0 引言

地下岩石电导率对地球内部温度、流体、熔融和挥发物的存在以及它们的体积、含量等比较敏感，是揭示地球内部状态的重要物理参数(Bai et al.，1992；赵国泽等，2001)。地磁测深正是通过观测地球天然磁场来研究全球范围深部电性结构的一种方法，其研究深度通常为几百km到核幔边界附近，为人们认识和研究地幔物质组成、物理化学状态及其演化等提供重要的地球物理证据。

目前，天然的地磁场数据主要是通过计算C-响应(Banks，1969)和由转换函数法得到等效MT标量阻抗(Schultz et al.，1987)进行研究。Olsen(1998，1999)利用Z:Y法处理欧洲地区的台站数据得到C-响应，并反演得到了欧洲地区电导率的光滑剖面；Püthe等(2015)将地磁台站与卫星数据结合计算C-响应，反演得到全球一维平均电导率剖面，对地幔的水含量、矿物组成和温度进行了约束。国内学者对不同地区地磁数据计算得到的C-响应反演后得到了地幔导电性分布，结果表明不同地区的电导率剖面是不同的，这对认识中国的地幔性质和变化规律等有重要意义(陈伯舫，1989；杜兴信等，1995；范国华等，1997；张贵宾，1998)。

Ichiki等(2001)、赵国泽等(2001)采用转换函数法由周期为105～106s的地磁台站数据得到等效大地电磁标量阻抗，并与短周期的大地电磁阻抗结合进行一维反演，得到了东北地下1i000km内的电性结构，发现该地区的地幔过渡带电导率明显高于全球其他地区，认为可能与太平洋板块俯冲后的滞留有关。汤吉等(2005)提出利用地磁测深的等效MT响应函数扩展长周期电磁测深的方法，并通过对几个地磁台站的资料处理得到了反映地幔结构的长周期视电阻率和阻抗相位资料。徐光晶等(2015)采用转换函数法由华北地区台站资料得到了等效大地电磁标量阻抗，反演得到了300～1i000km的地幔电性结构，发现华北东部的地幔电导率明显高于西部，认为这可能和太平洋板块的俯冲有关。

北京兰台律师事务所税法律师武嘉认为，逃避缴纳税款的纳税人需要承担行政责任，补交税款、滞纳金和罚款。如果在刑事立案前如数补交税款、滞纳金、罚款的，可能不予追究刑事责任，结果或许没有想象那么坏。

上述所有研究工作的重要基础是一维球状模型地磁响应的正演模拟。虽然可以通过转换函数法将地磁数据用大地电磁测深方法进行反演，但是当周期较大时，地球曲率会造成较大的计算误差(罗威等，2012；覃庆炎等，2012)，影响反演结果的准确性。因此本文在假设磁层源形态可以用球谐函数近似表示和地球可以剖分为一维薄球层状模型的前提下，考虑地球曲率，详细推导了直接在球坐标系中根据边界条件和磁场分量表达式计算地表C-响应的一维地磁测深正演理论，为直接利用地磁数据研究地球深部的电导率分布提供了理论基础。

1 模型描述

×E

为研究源激发的全空间电磁场，将地球剖分为不同厚度的薄球层，每一层具有相应的电导率σl和地心距离rl。取地心为球坐标系的原点，Z轴指向地磁北极，XY平面为赤道面，X轴通过地磁经度的零点，φ 为地磁经度，θ为地磁余纬度，r是地表到地心的距离，a0为地球半径(图1)。假设各电性层是均匀各向同性的，则每层中电磁场满足Maxwell方程：

(1)

(2)

·B=0

(3)

联合(32)和式(33)，可以得到由地下电性参数计算和的方程式：

(4)

式(1)—(4)中，H为磁场强度，E为电场强度，B为磁感应强度，D为电位移，j为电流密度。

在第l层顶界面rl上，磁场三分量均满足连续性条件：

因此，教学活动设计围绕学生的知识盲点展开，将有助于学生进行自主探索，形成自我构建，自然能够达到事半功倍的效果。

μl-1Hl-1=μlHl

(5)

