广义Cauchy型Taylor公式“中间点”的渐近性
0 引言
近年来,对于中值定理“中间点"渐进性的研究取得了一些进展,并得到了一些重要结果(见文献[1-4]).文献[1]讨论得到了一个高阶导数形式的、广义的 Cauchy 型 Taylor 公式,文献[2]得到了广义Cauchy中值定理“中间点”渐进性的一个表达式,并对已有的渐进性结果进行了推广.
引理1 若(1)f(k)(x)(k=1,2,…n)与g(k)(x)(k=1,2,…m)在区间[a,b]连续;(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在区间[a,b]上存在,且∀x∈[a,b],g(m+1)(x)≠0,则至少存在一点 ξ∈(a,b)使得
(1)
1 主要结果与证明
定理1 若(1)f(k)(x)(k=1,2,…n)与g(k)(x)(k=1,2,…m)在U(a)连续;
(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)存在,且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0,且g(m+1)(x)在a点连续;
(3)存在α>-1,β-1,使得
则有
(2)
证明 f(k)(x)(k=1,2,…n)在U(a)连续且利用n+1次L' Hospital法则,有
同理可证,
定理2 若(1)f(k)(x)(k=1,2,…,n)与g(k)(x)(k=1,2,…,m)在U(a)连续;
(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)存在,且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0,且g(m+1)(x)在a点连续;
(3)存在α>-1,β-1,使得
则(1)式所确定的“中间点”ξ满足
(3)
证明 构造辅助函数
(4)
另一方面,由引理1
其中ξ介于a与x之间,当x→a有ξ→a于是
(5)
由(4)和(5)式,
定理3若(1)f(k)(x)(k=1,2,…n)与g(k)(x)(k=1,2,…n)在U(a)连续;
(2)f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)存在,且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0,且g(m+1)(x)在a点连续;
(3)存在α>-1,β>-1,使得
则(1)式所确定的“中间点”ξ满足
(6)
证明 构造辅助函数
(7)
另一方面,由引理1及Taylor公式
(8)
由∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0,且g(m+1)(x)在a点连续,其中ξ介于a与x之间,η介于a与x之间,当x→a有ξ→a,η→a,有
由(8)式及已知
(9)
由(7)和(9)式,
参考文献:
[1] 苏翎,赵振华,董建.一个广义的Cauchy型的Taylor公式[J].数学的实践与认识,2009,39(21):214-216.
[2] 杜争光.微积分中值定理的统一及推广.荆楚理工学院学报[J].2011年2月,26(2):34-36.
[3] 杜争光.广义Cauchy中值定理“中间点”的渐进性[J].数学的实践与认识.2015年7月,45(13):268-271.
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