波纹管是一种纵截面为波纹状的圆柱形薄壁壳体，具有良好的轴向和横向变形能力，广泛应用于电力、石化、化工、供热、核能等诸多领域。作为承压件，满足强度性能是其基本要求，因此需要对波纹管应力水平进行计算确定。由于波纹管特殊的几何特性，在压力和位移载荷作用下的应力分布较为复杂，对该问题的研究也从未停止。波纹管的应力计算方法经历了大半个世纪的发展，从最早的解析解法，逐步发展出成熟的工程化计算方法，也即图表法。而近年来随着计算机的高速发展，以有限元分析为代表的数值解法开始推广应用。但是从工程应用的角度来说，解析解法对力学、数学的要求较高，不适合在技术人员中推广，且计算效率低下。数值解法也略显繁琐，不能很直观的进行应力评定。因此直至目前，工程化方法仍然是被各大生产厂商所采用的主流方法。

波纹管应力计算的工程化法主要是将波纹管简化成板、梁、圆筒等结构简单的模型，通过求解该模型，进行修正后得到一组适用于工程设计的简化公式。Anderson于20世纪70年代发展了U形波纹管位移-应力的解 [1]，引入修正系数，建立起各修正系数随波形参数变化的分布图表，形成若干公式。

主要是通过控制压力引起的周向薄膜应力（S2）低于许用应力防止强度不足；控制压力引起的子午向薄膜和弯曲应力（S3、S4）来防止平面失稳。而对位移载荷的考量则只反映在位移引起的子午向薄膜和弯曲应力（S5、S6），主要是用来核算疲劳寿命。

因为投掷1枚硬币时,出现正面与反面的概率相等，将事件Bi(0≤i≤r-1)中的投掷第n次为反面改为正面得到其等概率事件事件分解成两个相互独立事件的交:其中Gi+1表示连续投掷i+1次都出现正面的事件,

但是常用的基于图表法的公式一定程度上忽视了位移对波纹管应力状态的影响。通过查阅一些波纹管膨胀节试验以及应用案例，发现仅由压力载荷引起失效的概率微乎其微，多是发生在与位移载荷共同作用下。并且在某些条件下还会发生周向失稳，这点在拉伸位移下的外压波纹管表现得尤其明显。该种失效形式主要是由于周向应力过高引起周向屈服，易造成波纹管波峰和波谷处出现皱褶、破裂，失去承载和补偿能力，失效性质恶劣。而位移载荷会导致周向应力水平的急剧提高，如果控制不当，容易增加周向失稳的风险。目前尚没有有效的方法来计算和评定位移引起的周向应力。

（2）由（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax+b在［0，+∞）成立，因此a+b的最小值为5。

1 模型等效转化

针对单层无加强U形波纹管提出一种新思路，对载荷及力学模型分别进行等效转化，探讨应用该方法计算和评定位移引起波纹管周向应力的合理性。

1.1 载荷等效

由于波纹管为薄壁壳体，结构复杂，在位移载荷下更是存在局部高应力和大变形，因此对其周向应力详细的区分弯曲应力与薄膜应力相当困难，目前不具备相关理论基础。故本文仅针对其总体应力水平进行分析。

博士论文数据初步加工需要进行博士论文基本信息的提取登记。然而由于前文提到的，海外留学生论文封面、题名页、授权页中关于论文的一些基本信息常常出现不规范或者模糊无法确认的情况，对编目人员提取论文信息造成困难。这些基本信息包括：论文作者名、题名、导师名、专业、授权情况、授予年份、授予单位、关键字等等。

某些特定情况下可以采用摄动法对该问题进行理论求解。当挠度不太大时，以其线性解为初始摄动解进行求解是可行的。当挠度很大时，采用薄膜解作为初始摄动解求解大挠度圆板非线性弯曲也能收到不错的效果。当弯曲效应与膜效应均不可忽略，上述两条方法失效。

  

