0 引 言

传统卡尔曼滤波(KF)算法的性能会受到模型不确定性的影响，需要通过改善滤波器的设计提升状态估计的鲁棒性.很多带有动力学或测量特性不确定性的系统，都可以用带有不确定性参数的模型来描述.利用扩维卡尔曼滤波(AKF)算法将状态变量和不确定性参数一起进行估计，是削弱模型不确定性影响的有效途径之一.在不确定性参数持续存在并且能够得到准确估计的情况下，应用AKF代替传统KF有助于提升滤波性能.但是，对于很多工程系统，受环境因素和认知水平的制约，模型不确定性的影响是潜在的，不确定性参数出现的时间及其幅度是事先未知的.在模型不确定性不出现的情况下，受不确定性参数估计不准确等因素的影响，AKF的性能反而不如传统KF.基于不确定性模型设计的AKF在出现模型不确定性的情况下能够体现出较强的鲁棒性，然而，在模型准确的情况下，其性能往往是次优的.很难设计一个单独的滤波算法，使其在模型不确定性出现和不出现两种情况下，都能达到理想的滤波性能.

利用多模型自适应估计(MMAE)的理论方法，基于多个模型设计多个并行滤波器，可以提升滤波算法对于不同环境的适应能力.多模型自适应估计算法中包含一系列并行滤波器，每个并行滤波器基于模型集中的一个模型进行设计，用于提供各自的状态估计值，MMAE算法的输出是各个并行滤波器估计值的加权和；对应各个并行滤波器的权值根据相应的测量新息计算得到，反映了模型集中的各个模型与实际系统的相似程度.MMAE算法自提出以来，受到了学术界的广泛重视，并针对多个工程系统开展了应用研究[1-4].在以往的工作中，多模型滤波算法已用于处理模型不确定性[5-8].但是，传统的处理方法要求建立完备的模型集，通常要求模型集具有精细的网格结构，以保障不确定性参数描述的准确程度，并覆盖参数的取值范围；同时，又要求模型集的规模不能太大，尽量避免增大算法的计算量.上述两种要求是相互矛盾的，给MMAE算法的空间应用造成了限制.

本文主要贡献在于：针对系统中潜在不确定性的影响，提出一种基于KF和AKF自适应切换的PMAE算法，其中，KF算法基于正常情况下的精确模型进行设计，而AKF算法基于带有不确定性参数的模型进行设计.PMAE算法可以根据当前应用环境的不同，充分发挥KF和AKF各自的优势，使得整个算法在模型不确定性存在和不存在两种情况下，都能取得令人满意的性能表现.以空间目标监视为例，PMAE算法在应对非合作目标运动潜在的状态突变时，能够达到优于传统算法的估计精度；并且，实施该算法最少仅需要建立两个并行滤波器，适用于星上计算资源受限的情况.

Design and Application of Remote Online Monitoring System for Transformer and Circuit Breaker CHEN Wenrui,CHEN Chuang,LIAO Xiaochun(132)

1 系统模型

考虑如下所示的时变不确定系统：

xk=Fkxk-1+DkΔk+wk

(1)

yk=Hkxk+Gkθk+vk

(2)

其中，k表示离散的时间，xk为状态变量，yk为观测量，wk表示系统噪声，vk表示测量噪声，Fk为状态转移矩阵，Dk是未知输入Δk的增益阵，Hk是观测矩阵，Gk是测量偏差θk的增益阵，未知参数向量Δk和θk可视为模型不确定性.假定wk和vk为不相关的零均值白噪声向量，其方差阵分别为Qk和Rk，假定式中的向量和矩阵具有适当的维数.

