引言

输液管道是一种重要的工程结构,其动力学行为已经得到广泛、深入的研究[1-9].随着科学技术的发展,管道的特征尺寸可被设计得越来越小,在文献[10]中,圆型微管的内径已达1～100 μm的数量级.微尺度管道广泛应用于微机电力学系统以及微流体的传输,例如微流管已应用于谐振器的设计及药物的注射[11,12],微流管喷头已应用于微小平面的书写及打印等等[13,14].为给实际应用提供理论基础,有必要对微尺度流管的动力特性及稳定性进行深入的研究.Fleck等[15]、Lam等[16]及McFarland等[17]的工作表明,微结构具有尺度依赖行为.因此,不能直接对微尺度管应用宏观管理论,需要借助非经典的连续介质力学理论对其加以描述.实验观测表明,对于微结构的扭转、弯曲等,由Yang等[18]所修正的偶应力理论能够成功地估计其尺度效应.Park等[19]运用修正的偶应力理论预测的环氧聚合材料梁的弯曲刚度和实验结果相符合.基于修正的偶应力理论,微梁的自由振动[20]、强迫振动[21]、屈曲[22]、参数振动[23]等相继得到研究.文献[24]建立了微型Mindlin板的非线性动力学方程.在微尺度流管方面,Wang[25]、Xia等[26]分别在输液管的欧拉梁模型和Timoshenko梁模型假设下,考察了不同微尺度情形流速对管道固有频率的影响.文献[27]不仅考虑了管材料的微尺度效应,还引入了管内流体的微尺度因素.Yang等[28]考虑轴向拉伸所导致的几何非线性,基于修正的偶应力理论研究了微管的自由振动.Hosseini等[29]考虑悬臂微管的稳定性问题,研究了微尺度效应对系统频率、临界流速的影响,发现相同条件下,微管较之于宏观管具有更大的频率及更高的临界流速.Bahaadini等[30]进一步研究了耗散等因素对粘弹性碳纳米悬臂管稳定性的影响.

从已有文献来看,在微尺度输液管的动力学建模方面,或者采用两端支撑管的非线性振动方程,或者采用仅适用于分析悬臂管复频率、临界流速的线性振动方程,对于微悬臂管的大振幅非线性振动问题,目前似还没有相应的文献可以参考,因此在非线性建模方面的工作还有待于进一步完善,相应的非线性问题有待于研究.

随着我国经济社会的不断发展和进步，其对于电力的需求在不断增加，如何安全高效地为社会发展提供充足的电能成为电力系统改革的重点目标。而通过应用计算机信息技术实现电力信息化无疑是一个重要的选项，作为计算机技术的一个重要分支，图像识别相信可以在电力信息化的过程中发挥出重要的支撑作用[1]。

本文首先建立了微悬臂输液管平面大振幅振动的微分方程.从无穷维动力系统的角度对其进行了研究,这与通常的基于Galerkin方法研究弹性体的振动有本质区别,包括:通过对线性部分特征值的分析研究了材料长度尺寸参数对管道的前几阶复频率及临界流速对的影响；特别地,运用投影法计算了临界流速处系统的第一李雅普诺夫系数和退化特征值关于流速的变化率；以此为基础论证了分岔的超临界特性,并发现了不同的分岔方向.

制样方法与供直剪试验用试样的制样方法相同.先将压实后的GMZ07膨润土及其掺砂混合物试样用3种浓度NaCl溶液饱和,再将试样切成小块后冷冻干燥.然后利用高精度扫描电镜对不同浓度NaCl的饱和试样进行测试,得到不同浓度NaCl饱和试样的微观结构.

1 力学模型与运动微分方程

如图1所示,长为L的微悬臂输液管,横截面积为Ap,抗弯刚度为EI,单位长度的质量为m,其输送的流体单位长度的质量为M,流速V相对管横截面的形心的连线(管形心线)为常数.管的横截面是对称的,如矩形或圆等.

