1 引言

密码学是用来保护信息安全的一种必要的核心技术手段，它主要用来解决信息的机密性、完整性、不可否认性和可用性。密码学从研究内容上可以分为密码系统和密码分析。密码系统就是指建立各种形式的密码系统，例如设计一个密码算法，建立一个密码方案等；密码分析是指对密码系统进行分析，从而进行攻击，例如截获密文以后如何获取明文，获得公钥以后如何进一步获取私钥等[1]。也可以将密码理论和技术分为两大类：一类是基于数学的密码理论和技术，另一类就是非数学的密码理论和技术[2]。基于数学的密码理论与技术的代表是公钥密码，而基于非数学的密码理论和技术的代表是基于生物特征识别等。实际上密码学研究内容十分广泛，最基础的是加密和解密[3]。密码算法包括对称加密算法和非对称密码算法。密码学还是一个涉及数学理论很多的领域。有很多密码算法的设计都是直接基于数学中的一些难题设计的。例如离散对数椭圆曲线密码就是基于椭圆曲线群上的离散对数问题建立的[4]；还有很多密码机制都是基于大整数分解问题[5]。

RSA算法是世界上主流的公钥加密算法之一。1978年,RL Rivest, A Shamir, L Adleman基于欧拉函数的性质设计出了简单、安全的RSA公钥密码体制[6]。而欧拉函数在密码领域中的应用则进一步促进了对其性质的更深入的研究[7-10]。RSA是非对称加密算法，该算法基于数论事实是：计算两个大素数的乘积是简单的，但是要将这个乘积进行因式分解是很难的。所以RSA算法中将两个大素数的乘积作为公钥进行公开，而这两个大素数则用来获取私钥，私钥是保密的。因此，RSA加密算法中，要用到素数，互素数，模运算以及欧拉函数等数学知识。RSA算法由密钥生成算法、加密算法、解密算法三部分组成。其中在密钥生成算法中，首先随机生成两个大素数p和q，然后计算n=p*q，再计算φ(n)=(p-1)(q-1)。继而选取一较小的与φ(n)互素的正整数e，且φ(n)>e>1，那么(n,e)为密钥对中的公钥。计算e在模φ(n)下的逆元d，d≡e-1modφ(n)，那么(n,d)为密钥对中的私钥。由此也可见，计算欧拉函数是RSA算法中至关重要的一个步骤。

欧拉函数在数论中有着广泛的应用。对正整数n，欧拉函数是不大于n的正整数中与n互素的数的数目。该函数以其最先研究者欧拉命名，又称为φ函数、欧拉商数等。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群的阶。对于乘积的欧拉函数，在乘数互素的情况下满足积性分解性质，即对于互素的a和b，欧拉函数满足φ(a,b)=φ(a)φ(b)。对于素数p，欧拉函数满足φ(p)=p-1，φ(pn)=pn-1φ(p)。因此，如果已知一个正整数n的素因子分解式，就可以获得其欧拉函数为φ(n)=n∏pi为n的不同素因子(1-1/pi)。

物体集合隐喻既留下了负数问题，也留下了分数问题。在总结物体集合隐喻时，莱考夫说：“对数的这种理解还留下了缺口：它对2减5或2除以3没有给出有意义的描述。”[2]65 而对象建构隐喻则对分数隐喻映射作了说明。

欧拉定理(也称费马-欧拉定理)表明，若n,a为正整数，且n,a 互素，则aφ(n)≡1modn。欧拉定理具有一种特殊情况，即若正整数a和素数p互素的情况下，素数p的φ(p)=p-1。这种情况下，欧拉定理就可以写成费马小定理：ap-1≡1modp。

