1 引言

粒度计算是当前人工智能领域的一大热点，它包含了所有关于粒度计算的理论、方法和技术[1]，是模拟人类思维的有效工具，在复杂问题求解、大量数据挖掘以及模糊信息处理中都有重要的应用[2]。专家学者提出了各种用于研究粒计算的模型，其中基于模糊词计算的粒计算模型、基于粗糙集理论的粒计算模型[3-7]、基于商空间理论的粒计算模型[8]是目前使用最多的三种模型。

张钹和张铃在研究问题求解的过程中提出了商空间理论模型，其基于论域上的等价关系描述问题[9]。对于给定的三元组(U,f,T)以及论域U上的一个等价关系R，根据R得到商集[X ]；然后由[X]构造新的空间([ X ],[f],[T ] ),即为原空间(U,f,T)的商空间,其中[f]和[T ]分别为商属性函数和商结构[10]。商空间理论模型能够对论域中的元素、元素之间的不同关系进行描述，并且可以实现属性函数与运算的多样化，因此其具有更强的表达能力。在合适的粒度空间的基础上研究粒度时，除了提出自己的方法，如多侧面方法[11]、覆盖方法[12]等，它还可以吸收目前大多数比较成熟的理论中的方法。

高国士在文献[13]中给出了构造新的拓扑空间的方法，文献[14]中将构造的新的拓扑称为逆商拓扑，并提出了逆商关系拓扑的合成来探寻不同层次上拓扑空间之间的关系，并就逆商空间与商空间形成的层次结构进行了分析。对商空间进行逆商操作可得到对应的逆商空间，由此可以推断出原空间的一些性质。逆商空间是对原问题空间的部分还原，通过对商空间求逆商得到的逆商空间并不一定与原空间完全一致。本文基于逆商空间的相关性质，对原空间和其商空间的逆商空间之间不一致的原因进行了分析，由此得出二者满足一致性的条件，并在商空间理论的基础上进一步分析了拥有可逆性质的空间满足的条件，使得原空间、商空间与逆商空间三者形成对照。

2 商空间理论

定义2.1（拓扑）集合X上的一个拓扑是X的子集的一个族T，它满足以下条件：

逆变法属于一种逆向思维，它是“正难则反”思想在化归策略中的一种，简单地说，逆变法就是数学形式的反面思考，实现对立双方的转化〔3〕81。将y=f（x）看成是x的方程，若求得x=g（y），由g（y）的定义域及x的范围（原来函数y=f（x）的定义域）即g（y）的范围，则可求得y的范围。

（1）∅和X在T中；

科技期刊的发展动力是自身的品牌价值与品牌特色，因此，地方科技期刊要想在众多科技期刊中独树一帜，就要树立并加强品牌意识。受办刊机制影响，上级主管部门下拨专项经费是地方科技期刊办刊费用的主要来源。许多地方科技期刊缺乏竞争意识和危机意识，更没有品牌建设意识。要想在大环境下争取尽可能多的作者、读者，就要向省外和全国优秀的地方科研院所和高校看齐，结束“独角戏”的状态，培养自身的品牌发展意识。[6]

虽然黄诗学杜，极力主张用典，但也强调炼字造句，推陈出新，形成了独特的风格。如刘克庄《江西诗派序》说黄庭坚“会萃百家句律之长，究极历代体制之变”，“自成一家，遂为本朝诗家宗祖”。朝鲜诗人也多赞同此说，如李德懋和正祖李祘都说过：“黄庭坚会萃百家句律之长，究极历代体制之变，自成一家，为江西诗派之宗祖。”[2](267辑《〈诗观〉五百六十卷》，P509)至于如何“自成一家”，朝鲜诗人也在诗话、序、跋、书信中多有议论，他们认为“精绝”“清”“奇”“雄”“健”“豪”是黄庭坚诗歌的主要风格特色。

