1 问题提出

优化规划问题等价于在约束条件下求解目标函数的最值，尽管约束条件表现为二维平面内的一条直线或折线，但是目标函数却表现为三维空间内的一张曲面，因此，如何将三维空间曲面转化为二维平面曲线便构成了图解优化规划问题的核心要点。沿袭地理学中的“等高线”原理，将二元总量函数的三维空间曲面投影到二维平面内，则可以得到二维平面内的等值线；再利用三维空间曲面在二维平面内的投影与预算约束线之间的关系，则可以直观地求解目标函数的最值。

在收入既定条件下，消费者如何选择商品消费束，以实现其效用最大化？为此，经济学家构建了两商品消费模型。模型基本假设为：消费者只消费X和Y两种商品；消费者的效用函数为U（X，Y）；商品X和商品Y的市场价格分别为PX和PY；消费者的收入既定，且收入等于支出，即M=E。面临XPX+YPY=M预算约束条件的消费者，如何选择商品消费束（X，Y），以实现效用最大化？

尽管利用拉格朗日等纯代数方法，可以求出上述模型的均衡解，但是，利用图解优化规划方法则更具直观性和经济学含义。

2 约束条件与预算约束线

商品X和商品Y的价格（PX，PY）和消费者的收入（M）固定不变，所以，消费者只能对商品X和商品Y的消费量进行选择。在二维平面内，如果用X轴表示商品X的消费量，用Y轴表示商品Y的消费量，那么，可供消费者选择的商品消费束全部位于平面直线XPX+YPY=M上。经济学家将预算约束方程XPX+YPY=M在平面内的几何直线称为预算约束线。

关于TBD234V8柴油机可靠性启动系统设计的研究………………………………………………… 张朋，杜江（8-262）

3 效用函数与无差异曲线

预算约束方程的图像为二维平面内的一条直线，然而，作为二元函数的效用函数U（X，Y）的图像却是三维空间内的一张曲面。例如，如果消费者的效用函数为 U（X，Y）=10X0.25Y0.75，则该效用函数的三维图像如图1（a）所示。受地理学中“等高线”的启发，可以绘制图1（a）中的空间曲面的等高线（经济学家将等效用线称之为效用无差异曲线），如图 1（b）所示。

当时（如图2中的a点），此时，只要按照市场交换条件增加商品X的消费量，减少商品Y的消费量，便能提高消费者的效用水平，因此，消费者必然沿着预算约束线，将商品消费束（X，Y）从点a移向点E。

  

图1 效用函数的空间曲面及在二维平面内的等高线

在实验过程中,仅考虑温度对stokes光输出特性的影响。因此在恒温恒湿箱中,将相对湿度设置为0,而且单模光纤不受应力。sp光光功率固定在0.5 mW,波长为1 550 nm,980泵浦功率为600 mW。温度从0 ℃调节到100 ℃,温度梯度为10 ℃,并在上述设置下进行了一系列实验测试。

 

4 最优商品消费束

存在切点解的情况下，消费者均衡点必然位于预算约束线与无差异曲线的切点处，否则，只要调整商品消费束，便会提高消费者的效用水平，如图2所示。

  

图2 消费者均衡

在维持效用水平不变的前提下，即沿着一条既定的无差异曲线滑动，消费者增加一种商品的消费量必然导致另一种商品的消费量减少，即两种商品之间存在着相互替代关系。经济学家将商品对商品之间的替代关系称为边际替代率，并将边际替代率记为

本文使用DEA Solver Pro 5.0及DEAP2.1进行运算，对青岛市市北区29家医养结合型养老服务机构进行服务效率测算，测算结果视为综合绩效评价结果（见表4）。

当商品消费束位于点E时，消费者不再存在调整商品消费束的任何激励，所以，点E便成为消费者的均衡点。

5 成本最小化问题

既定产量条件下，厂商如何选择生产要素组合实现成本最小化？为此，经济学家构建了两要素生产模型。该模型的基本假设为：代表性厂商只使用资本（K）和劳动力（L）两种投入要素；厂商的生产函数为 Q（K，L）；资本（K）和劳动力（L）的价格分别为r和ω；厂商的生产成本函数为C=ωL+rK。