近年来针对欧拉函数的研究有很多，包括欧拉函数、广义欧拉函数、欧拉函数的非线性方程解以及其应用等很多方面[11-15]。本文针对一般情况下整数乘积的欧拉函数进行了分析，并利用集合的容斥原理，给出了多整数乘积欧拉函数的通用分解公式。借助乘积欧拉函数的性质，构造了一种类似RSA的基于大整数分解困难问题的公钥算法以及数字签名，并对其进行安全性分析。本文第1节引言部分简单介绍了密码学、RSA算法和欧拉函数的背景；第2节给出了基于乘积性质的欧拉函数的扩展形式表示，主要包含两个数乘积的欧拉函数分解；第3节给出了若干整数乘积的欧拉函数的一般分解公式；第4节借助基于乘积形式的欧拉函数的扩展形式，构造了一种类似RSA的基于大整数分解困难问题的公钥算法以及数字签名，并对这种公钥算法的安全性进行了分析；第5节给出了本文核心的7个结论，给出了基于乘积性质的欧拉函数扩展形式的多种表示，不同表示适用于不同的情况，并且给出本文的总结。

当电力系统的继电保护装置出现了误动的情况，多数是因为系统中的软件在操作上出现了差错。在实际工作中，一些因素会在很大程度上影响系统软件的运行。例如编码出错等[1]。

本文后面的(a1,a2,…,an)表示a1,a2,…,an的最大公约数，[a1,a2,…,an]表示a1,a2,…,an的最小公倍数，SPF(n)表示正整数n的所有不同素因子的集合。

1.2.3.2 实验内容 共进行为期13周的体育舞蹈课程实验，实验过程中教学的组合动作为中国体育舞蹈联合会技术等级教材中华尔兹、探戈、伦巴、恰恰铜牌和银牌动作[16]（表3）。

2 基于乘积性质的欧拉函数扩展形式表示——两个数乘积的欧拉函数分解

本节中我们将给出基于乘积性质的欧拉函数扩展形式表示，具体是指两个数乘积的欧拉函数分解。定理1是核心定理，即是基于乘积性质的欧拉函数扩展形式表示。而定理2～定理4则是一些辅助性的定理，用于辅助核心定理的推导与证明。

定理其中a与b为整数，(a,b)为a与b的最大公约数，φ(ab)为a和b乘积的欧拉函数，φ((a,b))为a与b最大公约数的欧拉函数。

首先，在影视作品选择上，授课教师要注意选择经典并且适宜的影视作品，情节内容积极健康地反映一国之文化或者探讨不同文化间的差异，最好能与所涉及授课内容相关。教师们可以参考上文所提及的经典影片，也可以平时积累合适的美剧和英剧作品作为授课素材，比如在英语学习者中口碑较好的美剧《生活大爆炸》、《摩登家庭》、《老友记》等，英剧《唐顿庄园》等。

证明：

假定a和b有公共的素因子c1,c2,…,cm，只在a中的素因子有p1,p2,…,pt，只在b中的素因子有q1,q2,…,qr，则有

从而

=φ(ab)

■

对于a和b互素的φ(ab)分解可以看成是定理1的特殊情况，因为有

例子：

定理2：若c的所有素因子也是a的因子，则φ(ca)=cφ(a)。其中c与a为整数，φ(ca)为c和a乘积的欧拉函数。

证明：

假定c的素因子为p1,p2,…,pm，a的素因子为p1,p2,…,pm,pm+1,…pn，则有

从而

定理11：φ([a1,a2,…,an])=∏1≤i1<i2<…<it≤nφ((ai1,ai2,…,ait))(-1)t-1，，其中a1,a2,…,an为整数，φ((ai1,ai2,…,ait))为ai1,ai2,…,ait最大公约数的欧拉函数。

φ(ca)=cφ(a)。

■

定理3：φ(ab)=(a,b)φ([a,b])。其中a与b为整数，(a,b)为a与b的最大公约数，[a,b]为a与b的小公倍数，φ([a,b])为a与b最小公倍数的欧拉函数。

证明：

由于而(a,b)的所有素因子都是[a,b]的素因子。根据定理2，有

■

例子：

φ(8×10)=(8,10)φ([8,10])=2φ(40)=32

定理其中a1,a2,…,an为整数，[a1,a2,…,an]为φ([a1,a2,…,an])的最小公倍数，φ([a1,a2,…,an])为a1,a2,…,an最小公倍数的欧拉函数。

