1 引言

目标定位跟踪是通过测量目标信号参数估计目标运动状态的过程［1］。常见的信号参数包括方向角（Direction Angle）［2］、到达时间（Time of Arrival，TOA）［3］、多普勒频移（Doppler Frequency Shift）［4］、到达时间差（Time Difference of Arrival，TDOA）［5］和到达频率差（Frequency Difference of Arrival，FDOA）［6］等。与仅使用一种观测参数的定位跟踪体制相比，使用两种或两种以上观测参数的定位跟踪系统能获得更高的定位跟踪精度。本文考虑使用双观测站实现基于到达时差（TDOA）和频差（FDOA）的单个运动目标跟踪。

相比多站系统，双站时频差定位跟踪系统因每个观测时刻仅能获得两个观测量（一个时差和一个频差），无法实现目标单点定位。但双站体制的使用降低了系统对时间同步、频率同步以及信号共识的要求，具有系统复杂度低、部署灵活等优点［7］。考虑到时差频差数据与目标运动状态（位置和速度）之间的非线性关系，双站时频差跟踪系统需使用非线性滤波算法实现目标运动的连续跟踪。

电子问卷以及纸质问卷相结合，其中电子问卷80份，有效填写80份；纸质问卷240份，有效回收222份，共计302份。电子问卷随机选择2个公选课班级，通过Blackboard平台(以下简称“Bb平台”)里面的“测试——问卷调查”模块发放并收集；纸质问卷随机抽取6个大二至大四不同专业的学生，最大限度保证数据的全面性和有效性。

常见的非线性滤波算法包括扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）［8］、无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter，UKF）［9］、容积卡尔曼滤波器（Cubature Kalman Filter，CKF）［10］以及高斯-厄米特卡尔曼滤波器（Gauss-Hermite Kalman Filter，GHKF）［11］等。上述算法使用单个高斯分布逼近目标运动状态的后验概率，计算复杂度低，已被应用于非线性程度较低的跟踪问题。但这些滤波算法同时也存在对初始化误差敏感、滤波收敛慢、易发散等问题。粒子滤波（Particle Filter，PF）［12］和高斯和（Gaussian Sum，GS）滤波［13］是两种较好的处理非线性滤波问题的方法。PF也称为序贯蒙特卡洛（Sequential Monte Carlo，SMC）方法；它使用大量粒子（Particle）以逼近任意后验分布；但对于高维滤波问题，PF所需的粒子数将呈指数增长，计算复杂度较高。相比粒子滤波（PF），高斯和（GS）滤波使用多个高斯分布的加权线性组合逼近目标运动状态的后验分布，复杂度较低；它通常包含多个非线性滤波器（如EKF、CKF等），通过融合各滤波器的状态估计提升估计性能。

针对双站时频差跟踪问题，文献［14］提出了观测量高斯混合表示-扩展卡尔曼滤波（Gaussian Mixture Representation of Measurement-Extended Kalman Filter，GMM-EKF）算法。作为非线性滤波方法，它将时差观测数据的似然函数（Likelihood Function）用高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）近似表示，降低了基于时差的状态更新的非线性程度、以降低算法的复杂度、提高了对目标状态的估计精度。文献［14］的仿真表明：GMM-EKF算法收敛后有较好的估计精度，但其也存在几个可进一步提升的方面。首先，GMM-EKF的时差GMM表示所获得的高斯分量多数集中在双站的连线附近，时差GMM表示不够均匀。其次，因GMM-EKF使用EKF实现基于频差的状态更新，其目标速度估计精度收敛较慢。最后，GMM-EKF使用基于高斯分量融合（Merging）［15］和删除（Pruning）的方法［16］实现对高斯分量总数的控制，其复杂度较高。

阿里很久没见到母亲了，阿里只知道母亲在睡觉。他不明白，母亲为什么老是睡觉。他想不明白，也问不出来。虽然每天早上他去东湖放录音，听母亲的声音，但那到底不是母亲。没有母亲温热的手掌，也没有母亲的笑声，更没有母亲每天跟他说这说那，给他好吃的东西。这个世界跟以前不一样了。母亲一直在睡觉，阿里竟也一直都不进她的房间。阿里不能吵她。

