载粒多相流广泛存在于自然界和工业中，如大气污染物沉积、沙丘移动、固体燃料火箭发射喷管流、石油采集和运输、气固流化床及气固/液固型旋风分离器等，涉及到石油、能源及制药等多种领域，因此，多相流一直是国内外学者的研究焦点。目前，对于颗粒在稳定流体中运动的研究非常多，但是在实际工程应用中，流况通常为不稳定流体，由于流场复杂性、实验条件等因素的限制，导致对颗粒在不稳定流体中运动的研究较少。

颗粒与粘性流体间相互作用过程中，一般起主导作用的是曳力。当颗粒跟随非稳定流体移动时，会经历加速、减速等不稳定过程，此时曳力可能比其他力(如Mugnus力、Basset力和虚假质量力)大一个甚至几个数量级，直接影响到颗粒的状态(夹带或沉积)。而大量的研究成果表明，非稳定流体的颗粒曳力与稳态流体的相比差异较大，无法用标准阻力系数曲线来衡量[1～3]。因此，为了更好地与实际工业对接，笔者从理论、实验与模拟研究3方面综述了颗粒在非稳态流体中所受曳力的研究成果，并总结了不同条件下的曳力系数值，希望对后续非稳态多相流领域的深入研究提供一些有价值的参考。

1 理论研究

单位体积流体的曳力FD一般用曳力系数的形式给出，即：

 

式中 CD——曳力系数；

d——球形颗粒直径；

u——速度；

“不，阿姆！”小米拉着阿姆的机械手，感动地说，“我有一个想法，不如我们开设一个机器人权益维护中心，由你出任中心负责人，至于经费，我有积蓄，要是不够的话，我们还可以募捐。我希望通过我们的行动，号召全社会的人来关心、维护机器人的合法权益。”

ρ——密度；

下标p、f——颗粒、流体。

曳力系数CD是流体所有不稳定情况的整合表达，一般认为其值与雷诺数Re、流体与颗粒之间的滑移速度、颗粒大小形状、流体性质及壁面等因素有关。

有学者认为曳力计算式是一个包含3个经验系数项的方程：第1项是稳定状态下的曳力系数项，第2项是附加质量力项，第3项是颗粒运动的历史项[4,5]。其中曳力系数项的计算式为：

 

式中 f——函数关系；

Suzuki T等在前人的基础上使用改进的实验装置(图2)，使球形颗粒在入射激波(亚音速)到达之前注入到水平振激管中，以排除壁面和其他粒子的干扰，并采用三重曝光技术记录振荡激波后的颗粒位移，得到颗粒平均速度和加速度[12]。实验获得的非稳态曳力系数比标准阻力曲线系数高出约20%(图3)，散射程度更小，更加接近文献[11]的结果。

萍萍重新坐到椅子上，我喝着水说：“以前我每次来你们家，都会碰上沈天祥他们，碰不上他们三个人，最少也能碰上他们中的一个，今天他们一个都没来，连林孟也不在家，只有我们两个人，你又是一个很少说话的人……”

V——颗粒滑移速度；

颗粒与流体之间的相对加速度；

ν——流体运动粘度。

好在日前生态环境部发布了《关于生态环境领域进一步深化“放管服”改革，推动经济高质量发展的知道意见》。《意见》明确提出，各地要出台细化防止“一刀切”的有效措施，及时向社会发布公告。相关负责人也表示，按照《意见》要求，生态环境部将全面落实“双随机、一公开”制度，实现对不同生态环境水平监管对象的差别化管理，对超标企业加大查处力度，对长期稳定达标排放的合法企业减少监管频次。这对于环保达标的大中型企业算是好消息。但总的来说，短期内开工率稳中趋降。

上式实用性较强，可以对附加质量力项进行修正。有学者认为，曳力系数的依赖性可以简化为基于速度差的颗粒雷诺数Rep和颗粒马赫数Mp(或仅依赖Rep)，即：

 

 

式中 a——激波流中的声速。

Karanfilian S K和Kotas T J的研究结果表明，Ac=0.01时CD值增加约1%，而Ac=0.10时增加约10%。因此，当Ac很小时，可以用标准(准稳态)曳力模型来预测实验结果，也就是说，此时若CD值有所增加，则和除了不稳定性因素之外的其他因素有关。

