0 引言

20世纪以来研究同震形变的准静态地震位错理论得到迅速发展。Steketee[1]最早把位错理论引入地震学，导出了弹性半无限空间中走滑断层的位移格林函数。其后，许多地震学家针对不同地球模型和断层类型推导出了解析或半解析的同震变形位错表达式。Chineery[2-3]利用格林函数推导垂直断层走滑位错附近的位移表达式；Berry和Shales[4]推导了张裂位错的地表位移公式；Maruyam[5]把Chineery[2-3]的结果推广到了倾滑断层；Yamazaki[6]推导了膨胀源产生的地壳变形场；Iwasaki和Sato[7]推导了倾斜矩形断层引起的地球内部应变场；Davis[8]推导了倾斜张拉断层引起的地表形变；Okada[9-10]给出了经典的半无限空间介质剪切与张拉断层引起的地表和内部的位移、应变表达式。研究者们[11-12]发现使用半无限空间模型反演得到的断层深度大于真实的断层深度，并且反演的滑移量也偏大，采用层状地球模型能够更接近真实地球；Wang等[13]发布程序EDGRN/EDCMP用于计算层状地球模型中地震位错引起的位移和应力。同震位错理论的进一步发展是能够考虑地球曲率和分层的球形位错理论，例如，一些无自重球形地球模型位错理论研究工作[14-16]导出了位移和应变的解析解；Sun[17]、Sun和Okubo[18]发展了考虑重力位的球状分层地球模型位错理论；Sun和Okubo[19]还将球形位错格林函数应用于有限断层积分，解释1964年阿拉斯加大地震的同震重力变化。位错解析或解析渐近解在解决同震形变问题中的应用已经十分成熟，但是半空间或者分层地球模型仍然不能完全考虑真实地球模型，因为真实地球具有强介质非均匀性，例如俯冲带地区和造山带，地表地形起伏剧烈和介质具有强非均匀性。解析方法考虑真实地球具有其局限性，例如Fu[20]采用“微小扰动理论”研究地球三维不均匀构造。但微小扰动理论只适用于较小三维构造变化的情况，而实际地球横向不均匀性很大，有时超过100%[21]。采用数值方法是解决真实地球强介质不均匀性和地表地形起伏的有效途径，在同震形变数值研究中，有限元方法已经成为一个运用广泛的方法。Lin[22]用二维模型计算了青藏高原东缘地形对汶川地震同震形变的影响，发现地形对同震水平位移最高影响达到9%；邵志刚等[23]利用有限元方法，根据2001昆仑山口西MS8.1地震同震及震后断层两侧变形场的非对称分布，反演断层两侧弹性和黏滞系数的差异；Masterlark[24]利用三维有限元模型讨论俯冲带地震同震形变对介质参数的敏感性。

同震位移场和应力场，对于估计地震引起的后续地震活动发展趋势十分重要，特别是库仑应力变化的计算常作为估计后续地震活动性的重要手段。例如，Parsons等[25]计算了汶川地震引起的同震静态库仑应力变化，2013年庐山地震位于库仑应力正值区。在有限元软件中，采用合适的方法获得正确的同震位移场和应力场显得尤为重要。科研工作者使用有限元软件模拟地震位错时，有学者采用弱化带方式[26-27]使断层单元两盘产生相对运动，也有学者直接在有厚度的断层单元两盘施加大小相等方向相反的位移边界[28]来模拟地震位错，这两种方法地震断层单元均有一定厚度，不符合位错理论的断层零厚度要求，并且前种方法通过“降刚”去精确匹配精细断层滑动模型具有很大局限与困难。目前，鲜有文献介绍如何利用通用有限元软件精确模拟地震位错。本文以“分裂节点法”为例，介绍了在有限元软件MSC.Marc中借助其二次开发模块实现位错模拟的方法，代码量小，也可以很方便移植到其他具有二次开发接口的有限元软件中。

1 有限元位错模拟方法

传统有限元法使用连续形函数，在处理位错这种间断解问题时研究者提出了一些特殊的处理方法，如DG方法、“罚函数法”、“双节点法”、“弹性位错等效体力法”、“分裂节点法”、“扩展有限元法”等[29-34]。

“罚函数法”、“双节点法”、“分裂节点法”等方法要求单元之间分界面很好地贴合断层面；“弹性位错等效体力法”和“扩展有限元法”允许单元内部出现间断面。“扩展有限元法”在节点自由度之外引入额外未知量刻画间断面，允许单元内部间断，代价是增加未知量数目，单元内部间断也对数值积分造成困难；“弹性位错等效体力法”是张贝等[32]基于Burridge和Knopoff[35]弹性介质中位错源与体力源等价的表达式，推导出的有限元位错等效体力表示，可以处理任意复杂形状断层[32,36-38]，但需要计算面积分；“分裂节点法”[33]具有物理含义明确、形式简洁的优点，因此本文地震位错的有限元模拟采用该方法。