（2）T的任意子族的元素的并在T中；

（3）T的任意有限子族的元素的交在T中。

一个拓扑空间就是一个有序偶对( )X,T ，其中 X是一个集合，T是X上的一个拓扑。

定义2.2（商映射和商拓扑）给定X和Y两个拓扑空间，U⊆Y，f:X→Y是满映射，满足：

U 是Y 的开（闭）集 ⇔f-1(U)是X的开（闭）集，则称 f是一个商映射[4]，Y相对于X和 f而言是一个商拓扑（商空间）。

可以通过下面的方式构造性定义商拓扑：

定义2.3（商拓扑的构造）设( )X,T 是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是满映射，由Y构造集合：T/f={U⊆Y|f-1(U)∈T}称(Y,T/f)是相对于满映射 f的商拓扑。

上述的构造性定义，扫描每一个Y的子集，若其逆象是开集，则该Y的子集就是属于商拓扑(Y,T/f)的开集。

定义2.4（饱和集）设X和Y是两个集合，映射 f:X→Y是满映射。∀V⊆X,一般有 f-1(f(V))⊇V，如果 f-1(f(V))=V，则称V关于映射 f是饱和的[11]。

定理2.1给定X和Y两个拓扑空间，U⊆Y，f:X→Y是满映射，Y是X相对于 f的商拓扑，则X的不同饱和子集具有不同的像。

在这一工作中还会涉及到套牢成本问题。所谓套牢成本指的是用户长时间下来可能投入的时间、金钱等，即便存在不满意情绪，在未来也不能进行有效的回收。这一成本的出现主要是在双方心理互动作用下产生的，和经济投入没有必然联系。套牢成本受到两个因素影响，其一，是用户对过去成本投入的越多，用户就越会受到套牢成本的影响。其二，用户在不同平台的互动过程中，平台对心理的依赖感将不断增加，甚至会对用户转换工作的难度进行提升。

当且仅当“ f单射”时，U中每一个元素至多为一个自变元的函数值（无多值映射点），则充分有f-1(f(V))=V成立，这时X的每个子集都是饱和集。

定理2.2给定X和Y两个拓扑空间，U⊆Y，f:X→Y是满映射，Y是X相对于 f的商拓扑，则Y的任意子集（开集）的逆象必为饱和集。

f是满射，则∀U⊆Y,f-1(f(U))=U,则f-1f(f-1(U)))=f-1(U)，根据上述饱和集的定义，则 f-1(U)为饱和集。因此，X中所有可作为映射 f的逆象的子集都是饱和的，其他子集均不饱和。X中的饱和子集与其像具有一对一性。在商映射下，若 f-1(U)是开集，则U⊆Y是开集，f-1(U)具有饱和性。

商拓扑是在已知其原空间的拓扑求出其商空间下的拓扑。相应的，在已知商拓扑的情况下，对其进行求逆商拓扑的运算，可以得到其逆商空间。

定义2.5（逆商拓扑）设X是一个集合，(Y,TY)是一个拓扑空间，f:X→Y是映射，构造X上的子集族：

TX={V⊆X|V=f-1(U),U∈TY}

则TX是使 f连续的最粗拓扑，TX称为拓扑逆。当 f是满射函数时，TX是TY的逆商拓扑。

根据插秧机使用季节性强的特点，为确保插秧机发挥效益，增强农户购机信心，加强对农民、技术人员的培训。一是加强对操作插秧机农民的技术培训，使其不但会操作、懂技术，还能排出一般故障；二是对农技、育秧人员进行插秧机性能和育秧技术培训，使他们掌握育秧、机插等技术；三是派技术人员到科研院所、企业学习交流技术，使其掌握最新技术，同时为科研院所、企业进一步提升插秧机性能提供一线资料，为今后大面积推广提供技术保障，消除农户的顾忧。

加快和推动生物制药人才的培养，首先要坚持和发展创新教育理念。创新教育就是紧紧围绕开发学生的创新能力这一核心，在充分尊重学生个性发展的基础上因材施教，培养学生的独立意识、问题意识和创新意识。教学必须创新，教师应积极探索创新教育的教学模式和管理方法，将创新理念融入理论教学和实践活动中，既有助于提高教师自身的教学能力，又能够有效启发学生的创新思维，不断提高学生的创造力。

