1 引言(Introduction)

近年来,多智能体系统的一致性问题得到了不同领域学者的广泛关注[1–5].在一致性问题的研究中,收敛速度是评价所设计的一致性协议性能的重要指标,从时间优化的角度看,使得多智能体系统在有限时间内实现一致的控制方法才是时间最优的控制方法.目前,关于多智能体系统有限时间一致性问题,已经取得了丰硕的成果,例如文献[6]研究了一阶多智能体的有限时间一致性问题,文献[7]研究了带有领航者的二阶多智能体系统的有限时间一致性问题.这些研究没有考虑到随机干扰的影响,然而在实际问题中,系统经常会受到很多随机因素的影响,许多系统的工作环境也会带有不确定性,因此学者们考虑了随机干扰对物理系统的影响.从应用的方面看,随机多智能体系统具有广泛的应用环境,可以应用于很多不适合人类活动的恶略环境,发挥出了很关键的作用,所以研究随机多智能体系统具有重要的理论价值和实际意义.对于带有噪声的多智能体系统,文献[8]给出了系统实现均方一致的充要条件,在此基础上,文献[9–10]研究了二阶和高阶的带有通讯噪音的线性多智能体系统均方一致性问题.其中文献[12]给出了带有白噪声的多智能体系统实现均方有界一致时所满足的条件.同样,在实际应用中,考虑随机因素对有限时间一致性的影响也是一个有意义的课题.最近几年,在随机系统有限时间一致性方面,Zheng等人[13]研究了带有高斯白噪声的多智能体系统,并证明了该系统在有限时间内实现一致.带有随机干扰的一阶多智能体系统有限时间一致性问题在文献[14]中也进行了讨论.Zhao等人在文献[15]中进一步研究了二阶非线性随机多智能体系统,通过随机有限时间稳定性理论解决了有限时间一致性问题.

在自然界中,群体活动往往能够给群体带来巨大的优势,例如鱼群的自我保护及觅食,狮群的合作围剿猎物以提升成功捕食的概率等.当然在现实生活中,群体运动在很多方面都有着巨大的用途,例如对未知环境的探索,对森林海洋的监测,以及军事中无人机对多个目标的进行侦查、追踪和打击等.因此,研究多目标的环绕控制问题具有很强的工程和军事意义[16–20].在文献[16]里,Marasco等人通过对非线性离散系统的分析,使得一组无人机对一个目标进行包围控制.Chen等人[17]对固定通信拓扑下带有领航者的系统进行了研究,使得所有的跟随者环绕包围固定不动的领航者.文献[18]中,在多智能体系统协同控制问题下,研究了动态多智能体环绕多个目标的问题,其控制协议不仅仅作用在固定目标,也作用在动态目标.在文献[19]里,Zhang等人研究了对多个目标的环绕控制问题.然而,这些文献报告的结果与实际应用还有一定的差距,具体地,第一,部分文献[16–17]中目标与智能体的个数相同,目标状态是固定不动的,这些文章的普遍性与实用性不是很强;第二,部分文献[18–19]中作者考虑的通讯协议中含有导数,在实际的工程上是不易于实现的;第三,部分文献[16–20]中没有考虑随机因素对系统的影响,其文章的可行性不是很强.

另一方面,实际系统必然会受到随机因素的影响,并且随机干扰可能会使系统变得不稳定[8−15].受以上文献启发,本文主要研究了随机因素对多目标有限时间环绕控制问题的影响,运用了李雅普诺夫随机有限时间稳定性理论,证明了所有智能体能够在有限时间内依概率获得目标的位置信息,同时实现随机有限时间环绕控制.最后,通过仿真验证了结果的有效性和正确性.本文的创新点主要有以下3个方面:第一,相比文献[19],本文考虑的通讯协议中不含有导数,有利于在工程上实现;第二,文献[19]中没有考虑输入噪音的影响,而相对于实际情况来说,环境和自身产生的随机因素对系统的影响是很普遍的,研究随机系统的环绕控制具有很强的工程意义;第三,相比渐近环绕控制,有限时间环绕控制具有更快的收敛速度,同时还具有更好的鲁棒性能和抗干扰性能等优点.

符号:R代表实数集,Rn代表n维实数空间,Tr(·)代表矩阵的迹.

