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双曲余弦海脊上海啸俘获波的解析与数值研究

更新时间:2009-03-28

1 引言

近年来全球海洋灾害频发,给沿海地区造成巨大的经济损失和人员伤亡。海啸是破坏力巨大的海洋灾害,虽然灾难性海啸发生频率相对较低,但是一旦发生,它所带来的毁灭性破坏是其他海洋灾害所无法比拟的。海啸主要是由于海底地震、火山爆发、海底滑坡等而产生的破坏性海浪,其中灾难性海啸主要由海底地震所引起的。对于受灾地区,海啸可分为发生地到受灾地区相距较近的局地海啸和跨越大洋或从非常远传播而来的越洋海啸。对于一些灾难性的海啸,其相对于发生源附近海域为局地海啸,而相对于影响较远的地区则为越洋海啸。如2011年的日本东京地震引发的海啸不仅在日本沿岸引发最大38.9 m爬高,还向东南方向穿越整个太平洋最终抵达智利[1];2010年智利海啸不仅给智利沿岸造成巨大伤害,还横扫了西太平洋的岛屿,在15个小时后到达夏威夷群岛时最大波高仍有0.98 m,抵达日本沿岸波高依旧高达0.2~1.45 m[2]。大量的研究表明[3-5],大洋海脊对越洋海啸具有引导效应,受其影响,海啸则是以俘获波的形式沿着海脊传播影响非常远的地区。

地形俘获波是指由于折射或反射作用被限制在海岸、陆架、海岛等沿岸地区和海脊、海山、海底高原等水下凸起地形附近传播的波浪[6-9]。对于海脊俘获波,Jones[10]首先从数学上证明了顶部淹没无限长海脊俘获波的存在性,Longuet-Higgins[11]给出了剖面为矩形无限长海脊的解析解;Buchwald[12]推导了两侧水深不等的矩形剖面海脊上的俘获波频散关系,并详细讨论了各模态下俘获波波速、群速随波数的变化。然而以上研究均针对水深不连续的矩形剖面海脊,与真实地形差别较大,且非连续的矩形海脊俘获波是由波浪的反射产生的,而实际大多数地形连续变化海脊上的俘获波是由波浪折射产生的。对于水深连续变化的海脊,Shaw和Neu[13]给出过三角形海脊剖面上俘获波解析解,并详细讨论了其频散关系、截止频率、相速度、群速度与地形的关系。最近Zheng等[14]推导了抛物型海脊上的俘获波的浅水波面解。

解析解虽然可以从机理上阐述俘获波的传播特征及其与海脊几何形状的关系,但是实际海脊地形复杂而多样,无法用于实际海啸过程分析研究。近年来,一些学者开始应用数值模型对海啸的生成、传播以及爬高进行模拟预测。如:由NOAA/PEMEL的Titov和南加州大学Synolakis开发的MOST模型,被广泛应用于如1996年的Andreanov海啸等的模拟[15];Oishi等[16]用日本东京大学开发的TUNAMI模型模拟了2011年日本东京大海啸。然而这些模型主要基于长波方程而建立,虽然计算效率高但无法考虑波浪的频散性。随着计算机技术的不断发展和数值计算方法的逐步完善,越来越多的学者在海啸的模拟中开始采用可以综合考虑波浪频散性与非线性的Boussinesq模型。与传统的浅水波模型相比,Boussinesq模型能更精确地模拟频散性明显的海啸过程,如一些滑坡或小型地震激发的海啸。目前应用范围较广的Boussinesq模型主要为美国德拉华大学海岸中心开发的FUNWAVE模型和由丹麦DHI公司研发的MIKE 21-BW模型。Grilli等[17]分别采用了浅水长波模型和Boussinesq模型对2004年的印尼海啸进行了模拟,在泰国以及苏门答腊岛附近由于传播距离较短频散效应没有明显地表现出来,两者区别很小;而在频散效应可以充分表现的赤道以南的地区,两者的差别很大,浅水长波模型的结果比Boussinesq模型的结果偏大23%左右,且此时Boussinesq模型与实测值更接近。

