引言

人们很早就发现化学反应中存在混沌现象[1,2],化学混沌作为混沌学的一个重要分支,已经越来越被人们所关注和重视.所谓化学混沌[3],是指化学反应中某些组份的宏观浓度不规则地随时间变化的现象,这种不规则性与实验条件和仪器误差无关,是由其内部反应机理所决定的.事实上,绝大多数的化学反应速率方程都是非线性的,因此化学反应出现振荡(周期的或者混沌型的)是不足为奇的.1921年,Bray就已发现H2O2被I2-HIO3催化分解的反应中出现振荡[1].1958年,别洛索夫发现,由溴酸钾[KBrO3]、丙二酸[CH2(COOH)2]、硫酸铈[Ce(SO4)2]与硫酸的混合液中,生成物交替出现红色和蓝色.1964年,扎博金斯基用锰或试亚铁灵代替催化剂铈,从而发现了著名的B-Z振荡反应[1].1973年,Ruelle首次在化学反应中发现浓度随着时间做不规则的非周期变化[4].迄今为止,已经在B-Z反应体系等许多化学反应体系中发现了化学混沌.

随着对混沌的不断探索与深入研究,混沌控制也成为广大学者研究的热点之一[5-8].1989年胡伯勒(A.Hubler)首次提出混沌可以被控制,次年,奥特(E.Ott)等通过参数微扰法(OGY法)成功控制了混沌.近年来,混沌控制已经被广泛应用到通信加密、神经网络、计算机等众多领域[9,10].然而,关于化学混沌控制方面的研究相对较少,因此,对Willamowski-Rössler化学系统[9]的控制与同步研究对提高化学反应催化性能、改善混合过程等具有重要意义.

进一步创新水利体制机制。印发了《自治区鼓励和引导非公有制资本参与农田草牧场水利、水土保持建设实施细则（试行）》，会同有关部门印发了《自治区关于加强基层水利服务体系建设的指导意见》，制定印发了《自治区深化小型水利工程管理体制改革工作方案》。

本文在前人工作的基础上,结合现代非线性分析方法分析Willamowski-Rössler模型复杂的动力学机理,对其动力学行为进行详细的仿真模拟.通过自适应控制[11,12]及非线性控制方法使其无量纲系统[13,14]稳定到了平衡点处,采用驱动-响应方法对该系统实现了全局指数同步[15-18],最后通过数值仿真验证其有效性.

1 Willamowski-Rössler系统简介

Willamowski和Rössler第一次提出由化学反应机理产生的化学混沌模型,可由如下动力学方程描述:

(1.1)

式中ki为大于零的常数,表示反应速率.该化学反应体系存在的复杂动力学行为是由其内部反应机理所决定,与实验所处条件及仪器误差无关.

牛宏在文献[9]中,取参数k1=30, a=0.25, k2=1, b=10-4, k3=10, c=10-3, k4=1, d=10-3, k5=16.5和 e=0.5,仿真出了系统(1.1)三维相图(如图1),陈帝伊等学者在文献[14]中对系统(1.1)的无量纲化模型进行了分析与仿真,均验证了该系统混沌行为的存在性.在此基础上,本文研究了当反应速率k4变化时系统(1.1)的数值仿真问题,仿真了系统(1.1)以倍周期分岔途径进入混沌,再由混沌进入周期轨道的动力学行为.模拟了系统发生分歧和混沌的全过程,同时实现了对系统(1.1)的混沌控制与同步.

