0 引 言

平稳性假设是信号处理、机器学习、数据挖掘等学科内众多理论和模型的基础性假设[1]。但在现实应用中，大量的观测信号是非平稳的。为了有效地分析非平稳信号，一种思路是假设观测到的非平稳信号中隐含着平稳成分，通过消除非平稳性的影响将平稳成分提取出来，再分析提取出的平稳成分。沿着上述思路，文献[2]提出了平稳子空间分析(Stationary Subspace Analysis， SSA)技术，用于从观测到的多维非平稳信号中分离出平稳源信号。与独立成分分析(Independent Component Analysis， ICA)等经典的盲源分离算法[3-9]不同，平稳子空间分析技术只考虑源信号的平稳性，对源信号的独立性没有要求。目前，平稳子空间分析技术已经在气象信号处理[10]、生物医学工程[11-12]、旋转机械信号处理[13-14]等领域得到了成功的应用。

在文献[2]中，平稳子空间分析被转化成一个正交约束条件下的最优化问题，文献[2]建议使用Stiefel流形上的梯度下降算法[15]求解平稳投影矩阵。目前，该算法得到了广泛的应用[11,13-14]。但是，Stiefel流形上的梯度下降算法收敛较慢，需要选择合适的梯度下降步长，因而计算量大，耗时多。不动点算法形式简单，不需要调整梯度下降步长，如果迭代公式构造恰当，往往收敛快，耗时少[3-9]。文献[10]提出了一种适用于平稳子空间分析的不动点算法，但是，其仿真实验结果表明，在某些实验中，由其所提出算法求出的平稳投影矩阵与实际值之间存在较大偏差，不能准确地分离出平稳源信号。

2.2.3 创设“呈缴制度”，网罗新刊文献。用政府行为促使红色文献收集工作有效开展。以国家“呈缴本”制度为依据，建立“地方呈缴本制度”，即当地出版机构需将出版的每一种有关红色研究文献，无偿赠送一定数量给当地文献收藏机构。与湘西地区有关红色文献的生产机构，如党史办、史志办、社科联、团结报等，建立长期而稳定的呈缴关系，将落实呈缴本制度与其他收集方式有机结合，确保该地区红色文献入藏的连续性和完整性。

在能够有效地分离出平稳源信号的前提下，为了加快算法的收敛速度，提高算法的运行效率，本文根据有关Stiefel流形上优化问题的一阶最优性条件，构造不同于文献[10]的迭代公式，提出一种新的适用于平稳子空间分析的不动点算法，应用该算法从仿真信号中分离出平稳源信号，验证了其有效性，并与Stiefel流形上的梯度下降算法以及文献[10]提出的不动点算法进行了性能对比分析。

1 平稳子空间分析原理

平稳子空间分析模型中，观测信号x(t)∈Rd可以分解成平稳源信号ss(t)∈Rm和非平稳源信号sn(t)∈Rd-m的线性组合形式：

 

(1)

其中，A是可逆的时不变混合矩阵，由载荷矩阵As∈Rd×m和An∈Rd×(d-m)的列向量张成的空间分别被称为平稳子空间和非平稳子空间。文献[2]证明，只有非平稳子空间span(An)和平稳源信号ss(t)能够被唯一辨识。因此，平稳子空间分析的实质是：根据观测信号x(t)和源的平稳性确定平稳投影矩阵Bs∈Rm×d，得到平稳源信号的估计

文献[10]根据在WTW=Im的正交矩阵约束条件下，优化问题目标函数f(W)的极值点矩阵正比于该点处的梯度矩阵的特性，提出了一种适用于平稳子空间分析的不动点算法，其具体流程如下：

文献[2]将观测信号的样本划分为N个不同的时间段，使用Kullback Leibler散度(Kullback Leibler Divergence， KLD)衡量平稳源信号的样本均值和样本协方差在各个时间段之间的差异，根据平稳信号的统计参数不随时间变化的性质，最小化平稳源信号的样本均值和样本协方差在各个时间段之间的KLD之和，建立关于平稳投影矩阵Bs的目标函数，得到如下的优化问题：

