0 引 言

旋转叶片是航空发动机的关键部件，其振动特性及振动抑制技术对发动机的性能和结构完整性、工作可靠性有重要影响[1-2]，李其汉等[3]分析了导致叶片高循环疲劳失效的原因，指出减小和抑制动力响应是排除或预防叶片高循环疲劳失效的方法。在各类叶片振动抑制方法中，干摩擦阻尼结构应用最为广泛，其利用结构件的干摩擦作用将振动能量转化为热能形式耗散，从而降低结构的振动响应，并具有简单高效、受温度影响较小等优势。由于干摩擦阻尼减振机理和结构系统响应的复杂性，国内外很多学者针对叶片干摩擦阻尼结构进行了大量的研究工作，并取得了丰硕的研究成果。

本文对旋转叶片干摩擦阻尼结构的动力学建模、减振分析进行归纳和总结，以期为旋转叶片减振结构的建模设计、提高可靠性和效率、减振延寿等方面提供理论和技术支持。

1 旋转叶片干摩擦阻尼器动力学建模

1.1 旋转叶片干摩擦阻尼器结构模型

根据叶片干摩擦阻尼结构形式不同，旋转叶片干摩擦阻尼可分为叶冠/凸肩、叶片缘板下摩擦阻尼器、叶片根部(榫头/榫槽)连接、拉筋等。涡轮叶片主要采用叶冠与缘板阻尼块，叶冠/凸肩阻尼主要应用于风扇/压气机转子叶片。众多学者通过不断完善结构模型和分析方法，开展了叶片阻尼结构的动力学特性研究。

1.1.1 叶冠/凸肩结构

航空发动机涡轮叶片采用叶冠设计能够明显改善涡轮性能和振动特性。相邻叶片的叶冠抵紧，并在工作中始终保持一定紧度，利用工作时叶片的反扭变形,使两个锯齿的工作面接触更加压紧,整圈叶片通过叶冠相互作用，并在离心力场中连成一个整体,借助接触面上的接触力和干摩擦力，提高带冠叶片的刚度，可以减小叶片扭转变形和弯曲变形；当叶片产生振动时，相邻叶冠间产生摩擦可以吸收振动能量,起到减振作用[4-5]。

S.T.Choi等[6]将变截面预扭叶片模化为Timoshenko梁，用2个平动弹簧和3个转动弹簧模拟叶片的约束，将叶冠近似为梁顶部的弹簧，提出了涡轮叶片振动分析的修正积分方法(MDQM)，对叶片约束进行动力学分析。

任兴民等[8]建立了欧拉-贝努利梁-质量-弹簧模型来模拟带平行四边形叶冠的叶片。将系统放入转速引起的离心力场中，研究旋转状态下带冠叶片的动力特性；推导出了考虑离心力、气流激振力及碰摩复合作用的系统动力学方程；基于推导出的方程，研究了叶冠接触角、气流激振力、摩擦因数、刚度比和间隙等参数对统稳态响应的影响规律。

水权交易市场的发展一定程度上得益于水资源商品说的影响，而水资源商品说则受到水市场理论的影响。水市场理论以新自由主义为导向，认为水与其他产品一样也是一种经济商品，政府应该用经济原则制定水权的分配。随着这一思想的影响范围越来越大，水资源法律与政策越来越多地强调水的商品属性。人们之所以越来越接受水资源的商品化，大致受到如下因素的影响：第一，水资源越来越稀缺，使得水资源的高效使用日趋迫切，要实现这一目标需要借助水资源的价格机制，并配以合理的水资源管理制度。第二，不断发展的城镇化导致政府需要将农业用水用于满足不断增加的城市需要，这种情况下市场机制看似是政治上最可行的水资源分配机制。

谢永慧等[7]采用扭曲梁单元模型，推导了阻尼围带的刚度和阻尼矩阵，建立了阻尼围带长叶片振动分析模型，采用波传递方法分析了整圈叶片的振动特性。

戴望舒，出生于1905年，享年四十五岁。 诗人的一生有过多次创作，数量高达九十多首，其中《雨巷》这首现代诗写于1928年，是一首兼具乐感和朦胧缥缈意象的、具有象征意义的诗，而这种种也促成了它独具代表性的地位。而且伴着这首诗的发表和传播，戴望舒也获得了“雨巷诗人”的佳誉。

