引言

对于三体问题的研究已经进行几百年,最早可以追述到Newton于1687年发表的Principia中.平动点是圆型限制性三体问题中的五个平衡解,包括3个共线平动点L1、L2、L3以及2个三角平动点L4、L5.其中,三角平动点具有“中心×中心”的动力学特性,其附近存在着大量的周期轨道,可以被用于构建空间中转站,编队导航等[1-4].研究这些轨道在深空探测中具有理论价值及工程意义.

“张仲平一定不想让很多人知道我们之间的交易吧？要债的马上要来，我是一定会和他们拼命的，万一我们同归于尽了，你的钱包可就给张仲平惹祸了。你没想到这一点吗？”

为了更加有效地利用三角平动点的动力学特性,在其邻近定点小型探测器,需要在真实力学模型下构造一个稳定的目标轨道,减少探测器在工作过程中的轨道保持需求.显然,以圆型限制性三体问题模型下的线性解提供构造目标轨道的初值选择是不理想的,应用此初值会引起解在积分过程中发散,从而无法保持轨道的周期性,这就需要我们给出更高阶的解.在高阶解的研究中,已有学者对此进行了大量的研究.Richardson[5]应用Lindstedt-Poincaré(L-P)法给出了圆型限制性三体问题共线平动点附近Halo周期轨道的三阶解析解.Erdi[6]和Zagouras[7]基于小参数展开法分别推导了三角平动点附近周期轨道的三阶和四阶解析解.这为动平衡点附近轨道的分析和研究奠定了基础.近期,Lei和Xu[8,9]则通过L-P法构建了三角平动点附近周期轨道的任意阶解析解.但是,这些传统摄动方法主要着重于修正线性条件下的振幅与频率,使其更加接近非线性条件下的真实运动,但是却很少关注运动中各维度之间的联系以及它们分别对系统非线性动力学特性的贡献.

在振动理论最新的进展中,由Shaw等[10-12]基于模态分析的思想提出了一种基于多项式展开理论的求解方法,为周期轨道求解问题提供了新的思想.这种多项式展开方法定义了一种不变的相空间关系[13],从而得到两自由度之间的多项式关系.能为数值求解真实力学模型下的周期轨道提供满足物理规律的约束条件[14].我们之前有过关于三角平动点附近周期轨道的工作,那主要是考虑了x-y平面内长周期或短周期的展开式,并未考虑z轴方向的运动[15].本文则是采用多项式展开的方法求解运动方程,得到圆型限制性三体问题三角平动点附近周期轨道三个维度之间的运动关系.

文中所提出的采用多项式展开方法得到的运动关系可以清晰地反映圆型限制性三体问题模型中三角平动点附近周期轨道三个自由度之间的关系,为分析其轨道动力学特性提供理论依据,并且可以为数值迭代求解周期轨道提供约束关系,为设计真实力学模型下的飞行器轨道提供借鉴.

-gb1-k2c1=-d2 -c2=d1

1 基本动力学模型

在圆型限制性三体问题中,一个质量相对无限小的第三体在两个围绕其公共质心做圆周运动的主天体的引力作用下做运动.

假设质量较大的主天体P1质量为m1,质量较小的主天体P2质量为m2.两个主天体绕其共同的质心C做匀速圆周运动.选取质心会合坐标系进行问题的研究,记为C-XYZ.其原点为C,X-Y平面为两个主天体相对运动平面,X轴由主天体P1指向主天体P2,Z轴垂直于X-Y平面.如图1所示.

为了计算方便,通常将运动方程无量纲化,取两个主天体质量之和为质量量纲,两个主天体间的距离为长度量纲,即定义μ=m2/(m1+m2)为质量参数.则主天体P1质量表示为1-μ,坐标为(-μ,0,0).主天体P2质量为表示μ,坐标为(1-μ,0,0).小天体在此会合坐标系中的运动方程为:

(1)

式中Ω为系统中的拟势能函数,表示为[16]:

(2)

其中,R1与R2分别代表小天体到主天体P1与P2的距离.