 

(2)

其中，和分别表示在第i个时间段内经中心化和白化预处理后的样本均值和样本协方差[2]。所有d×m的正交矩阵W的集合构成Stiefel流形St(m,d)={W∈Rd×m:WTW=Im}，则式(2)可以被视为一个Stiefel流形上的优化问题。文献[2]建议使用Stiefel流形上的梯度下降算法[15]求出最优解从而得到平稳投影矩阵的估计值表示观测信号的样本协方差)。此外，文献[2]证明，为避免求得伪平稳投影，时间段个数N应当满足：

2 平稳子空间分析的不动点算法

Stiefel流形上的梯度下降方法收敛较慢，需要选取合适的梯度下降步长，因而计算量大，耗时多。因此，使用不动点算法[3-5]求解最优化问题成为另一种选择。不动点算法形式简单，不需要调整梯度下降步长，若结合具体的优化问题的特性，合理地构造迭代公式，则可以得到收敛更快，耗时更少的优化算法[3-9]。

2.1 基于一阶梯度的不动点算法

大梁收下了，说要给阿黄立个碑，把李先生这副挽联刻在碑上。他用杉木板给阿黄钉了个匣子，可往哪儿埋却犯了愁。我们河浦规矩严，抬红山阳坡那叫“葬”，是善终；送驼背山那叫“埋”，是夭殁。可那都是死的人，死个畜生也埋，冇得先例。正踌躇间，塆里主事的姜大爹和旺明叔就来了。旺明叔说，不能把阿黄当畜生看啊。我跟大爹商量过了，就葬在红山的阳坡吧。姜大爹说阿黄仁义啊，也有福啊。李先生的挽联金贵着呢，阿黄当得了这个福！

在上述的研究与分析期间我们可以较好地发现，在数学教学过程中，最为重要的目的就是希望学生利用自身掌握的函数知识在图形中充分了解与明确函数的实际模型，同时再以此为基础对提出的问题进行科学地解决。其中这次实际教学在一定程度上明确了相应的教学流程模式，可分为六个教学环节：

测量数据采集采用中铁第六勘察设计院集团有限公司研发的控制网数据采集系统。平面各项精度统计，如表3所示。从中可以看出，轨道控制网的平面测量精度和成果处理质量均满足规范要求。

步骤1 将观测信号的样本划分为N个时间段，计算出各个时间段内经中心化和白化预处理后的样本均值和样本协方差

步骤2 根据给定的平稳源信号的维数m，随机初始化正交矩阵W0∈Rd×m，使得记k=0。

步骤3 计算式(2)中的目标函数在点Wk处的梯度矩阵G(Wk)，根据迭代公式更新解矩阵

步骤4 若解矩阵Wk+1满足以下的收敛条件或<εF，令转步骤5；否则，令k←k+1，转步骤3。

步骤5 得到平稳投影矩阵

需要说明的是：1)对于给定的矩阵W∈Rd×m，式(2)中的目标函数相对于W的梯度矩阵G(W)的表达式为：

其中，表示目标函数f对W的梯度矩阵，f表示切空间的梯度。

 

(3)

2)对矩阵W∈Rd×m的正交化处理，可以采用文献[3]建议的方法：

W←W(WTW)-1/2

(4)

从而使得WTW=Im；3)收敛条件中，一般取ε=10-5，εF=10-6。

高校的发展对科教兴国战略具有重要的推进作用，而高校的财务风险管控和内部控制管理将会直接影响到高校的建设及发展。因此，必须要做好高校的风险管控和内部控制。

2.2 基于Stiefel流形一阶最优性条件的不动点算法

步骤1 将观测信号的样本划分为N个时间段，计算出各个时间段内经中心化和白化预处理后的样本均值和样本协方差

(1)学校将每年5月的第二个双休日定为校本感恩互动节，为期两天。各个班级要求父母至少一人到校参加活动。通过内容丰富、形式多样的活动，强化亲子互动，唱孝亲尊师等感恩歌曲，为父母洗脚，助推爱的流动，通过活动促进孩子的知恩报恩，融洽亲子关系，促进孩子心理健康成长。

