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广义Cauchy型Taylor公式“中间点”的渐近性

更新时间：2009-03-28

0 引言

近年来，对于中值定理“中间点"渐进性的研究取得了一些进展，并得到了一些重要结果(见文献[1-4]).文献[1]讨论得到了一个高阶导数形式的、广义的 Cauchy 型 Taylor 公式，文献[2]得到了广义Cauchy中值定理“中间点”渐进性的一个表达式，并对已有的渐进性结果进行了推广.

引理1 若(1)f(k)(x)(k=1,2,…n)与g(k)(x)(k=1,2,…m)在区间[a,b]连续；(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在区间[a,b]上存在，且∀x∈[a,b],g(m+1)(x)≠0，则至少存在一点 ξ∈(a,b)使得

 

(1)

1 主要结果与证明

定理1 若(1)f(k)(x)(k=1,2,…n)与g(k)(x)(k=1,2,…m)在U(a)连续；

(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)存在，且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，且g(m+1)(x)在a点连续；

(3)存在α>-1,β-1，使得

则有

 

(2)

证明 f(k)(x)(k=1,2,…n)在U(a)连续且利用n+1次L' Hospital法则，有

 
 
 
 
 

同理可证，

定理2 若(1)f(k)(x)(k=1,2,…,n)与g(k)(x)(k=1,2,…,m)在U(a)连续；

(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)存在，且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，且g(m+1)(x)在a点连续；

(3)存在α>-1,β-1，使得

则(1)式所确定的“中间点”ξ满足

 

(3)

证明 构造辅助函数

 
 

(4)

另一方面，由引理1

 
 

其中ξ介于a与x之间，当x→a有ξ→a于是

 
 
 

(5)

由(4)和(5)式，

定理3若(1)f(k)(x)(k=1,2,…n)与g(k)(x)(k=1,2,…n)在U(a)连续；

(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)存在，且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，且g(m+1)(x)在a点连续；

(3)存在α>-1,β>-1，使得

则(1)式所确定的“中间点”ξ满足

 

(6)

证明 构造辅助函数

 
 

(7)

另一方面，由引理1及Taylor公式

 
 
 

(8)

由∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，且g(m+1)(x)在a点连续，其中ξ介于a与x之间，η介于a与x之间，当x→a有ξ→a,η→a,有

由(8)式及已知

 
 

(9)

由(7)和(9)式，

 

参考文献：

[1] 苏翎，赵振华，董建．一个广义的Cauchy型的Taylor公式[J]．数学的实践与认识，2009,39(21):214-216．

[2] 杜争光.微积分中值定理的统一及推广.荆楚理工学院学报[J].2011年2月,26(2):34-36.

[3] 杜争光.广义Cauchy中值定理“中间点”的渐进性[J].数学的实践与认识.2015年7月,45(13):268-271.

 
刘红玉
《绵阳师范学院学报》 2018年第05期
《绵阳师范学院学报》2018年第05期文献

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