陈璐璐等[9]通过数值计算方法研究凸肩径向/轴向位置、啮合角等结构设计参数对振动特性的影响。凸肩阻尼结构叶片示意图如图1所示[9]。提出啮合角对叶片共振频率的影响远小于凸肩径向/轴向位置，啮合角和初始过盈量对一阶共振频率的影响较小，但它们共同影响接触面的初始正压力，进而决定叶片共振应力的幅值。

  

图1 凸肩阻尼结构叶片示意图

 

Fig.1 Scheme of shrouded blade

1.1.2 缘板阻尼结构

由于叶片工作时工况的复杂性及工艺、装配等因素的影响，实际工作中可能会有凸肩对某些振型未产生减振作用，另外，为了减少气动损失并提高强度，最好采用无凸肩叶片设计，因此发展了缘板阻尼结构。在相邻叶片缘板内侧增加了阻尼结构设计，该结构同时产生阻尼及封严的双重作用，如图2所示[10]。郝燕平等[10-13]、单颖春等[14-15]分析了干摩擦阻尼块在叶片减振方面的应用与发展，并试验研究了缘板摩擦阻尼器的减振效果。

  

图2 缘板阻尼器

 

Fig.2 Under-platform damper

1.1.3 叶片阻尼结构的简化

(1) 数值积分法

叶片阻尼结构形式多样，形状、紧度、接触面积等参数使得动力学建模变得复杂，因此有必要对叶片阻尼结构形式进行简化，即叶片-地(B-G)型和叶片-叶片(B-B)型。B-G型阻尼器一端与叶片摩擦而另一端则与刚度较大的零件(例如轮盘等)相连。叶片定位挡圈的摩擦阻尼及叶片根部与盘连接面的摩擦阻尼可划为此类型；B-B型阻尼器的两端与相邻的两个叶片摩擦接触，叶片与阻尼器之间的相对运动与相邻叶片间的相对运动密切相关，叶片凸肩摩擦、叶冠摩擦及缘板摩擦阻尼器都属于这种类型。在动力学分析中，B-B型计算要考虑相邻叶片间的相对运动，可通过数学方法转化为B-G型[16-17]，因此近年来多数以B-G型摩擦阻尼块进行叶片阻尼结构的简化，如图3所示[16]。

  

图3 B-G型叶片阻尼结构模型

 

Fig.3 Blade-Ground model of damped blade

1.2 干摩擦阻尼数学模型

由于摩擦过程的复杂性，目前还没有一种摩擦定律可以完整描述与摩擦有关的所有现象，而建立科学、准确的干摩擦阻尼模型是解决旋转叶片减振分析的关键，干摩擦阻尼系统如图4所示。目前用于描述接触面上作用的干摩擦数学模型主要有两种：Coulomb摩擦模型、“滞后”弹簧摩擦模型。

  

图4 干摩擦阻尼系统

 

Fig.4 Dry friction damper

1.2.1 Coulomb摩擦模型

Coulomb摩擦模型是经典摩擦定律，如图5(a)所示，其力学模型如图5(b)所示，模型中只有摩擦系数和正压力两个参数，未考虑滑动时摩擦面的变形，阻尼器视为刚体，未考虑接触面的刚度，摩擦力是不连续的，在讨论仅有滑动条件下的力学关系较为准确，不适用于相对位移较小的情况。

  

(a) Coulomb干摩擦模型

  

(b) Coulomb干摩擦力学模型

 

图5 Coulomb干摩擦模型及其力学模型

 

Fig.5 Coulomb dry friction model and it’s mechanical model

1.2.2 “滞后”弹簧摩擦模型

何尚文等[28]采用具有弹性剪切层的微滑移模型对B-G型叶片缘板阻尼器的减振特性进行了研究。徐自力等[29-30]采用Csaba微滑移摩擦模型研究了结构参数对叶片减振效应影响，为阻尼器设计提供了理论依据。上官博等[31]发展了一种能够考虑接触面摩擦运动过程中正压力随时间变化的微滑移干摩擦模型。