对于不稳定流体，当Rep<1时，有学者用理论对CD值进行了近似推导[6]，此时CD值不服从Stokes阻力定律，粘性力远大于惯性力，实际情况中颗粒的运动速度较大，且只有极细的颗粒才能满足该方程。随着雷诺数的增大，颗粒尾部出现不同程度的尾涡，导致理论研究非常复杂。

2 实验研究

对曳力系数进行实验研究的目的有两点：一是为了得到颗粒在不同状态下(Rep和Mp)、不稳定流体中更加准确的经验表达式；二是了解曳力和不稳定流体的相互作用机理。

通过上述激波实验可以明显观察到，CD值在长时间尺度下要高于标准阻力系数CDS，大多数学者将这种现象归因于不稳定性，包括流体性质、颗粒粗糙度或其他不确定因素。

通过对忠县长江穿越隧道工程防治水施工技术的阐述，提出了“以防为主、防治相结合、先探后治、先治后掘”的防治水施工对策，解决类似江底穿越隧道的突水和涌渗水是合理的、可行的。

各文献中的实验条件及其曳力系数修正公式见表1。

陆徵祥在圣彼得堡工作期间，结识了比利时天主教女子培德·博婓，并娶她为妻，他称他们俩人的结合是心与神的交融。陆徵祥在其夫人去世后辞去了瑞士公使的职务，于1927年进入天主教本笃会圣安德鲁隐修院，易名天士比德。他在成为修士之后，学习拉丁文和神学，之后成为神父、晋升为司铎并在1945年被罗马教廷封为圣安德鲁修道院荣誉院长。1949年病逝，葬于圣安德鲁修道院。

  

图1 周期内最大雷诺数 4 870时的流场

Igra O和Takayama K利用双曝光全息测量技术，借助振荡管来诱导壁面上的圆形颗粒加速，重建了更加准确的球体轨迹，研究了颗粒雷诺数在更宽范围(6000<Re<101000)时的曳力系数值[10]。但实验颗粒驱动是将颗粒放置在测试管壁上，忽略了颗粒与壁面摩擦对轨迹的影响，而且每次拍摄都会重建颗粒轨道，导致每次初始条件必然不同，最终造成误差，CD值非常分散。

Rodriguez G等使用高速摄影技术，使圆形颗粒在垂直振荡管中自由下落，来研究非稳态和稳态下的曳力系数，每次实验将20～30个颗粒同时下落，保证至少有一个颗粒出现在拍摄范围中，从而消除壁面的影响[11]。

g——重力加速度；

根据椎动脉血流逆流的严重程度分为3期：I期，隐匿型盗血：彩色多普勒表现为椎动脉内血流方向正常，但多普勒频谱出现特征性的切迹波形；Ⅱ期，部分性盗血：彩色和频谱多普勒均表现为收缩期椎动脉反向血流，舒张期正向血流，即患侧椎动脉出现双期双向血流信号；Ⅲ期，完全性盗血：彩色和频谱多普勒主要表现为患侧椎动脉血流方向与同侧颈总动脉血流方向相反，患侧椎动脉出现全心动周期反流信号。

  

图2 激波加载实验装置

  

图3 激波加载实验结果对比

Jourdan G等采用高速摄像机记录更加精确的颗粒运动轨迹，每次实验的拍摄周期为70μs，通过每次连续拍摄几十张图片来消除重复性误差，最终推导出更加精确的CD值[13,14]。结果发现在一定雷诺数范围内，稳定流体与非稳定流体的曳力系数值相差超过50%。实验中所使用的小球和流体密度越接近，CD值越大。值得注意的是，实验中颗粒驱动部分采用细线来悬挂小球，这种方式难以估计环境对颗粒轨迹造成的影响，还会增加数据分散程度。

村口的老樟树就这样每天早上看着麻糍用双手双脚推着独轮车带着小羽出村，每天傍晚看着小羽一人进村。麻糍一般是晚上八点左右才会回来，那个时候的天空不是已经黑得像被泼了墨，就是星星点点的图画了。