本文在GMM-EKF算法的基础上，提出一种高斯混合模型替代扩展卡尔曼滤波（GMM-Alternative Extended Kalman Filter，GMM-AEKF）算法。该方法引入了时差观测量的均匀GMM表示，以提升算法的的估计精度。GMM-AEKF使用替代扩展卡尔曼滤波（AEKF）［17～18］实现频差的状态更新，加快了算法对目标速度估计精度的收敛速度；此外，采用基于有效样本大小（Effective Sample Size，ESS）［19］的方法进行高斯分量管理，有效的抑制了高斯分量的指数增长，保证了算法计算复杂度的基本恒定。

2 问题描述

为表达简便清楚起见，本文仅考虑二维平面的双站时频差跟踪问题。但本文算法在经过适当修改后可用于三维双站时频差跟踪等场景。

考虑一个在二维平面作近似匀速运动的目标。在kT时刻，目标的运动状态记作其中 T 是系统的采样时间间隔； kT 时刻目标位置；时刻目标速度。目标运动满足如下的近似匀速运动（Constant Velocity，CV）模型［20］。

 

上式中，nk-1是过程噪声，假设为零均值的高斯白噪声，其协方差矩阵为Qk。F是目标运动状态的转移矩阵，其定义为

 

双站定位跟踪系统通过提取目标信号的到达时差（TDOA）和到达频差（FDOA），实现运动目标状态xk的在线估计。在kT时刻，系统获得的时频差观测量分别为

 

其中，‖‖a-b表示矢量a和矢量b的欧氏距离（Euclidean Distance）；f0表示目标信号的载频；c=299792458m/s为信号传播的速度（光速）。s1，k，s2，k，ṡ1，k 和 ṡ2，k 分别为两个观测站在 kT 时刻的位置和速度矢量。

这里，的高斯概率密度函数（Probability Density Function，PDF）在 θk，j处的值。

其中，δk，j是 θk，j的等效观测噪声，其协方差矩阵为Dk，j。从式（4）可以看出：时差更新运算与经典的线性卡尔曼滤波算法相同［8］，在此不再重复计算细节。权重因子等于

3 高斯和-替代扩展卡尔曼滤波算法

与GMM-EKF相同的是：GMM-AEKF算法也基于高斯和滤波框架；它包含了多个滤波器，每个滤波器输出自身对目标运动状态的估计及其协方差矩阵，同时计算该滤波器的权重。GMM-AEKF通过线性加权融合各滤波器的状态估计获得算法输出。在当前观测时刻kT，算法流程如图1所示。本节余下部分将详细描述算法各模块的计算过程。

SEM观察可见，A组釉质表面可见明显的凹坑，部分区域呈蜂窝状改变；B组釉质表面有许多分布不规则的凹坑；C组釉质表面较为平坦，可见少量沉积物；D、E组釉质表面不平坦，在片状及球状沉积物之间可见散在的少量孔隙(图2)。

  

图1 GMM-AEKF算法流程图

3.1 状态预测

 

3.2 时差观测量用均匀GMM表示

应用型本科院校教师应具备过硬的专业能力，在教学能力方面，应具备较强的专业基础知识和师范技能；在工程实践能力方面，应具有实践操作能力和工程教学能力；在国际交流能力方面，应具备一定的外语交流能力和国际视野。只有建设出一支具备较高专业基础知识、应用研究能力、师范技能、实践操作能力等专业能力的师资队伍，才能保证我国应用型本科院校的健康可持续发展。

首先将坐标系平移并旋转，新坐标系的原点位于 kT 时刻双站连线的中点 (s1，k+s2，k)/2 ，s2，k位于新坐标x轴的正半轴。在新坐标系下，假设分割zt，k±3σt所确定两条时差线各产生 J+1个分割点，时差线第 j个分割点的位置；zt，k+3σt对应的时差线第 j个分割点。分割点按它们 x坐标的升序排列，即以下步骤确定：文献［21］的研究表明：时差GMM表示的均匀程度对高斯和（GS）滤波算法性能有显著影响；减小GMM各分量权重之间的差异有助于提升滤波算法的精度。因GMM表示的均匀性主要取决于时差线分割的均匀性，下面给出一种新的时差线均匀分割方法，用以划分zt，k±3σt确定的两条时差线获得时差的均匀GMM表示。

钣金加工工艺是工业领域最为基础的一种工艺，其通过折边机等设备来实现金属的塑性加工，从而将原材料制作成产品供人们使用。由于板金加工工艺对于机械设备、人员操作能力以及加工精度都具有较高的要求，所以高精度的钣金加工工艺属于精密加工、智能工业的领域，甚至成为全球工业现代化发展水平的显著标志。目前国内钣金工艺的整体设备水平相对较低，技术也多采用国外淘汰、半淘汰的技术类型，对于新技术、新工艺具有深切的需求。