式(5)中，μl为第l层的磁导率，本文考虑地球内部和外部的磁导率均为真空磁导率μ0。

2 地表磁场

在地球表面及外部，令电导率σair=0，由B=μ0H及式(3)，引入标量磁位Ω，并有H=-￣Ω，则Ω满足拉普拉斯方程

2Ω=0

(6)

在球坐标系下，利用分离变量法，式(6)中Ω的一般解可以用球谐函数表示为

(7)

式(7)中，为m-阶n-次连带勒让德函数；和分别为内源场系数和外源场系数，它们的具体数值和磁层电流强度以及电性结构相关，其强度可根据地磁场观测数据由最小二乘拟合等方法计算得到(Kuvshinov，2012)。 从后面的讨论可以看到，由于在地磁测深中采用磁场比值转换得到的C-响应作为研究参数，从而类似大地电磁测深(Cagniard，1953)，具体的源强度可以不用考虑，只需要考虑这些系数和电性结构的关系。对式(7)求梯度，得到球坐标系下的磁场三分量表达式为(Banks，1969)

后来我一直没去景花厂。阿花邀请过我，我就说忙。忙不过是个借口，实际上是我不想去。我是个老实人，不喜欢趋炎附势那一套。虽然我对美女从不敬而远之，但当美女和老板合二为一时，我会牢牢抓住心猿意马的缰绳，敬而远之了。还有，大家都是做抛光的，总往哪儿跑怕别人会有想法，所以，不去为好。

(8)

(9)

(10)

式(8)—(10)中，ρ=r/a0，Hr、Hθ和Hφ分别为垂直指向地心、水平N方向和水平E方向磁场。当ρ=1时即为地表处的磁场分量。

3 地球内部磁场

在地球内部任一薄球层中，电导率σ≠0；由于地磁场随时间的变化非常缓慢，可以忽略位移电流对场分布的影响。取时谐因子eiωt，Maxwell方程组表示为

×E=-iωμH

(11)

×H=σE

(12)

·E=0

(13)

·H=0

(14)

对式(11)两边取旋度，得到电场满足的赫姆霍兹方程：

2E+k2E=0

(15)

式(15)中，k2=-iωμσ，ω为角频率。磁场H借助式(11)可由电场求得：

磁层中复杂电流体系产生了丰富多彩的变化磁场，它们在地表产生磁场的空间结构模型对地球物理研究有重要意义(徐文耀，2009)。该磁层激发源可以由位于地表一定高度(具体的高度值并不重要)的等效电流层近似，Banks(1969)认为对于半全球或全球范围的研究，可以用单个或几个低阶球谐函数叠加形式表示磁层电流，其中作为主要项，其强度远大于其他项，因此提出磁层电流源的假设，并被广泛应用于地磁测深研究(Fujii et al.，2002；Sun et al.，2012)。

(16)

据Banks(1969)，若导体的电场可表示为磁场的旋度，那么电场一定是环形场，因此电场可以用位函数表示为

E=×(rΨ)

(17)

将式(20)代入式(17)得到电场解，结合式(16)即可得到任意层中的电磁场三分量：

2Ψ+k2Ψ=0

(18)

在球坐标系下，式(18)可以展开为

针对部分河道淤积或回淤现象较重，排涝能力较低、排涝标准不足或灌溉流量减少、灌溉能力下降等问题，采取的措施包括：一是对规划区内的河道进行疏浚整治，并对项目区内影响行洪安全的障碍物进行拆除，主要为清除坝埂、违章建筑物等，同时，清除垃圾、树木、杂草等，清理侵占河道或岸坡废弃物；二是对项目区原有设计标准低、阻水严重的部分桥梁、涵、闸、站等建筑物进行拆建，以进一步沟通河道水系末梢，畅流水体，改善水环境质量。

(19)