步骤5 得到平稳投影矩阵

 

(5)

其中，f(W):Rd×m→R是可导函数。假设W是式(5)中最优化问题的一个局部极小值点，则W满足一阶最优性条件：

f=G-WGTW=0

(6)

以上两个国家的案例表明，在有些国家，虽有地震区划，但往往采取的指标不同，或给与的定义不同，要通过概念内涵的转换方可采用。

关于定理1的详细证明，可以参阅文献[16]，兹不赘述。现将平稳子空间分析目标函数的梯度矩阵表达式(3)代入式(6)，推导出关于W的方程：

 

 

(7)

显然，式(2)中平稳子空间分析目标函数的最优解也是方程式(7)的解。在式(7)中，W可以被分离出来，进而推导出以下的同解方程：

 

 

(8)

根据式(8)和W的正交约束条件，本文构造了一个新的迭代公式：

 

(9)

基于式(9)的迭代公式，本文提出一种新的适用于平稳子空间分析的不动点算法，其具体流程如下：

文献[10]的仿真实验结果表明，在某些实验中，由文献[10]提出的不动点算法求出的平稳投影矩阵与实际值之间存在较大的偏差，无法有效地分离出平稳源信号。这是因为Stiefel流形上的目标函数在极值点处的解矩阵与该点处的梯度矩阵之间并不是如文献[10]所认为的简单地成正比关系，而是应当满足一阶最优性条件[16]。因此，文献[10]构造的迭代公式是不合理的。鉴于此，本文根据关于Stiefel流形上优化问题的一阶最优性条件，构造一种新的迭代公式，基于此迭代公式，提出一种新的平稳子空间分析的不动点算法。

步骤4 若解矩阵Wk+1满足以下的收敛条件或令转步骤5；否则，令k←k+1，转步骤3。

步骤3 根据式(9)的迭代公式更新解Wk+1。

步骤2 根据给定的平稳源信号的维数m，随机初始化正交矩阵W0∈Rd×m，使得记k=0。

定理1 一阶最优性条件。对于Stiefel流形上的优化问题：

需要说明的是，式(2)中平稳子空间分析的目标函数是非凸的，无论是使用Stiefel流形上的梯度下降还是不动点算法，为避免得到局部最优解，应该使用不同的随机初始值多次求解，取使目标函数值最小的解。

3 算法仿真与性能分析

本章通过仿真实验比较不同的平稳子空间分析算法的性能。仿真实验环境为Intel Pentium 4 CPU 3.0 GHz，2 GB内存，100 GB硬盘，Windows XP系统，实验工具为Matlab R2014a。仿真实验中，选用一组三维的平稳源信号{ss(t)}和一组二维的非平稳源信号{sn(t)}，源信号按照以下的自回归过程生成：

航空摄影测量法在生产 1∶2000、1∶5000、1∶10000 比例尺地形图中得到了广泛的应用。2017年年初，航空摄影测量法在浙江省安吉县全境投入生产，数字线划图、数字正射影像图、数字高程模型同步生产，成图比例尺为1∶2000，经过6个多月的实践应用，取得了不错的成效。

 

(10)

其中，ai和bj是自回归系数，{e1(t)}和{e2(t)}分别是服从多元正态分布N(0,I3)和N(0,I2)的白噪声信号，源信号{ss(t)}是平稳的向量自回归序列[17]，源信号{sn(t)}是非平稳的单位根过程序列[17]。再使用一个5×5的混合矩阵A对源信号做线性变换，得到五维的观测信号{y(t)}，即：

