引言

分数阶微积分（Fractional Calculus）是一种关于牛顿-莱布尼兹整数阶微积分的数学推广，它是关于任意阶次微分与积分的理论，是数学分析的一个重要分支.近年来，分数阶微分方程已经在自动控制力学、生物数学、物理学、力学等学科领域得到广泛而成功的应用，可参考文献［1-5］.随着微积分理论的不断发展和完善，带脉冲的分数阶微分方程也渐渐引起了数学工作者的重视，在文［6］中引入.脉冲现象是一种瞬时的、突变的现象，其数学模型往往可以归结为脉冲微分方程边值问题.脉冲微分系统的最大特点是能考虑到突变对状态带来的影响，能够更加简明清晰地看到事物的变化规律，这类系统在化学、控制理论、人口动力学等多个学科中都有非常广泛的应用，可参考文献［7-12］.

2015年，周文学、刘旭和张建刚在文［9］中运用Altman不动点定理和Banach不动点定理，讨论了下列非线性脉冲分数阶微分方程边值问题

 

解的存在性和唯一性，其中，函数是连续的.

2017年，王奇和魏天佑在文［10］中运用Banach不动点定理和Krasnoselskii不动点定理，考虑了下列非线性分数阶微分方程边值问题

顾版译文是现代诗歌中的自由体，原诗的音律是abaab，译文一的体裁与原诗相比音律差别较大，节奏感相比原诗有所欠缺。关版译文读起来朗朗上口，节奏明快，韵律感较之译文一强。但其与中国古诗不同，每行音步基本一致，但韵脚却不工整。读起来仍未达到原诗所有的音美效果。方版译文的音律与音步皆与原诗不符，读起来更像是一篇散文。诗歌译为散文，连体裁都发生了变化，虽然意思连贯但读起来突兀间断，没有原诗一气呵成、承接自然的音律效果。

 

令 J0=[0,t1],J1=(t1,t2],…,Jm-1=(tm-1,tm],Jm=(tm,T].假设 PC(J,R)={u∶J→R∶u∈C((tk,tk+1],R),k=0,1,…,m,并且存在，，PC1(J,R)={u ∈PC(J,R),u′∈ PC(J,R)},定义范数分别为.则空间(PC(J,R)，‖∙‖PC)和空间都是Banach空间.

据我们所知，目前考虑半线性及带有积分核的脉冲分数阶微分方程的学者不多，对于目前已有的文献，本文借助不同的不动点定理，对一些结论作了推广，一些结论是本文的特值情况.受文献［9］和［10］的启发，本文讨论下列带脉冲的半线性分数阶微分方程边值问题

 

解的存在性，其中表示 u(t)在 t=tk处的右极限，表示 u(t)在 t=tk处的左极限，对于有相同意义.这里

董喜阳，1986年生于吉林九台。文学硕士。诗人、作家，兼事文学、美术评论。鲁迅文学院第三十四届中青年作家高级研讨班（青年作家班）学员。中国作协会员。作品散见于《诗刊》《人民日报》《大家》《诗选刊》等刊物。现居长春。

 

其中n=[r]+1,[r]表示r的整数部分.

 

1 预备知识和主要引理

解的存在性，其中α∈(1,2),f∶J×R→R,Ik,Jk∶R→R.

（1）疗效指标 主要疗效指标是生存率（4、12、24和 48周生存率）。次要疗效指标包括：①症状和体征：患者乏力、纳差、腹胀、尿少、出血、肝性脑病、感染及腹水等临床症状和体征的变化；②实验室指标：血液生化学检查示TBil、PTA（INR）和Alb等改变。

综上所述，根据Arzela-Ascoli定理可知，算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)是全连续的.

定义1［2］（Riemann-Liouville分数阶积分）函数 h∈L1([a,b],R+)的 r∈R+阶Riemann-Liouville分数阶积分定义如下：

 

其中Γ(r)是Gramma函数.