图1 系统(1.1)的三维相图 Fig.1 Three-dimensional phase diagram of model (1.1)

2 Willamowski-Rössler系统的动力学行为仿真

文献[9]和文献[14],只简单分析了系统(1.1)混沌行为的存在性,并没有给出混沌发生的途径和具体过程.在本节中,我们对系统(1.1)进行了更加详细的数值模拟,固定参数k1=30, a=0.25, k2=1, b=10-4, k3=10, c=10-3, d=10-3, k5=16.5和e=0.5,仿真系统(1.1)在k4取不同值时的吸引子图.同时给出了系统(1.1)的分岔图、最大李雅普指数图、庞加莱截面、返回映射和功率谱,从不同角度反映了系统(1.1)的混沌行为.下面我们对仿真结果总结归纳如下:

(1)当k4<0.5081…时,系统(1.1)是稳定的,如图2(a).

(2)当k4增大到0.5081…时,系统(1.1)第一次发生分岔,出现了图2(b)所示的周期运动.

[11]埃米利奥·布希：《私法教义在共同法中的形成》，载《意大利和外国私法研究》1937年(第27卷)，帕多瓦：Cedam出版社，第296页。

(3)当k4<0.8616…时,系统(1.1)出现了倍周期分岔,在k4=0.9517…时再次出现了倍周期分岔,随后k4在0.9702…, 0.97415…, 0.974996…,等处继续发生分岔,最终在k4=1时,系统(1.1)进入混沌状态,表现为许多不规则轨迹.而

根据自适应控制原理可得到系统(3.1)的受控形式如下:

图2 倍周期分岔到达混沌 Fig.2 Period-doubling bifurcations to chaos

(4)图3(a)给出了系统(1.1)随k4变化的分岔图,从分岔图可以看到系统进入混沌状态的全过程,并且分岔图中的不稳定区间k4∈[0.8616…,1.03…]∪[1.1472…,1.1663]与图3(b)中正的李雅普指数区间是一致的.图4(a)～(c)分别为k4=1时系统(1.1)的庞加莱截面、返回映射和功率谱,图中均显示了系统(1.1)的混沌特征.

通过文献调查和资料查询，分析得出原因：一方面是在初三，各学科基本进入复习阶段，学生已经习惯使用线性的、机械的方式学习和记忆知识；另一方面是教师在课堂上过度重视对知识本身的传授，缺乏示范和指导学生如何运用有效的学习策略应对不同知识的学习，因此导致学生缺乏有效的知识搜索能力，头脑中只有零散的记忆,很容易忘记。

由于飞船紧急自降到了漆吴山的山脚下，轩辕明只能带着几个学生徒步登上山顶。他指着东边那些丘陵说：“书上记载，漆吴山地处东海，我们正望着太阳所在的地方。”

图3 系统(1.1)的分岔图(a)和最大Lyapunov指数图(b) Fig.3 Bifurcation diagram (a) and max Lyapunov exponent (b) of the model (1.1)

(5)当1.03<k4<1.1472…时,混沌突然消失,在图4(d)放大的分岔图中,可以看到系统(1.1)此时进入周期状态.

图4 系统(1.1)的庞加莱截面(a)、返回映射(b)、 功率谱(c)及放大的分岔图(d) Fig.4 Poincare section (a), return map (b), power spectrum (c) and enlarged bifurcation diagram (d) of the model (1.1)

图5 由混沌进入周期解的过程 Fig.5 Process from chaos to periodic motions

(6)随后在k4到达1.1472…时,系统再次进入混沌状态,这是一种间接式混沌,见图5(a).

当k4继续增大,分别在k4等于1.174516…,1.1814…,1.2249…处,系统(1.1)由混沌状态逐渐收缩成极限环,这是一个倒分岔过程,并且数值结果表明其分岔点也满足费根鲍姆常数,如图5(b)～(d).

转变后的五建更加广泛地参与市场竞争，在全国各地摆开了战场。所到之处，力作频出，好戏连台，并在大型储罐安装、大型机组安装、大型电气仪表安装调试等方面，从无到有、由弱变强、由强而精，最终形成了具有自身独特风格的技术优势。

3 Willamowski-Rössler系统的控制

3.1 Willamowski-Rössler系统的自适应控制

为了方便起见,根据数量间的量级关系,将(1.1)式转化为下面的无量纲方程组:

对于误差系统(5.3),当控制器取:

(3.1)

其中a=0.01,其它参数值与(1.1)式达到混沌状态时的取值相同.通过计算,该系统有六个平衡点,分别为:P1(0,0,5.7446),P2(0,0,-5.7446),P3(10,28.3674,1.5326),P4(10,51.4326,-21.5326),P5(-14.5253,0,30.1453),P6(2999.4499,0,0.0055).

