1 引言(Introduction)

高超声速飞行器飞行速度快、动压高、舵面惯量大、负载转矩不确定、要求伺服作动系统具有高动态高精度的特性[1].随着多电技术的快速发展,以电静液作动器(electro hydrostatic actuator,EHA)和机电作动器(electro mechanical actuator,EMA)为主要实现方式的功率电传(power by wire,PBW)伺服作动系统在高超声速飞行器上逐渐得到应用[2].与传统的液压系统相比,EHA在提高作动效率的同时降低了作动器重量,但需要解决频率带宽降低的难题[3];EMA则具有更高的功率密度,余度技术在其上的应用也增强了可靠性,但需要优秀控制律的保证[4].传统的PID控制虽然结构简单,却很难达到舵机的性能要求.而其他如自适应、动态逆、滑模等经典非线性控制方法[5–8],理论上能达到较好的控制效果,但工程实现上存在一些难题.

时间最优控制(time optimal control,TOC)是在前苏联数学家Pontryagin等人提出的最大值原理基础上发展而来的一种bang-bang控制方案,其特点是控制量都取边界值,而且不断地从一个边界值切换到另一个边界值,构成一种最大量的控制[9–10].一般情况下,伺服系统可按简单的双积分模型表征,针对该模型,TOC在相平面中的位移–速度偏差切换轨线为简单的二次抛物线,文献[11–12]分别提出了连续和离散系统的自适应近似时间最优伺服控制律(proximate timeoptimal servomechanisms,PTOS),其将TOC的切换轨线上下平移一定的速度误差量,从而形成切换区,并当系统处于小跟踪误差时,将时间最优控制切换为线性控制,两者的目的是为了避免TOC在实际应用中存在的振颤问题,增强了系统的鲁棒性,但都是以牺牲了系统的动态性能为代价的.以上述PTOS为基础开展的研究工作相对较多[13–18],文献[13]提出了一种新的增益调度方案,使得系统闭环阻尼系数可以保持在一个预先给定值,从而通过在系统减速段和调节段预先设置不同的阻尼,加快系统响应的同时又保证系统超调较小.文献[14]在PTOS的基础上添加了动态阻尼控制,使得PTOS中的加速度折算因子可以任意趋近1,降低了PTOS对振颤处理的保守性.上述方法均是为了提高系统的动态和稳态性能,但同时带来了实现上的复杂性.

伺服作动系统在控制中一般由位置环和速度环嵌套组成,高超声速飞行器舵机位置环带宽较高,速度环难以满足相对于外环优良的跟踪性能,因此不能忽略速度环动态特性,而上述控制方法均针对双积分模型设计,无法直接应用于高超声速飞行器舵机控制.若考虑速度环动态特性时,时间最优控制律的设计相对复杂,现有研究工作较少,文献[19]仅给出了基本的时间最优控制律,但并未考虑其在实际系统中因无法准确切换带来的超调和振荡;文献[20]全面地分析了bang-bang控制在二阶系统中的普适应用,但相对冗杂,难以应用到伺服系统中去.

本文针对高超声速飞行器舵机的特性,设计了一种近似时间最优控制方法.首先,对舵机进行特征建模[21–22],根据系统对动态、稳态性能及带宽的要求,采用一阶惯性环节串联积分器表征舵机的输入输出特性.然后,以相平面为工具,给出了其近似时间最优控制的bang-bang控制切换区和线性控制区,切换区的目的是为了避免振荡和超调,线性区的目的是为了提高控制精度.实验表明,该算法动态特性快,控制精度高,很好地满足了对伺服作动系统高动态高精度的要求.

2 舵机特征模型(Actuator characteristic model)

特征建模是将高超声速飞行器伺服作动系统的动力学特征、工作环境及控制目标等要求相结合的一种建模方法.特征模型并不是对象的精确数学模型,其与传统动力学建模的最大区别是结合了系统控制的性能要求,因此易于控制器设计,工程实现方便.特征建模主要根据控制量与要求输出变量之间的特征关系,由特征变量与特征参量组成特征模型,在相同输入控制作用下,与实际对象相比,特征模型的动态输出能保持在允许的误差范围内,且稳态输出相等[22–24].