3 给药方法 对照组给予氨溴索注射液 （云南龙海天然植物药业有限公司生产，批准文号：国药准字H20094233）30 mg加入氯化钠注射液100 mL静脉滴注 （静滴），bid，疗程7 d；乌司他丁注射液 （广东天普生化医药股份有限公司生产，批准文号：国药准字H19990134）30万U加入氯化钠注射液100 mL静滴，bid，疗程14 d。观察组在对照组治疗基础上，同时加用依达拉奉注射液 （南京先声东元制药有限公司生产，批准文号：国药准字H20050280）30 mg加入氯化钠注射液100 mL静滴30 min，bid，疗程14 d。

为了综合衡量较大雷诺数下，流体不稳定性对颗粒的影响，研究学者们提出了加速度模量Ac的概念。文献[9]中Ac范围为0.10≤Ac≤0.50，而文献[13]中Ac范围却为2.50×10-5≤Ac≤3.50×10-2，这是因为两者分别在水和空气中进行实验，流体的密度相差极大(约103)导致前者附加质量力对曳力系数值的影响远大于后者。

通过实验获取曳力系数的方法有3种：流化床压降[7,8]、流化床层膨胀实验和激波加载实验。相较前两种方法，激波加载实验的优势是：激波能诱导出相对均匀的流体，颗粒在测试段被激波加速的同时不产生扰动。激波加载实验利用传感器测量相关参数，或采用直接拍摄颗粒运动轨迹的方法导出曳力系数。

 

表1 曳力系数修正公式

  

文献流体曳力系数公式条件[9]液lgCD=7.8231-5.8237lgRep+1.4129(lgRep)2- 0.1146(lgRep)3200≤Rep≤101000,Ac≤1[12]气lgCD=-0.696+1.259×lgRep-0.465×(lgRep)2+ 0.045×(lgRep)3500≤Rep≤104,2.50×10-5≤Ac≤3.50×10-2[15]气CDS=24Re(1+0.15Re0.687)+0.42(1+42500Re1.16)Rep<2.0×105

满是槽点和Bug的电视剧《创业时代》已经是带着美颜相机去展现互联网的创业故事了，即使这样，它还是保留了一个最基本的残酷现实：梦想是大佬的，创业者要么成为大佬梦想的一部分，要么成为大佬的炮灰。

Parmar M等将CD值比CDS值大归因于不稳定，实验发现颗粒与激波接触几微秒后，非稳态影响将变得微不足道，粒子以准稳态为主，CD值升高的原因除了不稳定之外应该还有其他因素[16,17]。Loth E认为其他因素极有可能是流体的压缩性，并使用新的准稳态模型来证明压缩性的影响[18]。

目前，对于不稳定流体和圆形颗粒相互作用的系统性研究较少，为获得较为可信的实验数据，Karanfilian S K和Kotas T J设置了一个垂直振荡容器，将小球放置其中进行简谐运动，获得变化的振幅和频率下的阻力，同时进行理论研究[9]。得到了在中等雷诺数(102<Re<104)下的CD值，同时证明了曳力系数与颗粒雷诺数和加速度具有相关性，与加速度成反比。为获得在振荡小球影响下容器内流体的流动情况，加入示踪粒子进行可视化拍摄，获得周期内最大雷诺数4 870时的流场(图1)，可以观察到射流尾迹引起了两个逐渐发展的涡环，而且射流尾迹的效果随Remax的增大而增大。

Wagner J L等采用数据分散程度更小的机械式注入方法进行实验研究，发现颗粒驱动部分与Suzuki T等的研究结果类似[19,20]。使用高速纹影成像系统进行可视化，高速摄像机在同一视场的曝光时间仅为1μs，拍摄到的马赫数M=2.04、颗粒初始马赫数Mp,0=0.99时的流场如图4所示，通过与其他文献对比发现此时的CD值要比M=1.68、Mp,0=0.76时大50%，明显压缩性更强，因此不稳定流体比稳态具有更高的曳力系数的原因是准稳态下的流体压缩性，而不是流动的不稳定性。另外，在Ac极小的情况下，CD值随Rep的变化并不明显，而几乎完全依赖Mp的结论也与Parmar M等的结论一致。

  

图4 M=2.04、Mp,0=0.99时的流场

综上所述，研究学者们提出的曳力系数值之间存在较大差异，这些差异可以总结为：粒子状态(固液)和几何形状不一致；Rep和Mp的覆盖范围不同。研究的重点大致可分为两个方向：一是不同条件下CD值的推导，二是深入研究微观相互作用机制。然而由于实验难度大，结论的准确性仍值得怀疑，想要应用于实际情况还需要更全面、更准确的数据支撑。