KF是实现系统状态估计的传统方法，对于精确模型(Δk=0,θk=0)，KF能够利用一个时段上的观测序列{y1,y2,…,yk}得到状态变量xk的最优估计.KF算法的每次迭代计算包含两个环节，即预测和更新.在预测环节，根据如式(1)所示的动力学模型对状态变量进行预测；在更新环节，先根据观测方程(2)计算预测观测量与实际观测量之差，即测量新息，进而，将测量新息与滤波增益的乘积用于修正状态预测值，得到这一步的状态变量估计值.在系统中不存在模型不确定性的情况下，利用KF能够达到理想的估计精度.但是，存在模型不确定性的情况下，不确定性参数向量Δk和θk会对预测和更新过程产生不利影响，从而影响到最终的状态估计结果.

2 滤波方程

通过对算法进行收敛性分析可知，在系统中未出现模型不确定性的情况下，随着迭代次数k的增加，对应第1个并行滤波器(KF)的权值收敛于1，对应第2个并行滤波器(AKF)的权值收敛于0；此时，KF在PMAE算法中起主导作用，能够利用精确的模型实现最优估计.相反，在系统中出现模型不确定性的情况下，随着迭代次数k的增加，对应第1个并行滤波器的权值收敛于0，对应第2个并行滤波器的权值收敛于1；此时，AKF在PMAE算法中起主导作用，如果不确定性参数能够得到有效估计，将会削弱模型不确定性对状态估计的影响.受篇幅所限，具体收敛性分析过程略，感兴趣的读者可参考文献[4]中的证明思路完成推导.

从目前所掌握的情况来看，林下套种中草药的栽培过程中，无论是方法层面还是技术层面，都必须在地区的考察与分析力度上不断的提升。第一，林下套种中草药的栽培开展，需要的营养较为丰富，而且不同林业与药业的结合，涉及到具体的产品功能与效用的差异性，此时必须加强大量的调查，并且在数据分析过程中保持较高的精准度，甚至是要提前几年开展勘查工作，由此能够对各类动态因素的转变做出良好的把控。第二，林下套种中草药的栽培考察过程中，对于一些特殊情况要做出深入了解，尤其是自然灾害的出现，以及动物对于林业和药业的破坏情况，都要保持在承载范围以内，否则很容易产生严重的损失现象。

KLD-2Z两段式滚筒烘丝机从停机状态启动后，蒸汽经管路进入烘丝机滚筒薄板夹层，排出蒸汽在薄板夹层中形成的冷凝水，同时，随着烘丝机滚筒薄板夹层蒸汽压力的升高，滚筒薄板温度升高。当薄板温度达到预热温度设定值(由薄板夹层蒸汽压力换算得到)后，烘丝机自动切换至准备状态。当烘丝机收到来料信号并延时后，烘丝机由准备状态切换至启动状态，在此过程中，当出口水分仪检测到物料并延时后，烘丝机切换至生产状态；若烘丝机入口烟丝中断，但中断时间小于设定延时，则烘丝机切换至重启状态，若中断时间大于设定延时，则烘丝机切换至收尾状态。待收尾结束后，烘丝机即进入准备状态；当烘

可降解包装材料是指在如阳光、微生物等一定自然条件下，塑料的分子量转变为小分子或在微生物作用下完全分解的材料[11]。根据环保、来源、产量以及价格等多方面的综合考虑，以淀粉为主的动植物天然高分子包装材料成为新型环保材料的首选。玉米秸秆等木质纤维素是最丰富的可再生碳水化合物资源，利用储量丰富、价格低廉的秸秆生产淀粉进行可降解膜生产工艺的研究，既节约了能源又大幅减少了环境污染，降低了食品包装薄膜的生产成本。本试验选取玉米秸秆淀粉、聚乙烯醇、甘油为基础材料制备玉米秸秆淀粉-聚乙烯醇薄膜，并对薄膜进行测试，选出薄膜配方的最佳优化条件。

第1步：初始化

两个并行滤波器状态估计的初始值设为相应的初始权值设为

从图5可以看出，甲基紫的降解率随溶液pH值的增大而增加.pH<7时，增幅较小；而当pH>7时，降解率的增幅较大.这主要与染料的结构及TiO2表面电荷受酸碱性影响有关，当溶液pH值较低时，纳米TiO2颗粒表面电极电势为正，而甲基紫分子则以阳离子形式存在，两者相互排斥，纳米TiO2与甲基紫接触不充分，因此光催化降解率要低一些[7]；当7