2 预备知识(Preliminaries)

代数图论[21]在多智能体系统的一致性分析中起着关键的作用.设n个智能体间的信息交互拓扑图G=(V,E),其中顶点集V={1,···,n},表示有n个智能体,E⊂V×V是图的边集.G的边(i,j)∈E表示智能体i和智能体j之间可以发生信息的交互.图G的邻接矩阵A=[aij],其中aij>0表示节点i和j之间的连接权重,当节点i能从节点j得到其信息时,aij>0,否则,aij=0.图G的拉普拉斯矩阵定义为L=D−A,其中度矩阵D=diag{d1,d2,···,dn}是对角元为di=degin(i),其他元为零的对角矩阵.即有L=对于无向图 G,

设计存在6个目标,并且按照如下的方程运动:

定义1[22] 考虑随机非线性系统

 

其中:x∈Rn表示系统的状态,w表示r维的标准维纳过程,f:Rn→Rn,g:Rn→Rn×r是连续函数并且满足f(0)=0,g(0)=0.对于系统(1),定义T(x0,w)=inf{T>0:x(t,x0)=0,∀t>T},称之为随机稳定时间函数.记φx0(t)=φ(t,x0)表示初始值为x0时系统在t时刻的状态,其平衡点x=0被称为有限时间随机稳定的,如果

3.1 通过正交实验可知，石墨烯促进Fenton氧化实验各影响因素的显著程度分别为：废水pH值>石墨烯加入量>H2O2加入量>n(Fe2+)∶n(H2O2)。

i)依概率稳定:对任意包含原点O的开球Uε,都存在开子集Uδ,使得对任意x∈Uδ/0,有P(φx(t)∈Uε,t>0)>1−ε成立.

ii)有限时间收敛:对任意的x0∈Rn,存在一个随机变量T(x0,w)>0,使得且E[T(x0,w)]<+∞.

四小姐穿上大衣，抱着双手，由丁香带路，款款往石警官的跨院走来。人还未到，早已惊动警局一干人。几个人一阵风似的冲到石警官办公室，其中一个看来与石警官关系较好，拍着他肩膀，偷偷笑着，跟他耳语：“佛像开光，观音显灵，四小姐看你来了。”

其一，地域文化广泛存在。早在先秦时期，中国就已经形成了诸多具有鲜明特征的地域文化，如以今之陕西为中心的秦文化、以今之山西为中心的晋文化、以今之山东为中心的齐鲁文化、以今之四川为中心的巴蜀文化、以今之湖南、湖北为中心的楚文化和以今之浙江、福建为中心的吴越文化等。这些地域文化一直承传、发展到今天并还发生着重大影响。

 

其中则随机非线性系统(1)的解是全局有限时间随机稳定的,而且随机稳定时间T(x0,w)满足E[T(x0,w)]6这意味着T(x0,w)<∞,a.s.

引理 2[23] 设ξ1,ξ2,···,ξn>0,061,则

引理1[22] 考虑随机非线性系统(1),设该系统有全局唯一解.如果存在一个正定有界的二阶连续可微李雅普诺夫函数V:Rn→R+,以及实数K>0,0<α<1,使得

引理3[24] 如果无向图G是连通图,则其拉普拉斯矩阵满足:L有一个零特征值,1n是相应于零特征值的特征向量,即L1n=0,其余特征值都大于零,其特征值可以表示为0=λ1<λ2···6λn.

3 模型描述(Model description)

考虑包含n个智能体和m个目标的多智能体系统.设第i个智能体的动力学方程为

 

其中:xi(t)∈R2表示第i个智能体的位置,ui(t)∈R2表示第i个智能体在t时刻的控制输入.

设目标位置的几何中心为其中ri(t)表示第i个目标在t时刻的位置.

本文的目的是针对每个智能体设计目标状态的估计器,使得每个智能体分别对目标的几何位置中心和环绕半径在有限时间内作出估计,同时实现环绕控制.为此,类似于文献[19],本文对系统作如下假设:

未来海域常规油气产量浅水保持稳定，深水和超深水逐渐发力。中东、亚太及非洲地区产量增长较明显，欧洲地区在高峰产量后递减明显。

假设1 第i个智能体可以跟踪ni>1个目标,并且每个目标只能被一个智能体跟踪.设第i个智能体可以跟踪的目标构成的集合为Mi,i∈{1,2,···,n}.

假设2 所有目标的速度有界,即存在β>0使得∥k(t)∥6β,k∈{1,2,···,m}.