在管道未变形时,以管形心线所在直线为X轴,管内流体速度方向为X轴正向,悬臂端面为YZ平面,管形心线与YZ平面的交点为原点O,建立参考系O-XYZ(Lagrange坐标系),用以给定管道上物质点未变形时的位形,管道的振动平行于XZ平面；在管道发生变形后,取另一个坐标系o-xyz(Euler坐标系),其与O-XYZ重合,用以刻画管道上物质点的瞬时位形.一个点的变形通过同一质点在非变形和变形状态下坐标的关系来描述[31],令(X,Y,Z)表示某一质点的起始位置,(x,y,z)表示同一质点变形后(设为t时刻)的位置,则该质点的位移可描述为:

计算出的结果一致.上式中的 为管形心线的曲率.

u2(X,Y,Z,t)=y-Y

u3(X,Y,Z,t)=z-Z

(1)

对于细长管的振动,可以采用欧拉-贝努利梁模型,又因管道的振动平行于XZ平面,则(1)式可以写成:

欧拉-贝努利梁理论假设管道横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于管形心线(图2(a)),结合不可伸缩条件(4)可以得到(图2(b):PQ运动到P1Q1):

u2(X,Y,Z,t)=0

u3(X,Y,Z,t)=u3(X,0,0,t)

(2)

其中ψ是管道横截面的转角,它仅是X的函数.将(2)式简写成:

②治疗过程中:成立连贯性健康教育小组,包括主治医师、治疗护士、责任护士与回访护士,并建立责任制和操作规定,严格执行制订好健康教育计划,进行每周回顾及展望未来的健康教育工作,并利用循环管理(PDCA)模式完善连贯性健康教育的路径[3],使患者能够充分知晓此疾病的发病机制与病症特点,做好自我日常护理、纠正不良习惯等,以加强自我防治水平。

u1=u-Zψ, u2=0, u3=w

(3)

可见u、w分别表示点(X,0,0)(其位于管形心线上)在t时刻沿轴向和横向的位移.记未变形时管形心线上一点(X,0,0)距坐标原点的弧长为s,显然s与X相等,为凸显物理意义,在下面的推导中均以s代替X.对于悬臂管,可以认为管形心线在运动过程中是没有伸缩的[5],即:

[1+(∂u/∂s)]2+(∂w/∂s)2=1

(4)

u1(X,Y,Z,t)=u1(X,0,0,t)-Zψ

sinψ=∂w/∂s

(5)

对于微结构的扭转、弯曲等,偶应力理论能够成功地估计其尺度效应[31],其中微元体的应变能密度表达式和通常弹性力学中给出的不同,其不仅是应变张量的函数,而且还包括曲率张量对能量的贡献项.假设制作管的材料的本构关系满足Yang的修正偶应力理论[18],则曲率张量对能量的贡献部分可由含有一个材料长度尺寸参数的项加以刻画.根据文献[18]中的结论,均匀、各向同性线弹性材料区域Ω内的应变能U可以写成:

(6)

其中dv=dsdYdz(下文中如没有其它说明,均是如此),σ和ε分别是应力张量和应变张量,m、 χ分别为偶应力张量的偏部分和对称曲率张量,其相互间的关系如下:

δ(Tp+Tf-U)dt-

(7)

ε=(1/2)[u+(u)T]+(1/2)u·(u)T

(8)

m=2l2Gχ

(9)

χ=(1/2)[θ+(θ)T]

(10)

λ、G为Lamé常数,其中G也就是通常的剪切模量；δ是单位张量；(8)式为Lagrange应变张量,是拉氏梯度算子；l是表征微尺度效应的材料长度尺寸参数,取决于材料性质[25]；u为位移矢量,其分量见(3)式；θ可通过u的旋度表示如下:

θ=(1/2)curl(u)

(11)

由(3)、(11)可计算出(7)～(10),从而得管道的应变能(6)式:

(12)

‴]-

由(4)解出:

(13)

其中( )′=∂( )/∂s.

由(5)式解出:

从而:

w′-ψ=O()

(14)

(15)

(15)式两边关于s求导,得:

(16)

将(13),(14)及(16)代入(12)式,整理可得:

(17)

其中I为管道横截面关于Y轴的惯性矩.

