随着全球气候的变暖，北极夏季涌现出了新的通行航道，此类跨北极航道和航线将使得欧、亚、美各洲之间的通行距离大大缩短，从而带来巨大的经济效益。此外，在南极地区目前有30多个国家建设了超过50个科学考察基地，每年收集到了大量科考数据。这些人类活动对两极地区的通信、数据中继、天气预报等服务提出了迫切的需求。

这个评价相当中肯。大学毕业后，赖非参加过发掘诸城呈子遗址、莒县陵阳河大汶口文化墓葬等工作。他和同事苏兆庆蹲在河边洗手的时候，发现了陶尊残片，进而发现了被称为“陵阳古国首领墓葬”的1979陵阳M6号墓葬。陵阳河墓地的发掘轰动了当时的学术界，特别是他们发现的第一个墓葬关系清楚的陶尊图像文字，标志着文明时代的到来。从此之后，中国所有官方文件与教科书中，都明确地告诉全世界，中国有5000年的文明史。

目前对地球特定范围的长期观测通常采用以下几类轨道：①地球同步轨道(GEO)[1]，该轨道的轨道周期与地球自转周期相同，可实现对某一区域连续不间断的覆盖；但由于地球同步轨道只存在于赤道平面，因此仅对热带和温带地区的覆盖性较强，对地球南北极存在覆盖盲区；②太阳同步轨道或极轨道，此类轨道的高度低、倾角大，设计合理的轨道参数卫星可实现对全球的覆盖，但这种覆盖是通过条带拼幅的方式完成的，会导致每一轨成像时间不同，时效性变差；③Molniya(闪电)轨道，该轨道是一类大椭圆轨道，倾角为63.4°或116.6°，一个轨道周期内航天器在远地点附近的停留时间长，可实现对远地点星下点轨迹的长时间观测，俄罗斯等国的部分通信卫星采用了这类轨道，但此类工作方式通常需要3～6颗Molniya轨道卫星交替工作才能实现对极地地区的连续覆盖[2]。为了克服以上几类轨道对极区连续观测存在的缺陷，一些学者提出了特殊的轨道方案[3-4]，如极地Molniya轨道[5]、人工平衡点[6]、极地悬停轨道等。以上这些轨道的维持需要连续推力技术的支持，为延长任务寿命，一些无工质的推进技术如太阳帆等得到了重视，日本的IKAROS任务[7-8]已经验证了太阳帆在空间探测任务中的应用。

极地悬停航天器位于地球自转轴上，即停留在地球的北极或南极上空，其星下点轨迹处于地球北极或南极附近，是实现极地连续观测和覆盖的一种理想轨道。采用极地悬停轨道，单个航天器便可以实现对北极或南极地区的连续覆盖、全视场观测、实时监视、通信和提供合适的气象观测数据。文献[9]最早提出极地悬停的概念，并分析了极地悬停航天器控制力随时间、高度的变化，得出在6.3个地月距离处施加控制加速度最小的结论。文献[10]研究了太阳帆实现地球悬停的平衡位置分布和稳定性分析，并考虑了多种工作模式。文献[11-13]研究了极地悬停燃料最优轨道、太阳帆混合推进控制、轨道转移策略等，并对极地悬停任务和应用模式进行了分析。

本文主要研究极地悬停航天器的轨道特性与任务分析，轨道特性研究方面，由于极地悬停轨道并不是在传统二体模型下的轨道，而是在太阳-地球-飞行器三体模型下的特殊轨道，因此其轨道动力学特性对卫星的运行起着至关重要的作用；任务分析方面，主要研究极地悬停卫星的轨道保持与维护，极轴悬停卫星为了维持其星下点位置，需要频繁对其轨道进行控制，因此需要研究燃料消耗与卫星寿命之间的关系，分析固定悬停和自由悬停两种模式下所需的推力大小和燃料消耗。此外，进一步考虑了纯电推进和太阳帆混合推进两种控制方案，以任务寿命和有效载荷质量为指标对不同方案进行比较分析，为极地悬停航天器的应用研究提供建议。