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虽然海脊俘获波在历次的越洋海啸观测与模拟分析中得到了证实,但是其运动形态与传播特性还不清楚。由于俘获波的运动特性与地形密切相关,选择一个适当的地形函数在俘获波的理论研究中非常重要。考虑到大洋中存在数量众多的无震海脊,如印度洋的90°E海脊、西太平洋的马里亚纳海脊等,其脊脚陡峭但山顶平坦,本文将概化这类海脊为双曲余弦平方函数,进一步从理论上推导出该海脊上俘获波运动形态,揭示海脊几何形状与其传播特征间关系。考虑到本文研究对象为传播较远的越洋海啸,故采用对波浪非线性以及频散性模拟较好的Boussinesq模型进一步模拟海啸在双曲余弦型海脊上的传播运动过程,验证本文所提解析理论。

2 双曲余弦平方海脊上俘获波的解析解

如图1所示,剖面为双曲余弦平方型无限长海脊,其中沿着海脊横向为x轴、纵向为y轴,z轴垂直向上,原点位于静水面处。此时海底地形可以表示为:

 

(1)

式中,ω为入射波的圆频率;ky为沿y方向的波数分量。将式(1)和式(4)带入式(3)得:

h1=h0cosh2(λL),

(2)

式中,λ是决定海脊形状的参数;L为海脊的一半宽度;h0为海脊顶部的水深;h1为平底处海底水深。

  

图1 双曲余弦平方海脊剖面Fig.1 Hyperbolic cosine square ocean-ridge profile

该式为双曲余弦平方型海脊上俘获波的频散关系,决定俘获波频率(周期)与波数(波长)间的关系。进一步可得俘获波相速度为:

ηtt-g(hη)=0,

(3)

式中,η是自由水面;=(∂/∂x, ∂/∂y);g为重力加速度;t为时间。将自由水面表示为:

η(x,y,t)=ζ(x)exp[i(kyy-ωt)],

(4)

其中,

 

(5)

引入数学变换:

(二)资本逻辑的二重性与全球化。深入研究“世界历史”以及全球化,必须揭示其形成发展的内在逻辑。马克思通过对“世界历史”形成发展的内在动力即现代生产方式内在矛盾的分析,发现了全球化展开的深层逻辑:资本逻辑。在马克思看来,资本主义大工业首次开创了“世界历史”并推动着它的展开,而资本主义生产方式(以生产力与生产关系两个方面及其相互作用为基本内容)则深藏着“世界历史”形成发展的内在动力机制,即由生产逻辑和资本积累扩张逻辑构成的资本逻辑。简言之,“世界历史”以及全球化是在具有二重性特征的资本逻辑的支配下发展起来的。

χ=tanh(λx),

(6)

 

(7)

则式(5)可以写为:

(1-χ2)fχχ-2χfχ+

{ω2/gh0λ2-[1+(ky/λ)2]/(1-χ2)}f=0.

首先,借助医院信息化系统,专责小组调取2014年10月以后的就诊、抽血、取药等环节的各个步骤节点数据,分析等候时间较长的原因。

(8)

式(8)为标准的连带勒让德函数,其中:

 

(9)

 

(10)

方程(8)对应的解可以表示为:

f=A·P(ν,μ,χ)+B·Q(ν,μ,χ),

(11)

式中,A和B为常数;P(ν, μ, χ)和Q(ν, μ, χ)为μν次连带勒让德函数的线性无关解,

 
 

(12)

 
 

(13)

式中,F为超几何函数;Γ为伽马函数。

根据连带勒让德函数的性质,当x→∞时,χ=tanh(λx)→1,有:

 

(14)

 

(15)

则此时自由水面的解可以写为:

 

[A·sin(uπ)/π+B/2·cos(uπ)]·Γ(u).