1）假设kT时刻，新坐标系下目标位置的先验范 围 为[x k ，min，xk，max] × [y k ，min，yk，max] 。 初 始 化 ：，则 时 差 线zt，k+3σt 的 初 始 化 分 为，其 中 ，坐标可采用固定 y轴坐标并对式（3a）使用二分法获得。若 xk，max-xk，min ＞ yk，max-yk，min ，处理方法类似。至此，完成时差线zt，k+3σt的初始化分。

时差观测量的GMM表示实质是用高斯混合模型（GMM）逼近时差观测对目标位置的似然函数。

2）比较的 x 、y 坐标；若 x（ y）坐标差较大，则将之间的时差线沿 x（y）坐标划分为两段。新增划分点的x（y）坐标等于两端点x（y）坐标的中值。设定J=2，将所获得的划分点按x坐标的升序排列得到

“数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学”（European Summer University on the History and Epistemology in Mathe- matics Education，简称 ESU）是数学史与数学教学的关系（简称HPM）国际研究小组最重要的活动之一，每4年召开一次．第八届“数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学（简称ESU-8）于2018年7月20—24日在挪威奥斯陆城市大学举行．曾任HPM国际研究小组主席的Constantinos Tzanakis、EvelyIle Barbin 及奥斯陆城市大学的Bjørn Smestad等组织了此次会议．

3）对处于之间的每个时差线段分别重复步骤2），可将时差线 z+3σ均

t，kt匀划分为J=4段；对每段时差线继续重复步骤2），可将时差线 zt，k+3σt均匀划分为 J=8段。当J≥Jmax时终止划分。至此，完成了 zt，k+3σt所确定的时差线的均匀划分，共获得J+1个分割点。通过坐标系平移和旋转，计算出这些分割点在原始坐标系下的位置坐标。时差线zt，k-3σt的划分与上述方法类似，不再赘述。

利用划分时差线获得的2(J+1)个分割点，可形成含J个高斯分量的时差线GMM表示。每个分量可记作如下的三元组：是第j个分量的权重，它满足第 j个分量的均值和协方差矩阵，第 j个分量由分割点获得，具体过程可参见文献［22～24］。

3.3 状态更新

与GMM-EKF算法相似的是，本文提出的GMM-AEKF算法的状态更新也包含顺序执行的两个步骤：时差更新和频差更新。

（3）调料：熟悉各种调料的性质，根据各个菜的特点研究调料，使用调料的特征来提高质量，丰富口味，由于调料更新较快，要不断吸取新调料来促进菜品提高，研究调料有利于研究新菜品，丰富菜品口味。

3.3.1 时差更新

哲学，是一个神秘的字眼。大多数人在想起哲学时，都会下意识地认为高不可攀，不可能适合学生学习，只有学富五车的人才有资格阅读，然而，哲学并不是那么的高高在上。儿童哲学绘本就可以颠覆这些人眼中的常识，通过观看儿童哲学绘本，学生也能够观看哲学、思索哲学、感悟哲学，甚至能够悟出一些成年人没有悟出的道理，教师应该运用儿童哲学绘本展开教学。

时差更新利用时差GMM表示所获得的J个高斯分量，更新完成预测后的Nk-1个滤波器的状态估计，共生成 J⋅Nk-1个高斯分量。其中，第g=(n -1)⋅J+j个分量是用时差GMM表示的第 j个分量更新第 n 个滤波器所产生的，记作时差状态更新运算如下。

时差GMM表示的第 j个分量可表示为目标当前时刻运动状态xk的如下线性观测：

经高斯分量管理后，GMM-AEKF算法归一化余下的Nk=essk个高斯分量的权重，并对它们的目标运动状态估计进行融合，已获得当前时刻目标状态的估计x̂k|k及其协方差矩阵Pk|k。

 

基于式（1）和式（3）给出的目标运动线性模型和时频差观测模型，下一节将提出新的滤波算法—GMM-AEKF，以实现运动目标位置和速度的在线估计。

因此，为提高集成学习预测精度，集成学习方法在集成多个弱分类器基础上，主要从控制集成模型复杂度和提升基分类器的差异化两个方面开展研究工作。

 

kT 时刻的观测矢量记作 zk=[zt，k，zf，k]T ；其所包含的观测噪声为mf，k为kT时刻的时频差观测噪声，mk是独立于目标运动的过程噪声nk-1的零均值高斯白噪声，其协方差矩阵为分别为时频差观测噪声的标准差（Standard Deviation）。