1 悬停航天器轨道工作原理

1.1 极地悬停航天器轨道动力学模型

在太阳、地球和航天器组成的圆形限制性三体模型(CR3BP)下，太阳和地球绕其系统质心作角速度为ω的圆轨道运动，忽略航天器的质量。如图1所示，旋转坐标系的原点为日地系统的质心轴沿太阳指向地球，轴沿地球绕太阳旋转的角速度方向，轴组成右手系，r1、r2和r分别为质心O指向太阳、地球和航天器的矢量，δeq=23.5°为黄赤交角，d为航天器离地心的距离，t为航天器由冬至位置运行到当前位置的时间。此外，前期计算发现，在本文研究的高度范围内，月球引力摄动加速度仅占总的摄动加速度的0.5%～1%，并且随着航天器与地球距离的增大迅速减小，因此本文忽略了月球引力加速度。

  

图1 极地悬停航天器运动模型Fig.1 Dynamic model of pole-sitter spacecraft

在此系统下，航天器的轨道动力学方程可以表示为：

 

(1)

式中：和m2分别为太阳和地球质量；ax、ay、az分别为连续控制加速度a三个方向的分量。

考虑采用电推进(SEP)结合太阳帆的混合推进方式，则推力加速度为

a=aT+aS

(2)

式中：aT为电推进的推力加速度；aS为太阳帆产生的推力加速度。

 

(3)

式中：β0为任务开始时的光压因子，定义为β0=σ*S/m0参数σ*=1.53×10-3 kg/m2；S为太阳帆的面积；m0和m分别为初始时刻和任意时刻航天器的质量和分别为太阳帆法线方向矢量和太阳方向矢量。如图2所示和的夹角称为锥角α且到在平面的分量的转角为δ，锥角α和转角δ可用来描述太阳帆的姿态。单位矢量在太阳帆轨道坐标系中为

来自法国的Frédéric Métin所做大会报告题为“在数学课堂中运用历史，从幼儿园至教师培训：文字及人工制品”，分属主题3．Métin首先介绍了背景，多年来，法国数学教育研究团队就尝试在数学课堂中使用原始素材，一般而言，对原始素材的使用都集中于文本上，接着提出疑问，对于小学怎么办？在小学，很多学生并不会阅读；然后引出主题，探究在课堂中实施历史素材的若干方法，包括各种图片及实物，比如拼图、用实物辅助计算等，并结合实例进行具体阐述．

 

(4)

  

图2 太阳帆模型Fig.2 Model of solar sails

此外，旋转坐标系A和太阳帆轨道坐标系B之间的转换关系为

 

(5)

式中：uA和uB为矢量u在坐标系A和坐标系B中的表示为由太阳帆轨道坐标系到旋转坐标系的转换矩阵。

电推进推力和航天器质量之间的关系为

 

(6)

式中：为燃料流量，单位kg/s；Isp为比冲，单位s；g0=9.8 m/s2为海平面重力加速度；T为推力，单位N。

1.2 悬停轨道的工作模式

1.2.1 固定悬停高度模式

固定悬停高度是指航天器在整个工作寿命期间，一直处于地球极轴上空固定的位置。假设航天器离地心的距离为d。以冬至日为仿真零时刻t0=0，极地悬停航天器的位置矢量r为

VO H T等人研究了一个基于区块链的即付即用的汽车保险应用，系统透明地保存记录并根据运行时间条件执行智能合同，确保所有与用户有关的数据都被透明地记录下来[4]。XU R等人提出了一种基于区块链的网络媒体数字版权管理方案，该方案可以利用区块链的这些功能来实现网络媒体的有效生产管理、版权管理、交易管理和用户行为管理[5]。

 

(7)

将式(7)求导后代入式(1)可得悬停高度与z方向控制力之间的关系：

 

(8)

式中：另外两轴的控制加速度为

 

(9)

对于固定悬停高度，存在约束条件则可得到3个方向的控制力为

 

(10)