(16)

μ>1时,方程(16)右边的(1-χ)(1-μ)/2趋向于无穷大,除非:

A·sin(μπ)/π+B/2·cos(μπ)=0,

(17)

即:

B=-2/π·tan(μπ)A.

(18)

因此双曲余弦海脊上的俘获波波面解可以表示为:

ζ=A·sech2(λx

[P(ν,μ,χ)-2/π·tan(μπ)Q(ν,μ,χ)],

(19)

式中,A与脊顶的波幅相关。

雾,有辐射雾、锋面雾、平流雾,秋冬好发辐射雾、锋面雾,春季好发平流雾,特别是每年二、三、四月份,平流雾是空气中水汽达到过饱和状态而形成的,浓、厚、持续时间长,不易消散,是平流雾特点。浓雾会导致能见度不良,甚至恶劣,对船舶航行安全够成不同程度的威胁。

dζ/dxx=0=0.

(20)

由式(19)得:

P(ν+1,μ,0)-2/π·tan(μπ)Q(ν+1,μ,0)=0.

(21)

根据连带勒让德函数关系:

调水入洪泽湖的时机是根据降雨预报、上游来水、受水区用水需求以及湖泊防洪、兴利、航运、生态等的要求综合确定。后汛期至次年入梅前,当洪泽湖水位低于正常蓄水位,且上中游基本没有来水或来水较少时,启用长江—洪泽湖段各梯级站开机逐级抽水北送,解决沿线用水及补给洪泽湖;其他时期,当洪泽湖水位低于汛限水位,且上中游基本没有来水或来水较少时,启用长江—洪泽湖段各梯级站开机逐级抽水北送,解决沿线用水及补给洪泽湖。

 
 

(22)

 
 

(23)

可将式(21)进一步表示为:

tan[(ν+μ)π/2]=tan(μπ),

(24)

等价于:

ν=μ+2m m=0,1,2,….

(25)

把式(9)和式(10)带入式(25)可得:

 
 

(26)

对于如海啸这样的长波,其水深相对于波长为小量,可以采用线性长波方程来描述俘获波的运动,即:

 
 

m=0,1,2,3,….

(27)

其对应的波群速度为:

2.2.3 缺失冷却液或者润滑油。经过长时间的超负荷使用,使得气缸套所承受的机械应力及热应力过大,或者是当活塞出现熔顶现象引起拉缸问题,导致气缸套与活塞出现粘结,活塞在下行时会对气缸套产生较大拉力,进而导致凸肩发生断裂。

 
 

(28)

限于篇幅,本文所推导的解析解进一步讨论见Wang等[18]的研究,在此不再赘述。

3 数值模拟验证

3.1 数值模拟

3.1.1 模型介绍

1998年之后,谷祺教授还带领一批博士生,深入研究财务危机企业投资行为分析与对策、EVA财务管理系统及其中国化、公司股价与剩余收益模型、公司治理与公司财务行为、新型两权分离与公司价值、会计信息复杂性与财务估价等财务领域的前沿问题,并在《会计研究》等期刊发表了一系列学术论文。这些论文不仅丰富了财务管理学术研究的视野,而且将委托代理理论、信息不对称理论、公司治理理论以及经济利润、估值模型等新的理论和概念引入财务管理领域,在研究视角、理论框架、研究方法等方面都做出了积极的尝试和探索。

实际越洋海啸中,最具威胁性和破坏力的波浪通常为由海脊引导而来的俘获波。假定海啸波经过长距离演化传播最终在600 km海脊处形成了稳定的俘获波并继续前进,本文统计了不同脊顶位置处最大波高到达时间,并与f=0.000 12 Hz时m=0模态俘获波解析值到达时刻比较(表1)。由式(28)得到俘获波波群速度cg为27.94 m/s,模拟结果的最大波高平均波群速度cg为26.66 m/s,两者非常接近,误差仅为4.58%;同时由表1可知俘获波最大波高到达时刻的模拟结果与解析理论结果也非常接近。这表明,本文的解析理论适用于真实海啸波最大波高到达时刻的预测。