图1 力-位移曲线Fig.1 Curves offorce versus def l ection

通过求解刚度可以直接建立位移载荷与等效力间的联系。EJMA标准中给出了带图表的无加强U形波纹管刚度计算公式 [2]，应用该公式可以将位移载荷转化成力，见式（1）。

 

1.2 模型等效

周向应力σt：

通讯规约：上下行均基于IEC104规约，分别负责五防系统至D5000发送遥控许可信息，D5000至五防系统发送实时位置遥信。

该圆环形板内径为波根直径，外径为波峰直径，板厚即波纹管壁厚。原先边界条件为波纹管左端固定，右端直边段承受位移载荷。经过载荷与模型两次等效之后，现边界条件为圆环板外周界固定，内周界可动固定，即只允许内周界沿着轴向移动。同时承受轴向力载荷。至此，模型等效完成。

2 模型求解

  

图2 U形波纹管纵截面Fig.2 Longitudinal section of U-shaped bellows

  

图3 等效圆环板纵截面Fig.3 Longitudinal section of equivalent annular plate

式中A代表的值是材料泊松比，t为板厚，r为任意被计算位置的半径值，如图3（更多的参数解释请参见文献[4]第十一章）。

EJMA（美国膨胀节制造商协会）通过弹性理论方程，以相当精度的解析解计算出位移反力随位移变化，并在标准中给出曲线图，即图1中带箭头曲线。图中直线A的斜率为波纹管弹性阶段的刚度，也即公式计算刚度值。图中直线B为实际测量时的刚度值（总位移反力比上总位移）。因此通过刚度公式折算的位移反力是要略高于实际作用力的，但是总体来说精度仍然可以接受。

而求解波纹管的等效圆环板模型时，其膜应力与弯曲应力均不可忽略，通过上述解法获得其解析解非常困难，因此参考EJMA标准中应力公式的建立，采用图表法结合数值分析以确定系数。

（3）地下水的开采量大大减少，县内水位下降幅度较大降低，石羊河流域集中区在小范围内增加，生态环境得到改善。需要节约用水，变得更节水。普通民众创新了自己的农田节水技术，如干播和湿栽技术，以及一部电影的两用免耕技术。人们对用水的概念发生了根本性的变化。提高了水商品的认识，普遍提高了节水意识，低耗水和高效节水作物（如棉花，向日葵，茴香等）的比例已经提高，大大增加了比例。

2.1 求解思路

通过两步等效之后，将一端承受位移载荷的波纹管等效成了内边缘受力载荷圆环板。查询资料知，关于该圆环板已有现成的周向应力公式。通过有限元计算，发现公式计算的结果与有限元计算结果符合很好（从有限元的算法上来看，单层无加强U形波纹管应力对于位移的响应是可以相对准确地计算的，这一点也已经通过以往大量试验数据积累，验证了其准确性）。因此可将波纹管的波形参数代入公式，适当加以修正，从而获得关于波纹管的周向应力公式。

计算过程中，材料视为线弹性模型，用到的属性有弹性模量为1.95×1011 Pa，以及泊松比0.3。计算出的应力为名义应力（可参见JB/T 4732关于分析设计的表述），以方便后续的应力评定。

2.2 计算方法

根据文献[4]中等厚平圆板公式（下简称公式），在半径为r处的周向弯矩Mt公式为：

 

径向弯矩Mr：

 

由于波纹管自身结构的复杂性，即便将位移载荷转化成力的作用，直接求解依然非常困难，一般都是以更简单的模型进行处理。本文试图将波纹管按圆环薄板模型进行考察，模型如图2、图3所示。

 

薄板抗弯刚度D：

 