第2步：并行滤波

空间目标监视系统的状态变量选为空间目标的位置矢量和速度矢量在地球质心惯性系(ECI)的投影，写为状态变量随时间演化的情况通过如下所示的轨道动力学模型来描述：

两个并行滤波器分别对状态变量估计值进行预测和更新，第1个并行滤波器基于KF进行迭代计算，滤波方程为

 

(3)

 

(4)

第2个并行滤波器基于AKF进行迭代计算，滤波方程为

为了减小算法的计算量，本文提议仅利用两个模型进行设计，在第1个模型中，假定不确定参数向量Δk和θk为零；在第2个模型中，将Δk和θk扩充为状态，用于进行估计.第1个模型适用于系统中未出现模型不确定性的情况，而第2个模型适用于系统中出现模型不确定性的情况.相应地，针对两个模型分别设计KF和AKF算法，作为PMAE的两个并行滤波器；通过两个滤波器的并行解算和加权融合获得总的状态估计.PMAE算法的实施步骤如下所示：

测量新息定义为为可调正定矩阵.基于式(7)所示的自适应率，根据与实际系统相一致的模型设计的并行滤波器将分配得到较大的权值，从而在整个算法中起主导作用.

 

(5)

 

(6)

其中，和分别为预测和更新的状态估计值，Kk为滤波增益，和为不确定性参数的预测值，和为不确定性参数的估计值，KΔ,k和Kθ,k为对应参数估计的滤波增益.

第3步：权值更新

各个并行滤波器的权值根据测量新息进行计算，并进行归一化，该过程的数学表达式为

 

(7)

在仿真过程中，空间目标执行轨道机动的情况下，利用KF和PMAE算法得到的位置估计误差曲线分别如图1～2所示.

 

(8)

按照中国2013胃肠胰神经内分泌肿瘤的分级标准[2]，根据核分裂象计数和Ki67增殖指数将P-NENs分为NET G1级(核分裂数 ≤1个/10HPF，Ki67≤2%)、NET G2级(核分裂数2～20个/10HPF，Ki67为3%～20%)、NET G3级(核分裂数>20个/10HPF，Ki67>20%)、NEC G3级(核分裂数>20个/10HPF，Ki67>20%)。

第4步：加权融合

PMAE算法总的状态估计值是各个并行滤波器状态估计值的加权和，即

 

(9)

第2步到第4步迭代计算，不断对状态估计和滤波权值进行更新，即可得到适应不同应用环境的估计结果.相对于传统的用于处理模型不确定性的MMAE算法，所提方法并未尝试对不确定性参数Δk和θk不同程度的影响进行量化建模，而是设法利用AKF算法得到不确定性参数的估计值和从而实现参数辨识，优势在于计算量相对较小.

MMAE算法可用于处理模型不确定性，传统方法是构建由多个模型组成的模型集，用于描述不确定性参数向量Δk和θk.对于通常的物理系统，不确定性参数向量的各个元素是有界的，因此，可在固定区间内取M个样本，形成多维网格结构，作为不确定性参数向量的数学描述.接下来，建立M个并行滤波器，每个并行滤波器基于模型集中的一个模型进行设计，通过设计自适应率，使得最接近实际系统的模型在状态估计中起主导作用，从而消除模型不确定性的影响，取得令人满意的状态估计结果.显然，模型集中网格的间距越小，对不确定性参数向量进行描述的精细化程度就越高，同时算法的计算量也越大.对于高维系统，传统MMAE算法的计算效率往往较低.