设ik(t)∈R2表示第i个智能体对第k个目标状态的估计,其中:k∈{1,2,···,m},i∈{1,2,···,n},受到文献[13]的启发,考虑如下带白噪声干扰的估计器:

 

其中:A=[aij]n×n为G的邻接矩阵,0<α1<1,噪声强度bij>0,且满足bij>0当且仅当智能体j与智能体i互为邻居.{˙wij(t),i,j=1,···,n}为相互独立的标准白噪声.假定Ft是完备概率空间(Ω,F,P)的σ−代数F的子集,wij(t)关于Ft可测(t>0),wij(t)是一个标准维纳过程.

“嚼舌根”虽是一种劣习，但它却反映了当今社会老人受到忽视产生的畸形心理。其实，老人更需要存在感。子女应时时处处善待老人，家中大小事情请他们一起商量、做决定，经常带他们四处走走、给他们买礼物……让老人常“露面”、常“做主”，老人便会有“存在感”。 而老年人在享受生活时，也需要找寻一些具有正能量的兴趣爱好，多参加集体的公益活动，树立正确的人生观和价值观。

注1 与文献[19–20]相比较,本文考虑的目标状态估计器是带有白噪声的.由于系统经常会受到随机因素的干扰，所以本文考虑了输入噪音的影响,增强了结果的可行性.

用“modest”,“thoughtful”,“kind”形容姨父，与下文“姨父”伪善、虚伪的本质形成对比，起到了反讽的效果。

设

 

其中ρi(t)表示第i个智能体对所有目标的位置估计值与目标几何中心位置的距离的最大值.

为了解决系统(2)的分布式环绕控制问题,对每个智能体设计如下期望环绕半径和期望环绕角度的估计器:

 

其中:li(t),θi(t)为第i个智能体期望位置在以目标几何中心为原点的极坐标之下的极径和极角,k1>0为控制增益,k>1,sgn(·)表示符号函数,θji(t)=θj(t)−噪声强度cij>0,并且满足cij>0当且仅当智能体j与智能体i互为邻居.

 

为实现系统(2)的分布式环绕控制,设计如下的控制协议:

 

其中γ>0.

注2 与文献[19]相比较,本文的控制协议中没有导数项,更利于在工程上的实现.

4 收敛性分析(Convergence analysis)

本节分别分析系统的收敛性,讨论目标几何位置中心、圆形编队半径和圆形编队角度的估计问题,下面首先分析估计器(3)的有限时间随机稳定性.

引理4 考虑系统(3).在假设1和假设2之下,若则每个智能体对目标位置的估计值可以在有限时间内随机收敛到目标位置的真实值.

当k1>2nβk时,V1(t)在有限时间内随机收敛于0,即存在随机变量T2(ε(0),w)使得说明对于每个w∈Ω,ε(t)有限时间内随机收敛到0,并且因此V1(t)−V1(0)6 −(k1−2nβk)T2(ε(0),w),从而E(T2(ε(0),w))即E(T2(li(0),w))<+∞,其中i∈{1,···,n}.因此智能体的运动半径能够在有限时间内随机收敛到编队半径. 证毕.

由假设2可知

来年春天温度、湿度条件适宜时，越冬的分生孢子、新形成的分生孢子或子囊壳内形成的子囊孢子借风雨或气流传播，特别是风夹雨时更有利于传播，传播距离可达20～30 m，甚至50 m。

 

设那么

 

从而可以把对系统(3)的分析转化到对系统(8)的分析.考虑如下李雅普诺夫函数:

 

利用Ito公式,可得

 

 

 

令其中为连通分支a的邻接矩阵,注意到连通分支的通讯拓扑图是无向连通的,根据文献[6]中的引理可知,L()是半正定矩阵,记λ2(L())表示其最小非零特征值.那么

 

令如果可得到 E[T(δ(0),w)]由引理1可知,系统(8)的解δ(t)可以在有限时间内收敛到0,且

 

其中:i∈{1,2,···,qa},a∈{1,2,···,s}.则智能体对目标k位置估计能够在有限时间内随机收敛到第k个目标的位置.取因为s有限,所以<+∞.从而所有智能体对目标位置的估计值能够在有限时间内随机收敛到目标位置的真实值.

引理5 考虑系统(5).若假设1和假设2成立,且k1>2nβk,则智能体的期望的运动半径能够在有限时间内随机收敛到期望编队半径.