波纹管壁厚远小于其余方向尺寸，故可认为该圆环板为薄板。根据薄板理论[3]，小挠度变形时，即挠度远小于厚度的量级，可以认为几乎不存在薄膜应力；当挠度与厚度同一量级，此时中面内应变不能省略，应当考虑薄膜应力的影响，此时也称为柔韧薄板；当挠度远大于厚度的量级，可以视为柔韧薄膜，其薄膜应力占主导，弯曲应力可以忽略。对单层波纹管而言，壁厚一般在0.8 ～ 2 mm，单波位移一般处于3 ～ 10 mm的区间内，显然属于大挠度问题，可视为柔韧薄板。

3.2.3.5 加强观察 术后应注意观察患者下肢皮肤的颜色、肿胀等情况，注意肢体保暖，防止冷刺激引起静脉痉挛和血液淤积［20］。医护人员要重视患者主诉，如出现下肢疼痛或酸痛感等不适，要及时检查处理，防止血栓出现。

定义关于波纹管的无量纲参量：

对表1中所给参数的波纹管应用公式进行计算，材质为304不锈钢，弹性模量1.95×1011 Pa。圆环板外径为波纹管波峰半径181.5 mm，内径为波纹管波根半径147.5 mm；板厚即波纹管壁厚。通过刚度计算公式得出波纹管刚度为713.82 N/mm，从而等效的力等于位移量乘以刚度。针对危险截面进行计算，即波峰处，则r的取值为波峰半径。代入公式（2）～（4），计算出的圆环板应力值见表2。

她噘着嘴喃喃说道：“见一面这么麻烦，住你们那儿又一句话都不能说——我回香港去了，托你买张好点的船票总行？”

 

表1 算例一波纹管波形参数Tab.1 Geometric parameters of bellows in case

  

外径/mm壁厚/mm 层数 波高/mm波距/mm 波数363 1.2 1 34 44 5

 

表2 圆环板与波纹管周向应力Tab.2 Circumferential stress of annular plate and bellows

  

位移量/mm 5 10 15 20 25 30圆环板/MPa -109 -224 -340 -446 -561 -668波纹管/MPa -125 -254 -388 -528 -673 -823

再建立波纹管的有限元算例。采用线弹性材质模型，打开大变形开关。该波纹管在3 000次疲劳寿命下的极限位移载荷约为32 mm，故取载荷施加范围0 ～ 30 mm，每5 mm一步，逐步施加。同时以波纹管轴线为坐标轴建立柱坐标系，提取每一步的周向应力。波纹管周向应力数值如表2，绘制散点图见图4，取二者之比如图5。

  

图4 周向应力计算结果Fig.4 Calculation results of circumferential stress

  

图5 应力值之比Fig.5 Ratio of stress values

3 结果分析

波纹管作为一种柔性元件，承受管道推力，补偿位移。其工作原理一定程度上类似弹簧。当一端承受力的作用时，必然产生位移。反之位移也不可能单独存在，一定是在力的作用下产生，因此可以认为力和位移的作用是统一的。故本文考虑以等效力来替代位移载荷。

1）我院不合理处方问题主要集中在临床诊断与用药不符。原因分析：存在人情处方，患者只是单纯性为了开药，医师未重视临床诊断的重要性。其次，某些医师超说明书用药，既与临床医师的用药习惯[11]、法律意识和用药风险意识有关；也受患者因素的影响，同时也与医院对处方的管理力度不足有关。

分析算例的计算结果可以得出：波纹管与圆环板周向应力无论是在数值上还是在增长趋势上都能较好地符合。波纹管在极限位移载荷的范围内，随着位移载荷的施加，周向应力近似线性增长。而通过公式计算的结果也呈现相似的增长趋势，但是数值较低，这可能是因为该公式没有考虑薄膜效应。两者之间比值随着加载的进行在1.2附近，并且波动很小，可以认为该比值在极限加载范围内与位移量是无关的，是一个与波纹管波形参数有关的系数。

对于拉伸位移载荷下的波纹管（尤其是承受外压）而言，其波峰位置往往是危险点，易发生垮塌，故对波峰位置进行求解。故研究对象应为外周界固定，内周界可动固定，并承受沿圆周均匀分布轴向力的圆环板。