本文推导了极地悬停航天器的悬停轨道动力学模型，分析了固定悬停高度和自由悬停高度两种工作模式下，推力随时间的变化曲线以及一年内的燃料消耗。此外，针对航天器寿命和质量之间的关系，对不同工作模式进行了有效载荷质量和航天器寿命的关系分析。分析得出，虽然自由悬停模式与固定悬停高度工作模式相比，节省了2%的燃料消耗，但有效载荷质量减小，反而不具有优势。此外，通过进一步比较采用纯电推进和混合太阳帆两种控制方式得出，太阳帆能够减少航天器在轨工作的推进剂消耗量，但增加了系统复杂度。在当前的帆膜材料技术条件下不具有提高有效载荷质量的优势，未来随着材料的发展太阳帆技术的优势会逐渐提升。本文的研究可为极地通信、数据中继、极地地区天气等极地悬停航天器的工程实施提供理论支持。

如果航天器有效载荷对悬停高度要求比较宽松，可以放宽对悬停高度的约束，即假设悬停高度可以在一定的范围内变化。此时相当于系统增加了一个自由变量，通过优化该自由变量可以得到一条燃料最省的工作轨道，即求解悬停高度随时间的变化规律，使得工作周期内燃料消耗最少。

进一步针对悬停高度d=0.010 AU处，选取不同的光压因子β0，得到电推进控制加速度如图7所示，随着β0的增大，电推进加速度越小。

 

(11)

式中：系统的动力学方程满足式(8)，系统的周期为一年，采用归一化的单位，则初始和末端时间为

特别针对士兵进行的出院计划安排常常牵涉到许多问题，有时候需要安排军官带回那些逃离军营的士兵，或者是有时候需要军队医院接回他们的伤病员。有时候必须获得通行证以便使已经转移驻防地的士兵重新回归他们的部队。

t0=0, tf=2π

(12)

涉农企业指为农业生产活动的产前、产中和产后过程提供一条龙服务的经济实体，一般指从事农业生产活动、农产品加工、农产品销售服务等活动，如农场、饲料生产厂、农业科技咨询与信息服务公司等，间接提供与农业相关中介、农业信贷和农业科技等服务的企业。涉农企业在一定程度上将农业生产资源进行整合再分配，有效将分布散乱、信息闭塞的农户与市场连接起来，避免农户与市场脱节，是我国农业实现现代化的重要动力。

(13)

优化目标为任务周期内燃料消耗最少，即末端时刻剩余质量最大。

J=-m(tf)

(14)

最优悬停轨道的求解为：求解在时间区间式(12)内的推力加速度，使得式(8)和式(6)组成的动力学系统在满足约束(13)的条件下，性能指标(14)最优。对该问题的求解本文选用基于Gauss伪谱法的PSOPT直接优化工具包求解，优化初值采用固定悬停高度的结果。

当前市面上的料酒主要分为勾兑料酒和酿造料酒，其中勾兑料酒主要是以食用酒精为主体，添加配料而成；而原酿料酒则采用陈年原酿黄酒为主体配制而得，酿造料酒质量明显优于勾兑料酒[1]，但是原酿料酒在其保健营养和提鲜的功能上尚有提升的空间，故开发功能性料酒产品十分有必要。

2 不同模式下的轨道特性仿真及分析

2.1 固定悬停高度

本节针对不同的悬停高度进行了仿真。仿真结果如图3所示，当悬停高度在低于230个地球半径时(d≤0.010 AU)，一年内控制加速度的平均值随着悬停高度的增加急剧下降；接着悬停高度继续增加下降速度变得缓和，控制加速度在约398个地球半径处(d≅0.017 AU)达到最小值0.161 mm/s2；此后，控制加速度随悬停高度增加缓慢增大。

  

图3 控制加速度平均值随悬停高度的变化曲线Fig.3 Mean acceleration variation with altitude

针对控制加速度随时间的变化情况，图4给出了不同悬停高度下，一年内控制加速度随时间的变化曲线，随着悬停高度的变化，控制加速度的极值点位置也随着发生变化。当d<0.018 AU时，控制加速度的极小值出现在冬至和夏至，极大值位于春分和秋分点；随着悬停高度增加，夏至的控制加速度逐

渐增大，在d=0.018 AU附近，夏至时刻变为极大值点，春分和秋分不再是极值点；当d>0.018 AU时，冬至和夏至点变为控制加速度的极大值点，而春分和秋分点变为极小值点。

mSA+mother+mpayload

根据悬停轨道的周期性，状态矢量需要满足的约束和边界条件分别为

  