证明：

东亭一带，没有比阿里更无忧无虑的人。所以，人们看到阿里总是叹说，真是的，这世上就阿里活得最快乐。阿里的妈妈听到这话，脸上便挂满笑，然后会慈爱地抚抚阿里的头，说：“是呀，我们阿里就是要快乐地活一辈子。”

由于a1a2…an是[a1,a2,…,an]的倍数，且不比[a1,a2,…,an]包含更多的素因子，因而有a1a2…an /[a1,a2,…,an]为整数，且其所有素因子都是[a1,a2,…,an]的素因子。

因此，根据定理2，有

根据《水利水电工程等级划分及洪水标准》（SL 252—2000）， 洙赵新河堤防级别为2级，两岸总堤防长度185.61 km（左岸92.85 km、右岸92.76 km），需要进行加高培厚。50年一遇防洪标准设计最大洪峰流量2 180 m3/s，5年一遇除涝标准设计最大排涝流量851 m3/s。海头闸以上无堤防河段，采取挖河槽不筑堤的设计实施。保持原堤距不变，堤顶超高采用2.0 m，堤顶宽度采用7.0 m，堤坡采用 1∶3。

=φ(a1a2…an)

■

例子：

φ(6×8×10)

3 基于乘积性质的欧拉函数扩展形式表示——多个数乘积的欧拉函数分解

针对一般情况，令整数n的不同素因子的集合为SPF(n)，即对任何素数p，有p in SPF(n)等价于p整除n，则可以得到因此，就可以用集合的性质来推导欧拉函数的性质。定理5～定理7都是借助集合对欧拉函数进行表示，而定理8则利用这种集合表示进行证明，给出了任意多个数乘积欧拉函数的分解表示，同时定理8也为后面定理的展开提供了基础。

定理其中a1,a2,…,an为整数。

证明：

由于而SPF(a1a2…an)=SPF(a1)∪SPF(a2)∪…∪SPF(an)，故有

■

例子：

定理其中a1,a2,…,an为整数，[a1,a2,…,an]为a1,a2,…,an的最小公倍数，φ([a1,a2,…,an])为a1,a2,…,an最小公倍数的欧拉函数。

证明：

由于而SPF([a1,a2,…,an])=SPF(a1)∪SPF(a2)∪…∪SPF(an)，故有

■

例子：

定理其中a1,a2,…,an为整数,(a1,a2,…,an)为a1,a2,…,an的最大公约数，φ((a1,a2,…,an))为a1,a2,…,an最大公约数的欧拉函数。

证明：

由于而SPF((a1,a2,…,an))=SPF(a1)∩SPF(a2)∩…∩SPF(an)，故有

■

例子：

例子：

证明：

根据定理5、定理7以及集合的容斥定理，容易证明

=

定理1 是定理8的特殊形式。因为根据定理8有

变换可得

■

例子：

子宫颈上皮内瘤变(CIN)是癌前病变,通过早期筛查,及时发现,早期诊断恰当处理宫颈癌前变,可以降低宫颈癌的发病率,预防宫颈癌可以通过早期筛查和早期干预来实现[1]。2015年1月~2017年12月收治的宫颈病变行宫腔镜辅助宫颈冷刀锥切术的患者60例临床治疗方法进行分析如下。

由定理9，可知

φ(14×48×120)

其中第三种被引征更多。 图意可理解为老僧倚立青松下，旁有红杏，闭眼冥思。 这些元素是后来相关诗文最为关注的地方。

=φ(14)φ(48)φ(120)

=18392

定理9：[a1,a2,…,an]=∏1≤i1<i2<…<it≤n(ai1,ai2,…,ait)(-1)t-1，其中a1,a2,…,an为整数，[a1,a2,…,an]为a1,a2,…,an的最小公倍数，(ai1,ai2,…,ait)为ai1,ai2,…,ait的最大公约数。

证明：

首先，在要证明的公式中，左边所包含的不同素因子的集合是a1a2…an所包含的不同素因子的集合的子集，即SPF([a1,a2,…,an])为SPF(a1a2…an)的子集，而右边的每个乘积项中的(ai1,ai2,…,ait)所包含的不同素因子的集合也是a1a2…an所包含的不同素因子的集合的子集，即SPF((ai1,ai2,…,ait))为SPF([a1a2…an])的子集，因此要证明的公式的两边都可以表示为∏pi in SPF(a1a2…an)piti的形式(其中ti为整数)，即要证明其正确性，只需要证明对于SPF([a1a2…an])中的任意pi，公式两边中pi的指数ti是否相等就可以了。下面给出证明。