面临约束条件Q（K，L）=Q，生产者如何选择生产要素组合（K，L），以实现生产成本最小化？

5.1 等成本线

在生产要素市场上，对资本（K）还是劳动力（L）的购买支付构成了企业的生产成本。在成本（C）和生产要素价格（r，ω）既定条件下，企业可以购买到的资本（K）和劳动力（L）的各种不同数量组合（K，L）的点的轨迹被称为等成本线。在成本（C）和要素价格（ω，r）既定条件下，厂商只能对生产要素组合（K，L）进行调整，因此，可供厂商选择的生产要素组合（K，L）全部位于直线C=ωL+rK上。

Jungermannia ohbae Amkawa，Fl. 熊 源 新 等（2006）；杨志平（2006）

5.2 生产函数与等产量线

类似于刻画消费者偏好的效用函数U（X，Y），刻画生产者技术的生产函数Q（K，L）的图像也是三维空间内的一张曲面。例如，如果生产函数为 Q（K，L）=50K0.3L0.7，则该生产函数的图像如图3（a）所示。受地理学中“等高线”的启发，可以绘制图3（a）中空间曲面的等高线（经济学家称之为等产量线），如图 3（b）所示。

增加商品X的消费量，导致消费者的效用增加 ΔU=MUX·ΔX；减少商品 Y的消费量，导致消费者的效用减少ΔU=MUY·ΔY。同一条无差异曲线上各点处的效用相等，表明 MUY·ΔY+MUX·当ΔX→0时，则有，或者对总效用函数 TU（X，Y）=为某无差异曲线所代表的效用量）两边同时求全微分可得：

  

图3生产函数的空间曲面及在二维平面内的等高线

等产量曲线切线斜率的绝对值的经济学含义：维持产出量不变的前提下，一种要素投入替代另一种要素投入的数量关系，因此，经济学家称之为边际技术替代率，并将其记为

应试教育下，学生除了课本的阅读外，阅读更多是的工具书和教辅资料，课外阅读行为是针对考试而产生的，这大大降低了学生阅读的兴趣。且阅读行为是以考试为目的，让学生产生了不愿阅读其他的书籍的想法，长此以往，学生的阅读积极性减弱，阅读量无法增加。学生的阅读量少，不仅影响了学生对知识领域的开辟，还直接导致了知识储备的贫瘠，影响个人在学习上的发展，阅读能力无法得到提升。

 

增加劳动力 （L）投入量，厂商的产量增加ΔQ=MPL·ΔL；减少资本（K）投入量减，厂商的产量减少ΔQ=MPK·ΔK。同一条等产量线上，任意两点处的产量均相等，表明 MPK·ΔK+MPL·ΔL=0，从而可以求得当ΔL→0时，，或者对 Q（K，L）=Q（定产量为 Q的等产量线）两边同时微分可得MPL·d L+MPK·d K=0，整理得

5.3 最优生产要素组合

长期内，所有生产要素的投入数量都可以变动，生产者必然选择最优的生产要素组合进行生产。利用等产量线和等成本线，可以研究生产者如何选择最优生产要素组合，从而实现既定产量条件下的成本最小化，如图4所示。

  

图4 既定产量下的成本最小化

当时（如图4中的a点），此时，只要按照厂商愿意接受的劳动力（L）和资本（K）的替换比，增加劳动力（L）投入量，减少资本（K）投入量，便能降低厂商的生产成本，因此，追求成本最小化的厂商必然增加劳动力（L）的投入量，减少资本（K）的投入量。表现为厂商沿着等产量线，将投入要素组合（L，K）从点a移向点E。

当时（如图2中的b点），此时，只要按照市场交换条件减少商品X的消费量，增加商品Y的消费量，便能提高消费者的效用水平，因此，消费者必然沿着预算约束线，将商品消费束（X，Y）从点b移向点E。