包含速度环和位置环的舵回路闭环框图如图1所示.动力学模型中:Ar(s)为舵机位置参考输入,A(s)为舵机位置;ωr(s)为舵机给定转速,ω(s)为舵机转速;U(s)为给定电压,Tf(s)为负载力矩;Gp(s)和Gω(s)分别为广义的位置环和速度环控制器.L和R分别为电机电枢电路的电感和电阻,J为电机及其负载的转动惯量,Cm为电机转矩系数,Ce为反电势系数,i为减速器的减速比.高超声速飞行器伺服作动系统要求控制性能达到高动态和高精度的特点,这就对系统位置环的动态响应和带宽提出了较高要求,位置闭环的动力学特性可用二阶系统描述,如式(1)所示:

该次研究中的数据均采用SPSS 19.0统计学软件进行分析处理，计量资料采用（±s）表示，进行t检验。P＜0.05为差异有统计学意义。

 

  

图1 舵机动力学模型及特征模型原理框图Fig.1 Dynamical model and characteristic model of Actuator

根据式(1),对包含速度环控制器的舵系统进行特征建模,其可等价为由一个一阶惯性环节串联积分器组成的连续时间特征模型,如图1所示,由舵机给定转速至舵机转速(s)的传递函数为一阶惯性环节,由舵机转速(s)至舵机位置(s)的传递函数为积分环节,即

 

式(2)表示的特征模型对于输入指令无差,而由于速度环机械特性刚度较高,负载对速度输出的影响很小,输出也基本无差,因此整个特征模型有着较高的精度.特征参数的选取需根据高超声速飞行器舵系统的通频带及控制目标决定,是对舵机动态特性的反应,一般地,可取一阶惯性环节的特征参数a=3ωn∼5ωn,而速度限幅上限为饱和速率值.至此,得到了以一阶惯性环节串联积分器表征舵机输入输出特性的特征模型,下将建立近似时间最优控制策略,以保证伺服作动系统所需要的高动态和高精度的要求.

3 近似时间最优控制(Proximate time-optimal control)

由第1节建立的舵系统的特征模型,以传递函数描述的位置环被控对象为

 

将其转化到状态空间下表示,其相应的时间最优控制问题描述如下:

 

式中:u即为舵机的参考转速ωr,设舵机最大转速为ωm,则有|u(t)|=|ωr(t)|6ωm.对于调节系统,x1(t)=A(t)为舵机位置,x2(t)=ω(t)为舵机转速;对于跟踪系统,x1(t)=e(t)=A(t)−Ar(t)为舵机位置偏差量,x2(t)=˙e(t)为位置偏差的导数.时间最优控制的目标为通过寻找控制律u(t),使得系统从初态x0调整到零点的时间最短.式(5)对应的Hamilton函数为

采用SCL-90症状自评量表测量中小学特级教师和普通教师的心理健康状况。该量表在国内外已得到广泛应用，SCL-90症状问卷的a系数和折半信度分别为0.98和0.95，都在0.9以上，说明该问卷的信度和效度甚佳。该问卷由Dergoatis编制，共有90个项目，包含精神病性、偏执、恐怖、敌对、焦虑、抑郁、人际关系敏感、强迫症状、躯体化等9项因子。

 

则协态方程

 

解该微分方程,有

就EAR而言，通过计算得出EARr和EARl后，将EARr和EARl分别与预先设定好的阈值进行比较，判断左右眼是否闭眼，当双眼同时满足闭眼条件时，开启定时器，结束条件为下一次某只眼睛睁眼或同时睁眼，测得闭眼时长,与预先设定好的时间阈值进行比较后判断是否存在长时间闭眼。同理可以得到打哈欠状态。

 

其中C1,C2均为常量,由最大值原理,要使H全局最小,控制量取值为

①当λ2(t)>0时,取u(t)=−ωm;

②当λ2(t)<0时,取u(t)=ωm.

下分析当控制量按上述两种情况取值时系统状态的变化,进而建立时间最优控制的切换轨线及切换区.

3.1 切换轨线求解(Switching trajectory acquisition)

当u(t)=ωm时,式(5)所示系统方程为

 

解式(9)得

 

式(10)中,消去时间量t,则有

 

式(11)表示一曲线族,其意义为系统中任一状态在控制量u(t)=ωm作用下,都将按该曲线族运动.其中时间最优控制的切换轨线是通过原点的那一条曲线,将原点代入式(11),则有

 

再将式(12)等式关系代入式(11),则得到了一条切换轨线为

 

取式(13)中x2<0的部分(如图2),其表明的意义是该切换轨线l1上的任何一状态(x1,x2)都可以在正最大控制量ωm的作用下到达原点.