3.3.2 频差更新

频差更新通过替代扩展卡尔曼滤波算法（AEKF）实现，它利用当前时刻的频差观测zf，k更新时差更新后获得的 J⋅Nk-1个高斯分量

与经典的EKF算法不同的是：AEKF用x̂t i|i，g 中

包含的目标位置的估计代替频差观测式（式（3b））中的目标位置真实值uk，并认为频差观测 zf，k仅是当前目标速度 u̇k 的函数［17～18］。在上述假设下，频差观测与目标当前时刻运动状态xk之间的函数关系是线性的。因此，使用AEKF实现频差更新与经典线性卡尔曼滤波的状态估计相同；这使得GMM-AEKF算法的时频差状态更新均是线性的。研究表明［17～18，25］：AEKF 比 EKF 等非线性滤波方法收敛速度更快；已应用在利用距离变化率（Range Rate）的甚长程（Very Long Range）雷达跟踪中［17］。

 

频差更新后的高斯分量记为{ξ k，gx̂k|k，g，Pk|k，g} ，其数量仍为 J⋅Nk-1个；权重 ξk，g的计算如下

 

其中，是频差观测误差的标准差。带入原始频差方程（式（3b））并设观测噪声为0所获得的频差估计。至此，GMM-AEKF算法的时频差更新完成。

3.4 高斯分量管理

本实验用以验证3.2节提出的时差观测均匀GMM表示方法的有效性和时差GMM表示的均匀程度对算法估计性能的影响。

 

上式中，[a]表示大于a的最小整数。GMM-AEKF算法剔除个权重最小的高斯分量，从而避免分量指数增长的可能。

两组患者在护理前，焦虑评分差异无统计学意义（P＞0.05）。在护理后，两组患者的焦虑评分均有所好转，但实验组的改善情况更好，两组数据t值检验后，差异有统计学意义（P=0.004 0）（如表1所示）。

 

 

3.5 算法初始化

GMM-AEKF算法利用第一个观测时刻的时差观测量的GMM表示{γ 1 ，j，θ1，j，D1，j} 初始化 J 个滤波器；其中，第 j个滤波器的目标位置估计初始化为 θ1，j，其协方差矩阵设为 D1，j。每个滤波器的目标速度估计均初始化为0，速度估计的协方差矩阵初始化为diag，其中vmax是目标的最大运动速度。

4 仿真实验

本节使用计算机仿真研究第2节提出的GMM-AEKF算法的性能，并与文献［14］中提出的GMM-EKF算法在目标位置和速度估计精度、收敛速度等方面进行比较。仿真场景如图2所示。

仿真设置如下［14］：目标（图中用实心圆形表示）初始时刻位于[0 ， 25]Tkm ；与 x 正半轴成45°做速度为15m/s的匀速直线运动；目标信号载频为10MHz。两个观测站（图中用实心三角形表示）的初始位置分别为均为141m/s，做直角转弯运动。双站时频差定位跟踪系统观测间隔T=5s；跟踪总时长为90s，共19组观测量。时频差观测噪声的标准差分别为0.1us和0.1Hz。

4.1 场景设置

  

图2 仿真场景

4.2 时差GMM表示的均匀程度对估计性能的影响

从上一小节的时频差更新运算中可看出：在每个观测时刻，时差的GMM表示的使用将使高斯分量的数量增加J倍；若不加以控制，GMM-AEKF所包含的高斯分量将呈指数增长。本文采用计算有效样本大小（ESS）的方法来控制高斯分量的数量。当前时刻kT的ESS，可定义为

在某次蒙特卡洛仿真中，初始观测时刻的时差采用3.2节和文献［14，22］提出的方法分别表示为含16个分量的高斯混合模型（GMM）。为表述清楚起见，将目标 y轴坐标的先验范围设定为1～25km。两种时差GMM表示方法获得的高斯分量误差椭圆如图3（a）和图3（b）所示；图中，三角形表示每个高斯分量均值的位置。

  

图3

从图3可以看出：文献［14，22］提出的时差GMM表示为保证相邻的高斯分量切向夹角相同，其生成的分量较多的集中于靠近双站连线的一侧。而本文提出时差GMM均匀表示采用了二分法的思想，在x和y轴方向上使用迭代的方法分割时差线，所获得的高斯分量分布更为均匀。