“滞后”弹簧模型相当于在Coulomb摩擦模型上串联一个弹簧，如图6(a)所示。假设位移x正弦变化时，“滞后”弹簧模型的力与位移的关系轨迹呈闭合的平行四边形，如图6(b)所示。在发动机叶片的一个振动周期内，相当长的时间内摩擦阻尼器是处于粘着(stick)状态[10]，从而阻尼的刚度会对叶片的动力响应产生较大的影响，因此在建立叶片摩擦阻尼器数学模型时必须将阻尼器的刚度加以考虑。L.E.Goodman率先考虑了接触面刚度，认为接触面之间的滑移不是突然发生的，当滑动载荷小于临界摩擦力时，接触点存在一定的弹性变形，叶片仍可以存在一定的振幅，只有当叶片振幅过大，滑动载荷大于摩擦力的时候，摩擦接触点之间才产生相对滑移[18-19]。A.Sinha[20]最早将这种模型用于叶片的摩擦阻尼计算中，并用这种模型对带B-G型摩擦阻尼器的叶片进行了法向正压力的优化研究。

  

(a) “滞后”弹簧摩擦模型

  

(b) “滞后”弹簧摩擦力学模型

 

图6 “滞后”弹簧摩擦模型及其力学模型

 

Fig.6 Hysteretic spring friction model and it’s mechanical model

1.2.3 其他摩擦模型

除了基于传统Coulomb摩擦定律构造的摩擦模型，N.Oden提出了一种积分形式的非局部非线性摩擦定律。A.V.Srinivasan和B.N.Cassenti也对此模型作过研究，采用各向异性权函数对非局部库仑摩擦定律做了修正，A.V.Srinivasan提出了根据摩擦面的相对位移计算摩擦力的方法[21]。亦有学者还考虑了一种摩擦力大小随振动位移、振动速度变化的摩擦模型[22-24]。

创新速度与宏观政策环境、市场竞争激烈程度、产业发展、企业创新资源与效益等多种因素有关。产业创新速度过低，说明创新资源投入不够，创新效益必然不好。产业创新速度过快，创新资源大量投入，如果不能协调好资源分配，做好创新管理，避免创新风险，往往也不容易产生期望的创新结果。因此，产业创新速度与创新效益之间可能存在倒U型的非线性关系，中等创新速度对产业创新效益的作用最大。同时，产业创新速度存在门槛效应，即在不同的产业创新速度门槛水平下，产业创新速度的弹性系数大小可能是不一样的。

1.3 干摩擦阻尼接触模型

叶片的接触是面接触或线接触，可以把干摩擦阻尼接触模型分为宏滑动模型和微滑动模型。

1.3.1 宏滑动模型

干摩擦阻尼系统在数学上是一个复杂的强非线性系统，通常只有个别简单模型可以求得解析解(例如单自由度干摩擦阻尼系统中不考虑接触刚度的情况)，其他绝大多数模型的分析只能依赖于数值计算。计算方法可以分为数值积分法、谐波平衡法、时频转换法。

宏滑动模型-Coulomb模型描述的是理想情况下的干摩擦模型，难以准确估计摩擦阻尼的减振效果；宏滑动模型-考虑接触刚度模型中，当接触面间的正压力较小时，应用这种模型所得的计算结果与试验结果吻合较好。

1.3.2 微滑动模型

(3)金融结构通过促进人才流动加速技术转移和扩散。Alfaro et al的研究表明，金融市场的发展对人力资本的成长和先进技术的吸收具有显著的正向作用。[23]王永齐则认为金融市场效率将增强资本的可获得性，促进R&D企业内部人力资本学习水平上升,进而提高人力资本由R&D企业流出转而建立自己的企业,从而加速技术扩散。[24]李平和许家云的研究进一步佐证了这一传导途径，他们采用中国1997—2008年30个省份的面板数据检验了金融结构对海归归国创业的影响，得出金融市场通过鼓励海归创业，促进技术转移和扩散效果，最终加速了中国技术进步和高新产业发展，而金融中介这一效果并不明显。[25]

为了解决正压力较大时整体滑移模型的局限性，准确描述接触面上应力分布不均，学者们提出了多个接触点描述接触面摩擦接触特性的模型-微滑动模型(如图7所示[25])，微动滑移模型将接触界面离散成多个接触点对，分别求解各个接触点对的运动状态以及由其产生的摩擦约束力，较为精细地描述摩擦接触面的摩擦状态。