3 空间目标监视

空间目标监视系统可用于在轨服务、碎片治理和威胁预警等，需要解决的基本问题是确定空间目标的位置和速度等运动状态[9-10].对于远距离非合作目标，可通过安装在观测卫星上的照相观测星相机提供空间目标的视线(LOS)矢量测量信息，并通过轨道动力学模型对空间目标的运动状态进行预测.对空间目标实施双LOS矢量观测，能够增强观测量对空间目标位置的几何约束，增强监视系统性能.应当说明，在观测期间，非合作目标可能会实施轨道机动，对于观测卫星而言，目标机动的开始时刻、持续时间和幅度大小均是未知的.

律师调解制度的设立是完善我国诉讼制度和律师制度的一项重要改革及创新，是实现繁简分流、快速高效的司法制度改革目的的必然要求，有利于形成社会矛盾多元化解机制，促进社会和谐与进步。律师调解试点遇到各种问题，既是正常现象也是试点本身的价值所在。要推进律师调解工作深入开展，需要及时总结试点经验和不足，转变现有工作模式，建立与律师调解工作实际相适应的制度，甚至在更高层面推动制度化规范化建设，完善相关立法工作，从而发挥律师调解在矛盾纠纷化解中的更大作用。

 

(10)

 

(11)

其中，μ是地心引力常数， p(rt)用于描述除地球中心引力场之外，其他轨道摄动对空间目标运动的影响，通常包括地球形状摄动、日-月引力摄动、大气阻力摄动和太阳光压摄动等，ut是空间目标发动机推力引起的未知加速度，在此建模为不确定性参数向量的形式.

测量模型可写为

术后共随访6个月，术前及术后7天检测血清炎性因子：IL-6、IL-8的表达水平；术后第3个月时评估两组患儿临床疗效，观察患儿听力水平（各频率听阈），统计两组术后感染等并发症发生情况；术后随访第6个月时统计两组患儿复发率。

 

(12)

其中，ro1和ro2分别表示观测卫星中主星和辅星的位置矢量，假定观测卫星的位置矢量是精确已知的.tk表示根据主观测卫星星上时钟得到的观测时间，Δtjk(j=1,2)表示光从空间目标传播到观测卫星所需的时间.考虑到空间目标监视系统的动力学模型和观测模型都是非线性的，可以采用非线性系统线性化的技术设计PMAE算法中的各个并行滤波器.

4 仿真分析

空间目标和观测卫星的真实轨道数据通过高精度轨道仿真器计算得到，假定它们均在高度约1 000 km、倾角约63°的近圆轨道上运行，星间距离在100～200 km范围内变化.假定观测卫星的位置误差标准差为10 m，安装在观测卫星上的照相观测星相机每秒采样1次，空间目标视线方向测量噪声的标准差为5″.假定空间目标的重量为1 000 kg，安装在空间目标上的星载发动机推力标称值为100 mN，空间目标轨道机动的时间和幅度对于观测卫星而言是事先未知的.

基于给定的初始值，通过高精度轨道外推得到标称轨道数据，并根据观测模型计算得到观测序列；利用滤波算法对仿真模拟得到的观测序列进行处理，通过迭代计算得到状态变量的估计值.将状态变量的估计值与标称数据进行比对，得到空间目标的位置估计误差曲线及其统计值.

利用不同滤波算法处理同一组测量数据，通过数学仿真对比了KF、AK、MMAE和PMAE这4种算法的性能.在KF算法的设计过程中，未考虑空间目标推力加速度ut的影响.在AKF算法中，将不确定性参数矢量ut扩充为状态，与空间目标的位置矢量和速度矢量一起进行估计.显然，KF适用于目标未进行轨道机动的情况，而AKF适用于目标进行轨道机动的情况.基于文献[11]中的描述进行MMAE算法的设计，MMAE基于两个并行KF进行，在第1个KF中，系统噪声方差阵取为标称值，在第2个KF中，人为将系统噪声方差阵的标准差扩大100倍.在PMAE算法中，第1个并行滤波器基于KF进行设计，第2个并行滤波器基于AKF进行设计.