任意选取a1a2…an中的素因子p。把a1,a2,…,an按照所含p的次数由小到大进行排序，得到am1,am2,…,amn，令p在am1,am2,…,amn中的次数分别为rm1,rm2,…,rmn。

对于公式左边，有p在[a1a2…an]中的次数为rmn。对于公式右边，由于(ai1,ai2,…,ait)所包含的p的次数为(ai1,ai2,…,ait)中含有p次数最低的项中p的次数，因此∏1≤i1<i2<…<it≤n(ai1,ai2,…,ait)(-1)t-1中p的指数可以表达为k1rm1+k2rm2+…knrmn，且kj=∑0≤k≤n-j(-1)kC(n-j,k)，这是因为∏1≤i1<i2<…<it≤n(ai1,ai2,…,ait)(-1)t-1中对于给定的t，满足(ai1,ai2,…,ait)中p的次数为rmj的(ai1,ai2,…,ait)共有C(n-j,t-1)个，即ai1,ai2,…,ait中应包含amj，且另外t-1个都要在am1,am2,…,amn中位于amj后面的项中选取，即am(j+1) 到amn中选取，而am(j+1) 到amn共有n-j项。进一步，对于kj=∑0≤k≤n-j(-1)kC(n-j,k)，若j0≤k≤n-j(-1)kC(n-j,k)=(1-1)n-j=0，而若j=n，有kj=1。因此，∏1≤i1<i2<…<it≤n(ai1,ai2,…,ait)(-1)t-1中p的次数为knrmn=rmn。

由上述可知，对于任意选取a1a2…an中的素因子p，有所证明公式两边中pi的指数相等。因此，公式[a1,a2,…,an]=∏1≤i1<i2<…<it≤n(ai1,ai2,…,ait)(-1)t-1成立。

■

例子：

[6,8,20]=(6×8×20)((6,8)×(6,20)×(8,20))-1×(6,8,20)=960×(2×2×4)-1×2=120

定理其中a1a2…an为整数，[a1,a2,…,an]为a1a2…an的最小公倍数，φ((ai1,ai2,…,ait))为ai1,ai2,…,ait最大公约数的欧拉函数。

证明：

由定理8，可得

川矢喝退刁德恒后，迅速换上一副笑脸，又叽哩呱啦地说了一通。庄槐翻译说：“尊敬的百里香阁下，因为刁队长的愚蠢和粗鲁，让您受到了莫大的污辱，在下深表不安和歉意！我将以此为戒，严惩不殆！”

因而

[a1,a2,…,an]

=∏1≤i1<i2<…<it≤n(ai1,ai2,…,ait)(-1)t-1，因而有

从而可得

∏1≤i1<i2<…<it≤nφ((ai1,ai2,…,ait))(-1)t-1。

■

定理其中a1,a2,…,an为整数。(ai1,ai2,…,ait)为ai1,ai2,…,ait的最大公约数，φ((ai1,ai2,…,ait))为ai1,ai2,…,ait最大公约数的欧拉函数。

φ(14×48×120)=

=48×6×16×32×(1×1×8)-1×1

=18392

由定理10和定理4容易证明下面的定理11。

综上所述，本文思考异形柱框轻和短肢剪力墙住宅结构体系的相关内容，发现短肢剪力墙是剪力墙结构的分支，在结构布置方面比较灵活，可调整性较强。如今建筑行业已经能够为人们提供高度舒适性的住宅，这其中离不开混凝土异形柱、短肢剪力墙的支持，二者使得高层住宅体系更加完善，不仅满足舒适性，还实现良好的节能效果，也让建筑住宅有良好的耐久性和安全性特点。