森林中的树木是天然的除尘器。随着工业的不断发展，一些噪音和污染开始出现影响人们的生活，而进行营造林建设具有降低噪音和净化空气的作用。

忽略泊松比,以EI代替(λ+2G)I,势能(17)中与宏观部分对应的项与文献[5]中利用公式:

U=(E/2)Ik2ds

u1(X,Y,Z,t)=x-X

系统的总动能[5]为:

(18)

将势能(17)式及动能(18)式代入描述管道振动的哈密顿方程[1]:

在农田水利工程当中，由于受到传统灌溉技术的影响，在进行灌溉的过程中，仍然存在着一定的影响因素，从以下三方面对节水灌溉技术的影响因素进行分析。

σ=λtr(ε)δ+2Gε

(19)

上式中r=r(s,t)=(s+u,0,w)表示管形心线上一点(s,0,0)在t时刻的位置矢量.下标L表示相应的量在管道自由端s=L处的值,点和撇分别代表∂()/∂t和∂()/∂s.由(19)式最终可得系统的振动方程:

EI(w(4)+4w′w″w‴+w″3+w(4)w′2)+

Apl2G(w(4)+2w′w″w‴

(20a)

及边界条件:

w(0,t)=w′(0,t)=w″(L,t)=w‴(L,t)=0

(20b)

引入如下无量纲量:

将方程(20a)写成无量纲的形式:

(η(4)+4η′η″η‴+η″3+η(4)η′2)+

‴

(21a)

相应地边界条件(20b)为:

η(0,τ)=η′(0,τ)=η″(1,τ)=η‴(1,τ)=0

(21b)

式(21a)的第三行,即含有材料长度尺寸参数l的项,体现了微尺度效应对振动方程的影响,当l=0时(即宏观管),其可转化为文献[6]及文献[31]中的方程.设l0=(1/2)(Apl2G/EI),其为无量纲化的材料长度尺寸参数,用以刻画管道的微尺度效应,其不仅出现在方程的线性项中,可能影响诸如频率等线性特征(具体情况见下文中关于特征值问题的分析)；也出现在方程的非线性项中,可能影响系统的分岔性质(具体情况见下文中关于第一李雅普诺夫系数的计算).此外,(21a)中具有两个非线性的惯性项,相似的情况还可以参见文献[5]等.非线性惯性项的出现使得我们不能直接使用动力系统的相关理论方法,需将其消去.应用摄动法思想[5],整理并略去高阶项后,可计算出:

ν2η′η‴dξ-(1+2l0)η′η(4)+

TGF-β(transforming growth factor beta，转化生长因子β)是一种多功能的多肽类细胞因子，哺乳动物组织中存在3种TGF-β亚型：TGF-β1、TGF-β2和TGF-β3，其中TGF-β1最为重要。几乎体内的所有细胞都能产生TGF-β并存在其受体，参与细胞的分化、增殖、转移、形态的改变以及凋亡等，在机体的免疫调节、细胞生长和分化、肿瘤免疫等发面均起到了重要的作用。人类TGF-β1基因定位于染色体19q3，含有7个外显子，其5ˊ端序列含有5个调控区：1个类增强子活性区，2个负调控区和2个启动子区。

灰色关联度分析法在中药谱效学研究中的应用…………………………………………………… 李 力等（11）：1581

(22)

代入(21a),整理后有:

我国的公共决策机制是与人民当家作主的民主政治制度相适应的，同时也是社会环境和国家治理模式共同作用的结果。坚持人民立场，充分保证人民参与和制定政策的权利，不断维护和增进人民利益。经过新民主主义革命，在马克思主义的指导下，不断总结党和人民的实践经验，我国建立起以中国共产党的领导为核心，人民代表大会制度、政治协商制度、基层群众自治制度、民族区域自治制度为基础的社会主义多元民主参与机制，以中国特色社会主义法律体系为保障的监督机制的“一核多元”格局的公共决策机制，但由于民主政治制度发展不充分，机制的作用没有充分发挥，制度潜能没有充分释放。

唐玄奘，前世为如来二弟子金蝉子，法号“玄奘”，被尊称为“三藏法师”，后世俗称“唐僧”，受大唐皇帝之托组建取经四人组，从东土大唐出发，到西天拜佛求取真经。唐僧作为整个取经团队的领袖，负责整个团队的经营和管理，和车间主任的岗位较为相似。每天要掌控车辆的维修进度，协调车间的日常管理工作，对那些不听话的人员不时还要念念“紧箍咒”。当然除了管理之外还要配合其他部门完成相应工作，关心自己团队人员的工作与生活困难，遇到问题时还要帮忙解决。总的来说唐僧的工作比较繁琐，需要由胆大心细、有责任心的人来做。