 

该无量纲参量可以很好的反映波纹管的波形参数，也方便在实际设计过程中修正系数的查找。定义公式：

 

其中S即位移载荷下的波纹管周向应力；σt是公式（2）～（4）计算出的圆环板周向应力；G是与几何形状有关的系数，可通过实验进一步验证和确定该系数的值。再根据该无量纲参量将系数制成完整的系列表格，需要时查找系数对公式计算结果进行修正即可。

4 结论与探讨

通过对波纹管的应力计算分析，得出以下结论：

（1）在位移载荷不利于计算的情况下，可以应用刚度公式将波纹管位移载荷转化成位移反力。

（2）在考察波纹管周向应力状态时，将子午线为波纹状的圆柱壳等效成圆环板能较大程度简化模型。

（3）借助于罗氏应力应变公式手册，其中的圆环板公式提供了关于不同边界条件下的应力解析解。可以较好地近似成波纹管模型。并且与有限元计算结果对比来看，通过适当修正，该公式能够很好地反应出波纹管的周向名义应力。将该公式用Excel编制成计算程序，输入基本参数，能够快捷准确地计算出应力结果，可以用来作为工程化的设计公式。

以该公式计算出的名义应力本身已经不是实际的应力状态，常规的不锈钢材料也不可能承受如此高的应力，这一点是符合力学常识的。但是名义应力可以结合一定的评定准则来校核波纹管或者计算极限载荷。

目前波纹管的外压周向失稳问题仍有待进一步的研究（尤其是薄壁大直径波纹管），对周向应力进行计算和评定或许是解决之道，在此笔者给出一个评定的思路以供交流。

可以看出，环向指数为零时，固有频率就是共振频率。图6示出了前6个固有频率，分别是0、287、1 526、2 470、2 895和3 018 Hz。总的趋势是，固有频率随着环向指数增大而增大。当车轮旋转时，对应于固有频率ωm可以有两个共振频率，这两个频率分别为ωm±mΩy，此处m为环向指数的绝对值。

当波纹管直径较小，波壳的刚度较大（这里的刚度不是指波纹管的轴向刚度或者横向刚度，是指局部产生变形的难易程度），不易发生变形，整体的结构稳定性能够维持，由位移引起的波峰波谷处的局部高应力是通过塑性流动来满足变形协调加以限制，故一般不会发生失稳。而当波纹管直径较大，特别是壁厚也较薄时，刚度小，抵抗变形的能力也差。在拉伸位移载荷下，波峰处呈现较大的压应力，就容易产生类似压杆失稳似的失稳现象，在外压作用下极易发生失效。因此需要对局部环壳的刚度进行考察。而在波谷处为拉应力，仍以应力-强度准则进行评定。

本文讨论了位移引起波纹管周向应力的相关问题，提出了一种新的计算和评定波纹管位移周向应力的工程化方法，能够为波纹管的设计与研究提供一个比较好的思路。

2010年开展的“青海库郎米其—布伦台地区1∶25万区域化探”采样截取粒级为-10～+60目，平均采样密度为2.97个点/4km2；针对残山景观区水系极不发育且风成物严重干扰情况下，用有效控制汇水域的思想，多点组合采集岩屑样代替水系沉积物样。

参考文献

[1]ANDERSON W F. Analysis of Stresses in Bellows，Part II[J].Mathematical，NAA-SR-4527 Pt. II，Atomics International Division of North American Aviation002E

[2]Standards of the Expansion Joint Manufacturers Association，Inc. 10th Edition，2015[S]， NY Expansion Joint Manufacturers Association.

[3]郑晓静. 薄板大挠度应用及理论[M]. 长春：吉林科学技术出版社， 1990：5-8.

[4]W. 杨. 罗氏应力应变公式手册[M]. 北京：科学技术出版社，2005：365-369.