低点的过程，通过该过程可以优化初始结构，得到合理稳定的表面结构. 系统的总势能E可表示成分子间(或分子内)的非键结范德华作用以及分子内部键、角等键合项的总和，它是所有原子几何位置R的函数，即：能量最小化即是求该函数极小值的过程，用该方法求得的结构是几何优化结构[30–31].

由图3～5中可知，图3中的粗糙表面(D0=8)虽无悬浮原子或原子团，但此时表面几近无分形特征，为了尽可能多地保留初始表面更多的分形特征，通过增大D0可得到具有更多分形特征的表面，图6显示了D0=15的粗糙表面及其经过能量最小后的粗糙表面. 从图6(a)可知，D0增大，表面分形特征增加了，但该结构中有许多尖锐的粗糙峰，如果直接对该结构进行弛豫，仍然会出现悬浮的原子团，若对此表面进行能量最小化，则可以得到图6(b)中显示的优化结构，此时表面结构已趋于稳定且具有较多的分形特征.

2.5 实测表面形貌的模拟

试验采用法国Stil S.A公司的Micromeasure2三维表面形貌仪对一个经抛光的纯铜表面进行采集，采样的范围为1 000 μm×1 000 μm，采样间隔为2 μm，测得一组大小为501×501的样本数据Ameasure，如图7(a)所示. 通过对此样本数据进行归一化处理，选取模型需要的高度系数H即可得到高度分布矩阵A，则：

 

式中：Ameasure,max、Ameasure,min分别为Ameasure中元素的最大值和最小值.

工程地质勘察中物探方法和钻探方法的结合应用策略……………………………………………… 陈宇，曹旖旎（11-45）

利用此高度分布矩阵经过论文前述的滤波和原子删除的操作过程后，即可得到符合该实测表面形貌特征的纳观粗糙表面，如图7(b)所示，图中H=30 nm，模型尺寸为90.367 5 nm×90.367 5 nm×30.725 0 nm，原子数为6 766 223个.

  

Fig.7 Measured and simulated rough surface morphology图7 实测与模拟粗糙表面形貌

3 总结

a. 该方法适用于单原子分子构成的纳观模型，通过控制模型的边界特性来删除指定的原子，可建立表面具有分形特征的纳观模型.

b. 由W-M分形函数决定的粗糙表面，以相邻晶面的最小距离作为扫描间距时，得到的是含有孤立原子列的不稳定结构，通过傅里叶变换以及滤波处理可以改善这一过程.

c. 滤波器通带半径的减小使分形粗糙表面越来越光滑，逐渐消除了孤立原子列的影响，但当通带半径减小到某一个值时，表面的分形特征消失了，因此建模过程中需要根据实际的要求选取合适的通带半径.

(3)凝灰熔岩、凝灰岩铜铁矿石。该矿石中矿石矿物为磁铁矿、针铁矿、黄铁矿、黄铜矿、孔雀石等，脉石矿物为晶屑、玻屑等，矿石主要为细粒结构、他形晶粒结构，星点浸染状构造。

d. 为了尽可能多地保留分形特征，可以适当增大通带半径，然后通过能量最小化的方法进行优化，从而获得纳观分形粗糙面的稳定结构.

参 考 文 献

[1]Jackson M J. Microfabrication and nanomanufacturing[M]. Boca Raton: Crc Press, 2005: 1–16

[2]Luo Jianbin, He Yu, Wen Shizhu, et al. Challenges to tribology arisen from the development of micro-and nano-manufacturing technology[J]. Tribology, 2005, 25(3): 283–288 (in Chinese) [雒建斌, 何雨, 温诗铸, 等. 微/纳米制造技术的摩擦学挑战[J]. 摩擦学学报, 2005, 25(3): 283–288]. doi: 10.3321/j.issn:1004-0595.2005.03.020.

[3]Tong. Adaptive multiscale method for two-dimensional nanoscale adhesive contacts[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2013, 26(3): 606–612. doi: 10.3901/CJME.2013.03.606.

[4]Ge Shirong, Zhu Hua. Tribological fractal[M]. Beijing: China Machine Press, 2005: 101–103, 110–113 (in Chinese) [葛世荣, 朱华. 摩擦学的分形[M]. 北京: 机械工业出版社, 2005: 87–88,110–113].

[5]Zhou Chao, Gao Chenghui. Comparative study on fractal surface modeling methods[J]. Chinese Journal of Construction Machinery,2011, 9(3): 258–261 (in Chinese) [周超, 高诚辉. 分形表面建模方法的比较研究[J]. 中国工程机械学报, 2011, 9(3): 258–261].

[6]H Eid, G G Adams, N E McGruer, et al. A combined molecular dynamics and finite element analysis of contact and adhesion of a rough sphere and a flat surface[J]. Tribology Transactions, 2010,54(6): 920–928.

[7]Lin J F, Fang T H, Wu C D, et al. Contact and frictional behavior of rough surfaces using molecular dynamics combined with fractal theory[J]. Computational Materials Science, 2007, 40(4): 480–484.doi: 10.1016/j.commatsci.2007.01.012.

[8]Noorian H, Toghraie D, Azimian A R. Molecular dynamics simulation of poiseuille flow in a rough nano channel with checker surface roughnesses geometry[J]. Heat and Mass Transfer, 2014,50(1): 105–113. doi: 10.1007/s00231-013-1232-x.

[9]Solhjoo S, Vakis A I. Molecular dynamics simulations of rough contact with fractal and statistical surface generation[C]. In: ASME 2014, Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis. 2015: V003T14A002-V003T14A002.