3 逆商空间的一致性分析

由上述第二章商空间理论的基础以及上述逆商拓扑的定义，可知商拓扑构造是通过判断Y的子集的逆象是否是原空间X中的开集得来的，而逆商拓扑是由商空间Y中开集的逆象构成的。一般情况下，原空间与经过上述运算得到的逆商空间并不一致，下面给出例子加以说明。

例3.1设( )X,T 是一个拓扑空间，T是X上的拓扑，Y是一个集合，f:X→Y是一个满映射。其中X={x1,x2,x3,x4,x5},集合 Y={a,b,c},T={∅,{x1},{x3},{x1,x3},X}。映射关系如图1所示，此外X上还有三个拓扑：

 

  

图1 f的映射关系

论域X上还存在其三个拓扑T1，T2和T3，其结构如下：

W={{1},{2,3},{4,5,6},{1,2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6},X}

T1Y={∅,{a},{a,b},Y}

特殊的背景和环境决定了人民日报印刷厂必然承担着沉甸甸的政治责任。人民日报印刷厂时刻秉承“党报至上，政治第一，守土有责”的方针，“质量服务创双优，同行业中高一筹”的宗旨，时刻将政治意识、大局意识列为第一位。“正是承担了这种政治使命，所以人民日报印刷厂在很多事情上，都不能单纯只考虑经济效益。”人民日报印刷厂副厂长杨兴华强调说。

T2Y={∅,{a},{a,b},Y}

T3Y={∅,{a},{a,b},Y}

显然T1Y=T2Y=T3Y。

（v）采用人工蜂群优化算法优化个体决策专家的权重（xy）=N）、子组群的权重 λ（yy=1，2，…，r）以达到个体决策专家的之间意见一致性最大化，并结合仿真一致性达成过程，预先设置确定优化的群决策重要参数包括最小的一致性阀δ及最大循环次数C以实现在有限时间内达到合理一致性的大型群体决策活动。其中，人工蜂群优化算法的适应度函数设计如下：

聚焦精准施策。强化因村因户因人施策，在全面实施脱贫攻坚“十大工程”的基础上，结合实际，突出重点，分类施策，实施产业扶贫全覆盖，推广“选准一项优势主导产业、组建一个合作组织、设立一笔贷款风险补偿金、落实一个部门帮扶机制”四位一体的产业扶贫模式，因地制宜扶持贫困户发展特色种养业及乡村旅游、光伏、电商等新兴产业实现增收脱贫。实施健康扶贫再提升，在全面筑牢基本医保、大病保险、补充保险、医疗救助四道防线基础上，探索“爱心”救助的第五道保障线。同时，推进教育扶贫再对接、易地扶贫搬迁再精准、贫困村村庄整治再推进重点工程，确保扶到点上、帮到根上。

上述例子表明，一般情况下，逆商空间与原空间是不一致的。原拓扑通过商映射 f诱导出商拓扑时存在着部分信息的丢失，而逆商拓扑是由商拓扑导出的，其开集与商拓扑中的开集一一对应，从而导致了逆商拓扑与原拓扑的不一致的情况。但在满足一定的条件时，对商空间求逆得到的逆商空间与原空间一致。

定理3.1设(X ,T )是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满映射，根据商拓扑的定义得其商空间为(Y,TY)，又根据逆商拓扑的定义得到其对应于商空间的逆商空间(X,TX),若映射 f是双射，则TX=T，即(X ,T )的商空间的逆商空间与原空间一致。

证明（1）∀V∈T ，设 f(V)=U，因为 f是双射，故f-1(f (V ) )=f-1(U)=V∈T，则有U∈TY；根据逆商拓扑的定义，如果有U∈TY,f-1(U )⊆X,则有 f-1(U)∈TX；由上述说明可知 f-1(U)=V⊆X，f-1(U)=V∈TX，可得T⊆TX。

（2）∀V1∈TX,V1=f-1(U )，U∈TY，而 ∀U∈TY，有f-1(U )∈T，即V1∈T，可得TX⊆T。

其实，亚当、夏娃的罪过是对两方面的解释的由头。一方面是对自然现象的解释；另一方面，则是为上帝立威，上帝知道亚当和夏娃吃了禁果后大发雷霆的真正原因是人类不听话。他与人类立约的目的是要人类听他的话，不听话就会有各种灾难降临。