先天性的肺囊腺瘤属于肺组织的错构畸形,主要特征表现为支气管儿样的气道异常增生以及缺乏正常的肺泡等,导致肺泡发育受到影响[5]。可结合显微镜与大体解剖特征进行病理分型。肺囊腺瘤畸形又可以分为大囊型以及微囊型,此类肺内病灶的声像特点主要表现为多个体积不等的囊肿,或者以囊肿为主的混合性回声包块,其边界较为清晰。其中微囊型胎儿其声像图与强回声型相对应。在二维声像图中与隔离肺相类似,然而在彩色多普勒血流显像检查中未发现有来自于体内循环的滋养血管,而是来自于肺内循环的血管,多数均位于右侧肺,并且大部分肺囊腺瘤包块的体积较大。

3.1.2 模型参数设置

本文以夏威夷海脊为参考,通过截取其不同位置剖面拟合得到双曲余弦平方型海脊剖面参数,即形状参数λ=0.000 09 m-1,海脊宽度2L=60 km,脊顶水深h0=-80 m,海脊两侧平底水深h1=-500 m (图2)。模型的模拟范围是:-72 km≤x≤72 km,0≤y≤3 360 km;其中海脊位于-30 km≤x≤30 km之间沿y方向水深不变,其余海域为水深-4 500 m (图3)。模型空间为均匀网格,步长为Δxy=600 m,时间步长dt=1 s,共模拟198 000个步长,模拟总时长为3 300 min。在42 km<|x|≤72 km范围内各布置50个网格的数值海绵层吸收从海脊上散射出来的波浪,在3 300 km<y≤3 360 km的区域布置100个网格的海绵层模拟无反射边界条件。

为了验证海啸在双曲余弦型海脊上的传播运动的解析理论,在y=600 km、1 200 km、1 800 km、2 400 km和3 000 km 5个断面上,沿x方向在0≤x≤30 km范围内每隔600 m布置1个测点,每个切面上51个测点(如:A1,A2,…,A51),共255个测点。

  

图2 夏威夷海脊及不同位置剖面拟合Fig.2 Cross-sections along the Hawaii Ridge and the corresponding fitted hyperbolic cosine square ridge shape

  

图3 海脊地形图及测点分布图Fig.3 Plan sketch of the numerical model

由于地震发生错动的过程是一个很短的冲击过程,通常在几十秒内完成。因此,忽略断层破裂的复杂性、错位的多样性、破裂厚度可变性等因素的影响,可以将海底位移等效为初始海面位移。本文基于Okada[21]假设,初始的自由表面为高斯型隆起,

 

(29)

隆起最高点位于(x0=0,y0=0)处,参数σ=3 000,取此时最高点水面为3 m。高斯型水面隆起关于x轴对称,所以本文x轴布置为全反射条件,仅研究海啸沿y轴的正方向海脊传播的情况。此时高斯型水面隆起如图3所示为一半圆。

3.2 结果分析

3.2.1 波动过程分析

图4为不同时刻自由水面瞬时图。t=0 min时刻的初始高斯型水面隆起开始向四周扩散。传播较快的波浪近似以c=(gh)1/2的速度传播,这些波浪波幅较小、传播速度较快,在海脊及其之外的平地上均有分布,为自由先驱波。对于同一个波峰线,由于水深是由海脊顶部向两侧递增,波速由脊顶向两侧逐渐增大,导致其呈“V”形。由于波浪的频散性,这些自由先驱波波高逐渐减小。

  

图4 t为0 min、100 min、370 min、760 min、1 110 min、1 480 min、1 870 min、2 100 min时瞬时波面Fig.4 Snapshots of free surface at t=0 min, 100 min, 370 min, 760 min, 1 110 min, 1 480 min, 1 870 min, 2 100 min