利用分离变量法，令Ψ=R(r)Θ(θ)Φ(φ)=R(r)Y(θ，φ)，可以得到式(19)的一般解为

在北极这样的寒冷地带生活，没有一些特殊本领怎么能行？一些苔藓可以在零下10℃的环境里生存，而地衣就更厉害了，即使是零下20℃的低温，它们也无所畏惧。苔藓和地衣都是紧贴着地面匍匐生长的，这其实是一种对付极寒天气的生存智慧，因为只有“趴在地上”，才能够抗风、保温，并且减少植物的蒸腾作用，更好地生存下去。

(20)

式(20)中面球谐函数满足：

(21)

式(17)中，r是位置矢量，Ψ为球坐标(r、θ、φ)的标量函数(Banks，1969)。式(17)带入方程(15)有

(22)

式(32)中， 可根据电导率、深度和频率求出；则需要通过核幔边界处的系数XL递推得到；为了后文的讨论方便，记

(23)

(24)

为求解Rn(r)，令 方程式(21)变为

在忠县长江穿越隧道工程施工过程中，防治水施工技术能够改善隧道内部掘进施工的水文地质环境，有非常好的效果。同时，采用防治水施工技术能确保隧道掘进施工全过程施工安全，其社会和经济效益是不可估量的。

(25)

其通解可以表示为

(26)

式(26)中，jn(z)和yn(z)分别为第1类和第2类的n-阶复球贝塞尔函数，待定系数α与β和地层电导率分布相关，需要结合边界条件确定。

4 待定系数间递推关系的构建

4. 1 地球内部

为了建立起地球表面观测磁场与地下介质电性的关系，需要特殊考虑地表情况。在地表，将空气中式(8)—(10)与地下式(22)—(24)中的磁场表达式代入地表磁场的连续性条件式(5)，从而得到：

县镇两级培训师资力量的强弱是职业农民培育工作取得成功的关键。随着培育新型职业农民工程的实施，各地组建并固化了一批讲师团队伍，师资队伍数量与结构显著改善，质量与水平也有了一定提高。但是，随着编制缩减、人员退休，队伍规模连年“缩小”，尤其是基层一线农技推广人员不断老化，这给农民教育培训师资选拔上带来了极大困难。不久的将来，能够真正从事一线农民培训的人才数量会大大缩减，甚至萎缩，尤其是专业的教师更加缺乏，从而使培育新型农民的工作难以顺利进行。因此，培养和引进人才已经是目前迫在眉睫的一项重要工作[2]。

Rn，l-1(rl)=Rn，l(rl)

(27)

由Hθ的连续性可得：

王贵春知道，如果丈夫动手打人，按照现在的法律，法律责任是逃不了的，“万一打出问题，丈夫甚至有可能被判刑”。进一步，万一丈夫打了人，“‘青楞’狠心伺机报复，向鱼塘里下毒，以后家里的经济也毁了”。也就是说，王贵春并非欠缺“基础性知识”的“挑战性法盲”[30]，而是无法使心中的“气”按照常规的方式排泄出来，于是“气不过”，激动之下，便选择了自杀。

(28)

结合(27)和式(28)，可以得到：

(29)

以上边界条件同样适用于因此，将式(26)代入(27)和式(29)，有

αl-1jn(kl-1rl)+βl-1yn(kl-1rl)=αljn(klrl)+βlyn(klrl)

(30)

αl-1j′n(kl-1rl)+βl-1y′n(kl-1rl)=αlj′n(klrl)+βly′n(klrl)

(5)总而言之，本区绝大部分调查面积的土壤，其环境质量基本处于清洁状态，土壤养分中等，土壤质量可评定为良好等级。

(31)

式(31)中，式(30)和式(31)可以写为如下矩阵形式：

此外，在国内学术界，研究者或研究机构“单兵作战”的情况比较普遍。[4]不同学科的学者之间的合作研究以及研究机构的协同创新研究都不多，跨国合作研究更是凤毛麟角，学术界与政府部门之间的接触也很有限。鉴于“一带一路”研究的复杂性和国际性，应鼓励和提倡跨学科、跨机构、跨国、跨界的合作研究。

(32)

为了获得XL，做如下考虑。在地核处，由于其深度数倍于最低频率的趋肤深度，可以将其视作超导的。故在核幔边界上，满足及 即 从而有

(33)