  

图2 时间最优控制切换轨线Fig.2 Switching curve of time optimal control

同上求解过程,当u(t)=−ωm时,可得其状态运动的曲线族(14)和切换轨线(15)如下:

 

③第四象限切换区内的状态点(x1,x2),由式(22)解算控制量u(t)=ωc;

在实际系统中,需考虑舵系统的速度饱和特性.如图3,对l1−o−l2构成的切换轨线,式(5)所对应的时间最优控制律如下:

①当系统状态点(x1,x2)在切换轨线下方时,取控制量u(t)=ωm,系统将按式(11)所示曲线族运动,其中将舵机转速限幅为ωm;

②当系统状态点(x1,x2)在切换轨线上方时,取控制量u(t)=−ωm,系统将按式(14)所示曲线族运动,其中将舵机转速限幅为−ωm;

③当系统状态点(x1,x2)在切换轨线l1上,控制量u(t)=ωm;当系统状态点(x1,x2)在在切换轨线l2上,控制量u(t)=−ωm.

  

图3 考虑速度限幅的时间最优控制律示意图Fig.3 Time optimal control with speed saturation

3.2 切换区和线性区设计(Switching and linear zone design)

时间最优控制律应用到实际系统中时,由于离散化的采样周期和测量精度等限制,使得系统很难在切换轨线上准确切换和在原点准确停留,从而引起振荡和超调,导致系统控制精度下降.为解决该问题,针对一阶惯性环节串联积分器的舵机特征模型,本文设计了近似时间最优(proximate time-optimal,PTO)控制算法,即:将切换轨线拓宽为切换区,在切换区内综合系统状态点(x1,x2)的位置和系统运动轨线解算出能让其到达原点的控制量;并当位置量x1小于一定阈值时,系统切换为线性控制.切换区保证了系统的快速性,同时避免了振荡和超调;线性区则保证了系统在原点的准确停留,提高了控制精度.

如图4,l1,l2即为式(13)(15)表示的切换轨线,切换区由l1与围成的区域和l2与围成的区域组成(图中深灰色所示),线性区为|x1|部分(图中浅灰色所示).切换区下边界的确定规则是:

求解切换区控制量下界u=ω0,使得对

 

当x1>d时,切换区边界上的状态点在u(t)=−ωm作用下经过一个采样周期T到达状态点时仍然处于切换区另一边界l1上方,即保证在实际系统控制中系统状态会在某一时刻停留在切换区内,而不是直接跨越切换区.下面建立具体方法.与之类似,不再重复.

  

图4 切换区和线性区示意图Fig.4 Switching zone and linear zone

由系统的状态运动规律式(10),当u(t)=−ωm时,以为终态,为初态,在一个采样周期T中,有如下运动学关系:

 

即得(1,2)关系式为

 

[6]BIANCO C G L,PIAZZI A.A servo control system design using dynamic inversion[J].Control Engineering Practice,2002,10(8):847–855.

 

Step 1如图5,计算l1和1的交点将线性区边界10=d代入式(13),作变换有等价形式此即f(y)=ln(1+y)−(y−b0)=0的形式,其中:y=20/ωm,b0=a10/ωm>0.可采用二分法求解y,即也求得20=−ωm·y.步骤如下:

①确定y的取值范围[y1,y2],记为其等分节点,允许误差为ϵ;

②计算f(y0),f(y1),f(y2),若f(y0)<ϵ,则取y∗=y0,停止迭代;否则,转至③;

2013年中央一号文件明确提出，用5年时间基本完成农村土地承包经营权确权登记颁证工作。截至2017年年底，31个省（区、市）均开展了承包地确权工作。今年中央一号文件再次对承包地确权工作作出部署，要求全面完成土地承包经营权确权登记颁证工作。

③若f(y1)·f(y0)<0,则置y2=y0;若f(y0)·f(y2)<0,则置y1=y0;取缩减后区间的中点y0=,转至②.

  

图5 切换区曲线位置关系Fig.5 Curves of switching zone

Step 2如图5,确定切换区边界将交点代入式(19),作变换有等价形式:

 

此即f(z)=ln(1+z)−k·z=0的形式,其中:与Step 1类似,同样可利用二分法求解z,即得到了由式(16),则确定了切换区边界

[9]SAERENS B,DIEHL M,VAN DEN BULCK E.Optimal control using pontryagin’s maximum principle and dynamic programming[J].Automotive Model Predictive Control,2010:119–138.

 

由式(22)确定控制量u(t)=ωc的数值解法与式(21)类似,不再重复.

上述结果是针对第四象限的结果分析,对第二象限,由图形对称性,有切换区下界

 

利用经典的ZN临界比例调度法整定得到的控制器参数分别如下:PD控制中,Kp=218,Kd=0.75;TO控制中,最大控制量|u|=ωm=0.3m/s;PTO控制中,线性区范围为|x1|6d=0.5mm,线性区内采用PD控制,其中:Kp=383,Kd=2.2.下分别以阶跃和正弦信号为例,说明PTO的优势所在.