当时（如图4中的b点），此时，只要按照厂商愿意接受的劳动力（L）和资本（K）的替换比，减少劳动力（L）投入量，增加资本（K）投入量，便能降低厂商的生产成本，因此，追求成本最小化的厂商必然减少劳动力（L）的投入量，增加资本（K）的投入量。表现为厂商沿着等产量线，将投入要素组合（L，K）从点b移向点E。

当生产要素组合位于点时，厂商不再存在调整生产要素组合的任何激励，因为已确保了厂商的成本最小化，所以，点E便成为厂商的均衡点。

由图6可以看出，当X=12，Y=6时，企业实现了利润最大化。

6 利润最大化问题

该企业的约束条件在平面直角坐标系内表现为一个不规则四边形，然而，企业利润函数π=8X+6Y的图像则是一张三维空间曲面，如图5（a）所示。受地理学中“等高线”的启发，可以绘制图5（a）中的空间曲面的等高线（经济学家称之为等利润线），如图 5（b）所示。

 

表1 生产X和Y两种产品时的相关数据

  

名 称 产品X 产品Y 工序可利用时间/h制造工序上的时间/h 2 4 48装配工序上的时间/h 4 2 60单位产品利润/元 8 6

企业利润最大化问题的优化规划如下：

 

假设生产产品X和Y产品都需要经过制造和装配两道工序。假设某企业只生产X和Y两种产品，且产品X和产品Y的市场需求旺盛，不存在滞销问题。试问产品X和产品Y各生产多少时，该企业利润达最大化？相关数据如表1所示。

  

图5利润函数的空间曲面及在二维平面内的等高线

根据以上分析，可以将由约束条件构成的多边形和等利润线绘制在同一个平面直角坐标系内，如图6所示。

  

图6 图解优化规划

保险经纪是近年来新起的保险中介机构，其弥补了建设项目业主和承包商不懂保险策划理赔等不足，利用其保险专业方面的知识为被保险人提供专业建议。但是因其发展良莠不齐，且每个工程都具有唯一性和自身特点，工程被保险人可借助保险经纪的专业建议以及本工程的特点，制定合理的保险策划和理赔。

7 结束语

尽管两商品消费者模型是微观经济学中极简单的数理模型，但是，这个模型却为人们理解和构建数理模型提供了基础性指导，如果透彻理解了两商品消费者模型，那么，不仅能较容易掌握马歇尔的基数效用论和希克斯的序数效用论，为学习生产者理论扫清障碍，为构建数理模型打下了良好基础；而且，可以将大多数经济学问题和管理学问题归结于约束条件下的最值问题，甚至，可以将高中数学中的“数形结合”拓展到经济学和管理学中进行实际应用。

料仓设计的主要问题在于料仓的容量和预防饲料结拱。结拱是指物料受力后形成稳定的静止层，物料无法顺畅流动。由于结拱形成的原因比较复杂，所以设计时采取了多种措施，首先要求在加工时保证料仓内表面的光滑，另外加大壁面倾角使其大于休止角，还在料斗内加纵向隔板使料仓内部形成不对称结构，这些措施都能够较好地预防结拱现象的发生。

参考文献：

[1]平狄克.微观经济学[M].8版.北京：中国人民大学出版社，2013：82-125.

[2]佘时飞.微观经济学中的创新思维[M].北京：清华大学出版社，2015：12-53.

[3]佘时飞.微观经济学分析方法[M].北京：清华大学出版社，2016：64-98.

[4]佘时飞.经济学基础 [M].北京：清华大学出版社，2017：53-89.

图3、4：引自htt ps://www.archdail y.com/800294/pl at anenku bus-nagol d-l udwichoenl e/；

[5]佘时飞.金融学原理[M].北京：中国人民大学出版社，2017：2-8.

ITIC曲线最早在1980年由美国的敏感设备生产组织提出。为了预防计算机等敏感设备受到电能质量问题的影响，ITIC曲线用于直观地描述计算机设备承受电力系统的电压变化持续时间和幅值的能力，而最早的ITIC曲线绘制参考了大量的实验数据、计算机的记录等。对于其他敏感设备曲线，可参照ITIC曲线并视实际情况制定[26，27]。