分数阶微积分已经有几百年的历史了，但是它在物理学和工程学领域中的应用是在最近几年才开始的[1]。自从Pecora L M和Carroll T L为两个具有相同初始条件的混沌系统建立同步方案后[2]，混沌同步便逐渐引起人们的兴趣。随着分数阶微积分的发展，分数阶混沌系统的同步控制表现出更广泛的应用前景。学者们提出了许多分数阶混沌系统的控制和同步方法,例如主动控制、滑模控制、完全同步[3]、脉冲同步[4]及广义投影同步[5]等方法。Chen D等利用滑模控制研究了不同维混沌系统的同步问题[6]；Zhang Z等利用滑模控制方法研究了两个混沌系统之间的渐近同步[7]。上述文献只能保证驱动系统与响应系统实现渐近同步[8]。然而在实际应用中，有限时间同步更具有实际价值。对此，Li S和Tian Y P通过设计有限时间控制器，实现了Lorenz系统和Duffing系统之间的同步[8]；Wang H等通过有限时间控制器实现了两个不同阶混沌系统之间的同步[9]。然而上述文献都是针对整数阶混沌系统的，对分数阶混沌系统之间的有限时间同步研究成果还很少。

研究表明，通过有限时间控制可以缩短系统同步的时间，提高收敛速度，而滑模控制具有较强的鲁棒性和抗干扰能力[10]。受上述文献影响，笔者选择两个不同结构的分数阶混沌系统作为研究对象，设计了一个分数阶有限时间滑模控制器来实现两个混沌系统之间的同步。同时笔者提出了一个全新的非奇异终端滑模面，它具有更快的收敛速度。

1 系统模型与问题描述

引理1[11] 假设χ(t)是连续可导函数，那么对于任意时间常数t≥t0，有：

 

引理2[12] Caputo分数阶导数满足如下线性性质：

Dα[b1g1(t)+b2g2(t)]=b1Dαg1(t)+b2Dαg2(t)

引理3[13] 对于任意实数a1,a2,…,an和0<q<2，有：

土壤样品测试过程中采用加标和平行样进行质量控制，测定结果均在误差允许范围内。所有样品5种形态含量之和与直接测定的总量进行对比，回收率为92%～112%，满足元素形态分析要求。

 

定义1[14] 定义分数阶系统：

数学与图论跟其他有着完善理论和问题解决办法的体系不同，其分支不同，问题涉及比较广泛，同时有着多样的问题解决方法，一般情况下，一类问题往往存在一种解法，然而不同的解法间缺少一些相关的联系。有一句老话说道，“工欲善其事，必先利其器”，数学竞赛中要使用图论问题，就得先对图论进行了解、探索，其中要了解图论存在哪些问题以及常见的处理问题的方法，再具体进行运用。而在图论问题中，主要研究其组合最值以及存在性两个问题。

引理4[15] 若x(t)∈C1[0,T](T>0)，则下面等式成立：

 

为了便于滑模控制器的设计，引入如下的假设条件。

考虑到sgn(ei)=|ei|/ei，代入式(8)则有：

Δgi(y)≤mi,|di(t)|≤ni

考虑如下带有不确定项和外部扰动的分数阶非线性系统，设驱动系统和响应系统分别为：

Dαx=Ax+f(x)

(1)

Dαy=By+g(y)+Δg(y)+d(t)+U,0<α<1

(2)

所以：

证明 选取如下Lyapunov函数：

Dαe=By-Ax+g(y)-f(x)+Δg(y)+d(t)+U

即：

Dαei=Biy-Aix+gi(y)-fi(x)+di(t)+

若记439nm、445nm、460nm…2209nm这45个指标的值分别为X1、X2、X3… X45,两个主成分PC1、PC2的得分记为y1、y2,综合得分记作y综。利用表达式y=ZX×t,得到两个主成分各自的得分y1、y2,再将这两个主成分的得分值以各自对应特征值的方差贡献率求和,既得到主成分的综合得分,即

Δgi(y)+Ui,i=1,2,3,4

将式(5)代入上式得到：

由引理4知：

(3)

其中，A=[A1 A2 … An]T，B=[B1 B2

… Bn]T，A1,A2,…,An和B1,B2,…,Bn为1×n的行向量。

2 分数阶有限时间滑模控制器设计

2.1 分数阶终端滑模面设计

考虑误差系统(3)，为使误差系统在有限时间内趋于滑模面的平衡点，笔者采用了一个新的分数阶非奇异终端滑模面：

si(t)=λiDα-1ei(t)+|ei(τ)|βsgn(ei(τ))dτ

(4)