小儿厌食症发病率相对较高,厌食现象发生后会使得患儿的正常进食受到影响,随之威胁到患儿机体的营养吸收和身体健康,因此临床应该注重对其及时采取有效的方法进行治疗[2]。

(3)

(4)

2 三角平动点附近的运动方程展开

y=ξsinθ+ηcosθ

(5)

式中,Pn为n阶的Legendre多项式,且

虽然可以在L4-xyz坐标系中直接求解运动方程的解析解,了解三角平动点附近的运动特征,然而相应的几何特征在该坐标系中并不十分明显,这是由于式(5)的等号左边存在x-y平面的线性耦合项,不利于计算,所以为了更清晰地体现三角平动点附近运动的几何特征,我们选择将原L4-xyz坐标系在x-y平面内绕z轴旋转θ角,得到一个新坐标系L4-ξηζ[16],如图1所示.L4-ξηζ为这一系统的主坐标(principle coordinate system).

引入新变量(ξ,η,ζ)代替(x,y,z),其关系可以表示为:

x=ξcosθ-ηsinθ

为了更方便地描述三角平动点附近的运动,将坐标系原点移动到三角平动点.本文以L4点为例,将坐标系原点移动到L4点,新的坐标系的坐标轴与原坐标系的坐标轴平行,如图1所示.在此坐标系下将原运动方程(1)按Legendre展开,可以表示为[17]:

z=ζ

(6)

其中θ满足:

β110a2c1+γ101a2d2+γ011c2d2-2d4+2d5=0

(7)

（1）优化训练系统整体结构。新型嵌入式训练系统将综合集成多种形式的嵌入式仿真训练功能，形成功能配套、性能匹配的军兵种模拟系统，适用于装备研发、验证和使用的各个阶段，避免装备空挡期的出现。

(8)

3 周期运动的多项式展开分析

本节使用多项式展开的方法研究三个方向上运动之间的关系,得到它们之间的解析关系,为分析其三个维度分别对系统动力学特性的影响以及三角平动点附近周期运动的运动形式和动力学特性提供参照.这种方法的核心思想是首先选取一个方向为基方向,基上方向的运动状态(位置和速度)为一组空间的二维基状态,将其他方向的运动描述为与基方向状态相关的多项式形式[10-12].通过求解多项式系数的方式寻找多个方向运动之间的关系.

首先,将式化简,可得到运动方程的形式为:

(9)

其中,i,j,k从0开始,n代表截断的阶数,ε代表小参量,

g=2

(10)

令S=sin(θ),C=cos(θ),则:

(11)

其中,Oijk、Pijk、Qijk的具体表达式见附录.

选取ζ方向的位置和速度为周期运动时的基状态,即令:

ζ=u

(12)

(13)

根据文献[10][11]和[12],ξ和η方向的运动可以被描述为与ζ方向相关的如下多项式形式:

ξ=a1u+a2v+a3uv+a4u2+a5v2+

a6u2v+a7uv2+a8u3+a9v3+…

(14)

b6u2v+b7uv2+b8u3+b9v3+…

在实验过程中，首先要对实验材料进行科学合理的选择和利用，这样才能够保证最终的实验效果具有真实性和有效性。对食品中的亚硝酸盐含量进行测定时，要与实际情况进行结合，选择一些自制的酱菜，同时还要选择一些市场上正在销售的腌制大蒜、洋姜等 [13-15]。

(15)

η=c1u+c2v+c3uv+c4u2+c5v2+

c6u2v+c7uv2+c8u3+c9v3+…

(16)

d6u2v+d7uv2+d8u3+d9v3+…

(17)

其中, ai、bi、ci、di是待定系数.通过对这些系数的求解,可以得到ξ和η两个方向上位移与速度的与ζ方向上位移与速度的关系.

将式(14)、(15)、(16)与(17)分别带入到式(9)的三个方程中,同时只保留到3次项,可以得到:

(gd6-k1a6)u2v+(gd7-k1a7)uv2+

在新的坐标下,式(5)可以表示为:

α110a1c2-α110a2c1)uv+(gd4-k1a4-α002-

(gd3-k1a3-2α200a1a2-2α020c1c2-

(gd8-k1a8)u3+(gd9-k1a9)v3

(18)

(-gb3-k2c3-2β200a1a2-2β020c1c2-

β110a1c2-β110a2c1)uv+(-gb4-k2c4-β002-

(-gb6-k2c6)u2v+(-gb7-k2c7)uv2+

(-gb8-k2c8)u3+(-gb9-k2c9)v3

(19)