综合（1）和（2）可得TX=T 。

定理2.3逆商拓扑TX是使 f连续的最粗拓扑[15]。

定理3.1说明，给定拓扑空间X和集合Y，以及X到Y的映射 f，当 f为双射时，拓扑空间X上由 f诱导而得到的商拓扑求逆商之后的逆商拓扑与原拓扑是一致的。

例3.2设(X ,T )是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是从集合X到集合Y的一个双射，其映射关系如图2所示，其中：

 

  

图2 X到Y的映射关系

根据商拓扑定义TY={U⊆Y|f-1(U )∈T}，可以构造T1,T2,T3对应的商拓扑为T1Y,T2Y,T3Y：

 

求逆商TX={V⊆X|V=f-1(U),U∈TY}，可以求出T1Y,T2Y,T3Y对应的逆商拓扑为T1X,T2X,T3X：

“难道我这双手洗的衣服你还不满意？”“难道我这样的长相还能给你丢人不成？”她向他展示自己那双白皙修长的手，并把她那张漂亮精致的脸庞凑过来。田铭的心不由得慌乱起来。

 

可以看到此时有T1X=T1，T2X=T2，T3X=T3。

由例3.2可以看出，f双射下，对商拓扑求逆得到的逆商拓扑和原拓扑是一致的。

实际上，在 f是双射时，商拓扑和原拓扑同胚，不具有粘合性，由此得到的一致性条件在商空间求解问题时不具有实际的意义。通过上述对定理3.1的证明，可以观察到 f-1(f (V ) )=f-1(U)=V的条件，由此可以总结出建立在饱和集基础上的一致性条件。

定理3.2设(X ,T )是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满映射，根据商拓扑的定义得其商空间为(Y,TY),同时根据逆商拓扑的定义得到其对应于商空间的逆商空间(X,TX),若∀V∈T,有 f-1(f (V))=V,即T中任意开集为X的关于映射 f的饱和开集，则TX=T ，即(X ,T )的商空间的逆商空间与原空间一致。

证明（1）∀V∈T,若 f-1(f (V ) )=V,设f(V)=U,f-1(U )=f-1( f (V ) )=V∈T，则有 f(V)=U∈TY；根据逆商拓扑的定义，如果有U∈TY，f-1(U )⊆X，则有f-1(U )∈TX；又因为 f-1(U)=V⊆X，所以 f-1(U)=V∈TX，可得T⊆TX。

（2）∀V1∈TX,V1=f-1(U )，U∈TY，而 ∀U∈TY，有f-1(U )∈T，即V1∈T，可得TX⊆T。

综合（1）和（2）可得TX=T 。

定理3.2说明，对于给定论域上的拓扑空间X而言，若原空间X中的开集关于映射 f都具备饱和性，其通过 f诱导出的商拓扑求逆商之后得到的商拓扑与原拓扑是相同的，此时逆商空间与原空间是一致的。

例3.3设(X ,T )是一个拓扑空间，其中X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 Y={a,b,c,d,e,f},T={∅,{1},{3},{2},{9},{1,3},{1,2},{2,3},{1,9},{3,9},{2,9},{1,2,3},{1,3,9},{1,2,9},{2,3,9},{1,2,3,9},X},f:X→Y是一个满射，其映射关系如表1所示，X上还有三个拓扑T1,T2,T3，其中

 

 

表1 X与Y的映射关系

  

根据商拓扑的定义，TY={U⊆Y|f-1(U )∈T}，拓扑T对应的商拓扑TY={∅,Y,{a},{c},{a,c}}，对商拓扑TY进行求逆商运算，其逆商拓扑为TX={∅,X,{1,2},{3},{1,2,3}}，可以看出TX⊆T。根据饱和集的定义可以得到X中{1,2},{3},{4,6},{5},{7,8,9},{10}及其并集均为X关于 f的饱和集。

 

