引言

非线性的振荡是无处不在的事物运动发展的现象,除了传统的力学物理学和诸多工程技术科学外,还涉及从天体系统大气系统,到生态系统经济系统等很多自然和社会科学领域,人们以非线性微分方程模拟这些现象,利用多种方法求解这些方程,得到很多重要的研究成果[1,2].然而,对有些基本的理论问题而言,例如,涉及的系统的量子化时,近似解法、计算方法或实验的方法就达不到要求,因为理论要求能够导出系统的拉格朗日函数和哈密顿函数,能够得到精确的解析解.虽然这样的非线性系统很少,但是有必要研究它们,而且也存在不同的研究途径和方法[3-10].上世纪中叶以来,分析力学理论在很多方面仍然取得新的进展,例如,变分法逆问题和对称性与守恒量理论,分析力学理论和方法在求解微分方程中得到广泛的应用,这就为非线性系统研究提供了新的重要基础和途径[11-20].在力学和物理学的研究中,振动是一个重要课题,人们将线性的保守的振子系统,多方面推广变形,其中之一就是非线性非保守的Mathews-Lakshmanan振子(以下简写成M-L振子),此后,对该振子及其推广进行了多方面的研究,包括它的量子化[7-10].本文利用分析力学研究M-L振子,包括根据变分法逆问题理论和方法,将方程变换为自伴随方程,利用四种方法计算对应的拉格朗日函数和哈密顿函数,实现方程的分析力学化,再从拉格朗日力学和哈密顿力学两条途径,得到振子方程的解,从而以此振子为例,说明分析力学理论和方法在非线性系统研究中的价值.

“垃圾食物！垃圾食物！”也喜欢一边吃大餐一边摄影的MAC说：“为了你的健康，把它从生活中除去，永绝后患。”

1 M-L振子方程的自伴随形式

1.1 一维微分方程系统的自伴随条件

根据变分法逆问题的理论和方法[12],对写成基本形式的一维系统:

基于目前广泛存在的难以监测分析转子在升速或降速过程中信号的问题，这里通过同时监测转子轴向位移信号，在转子转速稳定的情况下通过对比分析转子径向信号来证明转子轴向信号对于监测诊断转子轴裂纹故障的有效性。

(1)

自伴随的充分和必要条件是:

(2)

据此可知,对运动学形式的一维系统:

(3)

比较式(13)和(7),对M-L振子有:

答：那我不禁要问，用粗暴手段将3名游客强行驱离酒店，其中还有两名老人，一名老人有病在身，带着药，警察将他们丢弃在荒郊野外的坟场，深更半夜，当时气温在10℃以下。他们的生命安全受到威胁，尊严受到伤害。瑞典的《警察法》允许这样做吗？瑞典的《警察法》有这么不人道、不道德吗？瑞典的法律有这样不尊重人的基本权利的吗？！

(4)

文献[18]中通过变量变换方法,对下列变系数非线性动力学系统:

(5)

代入条件(2),得到确定φ的方程:

(6)

如果从上述方程解得代入式(5),就将方程(3)变换为满足自伴随条件的基本形式的运动微分方程.

与方程(7)比较,得到:

1.2 将M-L振子方程变换为自伴随形式

1974年,Mathews和Lakshmanan提出一种非线性非保守振子[6,7]:

(7)

多年来,已经有一系列工作涉及上述振子的经典解和量子化的研究,也涉及将它推广成多维系统等[8-10].下面将根据变分法逆问题理论和方法,实现方程(7)分析力学化.首先,将它变换成为自伴随形式的方程,从而证明该方程可以构造对应的拉格朗日函数和哈密顿函数,将其表示为拉格朗日方程和哈密顿方程形式.显然,方程(7)不满足条件(4),故引入因子φ,代入式(6)得到:

(8)

这个方程的一个解为:

(9)

当I<0时,振子存在严格的周期解:

(10)

换句话说,M-L振子(7)能够间接地表示为拉格朗日方程形式.