(γ101a2+γ011c2)uv-γ003u3

第一，现金冗余与研发投入正相关。现金冗余可充分支持企业的研发活动。第二，对高管实施股票期权激励会正向调节现金冗余与研发投入的关系，且这一关系在非国企中更为明显。与未实施股票期权激励的企业相比，赋予高管尤其是不存在官员身份的非国企高管股票期权可促使其增加利用现金冗余开展研发活动的行为。第三，在实施股票期权激励的企业中，相对于处于草案公告前一年的企业，现金冗余对研发投入的促进作用在处于行权等待阶段的企业中会被削弱。高管在股票期权激励实施的不同阶段存在利用真实的研发活动操纵会计盈余的行为，其在行权等待阶段倾向于减少现金冗余投入到研发活动中的水平，以抬高行权时股票售价，实现收益最大化。

(20)

分别将式(14)、(15)、(16)、(17)对时间求导,可得:

(3a8-2a7)u2v+(2a6-3a9)uv2-a6u3+a7v3

(21)

(-γ101a2b2-γ011b2c2+2b4-2b5)uv+b3v2+

(3b8-2b7)u2v+(2b6-3b9)uv2-b6u3+b7v3

(22)

(3c8-2c7)u2v+(2c6-3c9)uv2-c6u3+c7v3

(23)

(-γ101a2d2-γ011c2d2+2d4-2d5)uv+d3v2+

(3d8-2d7)u2v+(2d6-3d9)uv2-d6u3+d7v3

第二，旅游危机事件网络舆情传播的各个阶段对旅游危机事件的关注点不尽相同。旅游危机事件本身是网络舆情的信息来源。舆情传播的潜伏期通常以事件始末为开端；在舆情传播的爆发期，公众对旅游危机事件的关注扩大到事件的影响和相关管理部门的应对措施；而在舆情传播的成熟期，旅游危机事件的影响和相关管理部门的应对措施成为公众关注的焦点；在舆情传播的平息期，旅游危机事件的影响和结果成为公众关注的主要内容。

从政策工具来看（如表6），2013-2017年北京市机动车污染防治政策中，仅使用“管制型”政策工具的次数为36次，占比76.6%，在所有政策工具中占主导地位；仅“市场型”政策工具的次数为4，占比8.5%；单一的“自愿型工具”并未在机动车污染防治政策中使用。多元化的政策工具配合使用程度较低，2013-2017年仅有7份政策同时使用两种及以上政策工具，共占政策工具使用总体情况的14.9%。但值得注意的是，2017年共有3份政策同时使用两种及以上政策工具，相较于2013-2016年，政策工具的综合使用情况有所提高。

(24)

分别对比式(15)与式(21)、式(17)与式(23)、式(18)与式(22)、式(19)与式(24)的一次项系数可得到:

u: gd1-k1a1=-b2 -a2=b1

作为经常进行深阅读的读者来说，他也需要浅阅读，来帮助自己迅速了解一本书，并通过浅阅读来判断各部分内容，以安排自己的阅读方法。周国平就曾这样阐述过他的读书方法“我读一本经典著作，一开始把它当闲书一样看一遍，看的时候会做一些记号，看完后就回过头来把做了记号的地方重读一下。如果特别喜欢某一本书，就不妨读第二遍甚至更多遍。”可以看出，周国平在阅读经典著作时，也是把浅阅读作为一种阅读起步的，当做闲书一样看一遍，通过这个步骤来判断是否喜欢，是否需要第二遍甚至更多遍的深阅读[3]。

v: gd2-k1a2=b1 a1=b2

创客是坚守创新、坚持实践、乐于分享并且追求美好生活的一群人，是把兴趣与爱好努力变成现实的人，是社会迎来新一轮的“科技社会化”浪潮，是一场快速由工业社会向信息社会过渡的运动。创客空间的普及发展，使分布式、数字化、个性化、定制化的电脑网络制造方式取代传统的工厂加工制作方式。作为未来人才培养基地的学校应该培养更多的创客，打造“创客校园”。

-gb2-k2c2=d1 c1=d2

(25)

对比二次项系数可得到:

gd3-k1a3-2α200a1a2-2α020c1c2-α110a1c2-

α110a2c1+γ101a2b2+γ011b2c2-2b4+2b5=0

-gb3-k2c3-2β200a1a2-2β020c1c2-β110a1c2-

本书以幼儿成长过程中不可或缺的性别认知、性教育常识为主题，通过生动形象的画面、简洁明了的语言，以及趣味生动的互动方式，如拉拉页、翻翻页、转盘页等，让孩子了解：宝宝是怎么来的，男孩和女孩有什么区别，如何保护自己的身体等等有关知识，帮助孩子树立正确的两性观，健康快乐地成长。