其中λi、β为常数且λi>0,β=α。

系统发生滑模运动的充分必要条件为：

通过试验示范，云天化复合肥14-8-20受到当地棉花种植户的一致认可。在试验示范田的跟踪过程中观察发现使用云天化复合肥的棉花植株茎秆粗壮、根系发达，分枝较和花蕾较多，叶片较厚且颜色较深；同时实现了棉花的增产增收，给农户带来很大的经济效益，在当地赢得了很好的口碑。

si(t)=λiDα-1ei(t)+|ei(τ)|βsgn(ei(τ))dτ=0

夏小凡拿着底片去柜台开冲扩照片的票子时，听到开票员扯着嗓子跟里间的高志明说话：“下班回爸妈家吃饭！别忘了把那袋上海大白兔奶糖给儿子带过去。”没人知道夏小凡究竟在哪所学校念书，也没人留意她后来去了哪里，在哪儿工作。高志明再没见到夏小凡。也许那张冲印放大的湖畔外景照和登记照是她托人来取的，也许她来过了，而他恰好在家休息。

 

(5)

通过式(5)，可以得到：

 

(6)

定理1 系统的同步误差(6)在有限时间ts内收敛于零点，并满足：

 

μ=min{1/λi(i=1,2,…,n)}

根据同步误差定义e(t)=y(t)-x(t)，可以得到式(1)、(2)的误差方程为：

 

根据引理2，对上式求导有：

 

(7)

由式(6)、(7)和引理1、3，可以得到：

DαV

白虎喷黑风，风中有毒，以此侵扰老砍头；螃蟹挥舞大钳子，专攻老砍头下盘，别看它笨拙，打起来一点不慢；喜鹊在天上飞，眼一眨，眼缝中就射出细针，迅捷阴毒，防不胜防；红裙少女离老砍头较远，谁有危险了，它就扑上去解救。

 

(8)

假设1 假设不确定项Δgi(y)以及外部扰动di(t)(i=1,2,…,n)是有界的，那么存在正数mi、ni(i=1,2,…,n)，使得：

 

(9)

由定义1可以得到：

 

(10)

根据式(8)～(10)：

 

其中，α为系统的阶数；x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,y=[y1,y2,…,yn]T∈Rn分别为系统(1)、(2)的可测状态变量；A和B分别为系统(1)、(2)线性部分的系数矩阵。f(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)]T和g(y)=[g1(y),g2(y),…,gn(y)]T分别为系统(1)、(2)的非线性部分。Δg(y)=[Δg1(y),Δg2(y),…,Δgn(y)]T∈Rn为非线性部分的不确定项， d(t)=[d1(t),d2(t),…,dn(t)]T为外界扰动项。U为待设计控制器。

 

对上式两边从0到T进行积分，有:

 

则当时，

即系统(6)在有限时间内收敛到零点，定理1证毕。

2.2 同步控制器设计

定理2 对于误差系统(3)，利用上述分数阶非奇异终端滑模面，如果设计如下控制器：

Ui(t)=Aix-Biy+fi(x)-gi(y)-(mi+ni)sgn(si)-

 

(11)

那么误差系统轨迹将会收敛于滑模面。

证明 选取如下Lyapunov函数：

 

将上式对时间t求导,有：

黎永兰被林雪川送到了广安市人民医院急诊科，当时入院的黎永兰鼻子、头发上都有血迹，医护人员询问黎永兰相关情况，均没得到回应。知情人士介绍说，黎永兰当时被送往医院的时候，身上除了血污之外，没有明显的伤口，医生判断是颅脑损伤，于是立即进行安排了开颅手术。

 

泛北部湾文化圈的构建除了形成一种良好的经济发展环境之外，还在于可以抵御和抗衡外来霸权文化。现如今，一些国家以文化渗透和宗教渗透等方式对东亚、东南亚地区实施干预，旨在从文化方面控制该地区人们的思想以达到政治、经济的全面干预。因此，面对这种情形，泛北部湾经济合作区各国要团结一致，在文化上形成团结一致，共同抵御外来霸权文化的干预。

 

(12)

将误差系统(3)代入式(12)有：

 

Δgi(y)+Ui)+|ei(τ)|βsgn(ei(τ)]

将控制器(11)代入上式可以得到：

对2003，2010，2017年调查与监测资料分析，近15年来，唐山市排污口数量尤其是直排型排污口数量明显减少，混合排污口的数量略有增加。2003，2010，2017年的污水排放总量分别为2.81亿，1.61亿，2.86亿t/a（其中排入水功能区2.65亿t/a、非水功能区0.21亿t/a）［2］。

 

 

根据假设1得：

 