可见系统(1.1)分岔点的间隔比趋于极限4.669201…,见图2(c)～(f).

(3.2)

其中,(x0,y0,z0)=(0,0,5.7446),当取P1=30, P2=20, P3=10,时,通过计算可知受控系统(3.2)稳定于平衡点P1.

3.2 Willamowski-Rössler系统的非线性反馈控制

为了方便讨论,作如下变换:

(3.3)

采用驱动-响应的同步方法实现了混沌系统的全局指数同步,并且给出了同步的条件,通过理论分析和数值仿真表明了这些方法的有效性.

(3.4)

构造一个径向无界的Lyapunov函数:

“想要干事、想出政绩无可厚非，上一任的举措如果不符合当前实际，也应及时纠正；但不能为了出政绩都要自己另搞一套。各级领导干部不妨想一想，实现转型升级，关系地方发展全局和未来方向，怎能像儿戏一样改来改去？如果一任市长一张蓝图、后任急于否定前任，发展如何保持连续性和稳定性？”该文一针见血地指出了“新官不理旧事”现象对转型发展的巨大危害。

取 当有<0,则系统(3.4)在任意平衡点处稳定.

4 混沌控制的数值模拟

其中ex=x2-x1,ey=y2-y1,ez=z2-z1.构造一个径向无界的Lyapunov函数:

图6 自适应控制(a)及非线性反馈控制(b)下的系统相图 Fig.6 Phase diagram of the system for self-adaptive control (a) and nonlinear feedback control (b)

图7 受控前系统(3.1)的时间历程图 Fig.7 Time history of the model (3.1) without control

系统(3.1)受控前x,y,z的时间历程如图7所示,系统显示出不稳定的运动状态.取控制时间t为5s,初值x(0)=10,y(0)=5,z(0)=2,对于自适应控制,其受控后的时间历程图如图8(a)所示.由图中可以看出,(x,y,z)分别稳定到了(0,0,5.7446),即系统(3.1)被控制到了平衡点P1处.对于非线性反馈控制,其受控后的时间历程图如图8(b)所示.由图中可以看到在t接近1s时,系统(3.1)也被控制到平衡点P1处.

图8 自适应(a)和非线性反馈控制(b)下系统(3.1)的时间历程图 Fig.8 Time history diagram of the model (3.1) after self-adaptive control (a) and nonlinear feedback control (b)

5 Willamowski-Rössler系统的同步问题

考虑系统(1.1)的同步问题,驱动系统的变量用下标1标注,响应系统的变量用下标2标注.则驱动系统为:

(5.1)

对应的响应系统表示为:

(5.2)

这里μ1, μ2, μ3为要设计的控制函数.

由响应系统减去驱动系统可得到受控的误差动力系统:

为了克服传统软阈值和硬阈值函数存在的缺点,国内外学者对小波阈值函数进行大量研究,提出了很多改进方案或者新的阈值函数。文献[12]提出了一种新的双阈值函数的方法,

(5.3)

本节通过实验对所选控制器加以验证.这里仅取不稳定平衡点P1,其他平衡点可以类似考虑.对于自适应控制,当P1=30,P2=20,P3=10时,系统的相轨迹图如图6(a)所示,可以看到系统的周期轨线被很好地控制在平衡点P1处.对于非线性反馈控制,当P1=-40,P2=5,P3=2时,系统的空间相图如图6(b)所示,其周期轨线也被很好地控制在平衡点P1处.