横向振动相对于管的长度来说是小量,不妨设其为O(ε)阶的.几何大变形意味着方程中的非线性项会影响系统的定性动力学性质,且在平衡态附近,低阶的非线性项才起决定性的作用,因此本文中仅保留了三次非线性项.对于一对纯虚根失稳情形(悬臂管为此种失稳方式),非线性项对系统振动性态的影响可通过第一李雅普诺夫系数的正负来刻画[4,34],本文2.2节分别对宏观管和微尺度管计算了该系数:若为负,则系统发生超临界的Hopf分岔；若为正,则系统发生亚临界的Hopf分岔.运用哈密顿原理推导振动方程时,求变分的过程会让作用量泛函的次数降低一次,因此在下面的处理中,(12)式将保留到四次项,下文关于动能的推导中亦是如此.

l0[-η′2η(4)+2η′η″η‴+2η″3+

当前成品油市场不乏以次充好，甚至“劣币驱逐良币”的现象存在，建议政府相关部门建立并完善成品油市场监管制度，加大对成品油行业的监管力度，为市场参与者构建公平的竞争环境，促进行业的健康发展，特别是在油品质量、税收缴纳等重点领域进行“查漏补缺”。同时，相关部门也需深入调查研究，充分借鉴相关经验，进一步完善配套保障机制，适时、合理地调整消费税征收方式，充分发挥税收的调节机制，保障市场公平有效地运行。

(23)

2 运动微分方程的研究

当研究非线性系统的一个特定解的稳定性时,首先要考察特定解处的线性化系统(或变分方程),以此确定该解的稳定性及失稳条件.若线性化系统的特征值实部都小于零(或变分方程的特征乘子模小于1),则该解是稳定的；若存在实部大于零的特征值(或模大于1的特征乘子),则该解是不稳定的.在这两种情况下,参数的充分小扰动不会改变相应解的稳定性.若线性化系统具有实部等于零的特征值(或变分方程具有模为1特征乘子),那么当系统的参数发生微小的扰动时,相应解的稳定性就可能发生变化,出现分岔的现象.

我们考察方程(23)在解η=0(平衡点)处的线性化算子的性质,以确定该解的稳定性和分岔条件.

2.1 线性化方程的研究

作变量代换[4]:

(24)

将方程(23)写成一阶微分方程组的形式:

(25)

其中η=(η1,η2),

(26a)

≜

㊸Trouillot，Michel－ Rolph，“The anthropology of the state in the age of globalization”，Current Anthropology，2001．

本模型基于2016年美国预防服务工作组（USPSTF）汇总分析[9]以及PLATO研究[10]获得的数据进行模型假设以及模型构建，利用TreeAge Pro 2011软件，采用长期Markov模型对没有确诊或缺乏CVD症状的患者服用或不服用阿司匹林进行CVD一级预防这两种干预措施作10年期成本-效用分析。长期Markov模型气泡图见图1（图中，单向箭头表示只能从该状态转移至另一状态但无法逆向转移；双向箭头表示两个状态间可以相互转移；弧形箭头表示该状态可自身转移）。

(26b)

L为(25)在解η=0(η1=0,η2=0)处的线性化算子.

(1+2l0)η″η(4)dξ

考察(25)的线性部分:

(27)

根据边界条件(21b)及坐标变换(24)知:

‴2(1,t)=0

2.2 设备相关性因素(device related) 设备相关性因素包括:气管插管、呼吸机管路及鼻饲管等。插管12 h后，细菌在气管插管内壁形成一种生物膜，生理盐水滴注到气管插管、吸痰、咳嗽、体位改变或重新气管插管等造成生物膜脱落，同时口咽部分泌物积存于声门与气囊上腔隙内，引起细菌生长繁殖。当气囊压力不足时，分泌物滑过气囊落入肺部，是VAP难治和反复发生的原因之一［11］。ICU危重患者因长期卧床及留置鼻胃管，胃食管括约肌松弛易致反流，胃反射抑制排空延迟、胃肠张力降低易发生误吸，研究表明，再次插管及误吸使VAP发生增加6倍。此外，呼吸机管路也是细菌定植的重要场所［12-13］。

(28)

应用分离变量法,η=w(ξ)eλτ(w(ξ)=[w1(ξ),w2(ξ)]),代入(27)式,得特征方程:

Lw=λw

(29)

由(28),得边界条件:

‴2(1)=0

(30)

若w不恒为零,称λ为算子L的特征值(边界值问题(29)、(30)).