  

图7 并联微动滑移模型

 

Fig.7 Parallel microslip model

叶片振动可能只会导致部分接触点发生滑移，而其他接触点扔保持粘滞状态。当外力进一步增加后必然会使整个区域开始整体滑动。微动滑移模型主要有串联、并联两种形式，并联微滑模型中，摩擦力表示为叶片位移的函数，比串联模型更加适合于进行动力分析，工程应用中通常选择这种模型进行研究[25-27]。实际上，微观滑动(即部分滑动部分黏滞的接触现象)对共振响应的抑制比宏观滑移要好[25]。

比对两组患者的胃动力学指标,实施联合治疗的研究组更优,与参照组比对后差异呈P<0.05,产生了统计学意义,表1为详细数据,展开如下。

中国的饮食、装饰和城市作为有形的中国元素，体现了威廉斯为代表的美国普通作家对中国文化的理解与接受。无论是《车》剧里的中国佬铺子里的炒杂碎，还是《夜》剧中来自上海的中国厨师，都表明了中国菜对包括威廉斯在内的普通美国人的吸引力。

婚礼上，许诺说完那句“我愿意”，面色沉郁，完全没有一个新郎该有的意气风发。仪式结束，喜宴开始，他就拼了命地喝酒，拦也拦不住，最后，他喝得大醉，被送往医院，洗完胃，打上吊针之后，恢复了些意识，嘴里开始喃喃自语。

1.4 接触面运动模型

叶片实际工作中，除了弯曲振动，还可能发生扭转振动和耦合振动，因此根据相互运动形式不同，接触运动模型分为一维接触模型、二维接触模型、三维接触模型。

(1) 一维接触模型：表征叶片以单纯的弯曲振型振动时，叶片与阻尼块的相互运动在一条直线上。国内外学者对此类模型研究已取得了丰硕成果[32-34]，并已得到广泛应用[35]，然而，随着研究深入，一维摩擦接触模型不能求解叶片阻尼结构的耦合振动问题的局限性愈加明显。

(2) 二维接触模型：为了描述叶片的扭转振动和耦合振动，必须采用二维接触模型表述接触点的特性。该模型中，假设叶片的接触点运动轨迹可能是圆或者椭圆，阻尼块上接触点的运动轨迹分别为圆或者平面不规则的闭合曲线[36]，然而在复杂的周期性激励下，叶片的运动轨迹很可能不是圆或者椭圆，K.Y.Sanliturk等[37]提出了一种通过跟踪触点运动轨迹，得到界面约束力的二维干摩擦接触模型。

(3) 三维接触模型：在二维接触模型的基础上，考虑接触面沿法向的相对运动，发展了三维干摩擦接触模型，如图8所示。这种模型可以考虑阻尼块形状的影响，但比较复杂，且模型沿法向的变形与切向和轴向相比极小，在建模中应用较少。

  

图8 三维干摩擦接触数值模型

 

Fig.8 Three dimension contacting numerical model of dry friction

2 旋转叶片干摩擦阻尼结构减振特性分析方法

宏滑动模型是一种单点接触模型，这种模型假定整个摩擦接触面上的应力、应变场都相等。即在外力的作用下，整个摩擦面同时滑动(slip)或粘着(stuck)，整个摩擦面各点的接触状态及产生的摩擦力即可等价为用一个点的状态和力来表示。按照是否考虑接触面的刚度又分为宏滑动模型-Coulomb模型和宏滑动模型-考虑接触刚度模型。

进一步的简单效应检验发现，在低收入组，高近邻信任组的余额(M=5134.02,SD=2191.37)会显著高于低近邻信任组而在高收入组，不同信任水平群体间的家庭余额不存在显著差异，研究结果支持了研究假设。

(3) 时频转换法

(2) 谐波平衡法

与此同时“现代艺术”和“新建筑运动”的产生和发展，也为现代美术馆的产生奠定了基础。新建筑运动提倡的“形式追随功能”，使建筑师开始了对美术馆教育功能的思考；现代艺术的介入也对美术馆展示空间提出了新的要求。在这一时代背景下，具有纪念性的庙堂空间形态与具有消费属性的市场空间形态走向“合流”。