图4 一年内控制加速度的变化曲线Fig.4 Acceleration variation in one year

图5为仅使用电推进的情况下，在一年的工作时间里，不同比冲条件下燃料消耗随悬停高度的变化曲线，由图可以看出：比冲越大，推进剂消耗量越小。

  

图5 燃质比随悬停高度的变化Fig.5 Rate of fuel and mass variation with altitude

当考虑采用太阳帆和电推进的混合推进方式，并选择电推进的比冲Isp=3000 s，得到的燃料消耗随悬停高度的变化曲线如图6所示。其中β0=0代表仅使用电推进的工况，随着光压因子β0增大，电推进消耗的推进剂质量变小。

  

图6 考虑太阳帆时燃质比随悬停高度的变化Fig.6 Rate of fuel and mass variation with altitude including solar sails

取如下的状态矢量为

  

图7 考虑太阳帆时电推进器加速度时间历程Fig.7 Acceleration variation with time including solar sails

2.2 自由悬停工作轨道

考虑悬停高度变化范围d∈[0.016,0.020] AU，取航天器进入工作轨道的初始质量为m0=1000 kg，只考虑电推进器控制方式时，利用PSOPT软件包计算求解最优悬停工作轨道，轨道状态量与控制曲线见图8～图10所示。

综上所述，在核心素养下展开小学语文读写结合教学，以阅读丰富写作素材，以写作深化阅读理解，提高学生语言理解和运用的能力。利用仿写的教学方式，加深学生对课文的理解，完善自己的写作水平，为培养学生核心素养打下良好的基础。

由以上Ⅰ～Ⅳ，我们可以通过“n边形→n-2个三角形→n-2个矩形→n-2个正方形→一个大正方形”这一过程，实现了将任一多边形Ω剪拼成一个等面积正方形Ω″.

  

图8 最优悬停轨道悬停高度曲线Fig.8 Curves of optimal hover altitude

可以看出，最优轨道的悬停高度变化具有周期性，且周期为半年；最优控制加速度的曲线显示，在冬至和夏至附近控制加速度基本维持在0.180 mm/s2，而在春分和秋分点控制加速度达到最小值，此时航天器距离地球的高度最大。燃料消耗方面，如图11所示，随着工作时间的增加(黄道赤经增大)，航天器质量逐渐减小，最优悬停工作轨道一年时间里消耗推进剂156.7 kg，同样比冲条件下，固定悬停高度工作模式消耗推进剂最小为159.7 kg，燃料消耗减少1.88%。

由于研究区整体海拔相对内陆较低，为64m，该次计算取δD值为-2.0×10-3/100m，经计算研究区地热流体补给区的高程为314～414m之间，该高程是不同高程补给水体的一个平均高程而非绝对高程。

  

图9 最优悬停轨道悬停高度变化率曲线Fig.9 Curves of optimal hover altitude rate

  

图10 最优悬停轨道控制加速度曲线Fig.10 Curves of optimal acceleration

  

图11 最优悬停轨道航天器质量曲线Fig.11 Curves of optimal mass

3 质量核算与寿命分析

可搭载有效载荷的最大质量和工作寿命是评价极地悬停轨道航天器效能的2个重要指标。受运载能力的限制，若工作寿命一定，当给定发射入轨的总质量，可以计算有效载荷的最大允许质量；同理，当给定有效载荷的质量，可以计算发射入轨的最小总质量。

通常，电推进极地悬停航天器主要由以下几部分组成：有效载荷、电推力器、推进剂及储箱、太阳帆板电源系统、其它子系统等。混合推进极地悬停航天器还包括太阳帆和万向节。

嵌入式系统是以应用为核心，软硬件可裁减，适应应用系统对功能、可靠性、成本、体积、功耗等综合性能严格要求的专用计算机系统。它是集软、硬件于一体的可独立工作的“器件”。

m0=mprop+mtank+nthrustersmSEP+

以上仿真中仅考虑了电推进的情况，如果考虑将电推进和太阳帆相结合，先充分利用太阳帆的推力，当太阳帆推力不足时再额外使用电推进，可以大大减少推进剂的消耗。通过优化调整太阳帆的姿态(α,δ)可使每一时刻电推进的推力最小，从而达到燃料最省的效果。

