自压缩感知(compressed sensing, CS)信号处理理论[1]提出以来，信号重构作为其关键的环节，一直是该理论的研究重点.信号重构的目标是根据非自适应线性测量的低维数据，准确而有效地恢复原始采样获取的高维数据.在压缩感知理论框架下，信号在特定基下或一定的变换下可稀疏表示，则信号重构问题可转化为稀疏信号的重构.如何求欠定方程组最稀疏的解是稀疏重构问题的本质，即l0范数的最小化问题.

然而直接求解欠定方程组的最稀疏解是NP难问题，处理起来非常棘手.在实际中，贪婪算法是最常见的近似求解方法[2-5]，如正交匹配追踪法(orthogonal matching pursuit, OMP)[2]、梯度追踪法(gradient pursuit, GP)[3]、子空间追踪法(subspace pursuit, SP)[4]等，其基本思想是通过逐步迭代找到未知信号的支撑集，原信号的估计值即可利用最小二乘法得到.贪婪类算法需要较少的计算量，但是通常估计精度不高且需要较多的观测值.

另一种思路是寻找新的模型替代l0范数的求解.这种方法分为2步：

5#支管设计流量时，5#与4#支管同时或依次关闭，最大压力88.4 m，发生在桩号23+294处。5#支管流量最小时，5#支管与4#支管300 s同时或依次关闭，最大压力108.4 m，发生在桩号23+294处。

1) 需要找到合适的函数近似估计l0范数，由于l0范数是x的不连续函数，实际计算中不好处理，很多文献常用l1范数来近似l0范数，如基追踪法(basis pursuit, BP)[6]，其依据是l1范数最小化与l0范数最小化在满足一定条件时具有相同的稀疏解，可以通过线性规划方法求解.然而，l1范数不能充分反映向量x的稀疏特性，重构时需要较多的测量值，计算量较大.高斯函数类也是近似l0范数经典的函数之一，基于光滑l0范数算法(smoothed l0 norm, SL0)[7]是用一个连续平滑函数的极限来近似l0范数，如文献[7-8]采用

图4中明显还留有一些多余的线条。通过多次的腐蚀操作（具体操作次数需要依实验而定），可以去除白色的点噪声，如图5所示。

(1)

对l0范数进行近似，其中σ为趋于0的正数.文献[9-10]则在式(1)的基础上进一步改进，采用式双曲正切函数

(2)

近似l0范数，其中σ为很小的正数.在文献[11-13]中，用一组反正切函数

在不考虑噪声存在的情况下，算法的理论证明如下.

(3)

近似l0范数，其中σ为接近于0的正常数.文献[14]是采用复合三角函数近似l0范数.但以上函数表达式均稍复杂，使得迭代计算复杂度较高.文献[15]的快速稀疏信号恢复算法(AL0算法)提出用函数

《中国植物志》将我国薏苡属植物定为5种4变种 ,其中的薏米C.chinensis v a r.chinensis Tod.即《中国药典》2005年版中作为药用的种为C.lacryma-jobi v a r.mayuen(Roman.)Stapf薏苡。[9]

(4)

近似l0范数，其中受此启发，本文在保证精确度的条件下，对近似l0范数的函数进一步简化，从而简化计算.

2) 对新的函数模型选择不同的线性规划或优化算法求解.对于算法实现，NSL0算法选用修正牛顿法求解最优化问题，需要对海森矩阵进行修正，构造一个可近似海森矩阵逆的正定对称阵作为迭代方向，一定程度上提高了收敛速度.AL0算法将问题分解为2个最小化问题分别求解，然后交替迭代，将解投影到可行域.本文选取高精度的牛顿迭代法，将问题转为无约束优化问题后，对无约束问题直接应用牛顿算法，迭代得到最优解，不需要进一步对解进行投影.而且得到的牛顿方向为下降方向，不需要进一步修正，从而减少了误差影响，保证了精度.

信号的恢复质量在算法的不断改进下有所提升，但仍存在存储量大、计算复杂度高、精确度不够高等问题，需要进一步研究和改进.本文在之前l0范数工作的基础上，结合AL0算法快速收敛和牛顿迭代法高精度的优点，提出新的基于近似l0范数的稀疏信号重构算法，用一个简单的分式函数的和来近似估计l0范数，通过牛顿迭代算法求得稀疏解.最后，通过数值仿真和已有的相似算法及经典的OMP算法进行比较，并分析了本文算法恢复的信号在重构误差、信噪比方面的优势.