在昌乐除了西瓜外，这里的蔬菜也是一顶一的好。他们通过西瓜和蔬菜轮番倒茬，打造出了名扬在外的昌乐瓜菜名片。

u2: -γ101a1a2-γ011a2c1-a3-b4=0

-γ101a1c2-γ011c1c2-c3-d4=0

γ101a1b2+γ011b2c1+b3=0

γ101a1d2+γ011c1d2+d3=0

参考前人对GEM模型的“因素对”计算和转换过程，最后通过数据分析和处理发现，惠州旅游产业集群竞争力的各因素对的得分分别为：旅游基础（资源，设施)=(A+B)/2=(6.12+5.66)/2=5.89；旅游企业（相关辅助行业，企业战略、结构和竞争）=(C+D)/2=(8.45+5.04)/2=6.75；旅游市场（本地市场，外部市场）=(E+F)/2=(6.22+7.17)/2=6.70

v2: a3-b5=0

c3-d5=0

(26)

对比三次项系数可得到:

u2v: b6=3a8-2a7 gd6-k1a6-3b8+2b7=0

d6=3c8-2c7 -gb6-k2c6-3d8+2d7=0

uv2: b7=2a6-3a9 gd7-k1a7-2b6+3b9=0

d7=2c6-3c9 -gb7-k2c7-2d6+3d9=0

u3: b8+a6=0 gd8-k1a8+b6=0

d8+c6=0 gb8+k2c8-d6=0

三是建立健全预算监督机制，在预算执行的全过程跟踪监控，当预算计划与实际预算执行出现偏差时，应认真分析问题的症结所在，并及时采取解决措施，提高财政预算资金的安全性与使用效益。

v3: b9-a7=0 gd9-k1a9-b7=0

d9-c7=0 gb9+k2c9+d7=0

(27)

求解式(25)、式(26)、式(27)可以得到线性项系数:

a1=0, a2=0, b1=0, b2=0

c1=0, c2=0, d1=0, d2=0

(28)

二次项系数的表达式为:

(29)

(30)

三次项系数的表达式为:

a7=0, a8=0, a9=0

b7=0, b8=0, b9=0

c7=0, c8=0, c9=0

d7=0, d8=0, d8=0

(31)

其中A=-4k1-4k2+k1k2.

由此得到圆型限制性三体问题中三角平动点附近运动三个自由度之间关系表达式中所有系数,同样,我们也可以将系数求解至更高次项,使结果更加精确.三角点附近周期运动的三个方向ξ、η和ζ之间关系满足如下方程:

(32)

4 周期运动方程解析求解

通过前文对三自由度运动之间关系的求解,可以将运动方程转化为一个自由度的运动方程,将式(32)带入到式(9)的第三个方程中,并忽略3次以上项,可以得到:

(33)

其中

这样,一个三自由度的运动方程就转化为单一自由度的振动方程,我们可以通过传统的摄动方法求解其解析解.本节使用多尺度法进行解析求解.

引入小参数ε,并设方程的解为:

u=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+…

(34)

其中,T0=t,T1=εt.

微分算子为:

(35)

(36)

将式(34)、式(35)和式(36)带入到式(33)中,令方程两边ε同阶项系数相等,则得微分方程如下:

ε0阶:

D02u0+u0=0

(37)

ε1阶:

(38)

设方程(37)有如下形式的解:

u0=A(T1)eiω0T0+cc

(39)

其中,cc代表共轭项,且ω0=1.

将式(39)带入到式(38)中得:

(40)

消除式(40)中得共振项,可得:

(41)

取:

(42)

则:

(43)

将式(42)和式(43)代入到式(41)中并整理得到:

(44)

分离实虚部得到:

(45)

解得:

(46)

则:

(47)

消除共振项之后的式(40)变为:

(48)

设式(48)的解有如下形式:

(49)

带入到式(48)中可得:

(50)

令式(50)等号左右两边相同项系数相等,可得:

(51)

将式(51)带入到式(49)中即可得到:

(52)

最后可以得到式(33)的解为:

ξ =u

(53)

(54)

将式(53)与式(54)带入到式(32)中,并且令即可得到原圆型限制性三体问题三角平动点附近周期运动三个自由度运动的三阶解析解:

(55)

α02a3ω2cos(2ωt+2β0)-

(56)

(57)

α02c3ω2cos(2ωt+2β0)-

(58)

(59)

(60)

5 数值仿真与对比

本节采用地-月-飞行器圆形限制性三体问题中三角平动点附近的周期轨道为例进行仿真计算,其质量参数为μ=0.012150568.同时与传统的摄动方法L-P法得到的解析解[18]进行对比.选定一组参数为幅值α0=0.05,相角β=0.图2(a)～(c)所示为两种方法得到的垂直周期轨道在各个平面上的投影对比,(d)所示为三维坐标下周期轨道,其中实线代表本文方法得到的周期轨道,星线代表L-P法得到的周期轨道.

通过图2的对比可以发现,在当前无量纲化的方程形式下,两种方法得到的解析解精度接近.且同时得到了垂直周期轨道三个自由度运动的解析关系,通过对比验证了此方法的正确性.

6 结论

本文提出了基于多项式展开法构造圆型限制性三体问题三角平动点附近周期轨道三阶解析解的方法.通过多项式展开方法得到了其运动3个自由度之间的解析关系,为分析其轨道动力学特性提供了理论依据,同时揭示了周期运动的物理规律.

本文所得到的周期运动三阶解析解精度适合,但同时也可继续求解更高阶数、更高精度的解析解,并可以被拓展至椭圆型限制性三体问题模型中,同时也可求解共线平动点的解析解.

参 考 文 献

1Brouwer D. Clemennce G M. Methods of celestial mechanics(2nd). USA:Academic Press, 1985

2Beuler G. Methods of celestial mechanics, Springer-Verlag Berlin:Heideberg, 2005

3刘林. 人造地球卫星轨道力学. 北京:高等教育出版社, 1992 (Liu L. Orbit Dynamics of the artificial earth satellite. Beijing:The Higher Education Press, 1992 (in Chinese))

4刘林. 航天器轨道理论. 北京:国防工业出版社, 2000 (Liu L. The spacecraft orbit theory. Beijing:National Defence Industry Press, 2000 (in Chinese))

5Richardson D L. Analytic construction of periodic-orbits about the collinear points. Celestial Mechanics, 1980,22(3):241～253

6Erdi B. 3-Dimensional motion of trojan asteroids. Celestial Mechanics, 1978,18(2):141～161

7Zagouras C G. 3-Dimensional periodic-orbits about the triangular equilibrium points of the restricted problem of 3 bodies. Celestial Mechanics, 1985,37(1):27～46

8Lei H L, Xu B. High-order solutions around triangular libration points in the elliptic restricted three-body problem and applications to low energy transfers. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014,19(9):3374～3398

9Zhao L. Quasi-periodic solutions of the spatial lunar three-body problem. Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, 2014,119(1):91～118

10 Shaw S W, Pierre C. Normal-modes for nonlinear vibratory-systems. Journal of Sound and Vibration, 1993,164(1):85～124

11 Shaw S W, Pierre C. Normal-modes of vibration for nonlinear continuous systems. Journal of Sound and Vibration, 1994,169(3):319～347

12 Shaw S W. An invariant manifold approach to nonlinear normal-modes of oscillation. Journal of Nonlinear Science, 1994,4(5):419～448

13 Arquier R. Two methods for the computation of nonlinear modes of vibrating systems at large amplitudes. Computers & Structures, 2006,84(24-25):1565～1576

14 Vakakis A F. Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems. Springer Netherlands, 2001

15 钱霙婧,翟冠峤,张伟.基于多项式约束的三角平动点平面周期轨道设计方法研究. 力学学报, 2017,49(1):154～164 (Qian Y J, Zhai G Q, Zhang W. Planar periodic orbit construction around the triangular libration points based on polynomial constraints. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017,49(1):154～164(in Chinese))

16 Szebehely V. Theory of orbits. New York and London:Academic Press, 1967

17 Jorba A, Masdemont J. Dynamics in the centre manifold of the collinear points of the restricted three body problem. Physica D, 1999,132:189～213

18 刘林,侯锡云. 深空探测器轨道力学. 北京:电子工业出版社, 2012(Liu L, Hou X Y. Orbital mechanics of thedeep space probe. Beijing:Publishing House of Electronics Industry, 2012 (in Chinese))