 

由式(24)确定控制量u(t)=−ωc的数值解法与式(21)类似,不再重复.

线性区边界d主要根据舵机的实际线性范围确定,即受实际系统的母线电压、逆变器容量、电机本身速率饱和值等的影响.d的大小反应在系统响应上主要影响系统的调节时间,由上述推导可见,过大的线性区边界将使得切换区下边界控制量ω0减小,轨线开口变小,从而次优控制区(切换区)增大,最优控制区减小,导致系统调节时间增长,线性区过小会导致系统在原点无法准确停留,从而带来超调.

3.3 控制律建立(Control law summary)

由第3.1节和第3.2节的推导分析,参照图4,针对一阶惯性环节串联积分器的近似时间最优控制律如下:

①线性区外切换区上部的状态点(x1,x2),取控制量u(t)=−ωm;

②线性区外切换区下部的状态点(x1,x2),取控制量u(t)=ωm;

生态足迹和生态承载力的计算结果可以生态账户形式体现并初步判断研究区生态盈余的状态[14]，其计算公式为：

取式(15)中x2>0的部分(如图2),其表明的意义是切换轨线l2上的任何一状态(x1,x2)都可以在负最大控制量−ωm的作用下到达原点.

1.涌现性：新事物的诞生、新化合物的合成和新事物的发现等，使科技词汇随着技术的发展而不断涌现。近十年被收录入《英汉科技大辞典》的科技新词新义就有1万条。

④第二象限切换区内的状态点(x1,x2),由式(24)解算控制量u(t)=−ωc;

⑤线性区内,采用PD控制,其中比例控制对应于系统状态x1,微分控制对应于系统状态x2.

与此同时，卫星定位系统、无线射频技术以及地理信息系统在危险品道路运输中没有得到广泛的运用。一旦出现安全事故，相关部门和救援机构无法及时获取真实信息，使救援部门无法在第一时间进行救援，造成事故危害变大、损失严重。目前，在长三角地区内只有浙江和上海地区的部分危险品运输车辆中装载了卫星定位系统，尚未得到全面的普及。

3.4 稳定性分析(Stability analysis)

PTO控制主要涉及到两次切换,分别是由bangbang最优控制律到次优控制律的切换和次优控制律到线性控制律的切换.由于其切换区和线性区的建立是主要是基于被控对象状态的运动规律,因此其切换是一种可控的切换,稳定性得以保证,下作主要推导分析.

以第四象限的切换为例,如图6,系统状态在最优控制律u(t)=−ωm下经轨线切入次优控制区,记其为则其一定满足

会议指出，干部教育培训是干部队伍建设的先导性、基础性、战略性工程，在进行伟大斗争、建设伟大工程、推进伟大事业、实现伟大梦想中具有不可替代的重要地位和作用。制定实施好干部教育培训规划是全党的一件大事，对贯彻落实新时代党的建设总要求和新时代党的组织路线、培养造就忠诚干净担当的高素质专业化干部队伍、确保党的事业后继有人具有重大而深远的意义。

 

此即系统一定会在某个采样时刻进入切换区而不是直接穿越导致系统振荡,保证了该次切换的稳定性.当系统进入切换区后,控制量u(t)=ωc∈[ω0,ωm],状态点的运动轨线即为式(22),在相平面上表现为介于与l1之间切换进入线性区,保证了第2次切换的稳定性.当系统进入线性区后,采用PD控制,其位置闭环传递函数为

为了实现提高作物产量和品质、降低投入成本、减少肥料造成的环境污染、维持农业可持续发展，建立平衡科学施肥体系成为当务之急。农业主管部门应该积极参与，协调农业专家、企业、流通等各方面优势资源，并给予大力支持，建立起一套行之有效的科学施肥的推广运行体系。比如，拨给专家、农业三站技术人员足够的经费预算，大力支持他们的发展，提高生产企业的社会责任感，使推广系统中纳入他们长期积累的平衡施肥经验、取得的成果。确保实现科学施肥、平衡施肥、合理施肥。

 

显然,若1+kd>0,kp>0,则保证了线性区内系统的稳定性.综上,PTO控制律的切换是稳定的.