二是缺乏完善的绩效考评制度及科学、完整的考核指标体系，不能准确地反映资金的产出和效果；单位缺少长期战略打算，只看到眼前的利益，不重视社会效益和可持续发展，造成资金使用效率低下。

定义1［6］（Caputo分数阶导数）对区间[a,b]上给定的函数h，函数h的r(r＞0)阶Caputo分数阶导数定义如下：

 

是关于核 k,h 的积分算子，其中 k∈C[D,R+],D={(t,s)∶0≤s≤t≤T}，h∈C[D0,R+]，D0={(t,s)∶0≤s,t≤T},R+=[0,∞)，同时

由定义1和定义2不难得出，假设h(t)∈C(0,1)⋂L1(0,1)，且具有α＞0阶分数阶微分，则有

 

其中 di∈R,i=0,1,2,…,n-1，n=[α]+1.

引理1［5］ 给定函数h∈C[0,T]，则问题

 

的唯一解是

 

其中

(2)非正式融资仍为主要途径，包括亲友或关系借贷。以浙江为例，[1]银行和农村信用社等传统金融机构作为主要融资渠道的仅占21%，其中银行占15%，农信社占6%；而通过亲友及民间借贷的份额达50%，通过小额贷款公司和典当行作为主要融资渠道的占7%，另有22%的小企业从未与以上金融机构或个人发生过借贷行为。从下图可见，亲友和民间等非正式融资占据其融资比例超过一半。

 

记

 

引理2［10］ E是一个Banach空间，是一个全连续算子并且V={u∈PC(J,R)|u=ηFu,V={u∈PC(J,R)|u=ηFu,0＜η＜1}是有界的.则F在有一个不动点.

引理3［10］（Rothe）E是一个Banach空间，是E的一个有界开集，是一个全连续算子并且，则F在有一个不动点.

4) 工程机械保有量非常可观，其中包括很大比例含有缺陷、存在风险、面临退役的工程机械设备。随着再制造核心技术逐步加强，产业化前景十分明朗。根据2015年统计数据最大值整理，总量为718万台。图1为截至2015年我国工程机械的保有量示意图[2]。

2 主要结论

首先，定义一个算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)

 

定理1 证明算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)是全连续的.

朗读能够训练普通话的发音技巧。学生在一定的量的朗读训练之后可以达到吐字清晰，语音响亮，琅琅上口，悦耳动听；能通过语音传达出文章所表达的感情。

证明 首先，由于的连续性，可得F是连续的.

其次，假设存在非负常数Li(i=1,2,3)，使得对任意的∀u∈Ω，有 ||u≤L0，

 

则对任意的u∈Ω，有

 

 

则边值问题（1）有解.其中

 

另一方面，对∀t∈Jk,0≤k≤m，我们可以得到

于是

 

因此，对任意的t1,t2∈Jk,并且t1＜t2,0≤k≤m,得

 

则F是等度连续的.

所谓正向分析法就是按照桥梁施工结构和施工顺序对桥梁受力及变形数据进行参数确定，实际测算出每个桥梁结构在不同施工环节中的位移和受力情况。桥梁施工的正向分析不仅可以指导桥梁施工，还为后续施工控制提供相应因素，其具体方法如下：

定理2 假设存在正常数Li(i=0,1,2,3)使得对任意的t∈J,u∈R,k=1,2,…,m,有

新的基因图谱将加速新型转基因产品的研发，不仅限于传统育种项目的作物。就像大多数基因组工作一样，新的小麦基因组图谱为未来研究提供了足够的支撑和细节。

 

则问题（1）有解.

证明 首先，由定理1可知算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)是全连续的.

