1 引言

控制复杂系统是人们对复杂系统模型结构及相关动力学进行研究的最终目标，具有广泛的应用价值，例如控制网络上的同步、控制疾病和谣言的传播等，引起众多学者的广泛关注。Liu等人[1]基于结构可控理论[2]，首次提出了控制复杂网络系统的方法，并且取得了很多重要的研究成果。然而在实际中，通常缺乏有效的技术和工具来实现复杂网络的有效控制[3-8]。

通过结构可控性理论和最大匹配方法[9-10]，人们能够确定控制一个网络所需的最小的驱动节点数目[11]。对于工程系统，如自动驾驶飞机系统，结构控制是至关重要的。然而，许多生物、技术和社会系统是巨大的和复杂的[12]，对它们实现结构控制既不可行，也不必要。因此，在一个选定的任务中控制一个系统的目标节点是至关重要的。在生物、化学工程[13]、传播学[14]和经济网络[15]确定一组最小的驱动节点方法满足任意的目标控制复杂的网络，仍然是一个悬而未决的问题[16]。

由于现有的复杂网络节点重要性的单一评价指标存在局限性，并且节点在复杂网络中的重要性不仅仅受单一因素的影响，可以采用一种基于多属性决策的节点重要性综合评价方法[17]。运用此方法可以有效地找出整个网络中比较重要的节点，对其进行目标控制，其所需的驱动节点数目在很大程度上比单一指标所需的数目少。

2 目标控制理论

与结构控制理论不同，目标控制不会对整个网络的所有节点加以控制，而是旨在选择并控制网络中的部分节点。本文将主要研究线性时不变系统的目标控制[18]。对于以下一个线性时不变系统：

病害问题是影响鱼苗培育成活率的主要因素，做好苗种培育阶段的病害防治工作，是提高苗种培育成活率的关键，下面就介绍几种鱼苗培育前期经常发生且危害比较大的病害防治技术，供读者参考。

 

其中，x∈RM，u∈RM和y∈RS分别代表系统的初始状态、输入和输出向量。 A∈RN×N,B∈RN×M和C∈RS×N分别代表系统的状态、输入和输出矩阵。A是网络系统的邻接矩阵，B代表输入外部信号后哪些节点被控制，u是对矩阵B施加的独立不相干的控制输入，C是需要控制的目标节点的输出矩阵。

给定一个特定的网络N={1,2,…N},θ={c1,c2,…,cs}为所需要控制的目标节点集，其中S=|C|=fN。C=[I(c1),I(c2),…,I(cs)]表示输出矩阵，其中I(ci)表示一个N×N单位矩阵的第I行。系统(A,B,C)是否可控定义如下：对于一个给定的目标节点集，如果存在相互独立的输入向量u(t)=(u1(t),u2(t),…,uM(t))Τ，能够使得驱动节点在有限的时间间隔内从任意的初始状态到达任意想要的最终状态。

外部因素主要包括一个企业所处的地域、国家宏观经济发展水平、相关政策与法律法规、高管人才状况、行业部分特点等。其中，在相关政策与法律法规、行业部分特点两条中，国企高管薪酬的体现比较明显，因为这些企业存在垄断、部分垄断或权力支撑等问题，它的经营条件、环境对比非国有企业具有先天优势。事实上，这也是国企高管薪酬备受争议的关键所在。除此之外，在外部环境因素中，关注的焦点仍是薪酬的竞争力。

系统(A,B,C)是可控的当且仅当输出可控子集的维度满足：

 

以上给出了目标可控的数学条件。如果S=N，C是单位矩阵，式（2）和结构控制一样满足Kalman可控条件[18]。

巴斯克斯关于资本主义制度下的艺术身份的论述很有价值，一方面他为马克思曾提出的“任何工作都可以且应该具有一定创造性或艺术性成分”的观点进行了辩护，且这一观点对于发展一种社会主义工作哲学至关重要，另一方面他为马克思提出的“人本质上是一种创造性的存在”的观点进行了辩护，而这种观点隐含着一个美学和审美经验的概念，且该概念比最传统的那些概念要丰富得多。马克思主义者应该更好地探索这些观点的潜在含义，特别是在某种程度上被忽视了的马克思主义美学领域中，走出一条新的研究之路。