[10]Si Lina, Wang Xiaoli. A molecular dynamics study on adhesive contact processes of surfaces with nanogrooves[J]. Journal of Physics, 2014, 63(23): 189–196 (in Chinese) [司丽娜, 王晓力. 纳米沟槽表面黏着接触过程的分子动力学模拟研究[J]. 物理学报,2014, 63(23): 189–196].

[11]Bai L, Srikanth N, Korznikova E A, et al. Wear and friction between smooth or rough diamond-like carbon films and diamond tips[J].Wear, 2017, s 372–373: 12–20.

[12]Liu Yuandong. Digital modeling of surface functional structure based on fractal description [D]. Guangzhou: South China University of Technology, 2011 (in Chinese) [刘远东. 基于分形表述的表面功能结构的数字化建模[D]. 广州: 华南理工大学, 2011].

[13]Luan B, Robbins M O. Hybrid atomistic/continuum study of contact and friction between rough solids[J]. Tribology Letters, 2009, 36(1):1–16. doi: 10.1007/s11249-009-9453-3.

[14]Spijker P, Anciaux G, Molinari J F. The effect of loading on surface roughness at the atomistic level[J]. Computational Mechanics, 2012,50(3): 273–283. doi: 10.1007/s00466-011-0574-9.

[15]Spijker P, Anciaux G, Molinari J F. Dry sliding contact between rough surfaces at the atomistic scale[J]. Tribology Letters, 2011,44(2): 279. doi: 10.1007/s11249-011-9846-y.

[16]Zheng X, Zhu H, Tieu A K, et al. A molecular dynamics simulation of 3D rough lubricated contact[J]. Tribology International, 2013,67(4): 217–221.

[17]Ausloos M, Berman D H. A multivariate weierstrass-mandelbrot function[J]. Proceedings of the Royal Society of London, 1985,400(1819): 331–350. doi: 10.1098/rspa.1985.0083.

[18]Komvopoulos K, Ye N. Three-dimensional contact analysis of elastic-plastic layered media with fractal surface topographies[J].Journal of Tribology, 2001, 123(3): 632–640. doi:10.1115/1.1327583.

[19]Gonzalez, Rafael C, Woods, et al. Digital image processing[J].Prentice Hall International, 2008, 28(4): 484–486.

[20]Zhou Chao, Huang Jianmeng, Gao Chenghui. Modeling of anisotropic fractal surface[J]. Zhongguo Jixie Gongcheng/China Mechanical Engineering, 2015, 26(8): 1019–1023 (in Chinese) [周超, 黄健萌, 高诚辉. 各向异性分形表面建模研究[J]. 中国机械工程, 2015, 26(8): 1019–1023].

[21]Ge Shirong. Fractal feature and fractal expression of rough surfaces[J]. Tribology, 1997, 17(1): 73–80 (in Chinese) [葛世荣. 粗糙表面的分形特征与分形表达研究[J]. 摩擦学学报, 1997, 17(1):73–80]. doi: 10.16078/j.tribology.1997.01.011.

[22]Chen Guoan, Ge Shirong, Wang Junxiang. Application of fractal geometry in tribology[J]. Tribology, 1998, 18(2): 179–184(in Chinese) [陈国安, 葛世荣, 王军祥. 分形理论在摩擦学研究中的应用[J]. 摩擦学学报, 1998, 18(2): 179–184]. doi: 10.16078/j.tribology.1998.02.017.

[23]Falconer K. Techniques in fractal geometry[M]. New York: Wiley,1997: 38–46

[24]Zhang Jizhong. Fractal. 2nd edition[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2011: 73–89 (in Chinese) [张济忠. 分形. 第2版[M]. 北京: 清华大学出版社, 2011: 73–89].

[25]Gagnepain J J, Roques-Carmes C. Fractal approach to twodimensional and three-dimensional surface roughness[J]. Wear,1986, 109(1): 119–126.

[26]Zhu Hua, Ji Cuicui. Fractal theory and its applications[M]. Science Press, 2011: 22–53 (in Chinese) [朱华, 姬翠翠. 分形理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2011: 22–53].

[27]Bora C K, Flater E E, M D Street, et al. Multiscale roughness and modeling of MEMS interfaces[J]. Tribology Letters, 2005, 19(1):37–48. doi: 10.1007/s11249-005-4263-8.

[28]Peng Ruidong, Xie Heping, Ju Yang. Computation method of fractal dimension for 2-D digital image[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2004, 33(1): 19–24 (in Chinese) [彭瑞东, 谢和平, 鞠杨. 二维数字图像分形维数的计算方法[J]. 中国矿业大学学报, 2004, 33(1): 19–24].

[29]Ren Zhiying, Gao Chnghui, Lin Jianxing, et al. Application of composite evaluation method in the assessment of three-dimensional rough surface[J]. Jiliang Xuebao/acta Metrologica Sinica, 2014,35(5): 414–419 (in Chinese) [任志英, 高诚辉, 林建兴, 等. 复合评定法在三维粗糙表面评定中的应用[J]. 计量学报, 2014, 35(5):414–419].

[30]Zhang J. The hybrid idea of optimization methods applied to the energy minimization of (prion) protin structures focusing on the beta2-alpha2 loop[C]. In: The Workshop on Continuous Optimization: Theory. arXiv, 2015: 2402.

[31]Chen Zhenglong, Xu Weiren, Tang Lida. Theory and practice of molecular simulation[M]. Beijing: Chemical Industry Press, 2007:24–48(in Chinese) [陈正隆, 徐为人, 汤立达. 分子模拟的理论与实践[M]. 北京: 化学工业出版社, 2007: 24–48].