根据式(32)并记 得到

(34)

至此，由式(34)，借助式(32)，通过类似传输线理论，可以从核幔边界逐步向上递推得到不同深度任意层中的待定系数αl和βl；由式(26)可以计算出该深度的 也就得到了Rn(r)；带入式(22)—(24)即可求得电场和磁场三分量。特别地，地表及空气层中待定系数X0的递推公式为

X0=TXL

(35)

式(35)中，中包含了各层的电性信息。

4.2 地球表面

对于图1 的一维薄球层状模型，每一层的α和β都是常数，但在不同层内α、β通常是不同的。为求出α和β，并建立地表观测磁场与地下介质电阻率分布的关系，需要考虑式(5)磁场三分量在层界面上的连续性边界条件。在相邻的l和l-1层(靠近地核的层记为l层)边界r=rl处，由Hr的连续性可得：

(36)

和

(37)

·D=0

(38)

5 C-响应

5.1 C-响应的导出和计算

在地球表面，我们可以将式(8)—(10)表示成

范坚强一手握着匕首，一手轻轻拔掉插在电脑上的U盘。一杭冷哼一声，说：“原来你才是真凶！”范坚强不置可否，脸上一副胜利者的笑容。“可惜，你知道得太晚了。”

(39)

(40)

(41)

式(39)—(41)中的在假设地球为一维的条件下，Banks(1969)提出将内源场和外源场之比作为地磁测深的响应函数，Qn与球谐函数的阶数m无关。Schmucker(1970，1987)通过Q-响应定义C-响应，并有

(42)

由式(42)可以得到的表达式并代入式(39)，就可以得到地表点(θ，φ)处的磁场垂向分量：

(43)

响应函数Cn(ω)的1个特点是，它对场源尺度(即球谐函数的次n)的依赖性很小，所以从一级近似的意义上说，它在特定频率时是个常数，即Cn(ω)=C0(ω)(C0是波数为0的平面地球的响应，C0与C1的差别很小)。因此：

(44)

同时将水平N方向的磁场分量记为H，有

欧盟尚无官方渠道发布参比信息，从欧洲药品监督管理局EMA的官方信息可知，参比制剂的定义为：参比制剂是指由欧盟成员国或委员会基于完整的申报资料已经批准上市的药品，这些申报资料需 要 按 照 Articles 8（3），10a，10b or 10c of Directive 2001/83/EC等法案进行，包括质量研究、临床前研究和临床研究等内容，仿制药或改良型药物申请上市时可参照该药品，通常通过生物等效性研究以证明其生物等效性［10］。

(45)

在一维模型及磁层源形态可以由球谐函数近似表示的前提下，由(44)和式(45)可得到地表某点的C-响应表达式：

(46)

将式(35)代入C-响应的表达式，有

其实语言文字能否被熟练应用，主要就看是否有牢固的知识基础。教师可以从如下方面进行研究：第一，在语文阅读中要注重文字的积累。其实，在语文的教程中培养学生的语言能力是十分重要的，并且要想有效提高语感，最好的方法就是增加阅读量。第二，除了积累课堂所学的知识以外，更要注重课外语言积累。因为课堂的时间是十分有限的，如果光靠课堂讲解的话，是根本不能满足语言要求的，所以还要加大课外文献的阅读量。第三，有效记录生活中的文字。总而言之，教师不但要注重学生好习惯的养成，更要鼓励学生加强社会实践。

(47)

由式(47)可以发现，C-响应与经度和纬度无关，只与地下的电性结构有关。因此，一维条件下，C-响应在地球表面的任意位置都是相同的。

C-响应的单位为km，一般情况下实部为正值，可以作为电磁场穿透深度的近似值；虚部为负值，其幅值在一定程度上反映了电阻率的变化。Schmucker(1987)提出关于C-响应的ρ*-z*转化关系：

ρ*=2μω(Im{C})2 和z*=Re{C}

(48)