3 节点重要性

重要节点是指相比网络其他节点而言，能够在更大程度上影响网络结构与功能的一些特殊节点。重要节点一般数量非常少，但其影响却可以快速地波及到网络中大部分节点[19]。例如，在对一个无标度网络的蓄意攻击中，少量最重要节点被攻击就会导致整个网络瓦解[20]；微博中最有影响力的几个用户所发的微博很快就能传遍整个网络[21]；仅仅1%的公司却控制着40%的全球经济。可见重要节点对网络的结构和功能有着巨大的影响。因此，在一个网络中选出重要的节点并对它们进行目标控制意义重大[22]。

3.1 单一评价指标

目前，学术界已经提出很多衡量节点重要性的单一评价指标。然而，在复杂网络中，仅仅依赖于单一指标来判断节点在网络中的重要程度具有很大的片面性[17]。需要从不同的角度，利用节点的多个重要性指标来进行综合评价。

假设复杂网络中有N个节点，用集合P={P1,P2,…,PN}表示，每个节点特性指标有M个，用集合Q={Q1,Q2,…,QM}来表示，则此网络中的第i个节点的第 j个指标可用Pi(Qj)(i=1,2,…,N;j=1,2,…,M)来表示，则节点的多属性（指标）矩阵可表示为:

（1）入度中心性（degree centrality）

通过验证分析，泵效偏差值和沉没率偏差值可以反映井下管柱工况的好坏，泵深实现率可以反映抽油井排液强度，抽油机负载率可以反映设备负载。

 

其中，与可通过欧式范数计算得到：=为矩阵Y每列中的最大值，ymin j为矩阵Y每列中的最小值。

基于多属性决策的节点重要性综合评价方法，其基本思想是将复杂网络中的每一个节点看作一个方案，将评价节点重要性的多个评价指标分别看作各方案的属性，从而将节点重要性的评价问题转化为一个多属性决策问题，决策的准则是评价各方案在复杂网络中的重要程度。

节点i的介数定义为网络中节点对 j与k之间最短路径经过节点i的条数占所有最短路径数的比例。若gjk(i)表示节点对 j与k之间经过节点i的条数，njk表示节点对 j与k之间存在的所有最短路径的条数，则介数中心性可表示为：

硒含量在0.0052～0.0212mg/100g之间，平均含量为0.0118mg/100g，不同部位含量的平均高低依次为最长背肌肉含量0.0131mg/100g、臀腿肉含量0.0198mg/100g、后腿肉含量0.0128mg/100g、前腿肉含量0.0117mg/100g、颈肩肉含量0.0098mg/100g、胸腹部肉含量0.0054mg/100g。

 

介数中心性的值越大，表示该节点在网络中的影响力越大。

上海健康医学院图书馆于2018年9月推出《医之魂——医学人文油画及雕塑展》。本次展览由上海健康医学院校长黄钢教授与北京大学王一方教授共同策展，上海健康医学院图书馆承办，旨在通过鉴赏医学名画、分享医学故事，让医学院的学生们感受人类疾苦、感触死亡，寻找医学生涯的价值，唤醒生命探索兴趣与关爱生命的本质。

（3）接近中心性（closeness centrality）

DAA：三血管序列切面可见升主动脉分出两个分支呈“Y”字形，当右弓占优势时，呈“O”形或梭形血管环。弓降部冠状切面可显示双弓分别发出LCCA、RCCA和RSA、LSA，双弓及左导管均与降主动脉相连[8]。

节点i的接近中心性定义为其到网络中其他所有节点距离之和的倒数。实际网络并不都是完全连通的，将接近中心性用以下公式表示，同样适合不连通复杂网络的情形，其表达式为：

 

如果节点vi和vj之间没有路径可达，则定义dij=∞，即1/dij=0。N为节点数量，dij表示以节点i为起点，以 j为终点的最短路径中所含边的数量[25]。接近中心性越大，表示节点越居于复杂网络的中心位置。

