0 引言

制导火箭武器系统因其反应迅速、火力猛、威力大、成本适中,火力密度高等特点,近年来受到很多国家重视[1]。制导火箭弹作为一个系统,其总体性能的优劣依赖于各子系统的性能以及各子系统之间的协调配合。为提高毁伤效果,杀伤爆破型或侵彻型等战斗部往往要求制导火箭弹以大落角命中目标并具有一定的末速。由于飞行过程中,只有发动机推力和阻力做功,全弹道速度方案主要依赖于发动机推力方案设计和弹道方案设计。兼顾战斗部要求和发动机推力方案,寻找合适的飞行弹道,优化发动机技术指标,对火箭弹总体设计具有重要的现实意义。

制导火箭弹飞行弹道的优化问题实质是最优控制问题。由于描述制导火箭弹运动的非线性常微分方程组较为复杂,大空域飞行过程中空气动力非线性特性突出,且控制变量和状态变量往往具有约束,一般难以解析求解弹道优化问题,只能寻求数值解。高斯伪谱法与传统直接法等数值方法相比,因其参数化得到的非线性规划问题的karush-kuhn-tucker(KKT)条件与离散的哈密顿边值问题的一阶最优性条件具有一致性[2],近年来受到国内外广泛关注。一个典型和显著的应用是用于完成被称为“零推进剂机动”的国际空间站大规模姿态调整任务,通过基于伪谱法的轨迹优化,为NASA节省了100万美元的推进剂经费[3-4]。国内学者也开展了大量的相关研究。杨博[5]等人基于高斯伪谱法研究了化电混合推进剂系统转移轨道优化设计问题。张佩俊等人针对复杂多约束条件下空天飞机上升段燃料最优控制问题,提出了一种基于高斯伪谱法的空天飞机上升段轨迹优化策略[6]。

文中针对制导火箭弹总体优化设计问题,提出了一种基于高斯伪谱法的总体优化设计方法。为优化发动机技术要求,确保战斗部对飞行弹道的大落角和末速要求,将落角作为终端约束,取目标函数为最大化末速,进行了方案弹道优化,为发动机技术要求的优化提供参考。

1.3 培养基的制备 玉米琼脂培养基（CMA）和马铃薯葡萄糖琼脂培养基（PDA）参照文献〔8〕进行制备。

1 总体优化设计模型

1.1 制导火箭弹运动方程

假设地面坐标系为惯性系,制导火箭弹视为可控质点,仅考虑纵向平面内的运动,攻角响应近似为一阶惯性环节,则制导火箭弹的运动模型可简化表述为:

(1)

式中:V为质心速度;θ为弹道倾角;x与y分别为纵向平面内的质心位置;m为质量;P为发动机推力;q为动压;S为特征面积;阻力系数cx和升力系数cy是马赫数和攻角α的函数;重力加速度g随高度变化;mc为质量流量;Tα为攻角响应时间常数;αc为攻角指令。

通过对上述两个方面的分析和思考，笔者认为，程小青采用这种策略去翻译原因有二：其一，符合当时的翻译潮流，当时大多翻译作品中的称谓很多都是采用异化的翻译方法；其二，配合侦探小说这一外来的文学形式，异化了的称谓语和纪年法可以增加译文的“洋味”，激发读者的兴趣并给读者带来新鲜感。

从图12～图18上看，当草原灭鼠毒饵喷撒机行走跑合试验时，上拉杆角度在(22°～70°)的范围内。上拉杆垂直力集中在(4 000～6 000N)范围内，峰值在9 000N；上拉杆水平力集中在(3 500～5 000N)范围内，峰值为6 450N；右拉杆垂直力集中在(3 000～6 800N)范围内，峰值为8 107N；右拉杆水平力集中在(3 000～6 000N)范围内，峰值为7 000N；左拉杆垂直力集中在(4 000～5 700N)范围内，峰值为6 800N；左拉杆水平力集中在(3 800～6 000N)范围内，峰值为7 340N。

1.2 优化问题描述

总体优化设计是各分系统反复迭代修正的过程。这里从主要矛盾入手,仅考虑发动机推力方案、弹道方案和战斗部性能要求的适配问题。在给定战斗部对弹道末端状态约束的条件下,以初选发动机推力方案为基础,进行方案弹道优化,验证发动机推力方案的可行性并对其技术要求进行优化设计。由以上分析可知,总体优化设计问题的核心是方案弹道的优化。方案弹道优化模型可表述为:

1)性能指标

为保证战斗部的毁伤效果,将性能指标取为末端速度最大,即:

J=max Vf

(2)

2)初始状态约束

从而,系统动力学方程转化为:

(3)

对式(9)求导,可得以插值多项式导数为近似的状态变量的导数:

高斯伪谱法是一种将连续最优控制问题转化为非线性规划问题的参数化方法。高斯伪谱法的基本原理为:将状态变量和控制变量在一系列高斯点上离散,并以所选高斯点为节点构造全局拉格朗日插值多项式来逼近状态变量和控制变量,以全局插值多项式的导数近似系统的动力学方程,从而将微分方程组约束转化为代数方程组约束。性能指标中的积分项由高斯积分计算。终端状态由初始状态和对右函数的积分获得。经上述变换,可将连续最优控制问题参数化为非线性规划问题。

为了确保带磁力驱动清洗装置的密闭容器多相物料料位监测装置适用腐蚀性物料监测，法兰盘选用聚氯乙烯材料制作.查手册得其弹性模量为1.35 GPa，泊松比为0.35，抗拉强度为45～50 MPa，压缩强度为56.2～91.4 MPa[6-7].

(4)

采用高斯积分公式近似上式中的积分项,可得离散化终端状态:

考虑制导火箭弹的稳定性能与控制性能,对攻角指令进行限制:

(5)

2 高斯伪谱法

针对固定目标,对弹着点状态进行约束:

2.1 系统微分方程的离散

考虑一般形式的非线性系统动力学方程:

(6)

式中:x∈n为状态向量;u∈m为控制向量;f:n×n×→n为连续向量函数。为应用正交多项式的性质,采用高斯伪谱法需要将时间区域[t0,tf]转换到[-1,1]上,为此引入变量τ对时间t进行变换,即:

(7)

初始状态为制导火箭弹发射点状态:

(8)

选取N个Lagrange插值基函数Lk近似逼近状态向量,可得:

(9)

(10)

独立石油公司在资金和规模实力上的差距，使得其有选择地重点进入某一些国家，其开展业务的国家数量远低于国际大石油公司和国家石油公司。2014年国际油价大幅下降以来，独立石油公司实施聚焦策略，选择的国家目标更加精准。安纳达科（Anadarko）除本土外，勘探资产主要分布在哥伦比亚；阿帕奇退出澳大利亚和加拿大，勘探区块主要分布在埃及、北海、苏里南。独立石油公司勘探重心非常清晰，例如，康菲重点打造本土非常规以及阿拉斯加常规勘探，阿帕奇除了本土非常规外，还将埃及作为其重要勘探领域。

(11)

3)终端状态约束

(12)

其中,微分矩阵D∈N×(N+1)通过下式计算:

(13)

将式(12)代入式(8),得到状态向量在配点上应满足的代数约束:

2.1 两组患者治疗前的基线水平 治疗前两组患者的空腹血糖（FPG）、餐后2h血糖（2hPG）、HbA1 c、sCr、eGFR及ALB比较差异无统计意义（P＞0.05），具有可比性。见表1。

(14)

综上所述,将系统动力学微分方程参数化为了代数方程约束。

2.2 终端约束的离散

积分动力学方程(8)可得终端状态:

其中,τk(k=0,…,N)为如下N次Legendre正交多项式的零点:

(15)

4)控制变量约束

观察组在生理功能、精神健康、总体健康、活力方面得分均大于对照组，差异具有统计学意义（P＜0.05），见表3。

(16)

其中,ωk=Li(τ)dτ为高斯权重。

农村地区大多数养殖户养殖规模较小，且养殖户分布较散，对动物防疫检疫工作提出了较高的要求，也加重工作任务量。此外，部分基层养殖人员在养殖过程中将各类畜禽进行混合饲养，养殖环境较差，整体卫生防疫水平较低。当养殖中各类畜禽感染疫病病毒后会导致疫病大范围传播，对牲畜稳定生长造成了较大影响，情况严重会导致畜禽死亡，产生较大的经济损失[3]。

通过上述离散过程,将方案弹道优化问题转化为了非线性规划问题,其设计变量包括离散点的状态向量(X1,X2,…,XN)和控制向量(U1,U2,…,UN)及终端时刻tf,其约束条件为动力学方程约束及边界条件约束。目前对于非线性规划问题的数值求解方法有很多,贯序二次规划算法因其稳定性和精度优势应用最为广泛。因此,文中采用贯序二次规划法对经高斯伪谱法离散化的方案弹道优化问题进行求解。