2 M-L振子方程的拉格朗日函数

2.1 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径一

对于自伴随形式的微分方程有多种途径构造拉格朗日函数,其中之一是Engels第一方法[12].若一维系统(1)是自伴随的,则其拉格朗日函数为:

[6]顾炳中，申世亮. “欧盟空间信息基础设施”及对国土资源“一张图”建设的启示[J]. 国土资源信息化.2011(1):5-8.

(11)

这是一种比较简单的直接计算方法,将

代入式(11),计算得到:

1）减轻地表水。根据对滑坡地质灾害的了解，结合其灾害的影响因素，提出减轻地表水的危害治理措施，是十分重要的。根据对以往滑坡地质灾害的分析，70%的滑坡灾害发生的主要原因是地表水过多。在对地表水治理时，要采用合理的方式对地表水进行拦截和导引。在对地表水进行拦截和导引时，可以根据滑坡周围山体情况和水流走向，对地表水进行拦截和改流，避免地表水流入滑坡区域内，引发二次滑坡。

(12)

2.2 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径二

有些情况下,通过变量变换可以将非自伴随的方程变换成为自伴随形式的,构造得到新变量的拉格朗日函数后,再变换成原来变量的拉格朗日函数[17,18].

若方程(3)不满足条件(4),则通过引入因子将式(3)变换成:

(13)

消去包含的项,导出对应的拉格朗日函数后,再变换回到原来的变量,得到如下拉格朗日函数:

(14)

其中:

(15)

自伴随的充分和必要条件是:

(16)

代入式(15)和(14),得到式(12)拉格朗日函数L.

文献[17]提出另一种利用变量变换构造拉格朗日函数的方法,将此方法应用到方程(13),同样得到式(14)结果,即对方程(7)又导出式(12).

2.3 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径三

文献[19]给出一种从下列一维系统:

增强监督工作的公众参与性。党的十九大指出，“发展社会主义民主政治就是要体现人民意志、保障人民权益、激发人民创造活力，保证和实现人民当家作主”。人大监督只有始终坚持群众路线，扩大公众参与，突出需求导向和问题导向，才能使监督方向更加精准、重点更加突出、效果更加明显，才能彰显人大履职的民意理念和民权取向。

(17)

的第一积分直接构造拉格朗日函数的方法.当第一积分满足条件:

(18)

系统的拉格朗日函数可以写成以下形式:

(19)

其中系数A(t,x)和B(t,x)由下列方程确定:

(20)

对方程(7)应当先导出第一积分,为此将方程改写成:

《伪古文尚书》的北传与青齐学术密切相关。而整个青齐学术在北魏朝廷中的传播，又与平齐民有着密切的关系。可以说，青齐学术兴盛的背后，是以平齐民为代表的“青齐士望”的崛起。

导出拉格朗日函数(12)后,可以根据诺特(Noether)理论导出守恒量[14],由于函数L不显含时间t,故可从时间平移对称性导出振子的守恒量为:

由此可得第一积分:

(21)

将满足条件(18)的上述积分I和代入方程(20),可以得到:

在节能降耗检测工作中，能源计量技术发挥着重要的作用，该技术的有效应用可以极大地提升节能降耗数据采集与监测水平。本文主要对能源计量工作在节能降耗中的作用与地位进行简要分析，并且从节能降耗途径，能源计量的作用以及政策与公共节能3个角度进行了具体的分析。

上述方程存在如下一组解:

(22)

代入式(20),又得到式(12)拉格朗日函数L.

2.4 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径四

文献[20]给出一种直接从运动方程构造Lagrange函数的直接方法.根据此方法,对方程(7),可以设拉格朗日函数:

(23)

代入拉格朗日方程,得到:

混合室内的料液充分混合，混合时间是评价搅拌混合效果的重要指标。本节给出了四种不同桨叶结构的混合室内监测点处NaCl的浓度随时间变化过程，详见图3。

(24)

由此可得一组解:

(25)

代入式(23),又导出式(12)拉格朗日函数L.