谐波平衡法基于频域计算，假设叶片受到简谐激励时，叶片的振动主要表现为基频振动，同时只保留摩擦力傅里叶级数展开式中的一次项，从而可将干摩擦阻尼系统的非线性微分方程转化为非线性代数方程进行求解。Wang J H等[39,41]采用一阶谐波平衡法对简单干摩擦阻尼系统进行了深入地研究，其研究结果表明，一阶谐波平衡法对于一些简单的干摩擦阻尼系统能够获得较高的计算精度，且其计算效率远远高于直接积分法。为了进一步提高精度，C.Pierre等[42]提出了考虑系统高阶谐波影响的增量谐波平衡法，但是该方法在计算效率上相对于直接积分法并无优势。直到T.M.Cameron等[43]提出求解非线性系统的时频转换法，才使得干摩擦阻尼系统的频域响应求解方法获得了突破性的进展。

5．中国在研究时间上整体较日本滞后，研究成果较少，层次不是很高，尤其系统性、整体性研究较日本相差很多。

数值积分法基于时域计算，跟踪系统响应的时间历程，为了能够准确反映摩擦面粘滞状态与滑动状态之间的转换，在状态转换点附件需要采用较小的时间步长以保证计算的准确性[38-39]，计算效率不高，常用于检验其他计算方法的正确性。梁明轩等[40]采用数值积分法研究了质量偏心和转速对系统非线性动力学响应的影响，建立了内燃机曲轴轴系弯扭耦合运动微分方程，运用谐波平衡法获得了系统幅频特性，结果表明，谐波平衡法与数值积分法得到的结果吻合较好。

时频转换法综合了时域上直接积分法和频域上谐波平衡法各自的优点，充分利用了在频域中求解代数方程避免卷积运算的高效性和时域中计算非线性力的便利性。J.Guillen[44]和O.Poudou等[45-46]提出了基于时频转换的高阶谐波平衡法，并将该方法用于航空发动机失谐叶盘振动问题的研究中。S.Nacivet等[47]和D.Laxalde等[48]基于时频转换的思想，提出了“动态拉格朗日法”，并对带阻尼环的整体叶盘结构系统进行了较为详细地分析。这两种方法已经成为目前国际上进行干摩擦阻尼系统响应计算的主流分析方法。A.Herzog等[49]和M.Krack等[50]对这两种方法进行了对比，表明这两种方法在计算效率、数值迭代稳定性等方面具有各自的优势。

农户对贷款的风险管控意识不强，对民间借贷过程中隐含的风险意识不到位，对借贷中存在的法律知识认识不清。而且目前我国还缺乏规范农村金融服务的法律法规，现有的只是一些针对银行业金融发展的指导意见和管理规定，没有具体的实施细则，没有可操作性，不具有明显的法律效率。尤其是在农业气候保险、农业担保、依托和租赁等方面，我国还存在明显的法律盲区[4]，没有明确的法律法规来保障农村信贷的发展。

国内的学者也开展了基于时频转换的高效算法研究。李琳等[51]采用将时频转换法与高阶谐波平衡法相结合的方法对典型航空发动机叶片缘板阻尼器宽频多阶次激励的减振效果进行计算与分析，提出在航空发动机中宽频多阶次激励下的干摩擦阻尼系统进行分析计算时需要保留非线性力的高阶谐波成分，才能获得准确的结算结果。

九十年代初期，我国教育事业开启了波澜壮阔的改革序幕，特别是以党中央、国务院名义印发的中国教育和改革发展纲要（中发〔1993〕3号）奠定了我国教育改革发展的目标、方向和路径。该文件指出，教育是社会主义现代化建设的基础，要经过几十年的努力，实现教育现代化。在这个文件中，职业教育被赋予了重要作用，是现代教育的“重要组成部分”，特别是明确地把职业技术教育的重要性与工业化、现代化结合起来，是“重要支柱”，这是国家层面第一次把现代化和职业教育结合在一起，强调了职业教育是现代教育，明确其对现代化建设的重要作用。