其次，证是有界的.对，有

思想道德修养与法律基础课程的设置主要是对大学生进行社会主义道德教育和法制教育。在不改变课程属性和课程内容前提下，从课程设计的主线、内容的排序、课程载体及考核等方面借鉴工作过程系统化设计课程。将原本课程章节组合设置为4大专题，如，“大学新生变形记”，“爱己、爱他(她)、爱家庭、爱工作岗位、爱自然、爱国家”系列专题，结合当前现实生活热点案例设置为“×××案例之我见”与“我的道德践行录”。因此，课程考核可从网络教学、课堂教学、实践教学3个方面进行。

 

两种焊接工艺热影响区的金相组织如图7b所示，两者都在热的作用下，晶粒长大。手工焊的热输入较大，晶粒更大甚至形成了块状粗大组织；由于自动焊热输入较小，晶粒长大不明显。

 

综上所述，对∀t∈J有‖‖u≤L，因此V是有界的.借助引理2可知算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)有不动点，即问题（1）有解.

定理3 如果下式成立

 

由范数的定义可得

当时，

 

当时，

 

证明 令，且Ω⊂PC(J,R)是有界的，对任意的u∈PC(J,R)使得，

因此u∈∂Ω.根据定理1，我们知道算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)是全连续的.

通过物联网技术搭建的区域智慧医疗信息平台，既能够合理的规划大医院和社区医院的资源共享问题，同时也增加了患者与医护人员、医疗药品、医疗设备之间的互动性，实现医疗的信息化。智慧医疗信息平台为智慧城市信息化的建设起到了很好的推动作用，也为患者就医带来了极大的便利。

现在，对∀u∈∂Ω,∀t∈J，我们有

 

根据条件（9），我们得到

进口船舶航行至码头边，等待泊位上出口船离泊后再行靠泊的作业方式定义为套泊，2组套泊作业同时进行则定义为双套。[7]

 

综上所述，借助引理3，边值问题（1）有解.

3 例题

例 考虑下面的边值问题

 

解 已知,

 

显然

 

因此，借助定理2，分数阶脉冲边值问题（12）有解.

参考文献：

［1］Zhong Wenyong，Lin Wei.Nonlocal and multiple-point boundary value problem for fractional differential equations［J］.Computers Mathematics with Applications，2010，59（3）：1345-1351.

［2］Kilbas AA，Srivastava HM，Trujillo JJ.Theory and applicational of fractional differential equations［M］.Amsterdam：Elsevier Science，2006.

［3］蔡宁宁，苏新卫，张淑琴.一类分数阶微分方程边值问题解的存在性［J］.郑州大学学报（理学版），2017，49（2）：7-12.

［4］Zhang Shuqin.Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional differential equations［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2006，2006（36）：1-12.

［5］霍正燕.几类分数阶脉冲微分方程的边值问题［D］.昆明理工大学，2016.

［6］Li Xiaoping，Chen Fulai， Li Xuezhu.Generalized anti-periodic boundary value problems of impulsive fractional differential equations［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2013，18：28-41.

［7］Eduardo Hernandez，Donal O’Regan and Krishnan Balachandran.On recent developments in the theory of abstract differential equations with fractional derivatives［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods Applications，2010，73（10）：3462-3471.

［8］Yu Junguo，Zhang Hongtao and Yang Fengzao.Impulsive hybrid boundary value problems for a class of higher-order caputo fractional differential equation［J］.Journal of Kunming University of Science and Technology（Natural Science Edition），2017，42（2）：127-136.

［9］Zhou Wenxue，Liu Xu and Zhang Jiangang.Some new existence and uniqueness results of solutions to semilinear impulsive fractional integro-differential equations［J］.Advances in Difference Equations，2015，2015（38）：1-16.

［10］Wang Qi and Wei Tianyou.On the natural solution of generalized anti-periodic BVP of impulsive fractional differential equations［J］.应用数学，2017，30（1）：78-89.

［11］Sun JX.Nonlinear functional analysis and its application［M］.Science Press，Beijing，2008.

［12］白占兵.分数阶微分方程边值问题研究简介［J］.数学建模及其应用，2017，6（2）：1-10.