分裂节点法，是根据有限元刚度矩阵性质做数学处理，将地震位错等效成体力，物理含义明确，简单有效地以初始位移的形式将断层引入有限元数值模拟中，编程代码量小，许多研究者在如FEPG平台[23]或其他自主开发平台上[39-40]采用该方法引入地震位错。目前暂没有文献介绍如何在商业有限元软件中引入该方法，本文将简要介绍“分裂节点法”，并给出该方法在商业有限元软件MSC.Marc中的实现，供习惯使用商业有限元软件的地震工作者借鉴使用。

Melosh和Raefsky在文献[33]中对“分裂节点法”的介绍以一维单元为例，本文仅做简单复述。如图1所示，单元1和单元2分别位于断裂的左右两侧，U为位移，上标表示单元号，下标表示单元内的节点号，ΔU表示位错量，则有其中分裂节点上位移平均值为

dimensionetota(ngenel,*),gsigs(ngenel,*),de(ngenel,*)

  

图1 “分裂节点法”一维单元示意图(修改自Melosh和Raefsky[33])

在有限元分析中，单元1的刚度矩阵为：

 

(1)

将位错移到等式右边，

 

(2)

● 联网共享。不仅是单一系统内的摄像机头数量激增，而且多个系统之间的图像信息也需要互通互用。特别是随着监控系统规模的扩大，用户业务需求日趋复杂，典型的如平安城市项目，要实现城市级的信息联网共享，将治安、卡口、电警和社会面监控等视频点统一接入管理，其联网需求、数据存储、业务应用都对管理平台提出了更高要求。

标准化是经济和社会发展的主要技术基础，是建设创新型国家和社会地位的重要技术支撑。林业标准是科学技术和实践经验的综合成果，是发展现代林业的重要基石，是增强自主创新能力、促进科技成果转化、提高林业生产建设水平、保障林产品质量安全的重要内容，也是规范林业生产程序，提高林业生态建设科技含量的主要技术手段，在现代林业发展进程中，标准化的主要地位和作用越发突显。紧密结合青海林业生产实际，从森林培育、经济栽培、有害生物防治等方面加快具有很强的针对性、实用性和可操作性的林业地方标准的制定，不断丰富内容，不断更新和完善。

 

(3)

if (idss.ne.6) then

 

 

(4)

其中：Ui为位移,Fi为位移，i为全局节点编号，并且，

同理，单元2经过整理的局部刚度矩阵为：

少年们在涉世之初，情感萌发，喜怒哀乐皆被乐曲唤醒，根基既浅，哪里又有心力与之对抗，只能在这由琴圣苏雨鸾潜心编写的破阵乐里，载浮载沉，一会儿觉得人生无趣，如冰封雪盖，寂寥空白，了无生面，生有何欢，一会儿又觉得世界美好一腔春意，温柔雨夜，万物发生，何其缠绵。

由式(4)可知，地震引起位错可等效为体力，在有限元分析其他部分不做改动情况下，“节点分裂法”将地震引起的位错引入到有限元计算中，确实是一种物理含义明确且简单有效的方法。

2 “分裂节点法”在MSC.Marc中的实现

2.1 子程序设计流程

Marc软件是MSC软件公司于1999年收购的Marc公司的产品。Marc公司创于1967年，是全球首家非线性有限元软件公司。MSC.Marc是功能齐全的高级非线性有限元软件，具有极强的结构分析能力。可以处理各种线性和非线性结构分析包括：线性/非线性静力分析、模态分析、简谐响应分析、频谱分析、随机振动分析、动力响应分析、自动的静/动力接触、屈曲/失稳、失效和破坏分析等。为满足工业界和学术界的各种需求，提供了层次丰富、适应性强、能够在多种硬件平台上运行的系列产品。

由于实验室工作人员的待遇跟授课教师的待遇差别很大，没有得到同教学科研人员同等的待遇，导致很多实验室管理人员数量不足，并且存在散漫管理的现象，所以，民办高校要通过多种渠道提高实验室管理人员的工作热情。

根据式(4)，“分裂节点法”的核心思路是把地震位错等效成体力，修改单元右端项。通用有限元软件如Ansys、Abaqus、MSC.Marc和MSC/Nastran等，基本上都提供了开放的二次开发接口，方便用户开发出自身需要的特定功能模块，因此这些有限元软件能够借助二次开发接口实现地震位错模拟。本文以MSC.Marc为例介绍“分裂节点法”在有限元软件中的实现，对地震位错模拟在其他有限元软件上的实现有一定借鉴意义。

MSC.Marc软件提供了108个用户子程序入口，覆盖了有限元分析的所有环节，从几何建模、网格划分、边界定义、材料模型到分析求解、结果输出。用户子程序是以Fortran语言编写的子程序模板文件，使用时按Fortran编程规则，用户根据需要填充子程序模板文件完成子程序编写。MSC.Marc提供了用户自定义单元的子程序USELEM，用户在该子程序中需定义与单元相关的等效节点荷载、单元刚度矩阵、单元质量矩阵、单元右端项、内力矩阵、应力、应变增量、高斯点坐标和输出信息等。