1 压缩感知理论

令z∈n是传统采样得到的信号，经过正交基或紧框架ψ变换后的系数是稀疏的，即z=ψx，其中x∈n 且为稀疏度.在无噪声干扰的情形下，测量向量y可以表示为y=Φψx，其中y∈m，Φ为m×n维测量矩阵，ψ为n×n维基矩阵.令A=Φψ，则重构问题简化为在矩阵A和测量向量y已知的条件下，求方程组y=Ax最稀疏解的问题，即l0范数的最小化问题：

(5)

在实际应用中往往会不可避免地受噪声的影响，测量值是不精确的，令γ表示噪声，则测量值进一步表示为y=Ax+γ.

2 基于近似l0范数的稀疏信号重构

2.1 l0范数近似

本文采用一个形式较为简单的分式函数

(6)

来近似l0范数，其中δ是很小的正数，实验中参数δ可取为一组下降且趋于0的序列.显然有:

阅读教学的过程应是学生潜心读书的过程。“读”应贯穿阅读教学的始终，读不仅是学生搜集和吸纳信息的过程，读还是阅读理解的过程，读也是信息处理后反馈表达的过程。阅读教学的过程，应是每个学生潜心读书、获得个人体验和独特感受的过程。潜心读书大致分为三个阶段：

(7)

令:

 

(8)

根据l0范数的定义可知，当δ无限趋近于0时，F(x)的值就无限接近于向量x中非0元的个数，即x的l0范数，故有:

对于对话教学概念的理解，不同学者有不同的界定。笔者所要论述的是：师生在平等的基础上，以对话为媒介，将教师、学生、文本三者合理协调，相互讨论启发，启发学生内在的潜能，达到学生人性化的发展。

(9)

因此,我们可以用式(8)来近似l0范数进行迭代计算.式(6)的优势在于形式简单，尤其在算法迭代时简化了计算，同时又不降低精度.

2.2 算法实现

本文将最优化问题式(5)等价变换为拉格朗日形式最小化问题：

(10)

其中,λ是拉格朗日乘子.然后对式(10)进行求解.由2.1节可知，式(10)可转化为

本研究选取福州市8所大学的学生为测试对象,调研小组由6人组成,调研时间为2016年5月9～27日。考虑到学生在校园活动的规律,调研时间大部分在下午4点到8点学生吃完饭在校园休闲散步时进行。测试时,随机选取在校园绿地中活动的学生;考虑到问卷的有效性及回收率,采取赠送校园手绘明信片为纪念品的方式。最后,在8所学校收到的有效问卷情况如下:福州大学339份,福建师范大学326份,福建农林大学341份,福建医科大学331份,福建中医药大学322份,福建工程学院325份,闽江学院287份,江夏学院279份,总共2 550份。

(11)

式(11)是无约束的最优化问题，最优解x*满足优化条件:

xL(x*;λ)=0.

(12)

进一步有:

(13)

其中,f′(x)为f(x)的导数，AT为A的转置.

谷草有较高的营养价值，为了更好地对比谷草的营养价值，通过查阅相关资料，把谷子的粗蛋白含量、粗脂肪含量、粗纤维含量、无氮浸出物含量、粗灰分含量与禾本科作物燕麦、玉米的秸秆，豆科作物大豆的秸秆及专用牧草苜蓿进行对比[15-18]，对比结果见表3。

当δ→0，

xL(x,λ)=ATAx-ATy+

(14)

Xf≜

(15)

Hf=ATA+λXf,

(16)

其中,为对角矩阵，对角线上元素为则有:

xL(x;λ)=Hfx-ATy.

(17)

由式(17)可以得到Hessian矩阵可表示为

(18)

显然，Hessian矩阵Hf为正定矩阵，故得到的牛顿方向必然为下降方向，可以利用牛顿迭代[16]求解式(11)得：

(19)

式(19)即算法的迭代式，hx为迭代步长，初始解x0取最小二乘解.

鉴于求逆运算会随着矩阵维数的增高计算量迅速加大，为尽量降低算法的计算复杂度，考虑在算法迭代中设法降低维数.

由于稀疏化后的信号向量的大部分值为0或接近于0，故可以只迭代计算对应变量的关键元素，如变量中绝对值最大的l个分量，忽略0元素及接近于0的元素.