（4）PageRank

PageRank算法认为万维网中一个页面的重要性取决于指向它的其他页面的数量和质量。初始时刻，赋予每个节点（网页）相同的PR值，然后进行迭代，每一步把每个节点当前的PR值平分给它所指向的所有节点。修正的PageRank算法在上述过程基础上引入一个随机跳转概率c。每一步，不管一个节点是否为悬挂节点（出度为0的节点），其PR值都将以c的概率均分给网络中所有节点，以1-c的概率均分给它指向的节点。每个节点更新后的PR值为它所获得的PR值之和，因此节点vi在t时刻的PR值为：

节点i的度ki定义为与该节点连接的其他节点的数目。入度中心性定义为节点i的入度与该节点可能存在的最大边数的比率。入度中心性可由式（3）计算：

 

其中，kojut为节点vj的出度。针对万维网的网页排序，研究显示c=0.15是一个比较好的参数。节点的PR值越大，表示节点越重要。

当林蓝说没抢到做活动的菜籽油或者某培训机构99元试听4节的乐高课，他不再高高在上地发个红包，而是报以宽容的微笑，说：“哇，真遗憾！”

基于以上4个指标，本文将建立一种基于多属性决策的节点重要性评价方法。

在学校的角落里，肯定有很多像吴琮一样被误解、被施以偏见、被忽视的人，他们慢慢变得透明，落入孤立无援的境地。夏霖知道自己根本不是什么魔法少女，但也可以随时伸出援手。

3.2 综合评价体系

（2）介数中心性（betweenness centrality）

进行综合评价时，首先要对可用的评价指标进行筛选。本文基于“逼近理想排序法”[23]的多属性决策方法，对网络中单个节点的度中心性、介数中心性、接近中心性、PageRank[24-25]这4个指标作为决策评价方案的属性进行综合计算。度中心性对于有向网络来说，每个节点的度分为出度和入度，这里仅对入度中心性进行分析，也就是说，只考虑进入一个节点的流通量以及它的接收信息的能力；对于介数中心性和接近中心性，其基础思想都是按照最短路径定义的，最短路径算法对有向网络是适用的，因此可以对其进行相应的修改使其适用于有向网络；Page-Rank本身就可以对有向网络进行计算。

 

上述所选指标（入度中心性DC、介数中心性BC、接近中心性CC和PageRankPR）均为效益型指标，即值越大表示该节点越重要，因此需要对矩阵X做归一化，得到 R=(rij)N×M，其中：

 

根据层次分析法（analytic hierarchy process，AHP）[26]，并经过一致性经验，为节点重要性多属性评价模型的各个指标赋予权重：首先经过比较计算建立一个比较矩阵B；然后通过变换将比较矩阵转化为判断矩阵，并进行一致性检验；最后得到指标权重。参照文献[15]对比较矩阵的值做了调整，见表1。

 

Table 1 Value of comparison matrix表1 比较矩阵的值

  

B DC BC CC PR DC BC CC PR 1 2 2 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1

表1中：

各组血硒含量见表1。两两比较，IS手术组和非手术组血硒含量均低于CS组和对照组，且IS手术组明显低于IS非手术组，差异均有统计学意义（P ＜ 0.05）；CS组和对照组血硒含量差异无统计学意义（P ＞ 0.05）。IS患者血硒含量与Cobb角呈负相关（r=-0.708，P ＜ 0.05，图1）。

 

对比较矩阵B的构建基于以下因素考虑：因为度中心性在有向网络中涉及的网络结构因素最少，所以和其他指标相比重要性较差；介数中心性和接近中心性均基于最短路径理论，很难对比两个指标的好坏，在矩阵B中给出了重要性相同的评价；Page-Rank和其他3个指标相比，针对有向网络可以准确地找出网络中相对重要的节点，因此本文在比较矩阵B的构造中给PageRank赋予了比其他指标更高的值。

图2是ER随机网络的处理结果，纵坐标依旧是控制模型网络所需驱动节点数量与网络目标节点数量的比值。横坐标＜k＞代表平均度，纵坐标ratio代表驱动节点与目标节点的比率。图（a）为基于结构控制理论即控制整个ER网络（10 000个节点）的结果，图（b）则是基于目标控制理论对网络选取的10%重要节点（1 000个节点）进行目标控制的结果。所有实验结果都是重复做了10次取平均值。

对比较矩阵B按照极差法构造判断矩阵[26]，经一致性检验，得到各相关指标权重的值分别为wDC=0.086 1,wBC=0.207 3,wCC=0.207 3,wPR=0.499 3。