3 数值仿真分析

以某制导火箭弹的总体论证为例,进行数值仿真分析。为保证某型战斗部的毁伤效果,需要约束落角和末速。在方案弹道优化中,将落角作为终端约束条件,目标函数为最大化末速,射程依次取为25 km、35 km、45 km、55 km、65 km、75 km、85 km、110 km、130 km,来验证发动机方案能否在全射程范围内满足战斗部的技术要求。

首先，根据Superpave等级要求，细集料的目标配比初步选择粗、中、细三个级配，然后计算每个级配的沥青使用量，并通过旋转压实仪形成试件，并最终计算出每个级配的沥青使用量。三个级配的沥青混合料的体积性质指标其中至少两个应该满足图纸设计的要求。根据经验从上述2个级配中选择一个作为目标级配，按计算沥青用量，计算沥青用量±0.5%，计算沥青用量+1%分别成型四组试件求出最佳沥青用量。

制导火箭弹初始状态约束为:x0=0,y0=0,α0=0,20°≤θ0≤55°,V0=25 m/s,m0=342 kg。终端弹道倾角约束取为θf∈[-90°,-80°]。气象条件采用空军标准气象条件。

图1给出了不同射程制导火箭弹速度随时间的变化曲线。图2展示了不同射程弹道倾角随时间的变化曲线。表1列出了不同射程对应的落角和末速。可以看出,在保证落角约束的条件下,随着射程的增加,末速最大值先减小后增大再减小。这是由于火箭弹飞行过程中只有发动机推力和阻力做功。仿真中,不同射程发动机参数一致,发动机工作过程阶段,火箭弹飞行轨迹差异不大,所以发动机推力做功对于不同射程差别不大。阻力系数与飞行高度和马赫数相关,25 km到130 km的射程对应的弹道高变化范围较大,高空飞行占总飞行过程的比重较大时,阻力做功相对较小,末速较大;另外,总飞行路径较短,阻力做功相对较小,末速较大。

图1 不同射程速度随时间的变化曲线

图2 不同射程弹道倾角随时间的变化曲线

表1 不同射程的落角和末速

射程/km落角/(°)末速/(m/s)2580.65448.43580.83434.74581.12434.35580.44449.56580.31465.77580.28480.68580.17493.211080.10591.913080.06520.1

4 结束语

文中针对制导火箭弹总体优化设计问题,提出了一种基于高斯伪谱法的总体优化设计方法。为优化发动机技术要求,确保战斗部对飞行弹道的大落角和末速要求,将落角作为终端约束,取目标函数为最大化末速,进行了方案弹道优化。通过数值仿真,给出了在满足落角约束条件下最大末速随射程的变化规律。仿真实例中,射程跨度较大时,制导火箭弹弹道式飞行高度变化范围较广,在保证落角约束的条件下,随着射程的增加,末速最大值先减小后增大再减小。因此,在工程实践中,对于大射程跨度大空域飞行制导火箭弹的总体方案技术指标分解,不能仅选取最近射程和最远射程进行验证,要充分验证全射程范围的可行性。

参考文献:

[1] 杨树兴. 陆军多管火箭武器的发展和思考 [J]. 兵工学报, 2016, 37(7): 1299-1305.

[2] BENSON D. A Gauss pseudo-spectral transcription for optimal control [M]. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 2005:237-242.

[3] KANG W, BEDROSSIAN N. Pseudospectral optimal control theory makes debut flight, saves NASA ＄1M in under three hours [J]. SIAM News, 2007,40(7)L1-3.

[4] BEDROSSIAN N, BHATT S, LAMMERS M, et al. Zero-propellant maneuverTM flight results for 180 deg ISS rotation [C]∥NASA. Proceedings of 20th International Symposium on Space Flight Dynamics.Houston:NASA Jonhnson Space Center,2008:1-10.

[5] 杨博, 陈子匀, 温正, 等. 基于高斯伪谱法的化-电混合推进系统转移轨道优化设计 [J]. 中国空间科学技术, 2016, 36(1): 18-25.

[6] 张佩俊, 刘鲁华, 王建华. 基于高斯伪谱法的空天飞机上升段最优轨迹设计 [J]. 空间控制技术与应用, 2017, 43(2): 13-20.