痊愈:膝关节疼痛完全消失,功能活动正常,可参加一般劳动,随访半年无复发。显效:膝关节疼痛明显减轻,功能活动接近正常。有效:膝关节疼痛有所减轻,功能活动无明显改善。无效:膝关节疼痛无减轻,功能活动无改善。

 

(11)

其中，As∈R5×3和An∈R5×2分别是平稳源信号{ss(t)}和非平稳源信号{sn(t)}的载荷矩阵。

3.1 分离效果比较

比较不同的平稳子空间分析算法从仿真信号{y(t)}中分离出平稳源信号{ss(t)}的能力，包括Stiefel流形上的梯度下降算法(简记为SSSA)、文献[10]提出的不动点算法(简记为fSSA)以及本文提出的不动点算法(简记为FSSA)，其中SSSA采用文献[18]新近提出的Stiefel流形上的最优化框架，并基于Armijo准则[19]搜索选择梯度下降步长。

文献[2]证明，平稳投影矩阵转置张成的子空间span(BsT)是唯一的，且满足BsAn=0，即子空间span(BsT)⊥span(An)。因此，使用求解出的子空间与实际子空间span(BsT)之间的最大主角(the largest principal angle)来评价平稳源信号的分离效果[10]，该指标定义如下：

 

(12)

其中，表示子空间span(BsT)和span(An)之间的最小主角(the smallest principal angle)。显然，当求解出的子空间与实际子空间span(BsT)一致时，最大主角因此，该指标越接近于0，表示分离效果越好。

在仿真实验中，观测信号按照式(10)、式(11)的随机过程生成，样本长度为3000，其中自回归系数ai从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布中随机采样，bj从区间(-1,1)上的均匀分布中随机采样，混合矩阵A的每个元素从均值为0、方差为1的正态分布中随机采样。仿真实验中时间段个数N分别取50至300间的不同值。3种算法在每一种时间段个数条件下不重复地仿真实验1000次，每次实验中，观测信号样本保持不变，每种算法使用5个不同的随机初值，选择目标函数最小值对应的解作为该算法的最优解BsT，再将该解与当次实验中的载荷矩阵An代入式(12)评估分离效果。

 

图1 仿真实验中平稳子空间分析算法得到的平稳投影张成子空间与实际子空间之间最大主角的误差棒图(纵坐标轴使用对数坐标)

图1给出了3种算法在仿真实验中，当时间段个数N取不同的值时，计算出的平稳投影矩阵张成的子空间与实际子空间之间最大主角的误差棒图。从图1所示的结果来看，在时间段个数取不同的值时，本文提出的不动点算法FSSA计算出的最大主角的平均值都接近于0°，标准差也很小，说明该算法分离出的平稳源信号与实际值之间的差异很小，并且该结果与Stiefel流形上的梯度下降算法SSSA得到的结果相一致；相反，由文献[10]提出的不动点算法fSSA计算出的最大主角的平均值在20°左右，并且标准差较大，未能有效地分离出平稳源信号，说明本文提出的迭代公式可以有效地收敛到最优解，而文献[10]提出的迭代公式确实无法有效地收敛到最优解。实验结果表明，本文提出的适用于平稳子空间分析的不动点算法能够有效地从观测信号中分离出平稳源信号，分离精度与基于Stiefel流形上的梯度下降算法相当，优于文献[10]提出的不动点算法。文献[10]提出的不动点算法分离效果欠佳，不宜在实践中使用。

3.2 计算效率比较

比较本文提出的不动点算法FSSA和Stiefel流形上的梯度下降算法SSSA的计算效率，而文献[10]提出的不动点算法由于分离性能欠佳不予考虑。在此仿真实验中，观测信号的生成方式与前一个实验保持一致。比较2种算法在时间段个数N分别取50至300间不同值时的效率，在每一种时间段个数条件下不重复地仿真实验10000次。在每次实验中，2种算法使用相同的观测样本和初始值。