何尚文等[52]提出一种新的等效线性方法分析干摩擦缘板阻尼系统，将干摩擦力傅里叶分解后，考虑三次谐波用于修正1阶谐波解。丁千等[53]研究了多谐波激励下干摩擦阻尼叶片的振动特性，用平均法推导了系统低阶谐波共振下的稳态响应方程，分析初始压力对抑制叶片共振响应的效果。卢娜等[54]参考实验结果将正压力过大时干摩擦力与位移简化为线性关系，对整体滑动模型进行完善。在考虑了阻尼器刚度系数、接触面正压力以及外激励幅值等的影响因素下，结合一次谐波平衡法对缘板干摩擦阻尼器进行了仿真分析。张亮等[55]采用谐波平衡法对单个扇区三自由度整周失谐叶-盘进行振动特性分析，讨论了叶根干摩擦对失谐叶盘系统振动特性的影响。

3 研究展望

在借鉴成熟摩擦接触理论的基础上，提出多种带冠/凸肩叶片、缘板阻尼叶片模型，将接触处理成等效刚度、等效阻尼后，建立动力学方程或者进行有限元数值计算，还有部分学者不断完善摩擦接触理论，建立更为丰富的干摩擦阻尼数学模型和接触模型，形成非线性振动响应求解方法，在一定范围内为减振结构的建模设计、提高可靠性和效率、减振延寿等方面提供理论和技术支持。

通过该模拟曲线斜率的计算，可以算出吸附焓变量ΔH。吉布斯焓变ΔG可以根据吉布斯吸附等温公式计算出吸附吉布斯能变公式：ΔG=-nRT，n为特征常数。吸附过程中的热力学的熵变可以根据吉布斯 - 亥姆霍兹公式计算得出：ΔS=（ΔH-ΔG）/T，H-103树脂吸附Cl-过程的热力学参数计算数据见表4。

但考虑到不同的叶片干摩擦阻尼减振的复杂情况，例如可能出现的多叶片干摩擦阻尼减振、复杂激励、干摩擦接触时变性、摩擦生热、阻尼变形等，关于叶片干摩擦阻尼减振过程的建模，仍需要考虑更多的影响因素，进一步研究可从以下方面进行：

(1) 对于“滞后”弹簧摩擦模型，从经典库伦摩擦模型出发，考虑一个或多个激励周期内接触界面经历多次接触-脱离运动连续性、摩擦产生的热效应、磨损造成的间隙和接触发生变化等实际情况，修订摩擦过程中的不同运动状态的转换位置，建立适合激励周期内的典型工况的摩擦模型。

(2) 对于微滑动模型，通过求解各个接触点对的运动状态以及由其产生的摩擦约束力，较为精细地描述接触面的摩擦状态。考虑干摩擦接触时的时变性、叶片阻尼块发生变形，找到摩擦因数随叶片阻尼块几何尺寸、转速、材料特性有关的显性表达式，通过试验确定摩擦因数随不同参数的变化规律，用以修订摩擦因数表达式。

(3) 对于接触面运动模型，基于叶片和阻尼块相互运动形式不同，从叶片振型出发，考虑时变刚度和阻尼的存在使一个振动周期内振型发生突变的问题以及摩擦与耦合振动，形成可有效支撑高效动力学分析的二维接触模型。

(4) 减振特性分析方面，在开展基于时频转换的高效算法的基础上，研究非线性摩擦力的高次谐波对振动响应的影响。

(5) 考虑到叶片阻尼结构几何及运动状态的复杂性，基于摩擦接触界面的计算理论来模拟，可以更好地模拟真实的叶片阻尼结构减振，计算可在成熟的商业有限元软件进行，通过设置接触面和目标面，设置接触约束条件，选择接触约束算法，选择一定的接触算法来完成叶片阻尼结构接触动力学计算。

4 结束语

对旋转叶片干摩擦阻尼结构的模型及分析方法进行了比较全面的综述，重点讨论了多种旋转叶片干摩擦阻尼结构动力学建模和减振分析方法。提出应在以下方面进行研究：建立适合激励周期内的典型工况的摩擦模型；通过试验修订摩擦因数表达式；形成可有效支撑高效动力学分析的二维接触模型；研究非线性摩擦力的高次谐波对振动响应的影响。

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