证 令 εi(t)=li(t)−kρi(t),其中 ε(t)=[ε1(t)ε2(t) ···εn(t)]T.考虑李雅普诺夫函数为

 

对于∀w∈Ω,可得

 

由式(4)可知

 

[12]MO Lipo,PAN Tingting.Mean-square bounded consensus of discrete-time multi-agent systems with external disturbance[J].Control Theory&Applications,2016,33(3):361–367.(莫立坡,潘婷婷.受外界干扰的离散多智能体系统的均方有界一致性[J].控制理论与应用,2016,33(3):361–367.)

证 对于任何一个目标k∈{1,2,···,m},存在智能体j(k)∈{1,2,···,n},使第j(k)个智能体可以直接观测到第k个目标.由于图G是连通图,故以{v1,v2,···,vn}−{vj(k)}为顶点集,图G相应于{v1,v2,···,vn}−{vj(k)}的边为边集构成一个新的图,则一定包含若干个连通分支,记为其中:顶点集其中q1+q2+···+qs=n−1,并且1∪2∪···∪s∪{vj(k)}={1,2,···,n}.对∀a∈{1,2,···,s},系统(3)可以转化为如下系统:

 

那么

 

因此

 

是器乐教学的基本方法，由老师进行身传言教，老师主要讲解乐器的特点，演奏的要领和注意事项，同时要对演奏中的姿势、指法、呼吸等作示范表演，让学生直观地听、直观地看，对照自己纠正错误的地方，获得立竿见影的教学实效。以巴乌吹奏时的指法教学为例，在教学过程中要遵循由浅入深的教学原则，先让学生跟着自己模仿低音so、la、si的指法与吹奏，然后让他们参照巴乌常用指法表对do、re、mi三个音进行自主摸索着学习，并引导学生总结低音区与中音区吹奏时气息上有何区别，循序渐进地培养他们的观察能力和学习主动性。

最后讨论编队角度的有限时间估计问题,对系统(5)的第2个方程,即系统(6),进行分析.

引理6 考虑系统(6).若假设1和假设2成立,则每个智能体的期望环绕角度能够在随机有限时间内均匀分开.

证 系统(6)可以改写为如下形式:

 

令考虑李雅普诺夫函数其中(t)=[1(t)2(t)···n(t)]T,类似于引理4的证明可以得到

 

令可以得到由引理2可知,系统(6)的解(t)可以有限时间内随机收敛到0,且E[T3(θi(0),w)]<+∞.因此智能体环绕角度能够在有限时间内均匀分开.

证毕.

定理1 考虑系统(2).若多智能体系统的网络拓扑是连通图,并且假设1和假设2成立,那么当α1>且k1>2nβk时,控制协议(7)可以使多智能体系统(2)在有限时间内实现对多目标的环绕控制.

证 由引理4可得,存在随机变量>0,对于任意的ε>0,i∈{1,···,n},使得并且则所有智能体对目标位置估计能够在有限时间内随机收敛到目标位置.由引理5可得,存在随机变量w),i∈{1,2,···,n},使得0,且E(T2(li(0),w))<+∞,说明系统(2)中智能体的运动半径能够在有限时间内随机收敛到编队半径;由引理6可得,存在随机变量T3(θi(0),w)>T2(li(0),w),对于任意的ε>0,i∈{1,2,···,n},使得并且+∞,即智能体角度能够在有限时间内均匀分开.对于系统(2),类似于引理5的证明可以得到,存在T4(xi(0),w),使得当 T4(xi(0),w)>T3(θi(0),w)时,系统(2)的解xi(t)可以在随机有限时间内收敛到i(t),即智能体在有限时间内可以到达设定的期望位置,从而实现了系统(2)在有限时间内对多个目标的环绕控制.证毕.

注3 不同于文献[19],本文中的智能体首先对于目标的位置进行估计,然后估计出目标的运动半径,并且能在有限时间内随机收敛到目标的运动半径,定理1表明多智能体系统可以在有限时间内实现对多个目标的环绕.相比文献[19],本文研究的结果更加符合实际的需求.而且同时考虑随机因素影响和有限时间收敛的多目标环绕控制问题的成果还不多,本文的研究丰富了这方面的研究结果.

5 数值仿真(Simulations)

考虑由4个智能体组成的多智能体系统,其拓扑结构如图1所示.