采用m0表示航天器进入悬停工作轨道的总质量，对于纯电推进航天器有：

高血压合并冠心病患者的临床治疗需要控制血压,降低血脂,在治疗的时候不要摄入油腻辛辣的食物[3]。临床上常用利尿剂、血管紧张素转换酶抑制剂、硝酸酯类等药物治疗高血压合并冠心病[4]。高血压合并冠心病的临床发病机制复杂多样,单纯的西医治疗效果不够理想,高血压合并冠心病对中老年健康造成了非常大的危害,对患者的生活质量产生了严重的影响,临床中一直都在寻找可靠有效的治疗方式,临床中可以选择中西结合的治疗方式。

(15)

对于混合推进航天器有：

m0=mprop+mtank+nthrusters(mSEP+

mgimbal)+mSA+mS+mother+mpayload

(16)

航天器各子系统的详细设计参照表 1。其中mprop为极地悬停航天器任务期间消耗的推进剂质量，mf为航天器寿命结束时的质量，mtank为推进剂储箱质量。mSEP为每个电推进器的质量且与工作功率成比例，kSEP为其比例系数，最大工作功率与寿命期间需要提供的最大推力Tmax 相关，ηSEP为电能的转换效率；nthrusters为电推进器的数目且不会影响电推进系统的总质量，mSA为太阳能电池板质量，mother为其它系统的质量，包括结构、热控、通信等分系统，mpayload为有效载荷质量。混合推进方式中，太阳帆与航天器主框架固连，姿态由航天器姿态决定，电推进器的指向需要万向节调整，万向节的质量mgimbal与电推进器的质量成比例；纯电推进工作方式不需要万向节，通过三轴姿态调整改变电推力的指向，ms为太阳帆膜质量。

太阳能电池板为整星提供电源，电推进器是主要的电能负载，其他系统消耗电能约占电推进系统消耗功率的20%。太阳帆膜的密度σS与当前的技术有关，当前技术能达到σS=10 g/m2的水平，随着技术发展水平的提升，未来有望达到σS=5 g/m2。太阳帆的总面积As由光压因子初值β0和质量初值m0确定。

 

表1 航天器子系统设计的质量计算公式Table 1 Formula of mass design forspacecraft subsystem

  

电推进(SEP)混合推进推进剂质量mprop=m0-mf推进剂储箱质量mtank=0.1mpropSEP最大功率Pmax=TmaxIspg02ηSEP,ηSEP=0.7电推进器质量mSEP=(kSEPPmax)/nthrusters太阳能电池板质量mSA=1.2kSAPmax,kSA=1/45kg/W航天器干重mf其它系统mother=0.3mf有效载荷质量mpayload万向节质量mgimbal=0.3mSEP太阳帆膜质量mS=σSAS

3.1 纯电推进方式

假设极地悬停航天器进入工作轨道质量为m0=1000 kg，电推进比冲Isp=3000 s。采用固定悬停高度模式，使用纯电推进方式，有效载荷的质量和悬停高度的关系如图12所示。悬停高度在d=0.017 AU附近有效载荷的质量最大；对于特定任务寿命，满足任务条件的悬停高度有限，任务寿命越长，悬停高度范围越小。

  

图12 固定悬停高度纯电推进方式有效载荷质量Fig.12 Mass of payload in fixed hover altitude using SEP

如果采用燃料最优悬停工作轨道，悬停高度按照2.2节计算的最优轨迹，入轨质量仍选择m0=1000 kg，不同比冲条件下有效载荷质量随任务寿命的关系如图13所示，比冲取值范围为2000～4500 s。首先，有效载荷质量与比冲的关系并不总是正相关的，虽然比冲变大会使推进剂质量减小(图5)，但同时也会导致工作功率的上升，使电推进器和电源模块质量增大。为使有效载荷质量最大，3000～4000 s的比冲范围是比较理想的选择。其次，相同的任务时间，与固定悬停高度工作模式相比，燃料最优工作轨道模式有效载荷的质量反而减小。产生这种结果的原因主要与最大控制加速度的大小有关，比较图4和图10，d∈[0.016,0.020] AU时，固定悬停高度模式下加速度范围为[0.158,0.170] mm/s2，而最优悬停轨道的控制加速度最大达到了0.180 mm/s2，最大控制力的增大使最大工作功率增大，导致电推进器和电源模块质量增大，最终导致有效载荷质量减小。根据图13还能够计算有效载荷固定时，特定比冲条件下对应的寿命，例如比冲3000 s，有效载荷质量为100 kg时，任务寿命为4.4年。