根据商拓扑的定义同样可以导出T1,T2,T3对应的商拓扑T1Y,T2Y,T3Y：根据TX={V⊆X|V=f-1(U),U∈TY},可以求出T1Y,T2Y,T3Y对应的逆商拓扑为T1X,T2X,T3X：

 

可以看到其中T1X=T1，T3X=T3，而T2X⊂T2。

从例3.3可以看出，若原拓扑空间中的开集都具有饱和性，即∀V∈T，满足 f-1( f (V ) )=V的条件，其导出的商空间求逆商之后得出的逆商空间与原空间是一致的；若原空间中既包含关于映射 f的饱和开集也包含非饱和的开集，则在导出商拓扑的过程中非饱和开集的部分就已经被剔除了，再对其进行求逆商的运算之后得到的逆商拓扑只包含了原空间中关于映射 f的饱和集部分，此时逆商空间包含于原空间，是一个比原空间更粗的拓扑空间。

由定理3.1、定理3.2可知，给定论域上的拓扑空间中的元素满足一定的条件时，对其通过商映射 f导出的商空间进行逆商操作得到的逆商空间与原空间是一致的，即原拓扑空间中的开集都具备饱和性时，逆商空间与原空间具有一致性。

4 粒度结构可逆性分析

根据上述一致性的分析中可以观察到原空间中的开集相对于某个映射的饱和性的问题，那么是否存在一个使得原空间中的开集都具有饱和性的条件，这里将进一步说明。

定义4.1设( )X,T 是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满映射，根据商拓扑的定义得其商空间为(Y,TY)，同时根据逆商拓扑的定义得到其对应于商空间的逆商空间(X,TX)，若TX=T，则称原空间( )X,T 关于 f是可逆的。

对T1Y、T2Y和T3Y求其逆商拓扑得到TX={∅,{x3},{x1,x2},{x1,x2,x3},X}与T1相同，而T1⊂T2，T1⊂T3。

定义4.2设X,Y是两个集合，f:X→Y是一个满映射，定义X关于f的饱和子集族为集合W={V|f-1( )f()

V=V,V⊆X}。

目前，国内的《人民日报》、搜狐、新浪等媒体上线的VR新闻大部分以360度全景视频为主，而国外的《纽约时报》在报道VR新闻时甚至采用直升机拍全景，观众在观看视频时只需一个智能手机或者利用VR眼镜即可。VR视频的原型机在拍摄视频时根本不需要边框，所以其与传统视频的拍摄方式存在着较大的差异。由于拍摄的角度为360度，因此观众站在某个角度观看视频便成为拍摄者心中的谜。[3]视频的脚本设计者在设计时具有故事性的视频时变得愈加困难，由于技术含量较低，推广人员便放弃了推广。

例4.1( )

X,T 是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满映射，其中X={1,2,3,4,5,6}，f的映射关系如图3。

  

图3 f的映射关系

根据映射 f:X→Y的像与逆象的关系，根据饱和集的定义 f-1( f (V ) )=V，可以得到X中相对于 f的饱和集有：

{1},{2,3},{4,5,6},{1,2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6},X

X中关于 f的饱和子集构成集合为：

同样的，按照商拓扑的定义，求T1，T2，T3的商拓扑可得：

X,T 是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个映射。当且仅当 f是双射时，无论拓扑T的结构如何，拓扑空间( )X,T 关于 f是可逆的。

设TY是T关于满射 f的商拓扑，按照商拓扑的定义，拓扑T对应的商拓扑为TY={∅,{b},Y}；对拓扑TY求其对应的逆商拓扑TX={∅,{x3},X}，显然TX⊆T。

通过频谱仪可以检测到实验室空中TD-LTE 2330频点的射频信号,其频谱图如图12(a)所示。欲将TD-LTE的2 330频点信息接收下来,需要进行两级射频混频,第1级混频将2 330 MHz的信号与ADF4350产生的3 160 MHz本振信号采用上混频的方式混频到830 MHz,通过频谱仪检测到的信号频谱图如图12(b)所示;第2级混频将830 MHz的信号与ADF4350产生的970 MHz本振信号采用上混频的方式混频到140 MHz,通过频谱仪检测到的信号频谱图如图12(c)所示。