3）化学反洗。MBR每运行一周进行一次化学反洗，化学反洗的过程与在线反洗时类似，不同的是将反洗泵先后切换至次氯酸钠及氢氧化钠溶液槽、柠檬酸溶液槽，分别将清洗药品打入反洗水管内。次氯酸钠有助于去除在膜上的有机附着物、柠檬酸则有助于去除无机结垢物。

研究地位于甘肃省武威市凉州区黄羊镇农垦农场甘肃农业大学牧草试验站，地理位置N 37°52′20″，E 102°50′50″。地处甘肃河西走廊东端，属典型内陆荒漠气候区，海拔1 581 m；全年平均无霜期156 d，降水量164.4 mm，蒸发量1 919 mm，年均气温7.8℃，日照时数2 968.2 h，≥10℃年积温2 985.4℃；年太阳辐射总量504～630 kJ/cm2。供试土壤为灌漠土，耕层有机质15.71 g/kg、全氮0.87 g/kg、全磷1.02 g/kg、速效磷13.38 mg/kg、速效钾248.63 mg/kg，土壤pH8.2。

其中拉普拉斯矩阵L为一个对称矩阵.

 

 

其中ω为角速度,取

另外取当智能体i与智能体j之间互为邻居时,给定aij=bij=cij=1,否则aij=bij=cij=0.设{˙wij(t),i,j=1,2,···,n}为标准白噪声,初始状态取值为(5,−10),(2,3),(10,1),(11,9).

图2–5表明各智能体的运动半径能够在有限时间内随机收敛到编队半径,各智能体对目标位置的估计值能够在有限时间内随机收敛到目标位置,各智能体初始角度能够在有限时间内随机收敛到编队角度,最终各智能体会在有限时间内保持在圆形编队上并且围绕着所有目标,实现环绕控制.通过图5可以看出,各智能体的状态将跟随着目标的变化而变化.

  

图1 多智能体系统通信拓扑图Fig.1 The fixed network topology of multi-agent systems

  

图2 各智能体对目标几何中心的估计Fig.2 The estimation of targets’geometric center of each agent

  

图3 各智能体期望的编队半径Fig.3 The desired formation radius of each agent

  

图4 各智能体期望的编队角度Fig.4 The desired formation angle of each agent

  

图5 固定拓扑下随机多智能体系统智能体及目标的轨迹立体图Fig.5 The 3D stereogram trajectories of the agents and targets of stochastic multi-agent systems with fixed topology

6 结论(Conclusions)

本文研究了随机多智能体系统对多目标的有限时间环绕控制问题.提出了通过编队控制的方式对多目标进行有限时间环绕控制的方法.本文假设每个智能体可以跟踪多个目标,不过每个目标只能被一个智能体跟踪.首先,为每个智能体设计了目标状态的估计器,同时在白噪声干扰之下,证明了每个智能体能够在有限时间内对目标几何中心位置作出估计.其次,为每个智能体设计了环绕半径的估计器和分布式环绕的控制器.通过李雅普诺夫有限时间随机稳定性定理,证明了所有智能体能够在有限时间内对环绕半径作出估计,同时实现有限时间环绕控制.最后,通过仿真验证了本文的有效性和正确性.下一步工作会探讨如何将本文结果推广到有向网络和随机切换网络中.

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随着人工智能的快速发展，工业机器人被广泛地应用于各行各业，而对于工矿企业来说，工业机器人指的是多关节的自动化机械设备，我们将其统称为机械手，它能够替代人去工作，将人从高危行业解放出来。而民用炸药生产作为一个高危行业，更应该提高其自动化程度。本文介绍的这种机械手具有很好的可控性和稳定性，能够准确、快速地将生产好的炸药条进行分拣和装箱，从而大幅度提高企业的生产效率。

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在一篇针对马尔梯的一篇书评中，胡塞尔也表达了相似的观点：只可惜没有“是-因素”也就没有统一，即便在单纯表象中也没有。“这个红的圆的”(Dies rot rund)并非一个思想，恐怕我们必须说：“这个红的圆形之物”(Dies rote Runde)，此时，我们在形容词词尾中拥有“是-思想”(Seinsgedanken)。[注][德]胡塞尔：《文章与书评》，高松译，北京：商务印书馆，2018年，第291页。

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突然静秋顿住动作。甚至，楚墨闻不到她的呼吸。她仍然垂着眼，只是楚墨从她的眸子里，看到一朵稍纵即逝的浪花。少顷，静秋抬起头，四目相对，静秋的嘴角，轻轻抽动一下。

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