式(48)中，ρ*和z*分别为视电阻率和穿透深度，这有助于我们更直观地了解C-响应与地下不同深度电阻率间的关系。

5.2 地磁测深响应与标量大地电磁阻抗

Schultz等(1987)根据标量大地电磁阻抗与地磁测深响应之间的关系，提出了一维条件下，地磁测深函数和大地电磁标量阻抗间的转换方法：

(49)

式(49)中，Z=Eφ/Bθ=-Eθ/Bφ，T=Br/Bθ 分别为大地电磁标量阻抗和地磁测深响应。比例因子

(50)

在假设下，比例因子简化为

(51)

6 讨论

为了更接近地球真实的电性分布，本文选择Olsen(1998)对欧洲地区地磁台站数据的反演结果作为理论计算模型(图2a)，计算的C-响应如图2b。为了检验计算精度，对该模型用三维交错网格有限差分模拟技术(Kelbert et al.，2014；李建平等，2017)计算了C-响应并同时绘制在图2b中，图中正数部分为C-响应的实部，负数部分为C-响应的虚部。对比图2b可见，一维模拟结果与三维数值结果非常一致。从C-响应的变化特征看，C-响应的实部随周期的增大而增大，并逐渐趋于1个极限值(约2i500km)，结合其周期范围及物理意义，说明C-响应的探测深度主要为几百km到2i500km。

我们还对Püthe等(2015)对全球卫星数据反演得到的结果模型(图3a)进行了C-响应数值模拟，结果如图3b，基本的变化特征同图2b。由于都是一维模型响应，我们将图2b中的C-响应也绘制在图3b中。对比发现，欧洲地区平均电导率模型和全球平均电导率模型的C-响应在长周期时差别较小，并且随着周期增大，C-响应逐渐重合，反映了欧洲地区与全球平均下地幔电性结构具有相似性；但在短周期时，两者的响应差别非常大，反映了上地幔以浅存在横向不均匀性。

研究表明，在短周期时地球曲率对电磁场的影响很小(罗威等，2012；覃庆言等，2012)。 根据5.2节，我们可以得到在假设下C-响应与大地电磁标量阻抗的相互转换公式：

Z=iωC

(52)

因此短周期时，可以将地磁测深函数转换为MT阻抗Z-响应进行研究。赵国泽等(2001)、汤吉等(2005)、徐光晶等(2015)等均采用此方法得到了反映地幔电性结构的视电阻率和相位资料。实际上，根据式(52)也可以反过来转换，由MT阻抗计算C-响应。图4 给出了根据图Olsen(1998)模型计算的Z-响应转换为C-响应的曲线及与理论C-响应的相对误差变化情况。从图4可见，短周期时2种计算结果的曲线基本重合，相对偏差较小，这与前人结论一致；随着周期的增大，地球曲率对电磁场的影响不断增大，计算结果会出现较大的偏差，使得地磁测深响应与标量大地电磁阻抗相互转换的精度变差；在周期低于106s时，相对误差基本 <￣5% ，按照李墩柱等(2009)的研究，这种误差对解释结果的影响可以忽略；但更长的周期后，虚部的相对误差开始超过5%，甚至当周期>￣107s之后，相对误差超过10%并急剧增大，严重影响了转换函数方法的准确性，这个结论和Banks(1969)的结论一致。因此，建议在地磁测深数据反演中直接针对C-响应进行反演，以提高反演结果的可靠性。

7 结论和展望

本文给出了当地球磁层的电流激发源可以由近似表示的前提下，球坐标系中地球薄球层状分布的电导率模型地表磁场及C-响应的计算理论，并通过数值模拟验证了理论的正确性。由模拟得到的典型模型C-响应曲线形态特征，并结合其物理意义可以发现，C-响应主要反映地下几百km到下地幔的电性结构。

我们采用不同方法(地磁转换函数方法和直接计算方法)计算了典型模型的C-响应并通过对比分析发现，地磁转换函数方法计算得到的C-响应在短周期时能满足精度要求，但在较长周期(>106s)时由转换方法得到的C-响应与直接计算得到的C-响应误差较大，而且该误差随着周期增大而增大。因此，建议直接基于C-响应对地磁数据进行反演，提高反演结果的可靠性。

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