图4和图5给出了采用文献［14，22］的时差非均匀GMM表示和本文3.2节提出的时差均匀GMM表示的GMM-AEKF算法的目标位置和速度估计精度收敛曲线。GMM-AEKF的估计性能由其500次蒙特卡洛仿真的均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）量化。图中还包括了目标位置和速度估计的克莱默-劳下限（Cramer-Rao lower Bound，CRLB）作为对比参考。在GMM-AEKF算法实现中，设定目标运动的最大速度v=20m/s；每个观测时刻的时差GMM表示包含J=64个高斯分量；高斯分量管理保留max{essk，J}个高斯分量。

对于水泥生产厂家来讲，水泥产品一定要满足水泥产品国标的质量要求，确保各项技术性能的稳定。只有这样，才能保证在外加剂质量不变的前提下与水泥有较好的相容性。

从图4和图5可以看出：随着观测时间的增加，使用时差均匀GMM表示的GMM-AEKF具有更快的估计精度收敛速度，其估计精度更加接近CRLB性能限。上述实验结果与文献［21］的研究结论相吻合。

  

图4 时差均匀和非均匀GMM表示下GMM-AEKF目标位置估计精度收敛曲线

  

图5 时差均匀和非均匀GMM表示下GMM-AEKF目标速度估计精度收敛曲线

4.3 时差GMM表示所含高斯分量的数量对估计性能影响

本实验以使用3.2节的时差均匀GMM表示的GMM-AEKF算法为基础，研究改变时差GMM表示所含的高斯分量的数量对目标状态估计精度的影响。为此，设定时差GMM表示所含的高斯分量分别为J=16、J=32和J=64。图6和图7给出了在上述三种设置下，GMM-AEKF算法的目标位置和速度估计的RMSE收敛曲线，蒙特卡洛仿真次数为500次。

  

图6 时差GMM表示包含不同数量的高斯分量条件下GMM-AEKF目标位置估计精度收敛曲线

从图6和图7可以看出：增加时差GMM表示所包含的高斯分量的数量能提高GMM-AEKF算法目标状态估计精度，这是因为增加高斯分量的数目能更好地逼近时差对目标位置的似然函数。

  

图7 时差GMM表示包含不同数量的高斯分量条件下GMM-AEKF目标速度估计精度收敛曲线

4.4 高斯分量管理对估计性能的影响

本实验比较使用了3.4节提出的基于有效样本大小（ESS）的高斯分量管理的 GMM-EKF［14］和GMM-AEKF算法对目标运动状态的估计性能。图8和图9给出了500次蒙特卡洛仿真中两种算法的目标位置和速度估计RMSE收敛曲线。另外，图中也给出了不使用高斯分量管理的条件下，GMM-EKF和GMM-AEKF算法的估计性能。

  

图8 目标位置估计误差收敛曲线

  

图9 目标速度估计误差收敛曲线

从图8和图9可以看出：GMM-AEKF算法对目标位置的估计精度略逊于GMM-EKF；但其速度收敛相对较快。这源自GMM-AEKF算法使用了替代扩展卡尔曼滤波（AEKF）实现频差更新，它加速了目标速度估计精度的收敛，但因频差所包含的目标位置信息未能充分利用，其位置估计精度有所下降。另外，高斯分量管理除能抑制滤波器数量的指数增长，也有效地避免了高斯和滤波算法在高斯分量数量较大时出现的过离散（Over-dispersion）现象，提升了GMM-EKF和GMM-AEKF算法的估计性能。

5 结语

本文考虑基于双观测站提供的运动目标信号的到达时差（TDOA）和频差（FDOA）观测量实现目标跟踪的问题，提出了目标速度估计精度收敛速度更快的GMM-AEKF算法。新算法引入了时差观测量GMM均匀表示，减小了GMM各分量权重之间差异，提高了算法估计精度。另外，算法引入替代扩展卡尔曼滤波（AEKF），加快了算法估计精度的收敛。最后，GMM-AEKF使用基于有效样本大小（ESS）的高斯分量管理，避免了高斯分量数量的指数增长。计算仿真验证了算法设计的正确性，并表明：GMM-AEKF在速度估计精度收敛速度上，具有一定的优势，适用于对速度估计精度要求较高的目标跟踪场景中。

左小龙道：“就是在大雾里开摩托车啊，很刺激的，神经就像要爆掉了一样，等停下来的时候，你不觉得浑身都很舒服么？”

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