我们知道,对宏观管(l0=0),λ依赖于流速,且这种依赖关系在质量比β不同时有区别,参见图3.对微尺度管,λ还依赖于材料长度尺寸参数l0,两种不同尺度微管的前四阶复频率随流速的变化关系如图4、图5所示.在图3～图5中,当无量纲流速v=0时,复频率均位于横轴上,和悬臂梁情形一致；当流速增加时,复频率离开横轴,图中的标记“○”、“△”、“□”和“☆”表示相应的复频率在无量纲流速递增地取正整数时的值.之所以分别取l0的值为0、0.1和0.2,原因在于l0为无量纲量,且l0≥0,取0值即表示通常的宏观管,取值0.1和0.2表示微观程度不同的微尺度管,以此探讨不同尺度管的动力学性质的差异.

观察图3～图5可知,不管是哪种质量比,材料长度尺寸参数越大,各阶复频率的虚部在相同的流速值处越大,即管道的固有频率越高,由此可知微尺度效应使结构刚度提高,Park等[19]对微梁，Wang[25]对两端支撑微管，Hosseini等[29]对微悬臂管的研究也得到了类似的结论；不论宏观管或微观管,当流速较小时,λ的实部均小于零,即此时零解是稳定的.当流速增加到某个临界值时,λ包含一对纯虚数特征值,称其为退化特征值,而此时其它的特征值的实部均小于零,因此,当流速在临界值处变化时,系统可能发生颤振.临界值由管的某阶复频率穿越横轴(即实部为零)时对应的流速所确定,对宏观管及l0=0.1和l0=0.2的微尺度管,临界流速与质量比的关系如图6所示.

结合对图3～图5的观察,我们可以得出如下几点性质:首先,临界流速依赖于质量比,当β=0.2时,如图3(a)、图4(a)所示,第二阶复频率最先穿越横轴,且没有接续的再次穿越,从而该质量比对应的临界流速仅有一个(参见图6)；当β=0.67时,如图3(b)、图5(a)所示,第一阶复频率穿越横轴后,在流速变化不大的区间内,又先后两次穿越横轴,从而该质量比对应的临界流速有三个,导致临界流速曲线出现“滞后”现象(参见图6(b)的圆圈处),这里使用“滞后”一词,主要是因为其几何形状与分岔理论中“滞后分岔”的分岔图[34]相似.其次,临界流速依赖于材料长度尺寸参数,这种依赖关系如图6(a)所示:给定质量比,无量纲材料长度尺寸参数l0越大,临界流速越大.最后,由于滞后现象的存在,不同尺度管的临界流速曲线可能会相交(图6(a)).

还需要指出的是,在临界流速处,穿越横轴的频率为临界频率,临界频率—质量比曲线也依赖于材料长度尺寸参数l0,如图7所示,对于宏观管(l0=0)还可参考文献[2].观察易见:给定质量比,无量纲材料长度尺寸参数l0越大,临界频率越大,此与图3(a)、图4(a)以及图3(b)、图5(a)所显示的一致,这也从另一个角度说明了微尺度效应使结构刚度提高.

2.2 分岔类型的确定

在临界流速处,平衡点处的线性化算子具有一对纯虚根特征值,其所对应的特征函数称为“临界模态”,该函数张成的线性空间称为“中心子空间”；除此之外的特征值均具有负实部,相应的特征函数及其张成的线性空间分别称为“稳定模态”和“稳定子空间”.根据中心流形理论[32],存在中心子空间到稳定子空间的一个映射,其图像与中心子空间相切且是一个局部不变流形；平衡点领域内的轨线随时间增大指数地趋于该流形,因此系统的长时性态由系统限制在该流形上的降阶方程决定.当参数变化时,严格来说需要考虑带有参数的中心流形,但是就简单退化而言,仅需在临界点处计算降阶方程的第一李雅普诺夫系数及退化特征值随参数(流速)的变化率,以此获得降阶方程.计算降阶方程时需将原方程向中心子空间(L的退化特征值所对应的不变子空间)上投影[33],一般而言,该空间上的线性无关组构成的基不是标准正交的,因此投影不是简单的作点积,而是要先计算对偶基,然后再与对偶基作点积,这就涉及到共轭算子及其特征函数的计算问题.