设第 j个指标的权重为wj(j=1,2,…,m,∑wj=1)，该向量和规范化决策矩阵R构成加权规范化矩阵：

对斜拉桥进行地震响应分析是一个规模巨大而且极为复杂的问题。反应谱方法通过反应谱概念巧妙地将动力问题静力化，概念简单，计算方便，可以用较少的计算量获得结构的最大反应值[1]。因此，世界各国规范都把它作为一种基本分析手段。从1943年M.Biot提出反应谱概念，并且给出了第一条弹性反应谱曲线以来，反应谱理论逐步发展，并被许多国家采纳到结构设计抗震规范中。

 

采用理想方案[23]对每个节点的重要性进行评估，计算公式如下：

 

其中，N为节点数量；表示网络中进入节点i的边数。入度中心性定义表明了一个节点接收其他节点信息通信的能力，数值越大，在网络中越重要。

计算理想方案的值Ki，按照Ki值的大小进行重要度排序，完成评估任务。经过上述处理，Ki值越大表示节点在网络中的重要程度越高。

4 实验分析

4.1 在真实网络上的实验分析

基于以上理论，对不同类型的真实数据分别按DC、BC、CC、PR和综合指标对节点的重要性进行计算排序，从大到小选取前10%的节点，把它们当作目标节点分别进行控制，用目标控制算法在整个网络中控制这些目标节点，然后分析驱动节点的数量。结果如表2所示，其中黑色加粗下划线数字表示效果差的方法所需要的驱动节点数目。

表2中Type为数据类型，Name为数据名称，N和L是节点和边的数量，ND是控制整个网络所需要的驱动节点数目，这个结果和结构可控理论运用最大匹配算法得出的结果一致；n为分别对各个数据选取10%节点的数目（即各个数据在整个网络中需要控制的目标节点数目）；DC、BC、CC、PR和AD是按各自的指标值进行排序选取前10%的节点作为目标节点进行控制时得出的驱动节点的数目（AD为综合指标下计算得出的驱动节点数目）。从表2中可以看出，对于大部分数据来说，综合性指标比其他单一指标得出的驱动节点的数量都少。

 

Table 2 Driver nodes based on single index and integrated index表2 基于单一指标及综合指标所得到的驱动节点数

  

ID Type L N ND n PR 117 Metabolic DC 117 227 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 151 Internet 658 632 32 143 55 400 779 225 149 676 663 37 143 53 396 764 7 23 133 10 Regulatory BC 105 217 145 723 676 39 150 66 430 354 870 497 5 111 5 033 314 1 381 565 4 284 5 004 9 49 553 22 29 59 119 614 117 227 151 885 872 42 155 69 444 830 7 30 149 10 12 25 51 190 144 67 40 Trust Neuronal WWW Food Web Electronic circuits Social Net 7 AD 108 201 140 725 653 36 145 57 396 744 7 24 136 11 12 13 14 15 16 17 18 CC 107 200 139 801 21 134 10 12 2 864 5 763 1 511 31 839 31 525 519 3 340 1 079 12 873 103 689 182 2 345 19 025 1 492 189 399 819 20 296 Name C.elegans E.coli S.cerevisiae p2p-2 p2p-3 TRN-EC-2 TRN-EC-1 TRN-Yeast-2 TRN-Yeast-1 WikiVote Prison inmate celegansneural polblogs Mangrove S208a S420a S838a UClonline 96 1 4 748 1 173 2 275 1 511 8 846 8 717 418 1 550 688 4 441 7 115 67 297 1 224 97 122 252 512 1 899 141 396 754 7 27 25 99 1 7 51 164 705 7 24 131 10 8 14 35 164 30 167 10 21 39 164 34 164

可以看出，各个数据在综合性指标下计算得出的驱动节点数目大部分都比单一指标低。虽然有个别指标，例如介数中心性BC对于数据WikiVote比综合性指标低，但是对于其他数据，驱动节点数目的结果并不是很理想。其他指标如入度中心性DC、接近中心性CC以及PageRank值PR等单一指标的结果均类似这种情况，对于大部分数据来说综合指标情况下驱动节点数量均相对较少。因此在综合性指标能够有效地选取出网络中重要节点的基础上，达到了整体而言驱动节点数目相对最少。