海啸波中大部分能量以速度较慢、主要聚集在海脊上的波浪沿海脊传播,为海脊俘获波。俘获波最大波高出现在脊顶处并向两侧递减,沿着海脊方向为波形近似不变的行进波,且在同一横剖面上、不同水深处是以相同的速度前行。由不同时刻波面变化过程可知,随着时间的增加,由于波浪的频散性,俘获波群随着海脊方向逐渐增长、波的个数逐渐增加、波高逐渐减小。

3.2.2 波面过程分析

图5为脊顶不同位置处自由水面过程及其对应的小波谱。海啸波主要频率集中在[0.000 6 Hz, 0.003 Hz]范围,与实测的海啸能量分布范围基本一致。虽然自由先驱波传播速度较快,但是由于其向整个海域扩散并在传播过程中逐渐频散,导致其在海脊后段的波高逐渐减小,在对应的小波谱中几乎观察不到。海脊上的海啸波主要表现为两种截然不同的能量成分:最大波高到达时刻时不同频率成分以相同速度传播的能量和波群后期以近似相同频率波浪传播的能量。这表明海脊俘获波前几个到达的波浪具有孤立波的性质,不同波浪成分相互调制在一起以相同的速度传播。这部分波浪不仅能量大且传播速度快。海脊俘获波群后期波浪频率主要集中在[0.000 6 Hz, 0.000 9 Hz]范围且保持不变,以相对较慢的速度传播。由于波浪的频散性,海脊俘获波波群在传播过程中逐渐拉长,波高逐渐减小。

  

图5 不同脊顶位置处波面过程及其对应的小波谱Fig.5 Free surface elevations and their corresponding wavelet spectrum at different ridge top positions

  

图6 x正半轴上的俘获波剖面模拟结果与模态m=0的俘获波解析解比较,其中各图标识时刻为各个剖面最大波高到达时刻Fig.6 The simulation results of the maximum wave profile on the positive x-axis compared with the analytical solutions of modal m=0

由海啸在海脊上的传播过程可知,海啸波最大波为海脊俘获波,能量主要集中在0.001 2 Hz。通过分析不同海脊横截面最大波高的空间分布(图6实点),并与f=0.001 2 Hz不同模态空间分布比较,发现其与解析理论中m=0模态基本吻合,其微小的差别可能是由于模拟结果包含了不同频率和模态成分的俘获波、且解析理论未考虑波浪的非线性。

11月30日,国家企业信用信息公示系统公告,因瓜子二手车广告语“创办一年,成交量遥遥领先”与实际情况不符,向金瓜子科技(瓜子二手车实际运营公司)开出1250万元的罚单。对此,瓜子二手车发表声明称,对该决定的定性存有异议,已根据法律程序申请行政复议,最后会有怎样的定论尚不得而知。去年,人人车就以涉嫌不正当竞争为由将瓜子二手车诉至法院。而此次天价罚单的开出,同样出自人人车的举报,并采信了人人车的数据。

[2] 于福江, 原野, 赵联大, 等. 2010年2月27日智利8.8级地震海啸对我国影响分析[J]. 科学通报, 2011, 56(3): 239-246.

本文采用丹麦DHI公司研发的MIKE 21的Boussinesq模型,模拟发生在海脊上的海啸的传播过程。经典的Boussinesq方程基于弱频散性和弱非线性,仅能适用于水深较浅的区域。Madsen等[19-20]通过考虑更多的频散项和非线性项,提出了扩展型Boussinesq方程,极大地提高了模型的适用范围。为了能较好地模拟海啸波主成波及其尾波特性,并能够较好地预测海啸的到达时间和最大波高,较完整地反映海啸波的物理性质,揭示各个阶段发生的真实的物理现象,本文采用扩展型Boussinesq模型作为控制方程,模拟双曲余弦平方海脊上的海啸波的运动过程。

 