本文将从晚唐时期镜湖周边地区外在的文学环境和隐士方干特殊的创作心态入手，阐释此时镜湖地区特有的文学生态以及诗人方干“清丽”诗风的形成原因。

(1)沙沟纵坡比降大，两侧山体坡度陡，属于泥石流易发范围，沟道内崩坡积物源丰富，前期降雨量大、短时强降雨是泥石流的诱发因素。

例子：

人民群众是改善民生的主体力量，但如果只有广大群众的积极性，而无有力的领导骨干去恰当地组织群众的积极性，则群众积极性既不可能持久，也不可能走向正确的方向和提到高级的程度。因此，改善民生需要党和政府的组织与帮助。此外，军队机关学校的生产自给，对于克服经济困难，减轻人民的负担，改善人民生活，也发挥着重要作用。

φ([14,48,120])

=φ(14)φ(48)φ(120)(φ((14,48))φ((14,120))φ((48,120)))-1φ((14,48,120))

=6×16×32×(1×1×8)-1×1

=384

以下的定理则可以由与上述定理相似的方法推出。

定理12：(a1,a2,…,an)=∏1≤i1<i2<…<it≤n[ai1,ai2,…,ait](-1)t-1，其中(a1,a2,…,an)为a1,a2,…,an的最大公约数，[ai1,ai2,…,ait]为ai1,ai2,…,ait的最小公倍数。

例子：

(6,8,20)=6×8×20×([6,8]×[6,20]×[8,20])-1×[6,8,20]=960×(24×60×40)-1×120=2

定理13：φ((a1,a2,…,an))=∏1≤i1<i2<…<it≤nφ([ai1,ai2,…,ait])(-1)t-1，其中(a1,a2,…,an)为a1,a2,…,an的最大公约数，[ai1,ai2,…,ait]为ai1,ai2,…,ait的最小公倍数，φ([ai1,ai2,…,ait])为ai1,ai2,…,ait最小公倍数的欧拉函数。

例子：

φ((6,8,20))

=φ(6)×φ(8)×φ(20)×(φ([6,8])×φ([6,20])×φ([8,20]))-1×φ([6,8,20])

=2×4×8×(8×16×16)-1×32

=1

由定理9和定理12、定理11和定理13可知，最大公约数和最小公倍数之间、最大公约数和最小公倍数的欧拉函数之间的表示都具有对偶性。即定理9、定理11中的最小公倍数和最大公约数互换后，就成了定理12、定理13。同样地，将定理12、定理13中的最小公倍数和最大公约数互换可以得到定理9、定理11。

定理1～定理11，我们首先是给出了基于乘积性质的两个数乘积类型的欧拉函数扩展形式表示，然后将这种两个数乘积类型的欧拉函数扩展形式表示继续推广到多个数乘积类型欧拉函数的扩展形式表示。在多个数乘积类型欧拉函数扩展形式推导的过程中，首先是利用的集合的性质进行推导，但是考虑集合在实际计算中的不便性，进一步跳出集合的概念继续推导，得到更加实用的一般情况的基于乘积性质的欧拉函数扩展形式表示。所以，我们给出的基于乘积性质的欧拉函数扩展形式不仅使得计算更加方便，并且也具有很高的实用性。

4 性质的简单应用以及安全性分析

根据一些乘积欧拉函数性质的证明，我们可借此构造类似RSA，基于大整数分解困难问题的公钥算法以及数字签名。

4.1 公钥算法

首先选取两个大素数p和q，计算n=p·q·(p-1)·(q-1)，其次取一个随机数r，使r不大于(p-1)(q-1)中2的次数，计算φ(n)=φ(p·q·(p-1)·(q-1))，根据上文可知φ(n)是可以被2r整除的。取一个数e，根据扩展欧几里德算法计算d使得d满足则公布(e,n)作为公钥，保存d作为私钥。设明文为M，密文为C。