  

图13 燃料最优工作轨道有效载荷质量与任务寿命的关系Fig.13 Relationship between lifetime and payload in optimal hover

3.2 混合推进方式

假设极地悬停航天器进入工作轨道质量为m0=1000 kg，在悬停高度d=0.010 AU处，采用混

合推进方式，电推进比冲为Isp=3000 s，选取不同的光压因子β0，有效载荷质量的变化曲线如图 14所示(任务寿命为3年)。红色虚线代表的是采用纯电推进方式设计的航天器系统的有效载荷质量。利用当前的太阳帆技术σS=10 g/m2，与纯电推进相比有效载荷质量总是减小，原因是引入的太阳帆质量和万向节系统质量始终大于节省的推进剂的质量；而且当光压因子增大时，有效载荷质量不断减小。当未来太阳帆技术达到σS=5 g/m2时，当光压因子β0>0.012时，混合推进方式有效载荷质量大于纯电推进方式，β0=0.030时，有效载荷质量达到最大；光压因子继续增大，有效载荷质量逐渐减小。具体结果参照表2。

  

图14 d=0.010 AU时有效载荷质量随光压因子的变化Fig.14 Mass of payload variation with β0，d=0.010 AU

 

表2 混合推进方式 3年寿命下子系统质量

 

Table 2 Mass of subsystem for 3 years lifetime in hybrid propulsion

  

光压因子推进剂质量/kg最大推力值/mN电推力器质量/kg万向节质量/kg当前技术水平未来技术水平太阳帆质量/kg有效载荷质量/kg太阳帆质量/kg有效载荷质量/kg0(纯电推)524.49226.395.000058.590.005500.09215.790.5927.1832.6828.7016.3445.040.010478.92206.286.5925.9865.3623.4932.6856.170.020444.00190.079.8023.94130.723.9565.3669.300.030416.23176.974.3122.2998.0473.300.040393.47166.269.8120.94130.7270.660.050374.36157.366.0719.82163.4063.12

图15和图16中光压因子β0=0.005，不同任务寿命内有效载荷质量随悬停高度的变化。与图12比较，采用当前技术水平，同样的寿命，有效载荷质量减少；采用未来技术水平时，当寿命较短时，有效载荷质量和纯电推进水平相当；寿命长于5年时，混合推进方式有效载荷质量更大。如图17所示，当提高

需要提到的是，这些方法和策略并不具有规定性，在讲读实践中可以有选择地采用、整合、调整，根据需要进行补充、生发、拓展和创新。

光压因子到0.030时，利用未来的太阳帆技术水平，有效载荷质量要比纯电推方式大，此时太阳帆的尺寸约为140 m×140 m。需要说明的是，本文引入太阳帆后在燃料消耗的计算中未考虑姿态控制的燃料消耗，后续进一步研究可引入姿态控制的燃料消耗。

“你是想到山上找龙洞吧?传说龙洞里藏了很多宝物，是长毛藏进去的，很多人找过，把命丢了还是没找到……这山上有个大碉堡，我年轻时常爬进去，在碉堡里能看见进村和出村的路口，看见村西的大田畈和杨梅溪……”

  

图15 当前技术水平光压因子为0.005时有效载荷随悬停高度的变化Fig.15 Mass of payload variation with altitude β0=0.005(current technology)

  

图16 未来技术水平光压因子为0.005时有效载荷随悬停高度的变化Fig.16 Mass of payload variation with altitude β0=0.005(future technology)

  

图17 未来技术水平光压因子为0.030时有效载荷随悬停高度的变化Fig.17 Mass of payload variation with altitude β0=0.030(future technology)

4 结束语

1.2.2 自由悬停模式

参考文献 (References)

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