表1 俘获波最大波高到达时刻的模拟结果与解析理论结果比较

 

Tab.1 Comparison of the simulation results and the analytical theory results of the maximum wave height arriving time for the trapped wave

  

y/km模拟结果理论值到达时刻t'g/min波群速c'g=Δy/Δt'g/m·s-1基于cg计算的理论到达时刻tg/mint'g与tg的相对误差1200762.125.75731.74.0%18001113.328.471089.62.1%

 

续表1

  

y/km模拟结果理论值到达时刻t'g/min波群速c'g=Δy/Δt'g/m·s-1基于cg计算的理论到达时刻tg/mint'g与tg的相对误差24001488.126.681447.52.7%30001875.325.831805.43.7%

4 结论

本文基于线性浅水长波理论,推导了双曲余弦平方型海脊上俘获波的解析解。俘获波的自由水面可以表示为μν次的连带勒让德函数的第一类解和第二类解的组合。由俘获波的频散关系可知,对于具体频率ω,存在m (m=0, 1, 2,…)个波数ky与之对应,称之为模态m

本文进一步采用MIKE 21-BW模型,基于Okada[20]假设得到海啸源,模拟了产生于海脊脊顶处的海啸在理想双曲余弦平方海脊上的传播变形的过程。结果表明海啸波仅有小部分的能量以自由先驱波的形式进行传播,在海脊内外均有分布。海啸波大部分能量都被海脊俘获,以俘获波的形式沿着海脊进行传播,随着俘获波传播时间的增加,波列沿海脊方向的延展范围也逐渐增大,波高减小,且波的个数也逐渐增加。俘获波能量主要由两种截然不同的能量成分组成:不同频率成分相互调制在一起以相同速度传播的具有孤立波性质的波浪成分和频率固定在特定范围内的波浪成分。海啸波被俘获后沿着海脊方向为行进波,且俘获波剖面的模拟结果与解析解的0模态理论吻合良好。此外,模拟结果的最大波高平均波群速度与解析理论也非常吻合,表明本文的解析理论可以较精确地预测海啸波最大波高的到达时刻。

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3.2.3 俘获波到达时刻分析

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1.教学共同体彰显内涵特色。归根到底,创新创业教育是一种教育。在实行教育的时候要充分尊重学生的主观需求,无论是在课程安排还是教学内容方面都要契合学生的发展需要,严格调研和论证相关制度安排,建构彰显内涵特色的教学共同体[6]。

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当扫描到块px,y时,已经完成了对块px-1,y-1、px,y-1、px-1,y的初步标记,假设其标号依次为Label[x-1,y-1]、Label[x,y-1]、Label[x-1,y],则块px,y的标号Label[x,y]可表示为式(3):

由于海脊关于x=0两侧对称,故其波面过程也应是对称的,即:

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2.2.1 迎接患者 核对无误,建立有效静脉通路,协助麻醉医师行全麻插管、桡动脉穿刺测压和深静脉穿刺等。

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“施用鄂中仟金方土壤改良了,马铃薯增产了,抗病能力强了。”“用鄂中生物高分子玉米抗逆性好,洪灾不倒伏。”“冬枣用了鄂中仟金方不用打药、品质好、绿色生态。”“酸性土壤如何调成中性土壤?”近日,这些短小精悍、信息简练,时长在1-3分钟的鄂中生态科教短视频如雨后春笋般地破土而出,传播在广袤农村。它让农化知识简易易懂、冲击力强,更具娱乐性;它让农化知识短视频营销离种植大户越来越近,农化知识看得见!张北县鄂中经销商许彦诊说:“决定农资营销成败的下一个风口也许就是农化知识短视频营销,鄂中生态科教短视频让种植户有了作物全程施肥套餐、技术服务解决方案,手机已成为种植户手里的生产资料‘百事通’。”

 
王岗,胡见,王培涛,张振伟
《海洋学报》 2018年第05期
《海洋学报》2018年第05期文献

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