令：

为方便表示，令:

(20)

其中，参数α∈[0,1)，通常可取α=0.01.

xS=(xi),i∈S,

(21)

AS=(ai),i∈S,

(22)

其中，ai为A的第i列，则算法迭代的Hf可替换为

1.3 观察指标 两组早产儿在 纠正月龄1个月、6个月、12个月时进行头围、身长、体重的测量，采用智力发育指数(MDI)及运动发育指数(PDI)量表对早产儿的机体和智力发育情况进行评价，<70分为发育异常；采集两组早产儿外周静脉血2 ml，置于AXTGL20M血清离心机内，2 000 r/min，离心15 min后取出分离好的血清冷藏保存待检，分别采用ELISA法和采用流式细胞术法对早产儿的免疫状态指标CD3+、CD4+及FEER、RBCC3bR水平进行测定，将检测结果核对记录并比较分析差异。

在一间破房子里，一只母猫正在哺乳一群小猫。他不愿意看这些，他更走，没有一个熟人与他遇见。直到天西烧红着云彩，他滴血的心，垂泪的眼睛竟来到死去的年青时伙伴们的坟上，不带酒祭奠他们，只是无话坐在朋友们之前。

(23)

相应地:

(24)

步骤5. 判断算法是否终止，若δ>δmin不满足输出迭代的结果x，否则返回步骤1继续迭代.

2.3 算法的计算复杂度分析

在算法实现过程中，直接计算式(19)时，涉及到矩阵和向量的乘积及矩阵的求逆，假设A是n×n矩阵，y为n×1向量，则ATy的计算复杂度为O(n2)，对Hf求逆的计算复杂度为O(n3).

经过降维后，令l为式(20)中S的元素个数，则如式(23)，对Hf求逆的计算复杂度变为O(l3)，而通常情况下，l≪n，从而使得本文算法每次迭代的计算复杂度维持在O(n2)，这与SL0，NSL0，OMP，AL0算法的计算复杂度均是相当的.

2.4 算法描述

本文算法的伪代码描述如下：

算法1. 基于近似l0范数的稀疏信号重构算法.

为验证本文算法的有效性，对一维随机稀疏信号进行实验，并与经典算法OMP及相似的AL0算法等进行了比较.下面所有数值仿真中，矩阵A取高斯随机矩阵, 测量值向量通过y=Ax+γ生成, 其中γ表示高斯白噪声.实验采用信噪比(signal noise radio, SNR)作为评估算法精度的性能指标，定义为

输出：重构信号x.

初始化：初始解x0=AT(AAT)-1y.

迭代：

步骤1. 令:

S={t:|xt|>0},xS=(xi),i∈S,AS=(ai),i∈S;

步骤2. 更新矩阵：

 

步骤3. 迭代x，

步骤4. 更新δ，δ=δ×0.5；

然而与大多数中国传统非物质文化遗产一样，闻喜花馍也面临着如何继续发展的问题，目前大多数非物质文化遗产积极与旅游结合来实现其价值的“新生”。闻喜花馍也在此方面做了尝试，如2012年闻喜举办了“中国·闻喜花馍文化节”，并创造了最高龙王、最长飞龙、最大花馍、最大面塑群四项世界纪录，中国·闻喜花馍文化节还有幸荣登“2012中国品牌节庆榜”。

其中，为S的补集，从而使得逆矩阵的求解维数下降，较好地减少了计算复杂度.

2.5 算法的理论证明

朱戟表示，卡博特持续承诺中国市场，做深耕中国的本土化榜样企业。据朱戟介绍，2018年初，卡博特公司与上海华谊集团续签了20年的合资协议，非常有希望成为在上海连续运作50年的企业。卡博特公司投资的内蒙古乌海工厂正全速推进，预计2019年春季投产。2018年10月1日，在中国国庆节正式宣布完成收购徐州的新日铁公司，扩大了在华的版图。新公司已命名为卡博特高性能材料(徐州)有限公司。收购后，公司将

定理1. 给定矩阵A=(AS AN)，向量其中xS指x的非0元素部分，AS指A中与xS对应相乘的列，y=Ax,

R≜

如果Q≜且是可逆的，则H-1ATy=x.

证明. 由矩阵逆的分块形式知：

(25)

又因此有:

(26)

将式(25)带入式(26)并经过推导可以得到:

 

证毕.

定理2. 给定矩阵A，向量x及其支撑集S，对角阵Xf≜满足且则对于任何正则化常数λ，有：

(ATA+λXf)-1ATy=x.

