1 引言(Introduction)

半导体制造是国民经济的支柱产业,它的飞速发展对各行各业都有着深远的影响.半导体晶圆生产过程包括化学沉积、光刻、蚀刻、溅镀等多个步骤[1],每一步都离不开品质的监督与控制.在半导体晶圆生产过程中,由统计过程控制(statistical process control,SPC)和先进过程控制(advanced process control,APC)发展而来的批间控制(run-to-run control,RtR)应用极为广泛[2].它能依据上一批次晶圆品质信息及时调整RtR的扰动项,提高控制系统性能,优化下一批次的产品品质.指数加权移动平均(exponentially weighted moving average,EWMA)算法[3]是批间控制中常用算法,但在面对漂移扰动(如机台老化)时,EWMA算法容易产生偏差,若有测量时延,偏差更明显[4–5].

晶圆加工过程中,晶圆品质离线测量是造成测量时延的主要原因[6].由于测量时延,当前批次的晶圆品质信息不能及时用于下一批次的扰动估计,这不仅会影响产品的成品率,更有可能影响RtR控制器的稳定性.有学者对含量测时延的线性及非线性系统进行了广泛的研究,提出了消除随机时延影响的高斯滤波方法[7]、粒子滤波方法[8],以及采用最大似然标准估计未知恒定概率的方法[9].针对RtR系统,有学者深入分析了固定测量时延与EWMA算法性能及系统稳定性的关系[10–12];也有学者提出了输出扰动观测器(output disturbance observer,ODOB)框架下的批间控制算法[13–14],通过设定滤波器中测量时延与滤波器参数,克服测量时延对系统带来的不良影响.针对测量时延是随机且时变的情况[15–16],在测量时延满足Markov链条件时,基于Markov链理论,有学者推算出各批次测量时延的概率[17];并在此基础上,对EWMA算法进行优化设计[18],但是该方法要求时延与系统输入/输出独立,不能依据系统的实际输出及时调整概率估计.也有学者基于贝叶斯统计方法提出了测量时延的在线估计方法,并给出了基于测量时延的dEWMA控制器设计方法[19].

本文在分析测量时延估计对系统性能影响的基础上,结合系统的实际输出,利用期望最大化(EM)算法[20–23]估计系统的随机时延概率.在此基础上,提出新的扰动估计方法,提高EWMA算法的性能.

2 问题描述(Problem description)

晶圆加工过程可用如下方程描述:

 

式中:u(t)和y(t)分别是第t批次的输入和输出,β是过程增益,α为截距项,η(t)是时变扰动项.该过程采用EWMA算法控制,即:输出估计式

定理1 在满足假设1条件下,如果系统的模型不匹配系数ξ及EWMA算法的参数ω满足则由扰动估计式(20),式(4)控制的系统(1)是稳定的.证明详见附录B.

 

扰动估计式

 

反馈控制率

 

式中:T为设定值,b是增益β的估计,ω为EWMA的折扣因子.

由于生产成本和测量技术的制约,实际生产过程中总会存在一定的测量时延,影响RtR控制器的性能,进而影响晶圆的品质.设第t批次,系统测量时延为τ(t),通常测量时延是随机、时变的,亦即τ(t)未必与τ(t− 1)相等.如图1所示.

  

图1 批间控制的时延形式Fig.1 The form of metrology delay in RtR control

设第t批次测得晶圆品质数据为y(t−τ(t));但若τ(t−1)+1<τ(t),新的系统输出y(t−τ(t))未及时测量,则取y(t−τ(t))=y(t−1−τ(t−1))作为第t批次晶圆品质数据.对系统中的测量时延做如下假设.

假设1 ∃D∈N∗,使得∀t∈N∗都有τ(t)6 D成立.则称D为系统最大测量时延.其中N∗为正整数集合.

2.2.2 接穗处理 把提前采集好的种条贮藏在湿河沙中，河沙湿度以手握成团、落地散开为宜。贮藏种条的地点最好是昼夜温差小，背阴的地窖。嫁接前一天，把提前贮藏的种条浸入水中12 h，促进枝条吸收水分。将采集的种条剪成10 cm长的接穗，头部蘸蜡封闭剪口，以降低嫁接后头部水分的蒸发，提高成活率。

于是系统在第t批次的测量时延为τ(t)∈{1,2,···,d,···,D},结合式(3)–(4)可得系统含测量时延的扰动估计式为

 

定义第t批次,测量时延τ(t)=d的概率为p(d)=P(τ(t)=d),d∈{1,···,D},则有并定义pd(t)为第t批次对p(d)的估计,亦有由于测量时延τ(t)不能确定,故根据测量时延概率,取前一次扰动估计的加权均值代替式(5)中(t−τ(t)),即将式(5)改写为

 

从上式可知,若能知道第t批次测量时延概率估计pd(t),则可估计出第t批次系统的扰动项(t),改善EWMA算法的性能,进而提高待加工晶圆品质.本文将在下节阐述估计测量时延概率pd(t).