T1={∅,{1},{2,3},{1,2,3},X}

T2={∅,{2},{4,5,6},{2,4,5,6},X}

T3={∅,{1},{2},{4,5},{1,2},{1,4,5},{2,4,5},{1,2,4,5},X}

定理4.1(X ,T )是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满映射，如果∀U∈T，有U∈W，则拓扑空间X关于 f是可逆的。

证明 W是X的饱和子集族，如果∀U∈T,有U∈W,则T中的开集相对 f都是饱和的，根据定理3.2，(X ,T)的商空间的逆商空间与原空间一致，则拓扑空间X关于 f是可逆的。

例4.1中论域X上有四个不同的拓扑空间T,T1，T2和T3,其中∀U∈T,有U⊆W,T是可逆的；∀U∈T1,有U⊆W,故T1也是可逆的；T2中存在开集{2}∉W,故T2是不可逆的；T3中的开集均不在X相对于 f的饱和子集族中，故T3也是不可逆的。

从例4.1中可以看出，同一论域X上的不同拓扑中的开集相对于一个映射 f的饱和性不同，这也决定了拓扑空间相对于映射 f的可逆性。

定理4.2( )

T={∅,{1},{2,3},{4,5,6},{1,2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6},X}

证明 f为双射也即一一映射时，∀V∈X，有

f-1( )

f()

V =V，即X的任意子集相对于 f都是饱和的，那么∀U∈T，U是开集，U⊆X，即T中的开集相对于 f都是饱和的，根据上述定理4.1，其拓扑空间关于f是可逆的。

如果 f不是双射，而只是一般的满射，那么上述定理4.2并不成立。在已知拓扑空间( )X,T 的结构，以及满射 f:X→Y时，其拓扑空间相对于 f的可逆性就已经确定，通过判断T中是否含有相对于 f而言的不饱和集，即可得知( )X,T 是否可逆。

那么在仅知道论域X及满射 f:X→Y，而不知道原拓扑的结构的时候，可以构造论域X上相对于 f具有可逆性的拓扑。

定理4.3X,Y是两个集合，f:X→Y是一个满映射，构造集合

B={U⊆X*|f-1( )f()

U =U,X*⊆X}以集合B作为拓扑基生成的拓扑关于 f都是可逆的。

证明 设由拓扑基B生成的拓扑为T，T等于B中元素所有并的族。由B的定义可知，B中的元素相对于 f是饱和的，那么由B生成的拓扑T中的开集都是相对于 f的饱和开集，根据定理3.2，T是可逆的。

拓扑空间X中的饱和开集即是在原拓扑到商拓扑的过程中能够保持的性质。而拓扑空间的不可逆的原因来自于求商空间时部分性质的丢失，在已知拓扑结构以及论域X到Y的映射时，问题的性质就已经确定，即可以判断原问题的可逆性。而在未知拓扑结构时，可以通过构造饱和集组成的拓扑基生成具有可逆性质的拓扑结构，由此可以得到原问题在求解过程中不变的性质。

5 总结

基于商空间理论的粒计算模型是目前粒度计算领域中使用的最多的模型。商空间理论在问题的商空间中进行求解，对商空间求逆可得其逆商空间，本文通过分析，证明了满足定理3.1，3.2的条件时，逆商空间与原空间具备一致性。

原空间中具有相对于映射的不饱和集导致了逆商空间与原空间不一致。在已知映射及原空间的拓扑结构时,可以判断其可逆性；在已知论域以及论域到其商集的满射时，可以构造出具有可逆性质的拓扑,即可通过商空间将问题还原。对原空间可逆性的研究即商空间方法求解过程中性质的保持，这对于抓住问题的一些不变性质有所帮助。

商空间领域中对于逆商空间的研究较少，本文通过研究原问题空间结构中的元素，从其饱和性出发，得出了与之相关的一致性条件。是否存在其他一致性条件还在进一步的研究中，例如对于映射条件的约束，是否可以通过多个满射函数进行转换，使得逆商空间满足一致性，达到在求解问题的高效性上有所突破的目的，也是进一步需要进行的研究工作。

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