加密：C≡(2M+1)emodn

解密：

正确性：

在公钥算法中，公钥e和私钥d需要满足公式那么第一步先证明模n的阶整除

首先给出几条推论，所有推论都是基于满足公钥算法的p和q下，设pr1次幂，q-1中含有2r2次幂。

推论是φ((pq,(p-1)(q-1)))的倍数。

证明：

设a=(pq,(p-1)(q-1)),即a是pq与(p-1)(q-1)的最大公约数，(p-1)(q-1)显然是a的倍数，pq的乘积是奇数，所以a中不含2，而只是消去了(p-1)(q-1)中2的因子，所以是a的倍数。根据欧拉函数的性质，可得是φ((pq,(p-1)(q-1)))的倍数。

■

推论2：设且中2的次数为2r1+r2-1+c，其中α为p在q-1中的次数，则k中2的次数等于c。

证明：

由于p-1和p互素，因而(p-1)(q-1)中p的次数为α，那么在k的分子上对求欧拉函数，可得pα对应的部分为(p-1)pα-1，而(pq,(p-1)(q-1))要么是p，要么是1。所以若α大于0，有若α为0，有因此，k中2的次数等于c。

步骤1 首先计算直接计算φ(n)，则根据定理1得

(1)

在式(1)中，l是(p-1)(q-1)不包含2的次幂的部分。(p-1)(q-1)中含有2r1+r2次幂，又根据推论是φ((pq,(p-1)(q-1)))的倍数，设则式(1)可改写为

φ(n)=l×22(r1+r2)-1×k×(pq,(p-1)(q-1))

步骤2 再从另一个方面考虑φ(n)，因为n=pq(p-1)(q-1)，所以实际上模n的阶w要整除其中α是(p-1)(q-1)中所含p的次数。在的三部分中，它们所含2的次数分别为2r1,2r2,2r1+r2-1+c。根据推论2，可以得到c等于k中的2的次数。最后比较步骤1和步骤2的结论，即可得到模n的阶w整除

■

在证明模n的阶整除后，当解密方得到加密信息C的时候，根据私钥d计算明文M，推导公式如下：

4.2 数字签名算法

数字签名算法的初始参数设置与公钥算法相同，同样的选取p,q,r，再计算出n,φ(n),e,d，并公布(e,n)作为公钥，保存d作为私钥。设待签名数据为M，已签名数据为S。再选取哈希函数H()。则签名与验签过程如下：

签名：S≡H(M)dmodn

验签：H(M)≡Semodn

4.3 安全性分析

由于p和q选取的是大素数，所以要分解n并获得φ(n)是困难的，从而攻击者难以从公钥(e,n)计算出私钥d。由于n是至少两个大素数的乘积，φ(n)并不是模n的生成元的阶数，这会导致同一个e有多个不同的等效私钥。利用模代替φ(n)计算私钥减少了同一个e的等效私钥的个数，增强了安全性。

可以通过p和q的选取，使得p-1和q-1仅包含2和大素数因子，从而进一步增强其抗因子分解攻击的安全性。

5 结论

对于基于乘积性质的欧拉函数，本论文中推导出了结论详见定理1。结论1是核心定理，即基于乘积性质的欧拉函数的扩展形式表示，具体是指两个数乘积的欧拉函数扩展形式表示。在结论1的基础上，我们进一步扩展，将其扩展到基于多个数乘积的欧拉函数扩展形式表示，得出结论2(详见定理5)：

=∏pi in(SPF(a1)∪SPF(a2)∪…∪SPF(an))

进一步引入最小公倍数的性质得出结论3(详见定理6)：引入最大公约数的性质得出结论4(详见定理7)：

结论2、结论3、结论4都是利用集合性质进行推导得出的结论，在实际应用中不方便。为了在实际中更加方便，跳出集合的性质，得出结论5(详见定理8)：结论5使得基于多个数乘积的欧拉函数的扩展表示具有更高的实用性。在结论5的基础上，我们将最大公约数和最小公倍数之前的关系引入到推导过程，进一步得出结论6(详见定理11)：φ([a1,a2,…,an])=∏1≤i1<i2<…<it≤nφ((ai1,ai2,…,ait))(-1)t-1。和结论7(详见定理13)：φ((a1,a2,…,an))=∏1≤i1<i2<…<it≤nφ([ai1,ai2,…,ait])(-1)t-1。这7个结论是本文的核心结论。这7个结论中给出了基于乘积性质的欧拉函数扩展形式表示的基础形式表示，以及引入各种性质以后的变形形式表示，适合于不同的情形应用。