2.3 超声检测指标异常的283例胎儿中，其中NT增厚但不合并三尖瓣反流或静脉导管a波异常者152例，随访结果为不良妊娠结局胎儿39例，发生率为25.7%(39/152)；NT增厚同时合并三尖瓣反流或静脉导管a波异常共74例，随访结果为不良妊娠结局胎儿33例，发生率为44.6%(33/74)，两组间比较差异有统计学意义(P<0.05)，见表2。

例4宜兴窑紫砂梅花鹿原译：This standing beige boccaro (zisha) deer is craning its neck and holding its head up.With the additions of painted fur and white spots,it is a realistic representation.

选取k>30,有<0,则误差系统(5.3)的零解是全局指数稳定的,从而驱动系统(5.1)和响应系统(5.2)是全局指数同步的.

与其他品种相比，藏羊脂肪含量较低。羊肉的脂肪酸组成，不但影响着羊肉的营养价值，也影响着羊肉的风味。构成羊肉风味的成分很复杂，但脂肪酸对于羊肉风味的作用是明显的。对人体有益的十五烷酸、油酸、共轭亚油酸含量较高，而影响膻味的癸酸含量较低，因此藏羊肉膻味轻，品质上乘，是老少皆宜的绿色保健食品[9]。

6 Willamowski-Rössler系统的同步仿真

我们利用Runge-Kutta算法来验证上面提出的方法的有效性,驱动系统和响应系统的初值分别取(x1(0),y1(0),z1(0))=(17,14,29),(x2(0),y2(0),z2(0))=(25,36,24)

对于选取的控制器,我们选取控制参数k=50作为系统的控制率,可以看出驱动系统(5.1)和响应系统(5.2)很快达到了同步,同步误差很快趋于0(见图9).

图9 控制参数k=50下的同步 Fig.9 Synchronization when k=50

7 总结

本文对Willamowski-Rössler系统的动力学行为进行了详细的数值仿真,仿真结果显示,当k4<0.5081…时系统处于稳定状态,当k4=0.5081…时作周期运动,当k4=0.8616…时系统发生倍周期分岔,k4=0.9517…时再次发生倍周期分岔,最终经由倍周期分岔在k4=1时进入混沌.随后混沌消失,系统进入周期状态,在k4=1.1472…处再次产生混沌吸引子,当k4继续增大,系统由混沌状态逐渐收缩成极限环.

选取该院收治的60例患者为研究对象，在随机分组方式下，将以上患者分为观察组（30例）和对照组（30例），其中观察组的患者中男性为17例，女性为13例，年龄 41～83 岁，平均年龄为（65.34±1.41）岁，而对照组患者中男性为16例，女性为14例，年龄40～82岁，平均年龄为（65.19±1.33）岁，对比两组患者的临床资料，差异无统计学意义（P＞0.05），具有可比性，可进行下方实验。

采用自适应控制和非线性反馈控制的方法将Willamowski-Rössler的无量纲系统控制在平衡点处,通过理论和数值仿真验证了两种方法的可行性.

其中为系统的平衡点.根据非线性反馈控制原理得到系统(3.1)受控形式为:

参 考 文 献

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在沙盘实训课中，教师可以针对学生在课堂上的表现，利用强化理论来影响学生的行为。对于有利于课堂活动的行为给予及时的正强化，比如对成员参与度高、遵守纪律、主动学习的团队，给予表扬、增加平时考核分等。而对于有害于课堂活动的行为给予及时的负强化，达到削弱这种行为的目的，比如对课堂上懒散、参与度不高、迟到等行为的团队及个人给予及时的批评、扣减平时成绩等。

观察组中有1例VAP ，1例气胸，2例二重感染，并发症发生率13.79%；对照组中有5例VAP ，3例气胸，2例二重感染，并发症发生率37.04%。观察组并发症率明显低于对照组，差异有统计学意义（x2=14.258，P＜0.05）。

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