“当然有。”我掏出来给他，正疑惑着他要做什么，只见他低头在纸上迅速写下几个字，贴到玻璃窗上给儿子看。里面的年轻人，看着看着，神情变了，两行泪缓缓地从腮边滚落下来。

  

图6 相轨迹运动示意图Fig.6 Sketch map of phase trajectory

4 实例仿真(Instance simulation)

本文以某型舵机为例,分析其输入输出特性,舵机行程为±50mm,额定转速为±300mm/s,速度环带宽为30Hz.建立以一阶惯性环节串联积分器表征舵机输入输出特性的特征模型,其特征参数a=30×2π rad/s,速度限幅为±300mm/s,采样时间为2 ms.舵机位置控制器分别采用PD,TO和PTO三种方法.

“这个狠心的小姐姐，鲲的背上，还有位子的，捎我们一程多么好，早早到万花谷，洗一个热水澡，睡上一觉，多好，我已经多少天没有在有被子跟枕头的床上睡了？” 上官星雨还在抱怨，真是难为上官家的小姐了。

对l2与构成的切换区内状态(x1,x2),其控制量u(t)= −ωc∈ [−ωm,−ω0]满足

4.1 仿真1(Simulation 1)

首先输入幅值为2.5 mm的阶跃信号,其PD,TO和PTO三种控制律的输出信号如图7所示,表1对控制器的性能作了对比.从图中可以看出,与TO控制相比,本文提出的PTO控制方法消除了其振荡和超调的现象,控制精度更高;与PD控制相比,系统超调均基本为0,而PTO的调节时间约减少了31%,动态性能更优.

  

图7 2.5 mm阶跃输入时不同控制方法下的系统响应Fig.7 Output responses with 2.5 mm step commanded input

 

表1 控制器性能对比

  

PD TO PTO调节时间/ms 20.3 12.8 14.0超调量/% 0.6 3.0 0.6

进一步从系统的速度变化说明PTO的优势所在,输入幅值为15 mm的阶跃信号,PD,TO和PTO三种控制律的位置输出信号如图8所示,速度变化趋势如图9所示,图中可以看出3种控制律作用下,速度量均受到了饱和限幅的作用.与TO控制相比,PTO消除了速度振荡现象,系统速度可平滑地趋于0;与PD控制相比,PTO制动过程更快,需要约10 ms便可从最大速度减速到零,而PD控制则需要约26 ms之多.PTO总体性能更优.

  

图8 15 mm阶跃输入时不同控制方法下的系统响应Fig.8 Output responses with 15 mm step commanded input

  

图9 15 mm阶跃输入时不同控制方法下的系统速度变化图Fig.9 Velocity responses with 15 mm step commanded input

4.2 仿真2(Simulation 2)

输入幅值为2.5 mm、频率为10 Hz的正弦信号,其PD,TO和PTO三种控制律的输出信号如图10所示.从图中可以看出,TO能够很好地跟踪系统参考输入,但是存在振荡的现象;PD控制的相位延迟约为16.6◦,PTO控制的相位延迟约为9.4◦,减少了约43.5%,整体表现更加优异.

  

图10 正弦输入时不同控制方法下的系统响应Fig.10 Output responses with sine commanded input

5 结论(Conclusions)

高超声速飞行器要求其伺服作动系统具有高动态高精度的特性,对此本文设计了一种近似时间最优的舵机多模位置控制策略.考虑舵机速度环动态特性,建立了以一阶惯性环节串联积分器表征舵机输入输出特性的特征模型,设计了该模型的近似时间最优控制律,其将位移–速度相平面划分为切换区外、切换区内和线性区3个部分,控制律相应地包括3种模态:切换区外采用bang-bang最优控制、切换区内采用bangbang次优控制、线性区采用PD控制.实验表明,与TO控制相比,PTO避免了振荡和超调;与PD控制相比,PTO调节时间更短,响应更快,总体很好地满足了对伺服作动系统高动态高精度的要求.

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3.1.2 做好置管期间的护理。妥善固定,安置引流管后应固定好引流管,留足长度,防止牵拉将引流管脱出,必要时使用易乐扣固定。保持有效引流,避免引流管扭曲、折叠、受压,防止堵管。密切观察引流液的颜色、量、性质,是否有堵管。严格无菌操作,引流袋放置应低于引流管口,防止逆行感染。

略论财务会计理论与实际相结合创新——高校财会教材适应发展更新 ………………………………… 覃正纳 刘迎春（1/72）

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式(19)表示上的状态在u(t)=−ωm作用下经过一个采样周期T到达的状态点构成的曲线.由式(13)与式(19),即可确定切换区控制量下界值u=ω0,即也得到了切换区边界具体步骤如下:

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确定了切换区的上下边界l1与对切换区内状态(x1,x2),其控制量u(t)= ωc ∈ [ω0,ωm]满足

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