子程序USELEM中各参数意义，详见MSC.Marc软件帮助文件D卷[41]，此处不做详述。程序运行过程中，主程序将根据iflag参数(图2)调用相应计算模块，将用户单元信息组装到总体刚度矩阵和荷载矩阵中，并将计算结果返回子程序。当iflag=2～5时USELEM子程序的书写和标准有限元流程相似；仅当iflag=1时，返回等效节点荷载，此处需要按式(4)修改右端项。程序设计的总体思路见图2，附录代码以常应变三角形单元为例，列出“分裂节点法”在MSC.Marc中的实现代码，其中Subroutine ModifyRHSMain是等效节点荷载的修改子程序。

2.2 结果验证

我们以直立走滑断层为例，对代码可靠性进行验证。利用上述代码在MSC.Marc中计算走向正北直立断层发生纯右旋1 m位错的同震位移场。采用三维模型，为保证对称性，建模时先建立1/4模型，再通过镜像得到完整模型。算例中断层长度为20 km，计算区域为100 km×100 km，施加限制法向位移的边界条件，地震位错根据“分裂节点法”等效成体力采用子程序USELEM施加在相应断层单元(图3)。模型中断层处网格尺寸为400 m，其余网格尺寸为2 km，网格总计123 060个六面体单元和132 112个节点，计算用时仅为6 min，“分裂节点法”几乎不增加额外费用，计算快速。根据图3，该算例的同震东向位移和北向位移都呈现出了反对称花瓣图像，北向位移最大值为0.48 m，这个值和网格尺寸有关，网格尺寸越小，北向位移最大值越接近0.5 m。

  

图2 “分裂节点法”子程序结构示意图

为了检验方法和程序编制的可靠性，也为了便于比较，我们把有限元网格节点作为观测点，采用Okada表达式解算各节点处的位移值，将二者的结果绘成图(图4)。有限元解和Okada解析解的水平位移以及垂直位移均吻合得很好。在“分裂节点法”首次被提出的文献里，Melosh和Raefsky[33]只给出了二维模型逆冲断层的水平位移和垂向位移与解析解的比较，本文的工作进一步验证了该方法在三维模型下的有效性。通过和解析解的验证，证明借助MSC.Marc的二次开发功能可以简单、有效、精确地采用“分裂节点法”模拟地震位错。

2.3 介质非均匀影响

为了讨论介质非均匀性的影响，笔者设计了3组简单的数值对比试验，试验采用的模型和2.2小节一致。3组试验如下：第1组，走滑断层的左盘弹性模量/右盘弹性模量=1.0；第2组，走滑断层的左盘弹性模量/右盘弹性模量=0.5；第3组，走滑断层的左盘弹性模量/右盘弹性模量=2.0。3组数值试验的东向和北向位移示于图4，3组试验分别对应图4中的“有限元解1”、“有限元解2”、“有限元解3”。

  

a 计算网格；b 断层放大图；c、e、g 分别为解析解的EW向、NS向和垂向位移；d、f、h 分别为有限元解的EW向、NS向和垂向位移。图3 网格及计算结果

通过图3c～d、3g～h不难发现，跨过图3a所示的A-A'基线，EW向和垂向位移均为0，因此我们只绘制了A-A'剖面3组数值试验有限元解的北向位移于图4。首先对于第1组试验，并未考虑介质的横向非均匀，应当和解析解有较好的吻合，经笔者统计二者最大误差为3%，并且随着有限元网格加密，二者间差异更小。

通过比较3组数值试验结果，当考虑断层左右两盘介质横向非均匀性时，同震位移出现不对称性。比较3组对比试验，较弱一盘的同震位移相对较大，并且最大同震位移大于介质均匀的情况。可以预计的是，两盘强弱差异越大，不对称性越大，最大同震位移也越大。

  

图4 有限元解与解析解比较

3 讨论与结论

本文借助MSC.Marc软件二次开发功能，介绍了在MSC.Marc中采用“分裂节点法”实现地震位错模拟的方法，并利用解析解进行了验证。结果表明，“分裂节点法”可以在MSC.Marc平台实现，算法简单有效，不增加额外计算代价。

本文介绍的方法并不局限于MSC.Marc平台，例如Abaqus软件的UEL子程序和MSC.Marc的USELEM子程序功能类似，理论上也能够在其他通用有限元平台实现地震位错模拟(限于软件版权问题，笔者并未在其他有限元平台上实现“分裂节点法”)。本文所做的工作期望能够为习惯使用通用有限元软件的科研人员提供有益思路。

限于篇幅，笔者仅仅讨论了走滑断层一种算例，且没有将该方法应用于具体震例。在未来工作中，将使用本文方法，基于有限元方法的通用性，能够研究考虑到地表地形起伏、介质非均匀性的同震形变和应力场，并用于具体震例，取得更接近真实的结果。此外，“分裂节点法”并不局限于同震位错模拟，也可以结合黏弹性本构关系实现震后位错模拟。

integerndi, ngenel, nnode, nshear, nstats, nstrmu,i,j,templist

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