4.2 在人工生成网络上的实验分析

为了研究平均度＜k＞和幂律γ对驱动节点数目的影响，将4.1节的分析过程运用到无标度网络和ER随机模型网络中。

图1是无标度网络的处理结果，纵坐标均是控制模型网络所需驱动节点数量与网络目标节点数量的比值。图1中横坐标＜k＞和γ分别代表平均度和幂律，纵坐标ratio代表驱动节点与目标节点的比率。图（a）和（c）为基于结构控制理论即控制整个网络（10 000个节点）的结果，图（b）和（d）是基于目标控制理论对网络选取的10%重要节点（1 000个节点）进行目标控制的结果。所有实验结果都是重复做了10次取平均值。

二环路北段（西便门和东便门一线以北） 中央分隔带为防撞墩，防眩设施为防眩板，二环路南段（西便门和东便门一线以南）中央分隔带为绿化带，防眩设施采用植物防眩。

图1（a）说明，网络幂律γ一定时，随着网络平均度＜k＞的增大，结构控制时驱动节点与网络节点的比值逐步降低，即所需驱动节点的数量在减少；网络平均度＜k＞一定时，幂律γ越大，比值越小，驱动节点的数量越小。

  

Fig.1 Scale-free network processing results图1 无标度网络的处理结果

  

Fig.2 ER network processing results图2 ER随机网络的处理结果

图1 （b）说明，网络幂律 γ一定时，随着＜k＞增大，目标控制时驱动节点与目标节点的比值整体先下降后上升；对于不同的幂律值又有不同的变化，γ=2.4时，曲线先上凸后下凹；而γ=5.0时，曲线先下凹后上凸。

图1（c）表明，网络平均度＜k＞一定时，随着幂律γ增大，结构控制时驱动节点与网络节点的比值逐步降低，所需驱动节点的数量减少；幂律值γ一定时，平均度＜k＞越大，比值越小，驱动节点的数量反而越小。

图1（d）表明，平均度 ＜k＞=5时，随着幂律 γ 增大，目标控制时驱动节点与目标节点的比值曲线先下凹后上凸，当＜k＞逐渐增大，所需驱动节点的数量逐渐上升，并且驱动节点与目标节点的比值逐渐趋于1，当＜k＞=16时，比值几乎完全为1。可以得出，当网络异常稠密时，目标控制所需驱动节点数目即为目标节点的数目；当网络幂律γ一定时，随着平均度＜k＞的增大，目标控制时驱动节点与目标节点的比值增加，所需驱动节点数量增加。

对于图1（d），正是由于只选取了10%的目标节点（其选取数量为1 000），驱动节点数量大部分密集在950～1 000之内，从而驱动节点与目标节点比例也集中在[0.95,1.00]区间内，则纵坐标值很接近，导致个别数据波动时被放大，实际曲线变化的趋势为开始时下降，然后逐渐上升，整体趋势是很明显的。

由图2（a）可以看出，随着网络平均度的增大，通过结构匹配算法控制整个网络所需驱动节点减少；从图2（b）看出，随着网络平均度的增大，目标控制时所需驱动节点增加。由此可以得出，对于越稠密的ER随机网络，目标控制时所需的驱动节点越多。

1930年6月11～13日，南国社在上海中央大戏院演出了田汉根据法国P.梅里美同名小说改编的《卡门》，演出的第三天，遭到反动当局禁演。1930年9月，南国社被查封。南国社中大部分成员在田汉率领下加入左翼戏剧运动，成为左翼戏剧运动的重要力量。

5 结束语

本文在目标控制中提出一种基于多属性决策的节点重要性综合评价方法，以此来选取重要的节点进行目标控制。在真实网络与人工生成网络上进行实验，通过综合性指标选取10%的节点。结果表明，在真实网络上，通过综合性指标得出的驱动节点数量明显整体比单一指标少；在人工生成网络上，无论对于无标度网络还是ER随机网络，驱动节点与目标节点数量的比值曲线整体的趋势是一个上升的过程。此外，对于上述两种网络，平均度越大，即当网络越稠密时，目标控制所选出的重要节点需要的驱动节点越多。

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