因为μ>0，所以

由Lyapunov稳定性原理，系统是渐近稳定的，即实现了驱动系统和响应系统之间的同步。

透水性沥青路面作为公路沥青路面施工建设的重要组成部分，相关人员需明确其施工使用性能的情况下，着手开展拌和、摊铺以及碾压等施工项目的质量控制工作。然而，在施工实践过程中，施工质量控制措施的应用效果并不理想，这与施工建设人员未重视施工工艺方法的优化运用密切相关。为此，施工质量控制人员应从实践角度出发，以提高措施运用实践的科学合理性，保证透水性沥青路面的施工建设质量，服务于现代化经济建设背景下对道路交通系统运行环境所提出的安全可靠需求。

3 数值仿真

为了验证所设计控制器的有效性和准确性，笔者对于四维分数阶Lorenz混沌系统和四维分数阶Chen混沌系统进行同步数值仿真实验。

将分数阶Lorenz混沌系统作为驱动系统：

中央企业是由中央政府监督管理的国有企业，是国民经济的重要支柱。在我国，中央企业担负着提供公共产品尤其是自然垄断产品的重要职责，是实现我国的经济和金融发展的重要保证。国有经济正面临不断改革和发展，央企党组织是党在中央企业中全部工作和战斗力的基础，确立中央企业党的建设正确的价值取向，提高央企党建的科学化水平，对于充分发挥国有企业党组织的政治优势，促进企业科学发展，以及推进整个党的建设科学化，都具有十分重要的意义。

 

将分数阶Chen混沌系统作为响应系统：

 

驱动系统和响应系统的初值x(0)=(1.2,1.8,1.5,1.3)，y(0)=(1.8,2.3,1.9,1.7)。不确定项Δg1(y)=0.1sin(πt)y1,Δg2(y)=0.2sin(πt)y2,Δg3(y)=0.3sin(πt)y3,Δg4(y)=0.4sin(πt)y4。di(t)=0.2cos(10yi)(i=1,2,3,4)。α=0.9,β=0.5。m1=0.1,m2=0.2,m3=0.3,m4=0.4；λi=1,ni=0.2(i=1,2,3,4)。仿真结果如图1所示。可以看出，在控制器的作用下，误差系统很快就收敛到零点，收敛速度较快。

  

图1 同步误差e1、e2、e3、e4随时间的变化

4 结束语

笔者通过设计终端滑模有限时间控制器实现了两个不同分数阶混沌系统的同步。同时，在控制器构建过程设计了一个新的非奇异分数阶终端滑模面，该滑模面可以在有限时间内收敛到零点。仿真结果表明，即使在有不确定项和外部扰动的情况下，所设计的控制器仍可保证系统同步误差收敛到零点，具有良好的鲁棒性，更具实际意义。

参 考 文 献

[1] Kai D,Ford N J.Analysis of Fractional Differential Equations[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications, 2002, 265(2):229～248.

[2] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in Chaotic Systems[J]. Physical Review Letters, 1996, 64(8):142～145.

[3] Mahmoud G M, Mahmoud E E. Complete Synchronization of Chaotic Complex Nonlinear Systems with Uncertain Parameters[J]. Nonlinear Dynamics, 2010, 62(4):875～882.

[4] Wang X Y,Zhang Y L, Lin D, et al.Impulsive Synchronization of Hyperchaotic a Class of Fractional-order Systems[J]. Chinese Physics B, 2011, 20(3):88～94.

[5] 李华青, 罗小华, 代祥光.一个超混沌系统及其投影同步[J].电子学报, 2009, 37(3):654～657.

[6] Chen D, Zhang R, Ma X, et al. Chaotic Synchronization and Anti-synchronization for a Novel Class of Multiple Chaotic System via a Sliding Mode Control Scheme[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 69(1-2):35～55.

[7] Zhang Z, Ju H P, Shao H. Adaptive Synchronization of Uncertain Unified Chaotic Systems via Novel Feedback Controls[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 81(1-2):1～12.

[8] Li S, Tian Y P. Finite Time Synchronization of Chaotic Systems[J]. Chaos Solitons & Fractals, 2003, 15(2):303～310.

[9] Wang H, Han Z Z, Xie Q Y, et al. Finite-time Chaos Synchronization of Unified Chaotic System with Uncertain Parameters[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 2009, 14(5):2239～2247.

[10] Wang H, Han Z Z, Xie Q Y, et al. Finite-time Chaos Control via Nonsingular Terminal Sliding Mode Control[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 2009, 14(6):2728～2733.

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[12] Li C, Deng W. Remarks on Fractional Derivatives[J]. Applied Mathematics & Computation, 2007, 187(2):777～784.

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[14] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. USA: Academic Press, 1999.

[15] 林飞飞, 曾喆昭.不确定分数阶时滞混沌系统自适应神经网络同步控制[J].物理学报, 2017, 66(9):40～49.