3 模拟研究

实验研究大多描述的是颗粒宏观行为，模拟研究则更有助于揭示颗粒与流体作用(激波)的微观性质。通过模拟研究能够更好地理解短时间内颗粒和流体两者相互作用中的不稳定曳力[21,22]。

她把头抬得高高—-甚至当我们深信她已经堕落了的时候也是如此，仿佛她比历来都更要求人们承认她作为格里尔生家族末代人物的尊严，仿佛她的尊严就需要同世俗的接触来重新肯定她那不受任何影响的性格。比如说，她那次买老鼠药、砒霜的情况。那是在人们已开始说“可怜的爱米丽”之后一年多，她的两个堂姐妹也正在那时来看望她。

Zhang J等研究了高粘度流体下两个弹性球形颗粒碰撞的动力学行为，使用L-B(Lattice-Boltzman)模型模拟得到了颗粒近距离碰撞下的三维流场和颗粒受力情况，同时对实验和模拟结果进行对比，对流体曳力进行了修正[23]。Beetstra R等利用L-B模型并结合前人的实验数据，得到了不规则形状颗粒的曳力系数，发现颗粒团的曳力系数与内部颗粒间距成正比[24]。

Tanno H等利用DNS方法求解小球非稳定曳力，其中求解轴对称非定常Navier-Stokes方程时使用的是非机构化四边形网格上的有限体积法，该方法被用于各种气体动力学问题[21,22,25,26]。Tanno H等模拟得到80mm直径小球的曳力系数与时间的关系曲线如图5所示，流体工况为M=1.22、Re=3×106的空气，可以看出模拟和实验结果较为吻合，小球在短时间内曳力系数急剧升高，约70μs处达到最大值[21]。Tanno H等首次证明了负阻力系数的存在，具体出现在约400μs处，原因是激波衍射导致小球尾部阻滞区压力升高。随后Sun M等在此基础上证明了欧拉方程能够非常好地描述激波和小球作用初期的非定常流体，粘度在这一时期对曳力系数的影响可以忽略不计[22]。同时由于衍射激波在球后部发生聚焦，因此负曳力系数只发生在高雷诺数区。

  

图5 不稳定曳力系数模拟和实验结果比较

Parmar M等除了研究流体压缩性对颗粒不稳定曳力系数的影响外，在理论方面还首次提出了一个准稳态可压缩流体下圆形颗粒阻力的简单模型，利用该模型可以准确测量曳力的变化，但该模型仅对预测曳力系数的局部最小值有效；Loth E认为高雷诺数下曳力主要受压缩性影响，而低雷诺数(Rep<45)下则主要受稀疏性影响，并分别对CD值进行了修正[16～18]。Parmar M等参照前人实验结论对Loth E的CD值准确性进行了评估，又依照Jourdan G等的实验结果，根据马赫数Mp的大小分成3个区间，分别对CD值进行了修正[27]。

对于瞬态曳力上升和负曳力的出现、压缩性的影响等这些微观现象，往往需要测量几毫秒内分辨率为微秒级别的数据，这在实验上几乎是不可能实现的，因此，对于某些难以用实验观察的微观运动，使用模拟研究方法更加容易实现。

4 结束语

非稳态多相流是工业领域普遍存在的现象，越来越受到人们的重视，由于非稳态流体的复杂程度相较于稳态流体要大得多，因此对于作用机理的研究较少。笔者综述了国内外关于不稳定多相流中颗粒曳力的重要研究进展，早期人们对不稳定曳力进行了理论和实验研究，理论方面已经逐渐形成初步的理论体系，实验方面由传统的传感器到高速摄像机，并试着构建三维运动空间，获得了一定条件下较为可信的曳力系数。随着数值模拟技术的发展和改进，一些数据和实验结果吻合较好，但近期发现的部分微观现象却和早期学者的预期相矛盾。笔者认为，实验方面需要更精确、更高效的实验设备来补充数据库，利用高速摄像机和计算机构建三维颗粒流动将是进一步研究非稳定载粒多相流的重点，模拟方面利用直接数值模拟方法不断修正模型是研究两相作用机理需要突破的方向。

参 考 文 献

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