(1)条件：电动汽车以45 km/h的速度匀速行驶在阳光充足，环境温度为30℃的道路上，空调调至最大风速并将出风口开到最大。分别测量压缩机开启时间、乘客以及驾驶员头部温度、空调系统的气体流动速度。

其中，为似然函数

  

图1 存在轨道机动情况下的KF位置估计误差曲线Fig.1 Estimation error of KF in the presence of maneuver

根据图1易知，KF算法性能易受模型不确定性的影响.存在未知加速度ut的情况下，KF的估计误差曲线发生了显著跳变.对比图1和图2易知，采用PMAE算法能够自适应地选择适当的滤波器进行测量数据处理，取得优于KF的估计精度.通过对权值的数值分析可知，在空间目标轨道机动期间，远小于使得AKF在状态估计中起主导作用，从而削弱未知加速度ut的影响.

笔者长在农村，年少时经常放牛，对于这种情景司空见惯，感触很深。当牛走在人的后面时，那么人的位置对于牛来说，就相当于一条不能跨越的红线，等于变相限制了牛的行进速度。当牛的自主权受到极大限制时，人和牛之间就形成了一种支配和被支配关系，这时的牛大多会有消极的情绪表现。当牛走在人的前面时，由于牛自身处在领先的位置，一般会有积极的情绪表现，兴奋地仰头观察周围的环境，并主动寻觅哪里长有好吃的草、好吃的料，一旦发现，定会奋蹄前往。隔日若再放牛，主人只要解开缰绳，牛一定会主动奔向草场，找到食料。

  

图2 存在轨道机动情况下的PMAE 位置估计误差曲线Fig.2 Estimation error of PMAE in the presence of maneuver

为了便于进行对比分析，将KF、AKF、MMAE和PMAE 4种算法的位置估计误差均方根归纳在表1中.存在模型不确定性的情况下，PMAE算法能够实现对空间目标未知加速度的补偿，其性能优于KF；基于方差放大技术设计的MMAE算法在方差阵设计满足应用要求的情况下，也具备部分削弱空间目标轨道机动影响的能力.

空间目标未执行轨道机动的情况下，PMAE算法的位置估计误差曲线如图3所示，相应的权值收敛曲线如图4所示.正如所期望的，对应KF的并行滤波器的权值收敛于1，对应AKF的并行滤波器的权值收敛于0.因此，KF在PMAE估计中起主导作用.

  

图3 不存在轨道机动情况下的PMAE 位置估计误差曲线Fig.3 Estimation error of PMAE in the absence of maneuver

  

图4 不存在轨道机动情况下的PMAE权值收敛Fig.4 Weight convergence for PMAE in the absence of maneuver

受敏感器随机误差等因素的影响，此时AKF中对ut的估计不严格为0，相当于在轨道外推过程中引入了误差，对位置估计产生了不利影响.根据表1易知，PMAE算法的估计精度优于AKF，KF、MMAE和PMAE的精度水平近似一致.PMAE算法中不同仿真条件下的良好表现，使其成为空间目标监视系统滤波器设计的一种理想备选方案.

 

表1 空间目标监视不同滤波算法性能比较Tab.1 Comparison of filtering performance for space surveillance

  

目标轨道机动滤波算法位置误差均方根/m存在KF1208.5AKF136.8MMAE381.1PMAE136.5不存在KF1.9AKF18.0MMAE2.0PMAE1.8

5 结 论

本文提出一种基于KF和AKF相结合的并行模型自适应估计算法，其中，KF算法适用于模型精确的情况，而AKF算法适用于模型中存在不确定性参数的情况.基于上述设计，PMAE算法在系统中存在模型不确定性和不存在模型不确定性两种情况下，均能自适应的选择适当的滤波算法进行处理，从而取得理想的滤波性能.通过数学仿真验证了算法的有效性，仿真结果表明，所提算法能够根据应用环境的不同选择不同的并行滤波器占主导地位，达到了预期的设计效果.

参 考 文 献

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