3 M-L振子方程的哈密顿函数

对于非线性系统的某些研究,还需要构造系统的哈密顿函数.在导出系统的拉格朗日函数后,利用勒让德变换,即可以导出哈密顿函数.由式(12)得到方程(7)的哈密顿函数:

(26)

式中广义动量:

(27)

上述拉格朗日函数(12)和哈密顿函数(26),与通常简谐振子拉格朗日函数和哈密顿函数存在一定的相似性,因此有人将M-L振子(7)看作质量与位置(坐标)相关的振子,哈密顿函数(26)是讨论M-L振子量子化的出发点.

4 M-L振子方程的经典解

4.1 利用拉格朗日函数根据诺特理论求解

上式乘以积分因子写成:

(28)

这就是前面已经从运动方程直接导出的广义能量积分(21).由此积分进一步得到振子的解为:

(29)

即方程(7)能够变换成为如下自伴随方程:

x=Acos(ωt+φ0)

(30)

式中:

(31)

这就是说,这个非线性振子周期(频率)与振幅相关.

4.2 利用哈密顿函数根据哈密顿-雅可比理论求解

在导出哈密顿函数(26)后,可以列出正则方程求解,也根据哈密顿-雅可比理论求解[22].由于式(26)中的哈密顿函数不显含时间,故哈密顿-雅可比方程写成:

(32)

上述方程的积分为:

(33)

振子的运动方程由下式给出:

这个结果与式(29)相同.

5 结果与讨论

(1)本文对M-L振子给出了全面的分析力学求解过程:根据变分法逆问题理论和方法,从变换为自伴随形式的方程,说明它能够分析力学化；利用多种不同的途径构造得到振子的拉格朗日函数,进而导出哈密顿函数,即实现振子的分析力学化；分别通过诺特对称性与守恒量理论和哈密顿-雅可比方法,得到M-L振子的解析解.

(2)非线性现象是普遍存在的,研究的方法也多种多样的.M-L振子是一种非线性非保守的振动系统,也研究了它的量子化问题,这个振子系统可以被推广,有些系统的近似研究可以由它出发,因此,在经典力学基础上给出它的解析解是必要的.M-L振子的解法说明在非线性研究中可以利用分析力学理论和方法,与矢量力学相比,分析力学发展了更多更有效的积分方法[14,15,22],因此在研究非线性系统时,应当重视分析力学理论和方法.

(3)力学系统,包括非线性系统的分析力学化,关键在于构造对应的拉格朗日函数和哈密顿函数,这就表明变分法逆问题的理论和方法的研究和应用,应当得到进一步重视.

参 考 文 献

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移就修辞格的使用将枫叶“染色”的动作运用到本不能“染色”的“结局”之上，将“悲伤的结局”用更加生动更加婉转的方式诉说，使其拥有了无限的遗憾之美。

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主控制器通过移植LWIP协议搭建与PC机之间的网络通信基础,需要一定的物理网络硬件的支持。LWIP通过Netif网络接口来处理与底层硬件之间的联系,主要工作在OSI模型的最后两层,即物理层和数据链路层[4]。

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中国留学生的聪明才智使李约瑟意识到，人类无论肤色、种族，在科学面前都是平等的，由此导致他对中华文明产生一种终身的认同。[2]李约瑟的脑海中先后产生了两个相互连带又十分尖锐的问题：为什么现代意义上的科学只在欧洲文明中产生，而未在中国(或印度)文明中成长？为什么公元前1世纪到公元15世纪，中国文明在获取自然知识并将其应用于人的实际需要方面比西方文明有成效得多？[3]科学史家将这一关于科学革命与中国科学技术演化的比较问题称为“李约瑟问题”。

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