第二、后续计量环节。商业银行抵债资产后续计量环节的会计与税务处理差异主要来源于抵债资产减值的计量。会计准则规定，商业银行需要对抵债资产进行减值测试并计提减值准备，这会对商业银行整体利润会带来影响；税法则要求在计算应纳税所得额时不得扣除减值准备，这就形成会计利润与税法利润不一致，需要对企业所得税进行适当调整。

 

表1 仿真实验中平稳子空间分析算法的平均耗时 单位:ms

  

算法平均用时N=50N=100N=150N=200N=250N=300SSSA760.113762249293535864303FSSA23.6744.5158.7977.6296.01114.4

表1给出了这2种算法在时间段个数N取不同值时的平均耗时。从表1所示的结果来看，在时间段个数取不同的值时，本文提出的不动点算法FSSA的平均耗时都远小于Stiefel流形上的梯度下降算法SSSA。这主要是因为Stiefel流形上的梯度下降算法在迭代时需要搜索选择合适的梯度下降步长，因此计算量大，耗时多；相反，不动点算法不需要选取梯度下降步长。

进一步地，比较由公式(12)定义的评价指标在上述10000次仿真中的平均值。图2给出了时间段个数取不同的值时，2种算法在前20轮迭代中的实验结果。从图2所示的结果来看，在时间段个数取不同的值时，由本文提出的不动点算法求出的解随着迭代次数的增加均能够不断地收敛到最优解，相比于Stiefel流形上的梯度下降算法SSSA，本文提出的不动点算法FSSA均具有更快的收敛速度。也就是说，即使不考虑搜索梯度下降步长所消耗的时间，本文提出的不动点算法仍然收敛速度更快。因此，在能够准确地分离出平稳源信号的前提下，相对于Stiefel流形上的梯度下降算法，本文提出的不动点算法不需要调整梯度下降步长，收敛速度更快，耗时更少。

“e课堂”主要作用是提前预习，提供大量有关本课程需要重点掌握的知识内容，教师根据本节课的重点内容，上传学生可以提前观看的教学视频，视频围绕核心问题展开，时间控制在5分钟以内。英美文学的教学内容推送必须以个体差异为出发点、以学习者兴趣为中心、以学生能力与个性最大发展为目标课程内容的设置。

  

图2 仿真实验中平稳子空间分析算法的收敛速度

4 结束语

本文根据Stiefel流形上的一阶最优性条件构造了新的迭代公式，基于此迭代公式，提出了一种新的平稳子空间分析的不动点算法。仿真实验表明，由提出的算法求解得到的平稳投影与实际值之间的差异较小，可以有效地从观测到的多维非平稳信号中分离出平稳源信号，且分离精度与标准的基于Stiefel流形上梯度下降算法得到的结果相一致；相反，已有的平稳子空间分析的不动点算法分离性能不佳。

对比仿真实验的结果表明，相对于标准的基于Stiefel流形上梯度下降的平稳子空间分析算法，提出的不动点算法不需要选择梯度下降步长，收敛更快，耗时更少。

仿真实验的结果表明，需要对已有的以及本文的平稳子空间分析的不动点算法作更进一步的理论研究，包括分析迭代公式的收敛性和解的稳定性。

英语演讲选修课的开设，发展了学生的英语应用能力和批判性思维能力，强化了学生的人际沟通能力和演讲技巧，培养了学生的跨文化交际意识和自主学习能力。英语演讲课不只是一门语言应用类课程，也是拓宽知识、了解世界文化的素质教育课程，兼具工具性和人文性。[4]演讲课教学以学生为主体，注重学习过程。这种教学模式的改变实现了从以教师为中心、单纯传授语言知识和技能的教学思想向以学生为中心、既传授语言知识与技能，更注重培养语言实际应用能力和自主学习能力的教育思想的转变。

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