欧拉函数对于互素的正整数乘积满足直接分解性质，即乘积的欧拉函数等于欧拉函数的乘积。本文对一般情况下乘积的欧拉函数进行了分析，给出了其简单的分解性质。在此基础上，将欧拉函数和集合建立了对应关系，并利用集合的容斥原理，给出了多整数乘积欧拉函数的通用分解公式。在此基础上，进一步论述了多整数的乘积、最大公约数、最小公倍数的欧拉函数之间的内在关系，以及最大公约数、最小公倍数的欧拉函数之间的对偶表示性质。借助乘积欧拉函数的性质，构造了一种类似RSA的基于大整数分解困难问题的公钥算法以及数字签名。

参考文献

[1] 沈昌祥，张焕国，冯登国，等. 信息安全综述[J].中国科学:技术科学, 2007 ,37 (2): 129-150.doi: 10.3969/j.issn.1674-7259.2007.02.001.

SHEN Changxiang, ZHANG Huanguo,FENG Dengguo, et al. Information security review[J]. SCIENCE IN CHINA(SERIES E),2007 ,37 (2): 129-150.doi: 10.3969/j.issn.1674-7259.2007.02.001.

[2] 冯登国. 国内外密码学研究现状及发展趋势[J]. 通信学报, 2002, 23(5):18-26.doi:10.3321/j.issn:1000-436X.2002.05.005.

FENG Dwngguo.Status quo and trend of cryptography[J].JOURNAL OF CHINA INSTITUTE OF COMMUNICATIONS,2002, 23(5):18-26.doi:10.3321/j.issn:1000-436X.2002.05.005.

[3] Diffie W,Hellman M. New direction in cryptography[J]. IEEE Trans. inform. theory, 1976, 22(6):644-654.

[4] Martínez V G, González-Manzano L, Muoz A M. Secure Elliptic Curves in Cryptography[J]. 2018.

[5] Trivedi A, Srinivasan D, Pal K, et al. Enhanced Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition for Solving the Unit Commitment Problem[J]. IEEE Transactions on Industrial Informatics, 2017, 11(6):1346-1357.doi:10.1109/TII.2015.2485520.

[6] Rivest R L, Shamir A, Adleman L. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems[J]. Communications of the Acm, 1978,26 (2) :96-99, 1978.doi:10.1145/359340.359342.

[7] Kumar V, Kumar R, Pandey S K, et al. Fully Homomorphic Encryption Scheme with Probabilistic Encryption Based on Euler’s Theorem and Application in Cloud Computing[J]. 2018.

[8] Kotlarz P, ński P, Dunajewski I. The attack on the RSA algorithm with the application of Euler's function[J]. Image Processing & Communications, 2006, 11.

[9] Noh S C, Song E J, Moon S C. A Study of Field Application Process of Public Key Algorithm RSA Based on Mathematical Principles and Characteristics through a Diagnostic[J]. Journal of Service Research and Studies，2015, 5(2):71-81.

[10] Wu C. Proof of the GD-conjectures and estimation of Euler’s totient function in the RSA public key system[J]. Journal of Xidian University,1992,2: 82-89.

[11] Yuan H, Peiluan L I. The Positive Integer Solutions of Ternary Variable Coefficient Euler Function Equationφ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)[J]. Journal of Hubei University for Nationalities, 2018.

[12] Zhang S B, Guan C M, Yang Y N. An Equation on Euler Function and Generalized Euler Function[J]. Mathematics in Practice & Theory, 2018.

[13] Kim T, Kim D S, Jang G W, et al. Fourier series of sums of products of Euler functions and their applications[J]. Journal of Computational Analysis & Applications, 2018, 25(4):714-727.

[14] Muhetar X, Zhang S, Xiong M, et al. Solutions of a Nonlinear Equation on Euler Function[J]. Journal of Capital Normal University, 2018.

[15] Zhang S B. Solutions of the Equation φ_6(n)=2～(ω(n)) on Generalized Euler Function[J]. Journal of Southwest China Normal University, 2018.