记算子L*为L的共轭算子,通过下面的等式给出:

〈Lx, y〉=〈x, L*y〉

(31)

其中〈·,·〉是由下式定义的内积:

(32)

按照共轭算子的定义式(31),我们来计算L的共轭算子L*.通过分部积分法,并利用边界条件(30),得:

(33)

L*作用的函数空间的元素q需满足边界条件:

‴1(1)+

(34)

线性算子的特征值集与其共轭算子的相同,但特征函数却需要另加讨论.按照文献[3]中的方法,可通过算子L的特征函数给出L*的特征函数的计算公式.对(29)中的λ,设相应的w的第二个分量为:

w2(ξ)=A1ea1ξ+A2ea2ξ+A3ea3ξ+A4ea4ξ

设q满足:

以及边界条件(34),则计算q的第一个分量的公式为:

(35)

下面我们用投影法计算系统的第一李雅普诺夫系数.

在临界流速vc处,将方程(25)写成:

(36)

其中L0=L(νc),N0(·)表示L和N(·)在临界流速vc处的具体形式,而B(η,η),C(η,η,η)分别为两重对称线性型和三重对称线性型,分别表示非线性算子N0(·)在零解处的二阶导数和三阶导数,具体计算见下文.

在临界流速处,系统通过一对纯虚根失稳,记为±ω0i.设算子相应于该特征值的特征函数如下:

L0w0=iω0w0, L00=-iω00

(37a)

由算子L(L*)的具体形式(26a),(33),我们可以将特征函数设成:

(37b)

由共轭算子的定义容易验证:

〈0,q0〉=〈w0,0〉=0

又因为±iω0是简单的(代数重数为1),可以证明〈w0,q0〉≠0,从而能够选择适当的w0,q0,使得:

〈w0,q0〉=1

(38)

q0,0也称为w0,0的对偶基或逆变基.算子L0的其它特征值对应的不变子空间为:

Ts={u|〈u,q0〉=0}

据以上分析,可以将L作用的空间作分解:

(39)

其中:

(40)

代入方程(25)可得:

(41)

L0在稳定子空间u上的限制使得(41)第二个方程的特征值均具有负实部,从而存在形如:

(42)

的中心流形.利用中心流形的不变性,可以计算出(42)中的系数,然后代入(41)的第一式,得有限维的降阶方程.实际上,振动方程(25)仅仅有三次非线性项,故B(η,η)≡0.将中心流形表达式(42)代入之中仅会影响高于三次的非线性项,从而降阶方程中的所有三次非线性项为:

(43)

由PB范式理论[34],可以通过可逆的坐标变换消去三次项中的非共振项,最终保留下共振项其系数在标准化(将线性部分的iω0化为i)以后即为第一李雅普诺夫系数,记为l1.最后可以计算出:

(44)

为了具体地计算(44)式,我们在此介绍多重线性型的定义.

设X和Y是Banach空间,Φ:X→Y是一个可微映射,其在点x0∈X处的k阶导数是一个k重对称线性映射:

dk具体形式由下式给出:

(45)

N(η)的每一行可视为向量函数空间X到函数空间Y的可微映射,其中X、Y分别为:

(46a)

下面按照式(45)计算N(η)在点x0=[η1,η2]=[0,0]处的三阶导数.在X的切空间中取定三个向量:

(46b)

(26b)中的第二行N21已经为零,其三阶导算子记为C21(x1,x2,x3)≡0；将(46b)代入(26b)的第一行:

N11(t1x1+t2x2+t3x3)

(47)

上式中的指标i遵循求和约定,例如；有小括号“( )”,就先对小括号里面的进行求和.将(47)式代入(45)式作计算,并将结果记为:

C11(x1,x2,x3)

(48)

其中i,j,k取遍1到3,但是i,j,k两两不相等.