证明. 对于任意支撑集S,存在初等矩阵PS使得矩阵A和向量x满足定理1(记为和即则:

结合高分子材料在节能领域的具体应用情况，可以将其分为直接节能型高分子材料、间接节能型高分子材料和功能性储能高分子材料。其中，直接节能型高分子材料主要应用于建筑外墙的结构保温材料，间接节能型高分子材料是通过减少材料生产成本、延长使用期限等方式来实现对能源的节约，而功能性储能高分子材料则是通过吸收太阳能实现节能和储能。

(ATA+λXf)-1ATy=

(27)

又有:

(28)

其中,μ是一个对角矩阵，对角元素和中的0元素相对应，≜显然，假设Q和可逆，则由定理1有:

在我国，电网调度系统虽然已基本实现了自动化，但是自动化的电网调度系统也是会出现故障的。故障一旦发生，如果没有应急响应机制的话或者导致电网的大面积瘫痪，或者会造成电网调度的误操作，从而产生安全事故。

(ATA+λXf)-1ATy=

证毕.

3 仿真实验

输入：矩阵A、测量向量y、正则化参数λ、参数δ、终止条件δmin；

 

(29)

其中,xopt表示对源信号x的稀疏估计值.相对误差定义为

(30)

实验中随机产生稀疏信号x和矩阵A，实验结果在参数设定的情况下进行100次求平均.实验条件为ThinkpadT410i笔记本电脑Microsoft Windows 7操作系统MatlabR2010a 处理平台的运行环境.

实验1. 测试不同算法的整体恢复性能.在相同取值下，信号长度n=256，稀疏度k=20，测量值向量长度m=128，噪声均方差取为0.01，分别测试本文算法(Proposed)、AL0算法、SL0算法、NSL0算法及OMP算法所重建的信号在信噪比、重构误差和重构时间方面的对比.结果如表1所示，可以看出，本文算法重建的信号信噪比提升幅度较大，相对误差也较低，较优于其他算法.

 

Table 1 Performance Comparison under Different Algorithms表1 各算法恢复性能比较

  

AlgorithmSNR∕dBRelativeErrorRunningTime∕sProposed38．94840．01690．0151AL029．48550．03370．0150SL029．26080．03460．0549NSL029．82160．03250．0966OMP30．39010．03040．0192

实验2. 测试在不同数量测量值的情况下，各算法的性能.信号长度n=256，稀疏度k=20，测量值数量分别是100，128，150，192时，测试各算法的恢复效果.结果如图1～3所示.

图1是信噪比随测量值数量的变化曲线图.测试结果表明：在不同压缩比下，本文算法所重建信号的信噪比均高于对比算法，信号的精确度有较大的提升.

图2是相对误差随测量值数量变化的曲线图.由图2可以看出，在压缩比较低时，各算法的重建误差都比较大，但是随着测量值数量的增加，本文算法重建信号的相对误差比其他算法都有所降低，优势进一步体现.

  

Fig. 1 SNR comparison under different number of measured value图1 不同测量数值各算法重构信号的信噪比

  

Fig. 2 Relative error comparison under different number of measured value图2 不同测量数值各算法重构信号的相对误差

  

Fig. 3 Time comparison under different number of measured value图3 不同测量数值各算法重构时间

图3则展示了各算法的重构时间，在各压缩比下，本文算法的运算时间要少于NSL0算法和SL0算法，和AL0算法相差不大. 实验3. 测试算法在不同稀疏度情况下的恢复精度.信号长度n=256，压缩比m/n=0.5，稀疏度由15～35变化，分别测试各算法的恢复效果.结果如图4所示，仿真结果表明：在不同稀疏度下，由本文算法所重建信号的信噪比均高于对比算法，尤其在稀疏度较低时，本文算法恢复的信号精度提高较大.

  

Fig. 4 SNR comparison under different sparseness图4 不同稀疏度下各算法重构信号的信噪比

实验4. 测试算法在不同噪声水平下的恢复精度.信号长度n=256，压缩比m/n=0.5，噪声均方差由0.004～0.02变化，分别测试各算法的恢复效果,结果如图5所示.可以看出，在不同噪声水平下，与对比算法相比，本文算法依然保持优越性，重建信号的信噪比仍提高较大.进一步说明在噪声干扰较小时，本文算法的性能要较好.

  

Fig. 5 SNR comparison under different noise levers图5 不同噪声均方差下各算法重构信号的信噪比

4 总 结

本文在之前l0范数工作的基础上，结合AL0算法快速收敛和牛顿迭代法高精度的优点，用一个简单的分式函数的和来近似估计l0范数，通过牛顿迭代算法求得稀疏解，从而对AL0算法恢复信号的精度不够高的缺陷得以改进.最后通过数值仿真，在恢复精度上和经典的OMP算法、相似的现有算法进行了比较.数值仿真结果表明：在不同压缩比、稀疏度及噪声干扰下，本文算法恢复精度均有较大提升，有效地改善了重建效果，提高了信号的重建质量.

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