记:

(49)

令x1=x2=x3=η,就可以得到(36)式中的C(η,η,η).由式(37b)和(49)可得:

‴02]+

‴02+

(50)

将其代入式(44)可具体算出从形式上看,材料长度尺寸参数l0对振动方程(21a)(或(23))非线性部分的本质影响,即其对第一李雅普诺夫系数的影响体现在式(50)中第一个元素的最后三行,但是前面关于特征值问题的分析中已经提到,微尺度效应使得系统的临界流速、临界频率提高,从而其对式(37)中的w0、q0有影响,进而影响到l1((44)式),因此l0对非线性部分的本质影响只有通过具体的计算结果来呈现(见图8),而不能仅考虑l1中显含l0的项.

为了确定流速在临界值处变化时退化特征值是否穿越虚轴,将式(29)写成:

L(νc+ε)w(νc+ε)=λ(νc+ε)w(νc+ε)

(51)

其中的量与式(37a)中相关记号的对应关系为:

w0=w(νc), iω0=λ(νc)

对(51)式两边关于ε求导,并令ε=0,得:

用q0点乘上式两边:

(52)

具体计算后得:

≜

(53)

系统在中心流形上的简化方程为:

(54)

其中l1和分别由(44)和(53)两式给出.实际上在式(38)中,可以增大w0的倍数(或缩小w0的倍数),相应地缩小q0的倍数(或增大q0的倍数),而相应的内积仍然为1,这样做并不会影响(53)式的计算,且对(44)式的正负没有影响,因此不影响系统的分岔性质.

第一李雅普诺夫系数l1((44)式)及退化特征值关于流速的变化率((53)式)的实部(记为随质量比的变化曲线分别如图8、图9所示.

由图8可以看出,l0虽然影响l1在给定点处的具体数值,但是并不改变l1的正负性质,即l1始终小于零,因此颤振的性质总是超临界的.图9则显示,除了个别点以外,都是非零的,因此,流速在临界值处变化时,退化特征值穿越虚轴.在大于零的部分,结果可见于相关文献(如[4])中,即流速减小,管道稳定；流速增加,管道发生颤振(图10(a)).在小于零的部分,结合观察临界流速曲线(图6)可知,其对应于该曲线的滞后部分,上面会发生什么样的动力学现象,在以往的文献中并没有提及过.本文的计算结果(图8、图9)表明,在该滞后部分,系统仍然发生超临界Hopf分岔,只是分岔的方向与非滞后部分相反:即当流速增加时管道是稳定的,而当流速减少时,管道发生颤振(图10(b)).综合起来可以得到流速沿着图6(b)的虚线增加时管道的分岔示意图(图10(c)).不管是宏观管还是微尺度管,临界流速曲线上均存在滞后部分,因此此处的分析适用于两者.

另一方面,因为临界流速曲线滞后现象的存在,对应不同l0值的曲线可能相交(图6(a)),交点处两者的流速和质量比的无量纲值分别相同.通过观察可知交点定属于其中一条曲线的滞后部分,且属于另外一条曲线的非滞后部分(图11).由上文的分析可知,当流速变化时,其中一个管道失稳产生颤振(或具有稳定的平凡解),而另一个管道具有稳定的平凡解(或失稳产生颤振).例如,对于具有相同质量比的宏观管(l0=0)与微尺度管(如l0=0.1),当流速在两者共同的临界值处变化时(图11中的虚线段):若流速增加,则宏观管初始构形稳定,微尺度管发生颤振；若流速减少,宏观管发生颤振,微尺度管初始构形稳定,即两者的稳定性变化相反.因此,在实际问题中需要考虑微尺度效应的影响,以便合理地控制流速,避免管道发生颤振.

3 结论

本文首次建立了微悬臂输液管平面大振幅振动的微分方程,并从“无穷维”动力系统的角度对其进行了研究,得到如下结论:

(1)对振动方程的研究表明,材料长度尺寸参数不仅影响方程的线性振动特征,如提高管道的固有频率、临界流速及临界频率,也影响系统的第一李雅普诺夫系数的具体数值.

(2)不同尺度的管其分岔均为超临界的；不管是宏观管还是微尺度管,在其临界流速曲线的滞后部分,流速减少时管道发生颤振,流速增加时管道是稳定的,在非滞后部分,情况刚好相反；在两种不同尺度管的临界流速曲线的交点处,流速变化时两种管的分岔方向相反,因此,在实际问题中需要考虑材料长度尺寸参数的影响,以便对具体的管道合理地控制其内流速度,避免发生颤振.

参 考 文 献

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