3 测量时延概率估计(Probability estimation of metrology delay)

在第t批次,取最近生产的M个晶圆品质数据,其概率密度为

 

针对在半导体晶圆生产过程中存在随机测量时延的情况,采用EM算法估算出测量时延的概率,并融合到EWMA算法中.在此基础上,分析补偿输出中可能会包含的静差项,得到能够应对随机测量时延的扰动估计算法,提高了EWMA控制算法的性能.其次给出了系统的稳定性充分性条件,最后以仿真实例验证该算法的有效性.

 

其中:定义∈{1,···,D}表示第t批次对测量时延d的估计,则表示根据时延估计得到的测量时延为d的系统输出集合.将系统输出y(t)分到该集合中,表示第t批次集合中测量时延为d时品质数据的数量.满足正态分布,有

 

构造似然函数

 

根据Jensen不等式[18]可得

 

EM算法包括两个步骤:求期望(E--step)和最大化(M--step).通过这两个步骤的交替迭代,求解目标函数(11)的最优解.在第t批次定义参数初值及迭代次数初值l=0,进行逐次迭代.记第l次迭代计算中的参数为:迭代计算包括:

通过口袋书和口头解答的方式，为群众提供便民咨询，工作人员为群众提供办事指导，实现了“让群众少跑一趟”的目标。

(E--step):计算

在已坍塌的土体上初喷厚10～15cm的混凝土，先控制被渗漏水软化的土体，再于初喷面上挂网继续喷浆，喷混凝土厚度达25～30cm，钢筋网片采用φ8mm圆盘制成15cm×15cm的网格状，焊接在拱部前次已打设好的锚管上，并沿坍塌斜面从拱部向下满铺，在满铺的钢筋网片面上按间距1.2m×1.2m梅花型打设2.0m长φ22mm锚杆进行锚固，最后喷混凝土成为封闭体。

 

(M--step):更新概率的估计值

 

均值的估计值

 

方差的估计值

 

从而有直至满足收敛条件

 

迭代终止时,迭代次数为l∗=l+1,参数估计值为f∗(t)=f(l∗)(t),其中第t批次系统测量时延概率估计向量为即第t批次测量时延τ(t)=d的概率估计带入式(6)估计系统扰动.且d取最大元素位置,用于式(8)的分类及计算.此外,设系统总共生产N批次,定义中品质数据的数量占生产批次总数的比例pEM(d)=为最终对测量时延概率p(d)的估计.

4 系统稳定性分析(Stability analysis)

在半导体晶圆生产过程中,扰动的典型形式为IMA(1,1)及漂移(drift),分别模拟环境噪声及设备的缓慢老化过程,即

 

式中:δ为drift扰动的斜率,为IMA(1,1)中的白噪声,θ为IMA(1,1)的参数.

定义1 对于由式(1)(6)(4)构成的闭环系统,若系统输出渐近收敛到目标值,即则视系统为稳定的.

由式(6)和式(1)可得含随机测量时延的系统

 

其中ξ=β/b为模型不匹配系数.由上式可得,随机测量时延条件下的系统输出为

 

则系统输出存在静态误差项为消除该项,将扰动估计式(6)写成如下形式:

 

从而满足定义1的要求,证明详见附录A.其稳定性条件由定理1给出.

各个子模型可以准确的表达非线性系统在各个建模工况点附近的动态信息，由此构成的多模型集完全包含了被控对象的动态信息。取得被控对象的阶跃响应模型ai后，假设控制器的输出保持不变，未来N个时刻的对象输出有初始预测值系统在稳态启动时便可取其中k+i|k表示在k时刻对k+i时刻的输出预测。Δu(k)表示k时刻控制器的控制增量值。由此，可利用线性系统叠加性质计算出在控制增量作用下被控对象未来时刻的输出值，如式(2)所示：

5 仿真验证(Simulation examples)

为验证本文算法的有效性,本节将采用数值仿真,并与文献中基于Markov链理论估计测量时延概率及COM--EWMA--RtR方法,以及基于在线时延估计的dEWMA算法作比较,详述如下.

在以往的教学中，教师把更多的目光放在了学生的学习成绩上，对于学生某个知识点掌握的好坏和学习效率的高低并没有过多的关注。对于数学中的一些概念或者是定理也主要是让学生通过死记硬背的方式掌握。这样一来就降低了学生学习的主动性，导致学习的效果并不理想。信息技术的加入，给学生带来了全新的学习体验，比如学习到关于几何图形的知识，教师就可以借助白板进行一些七巧板的游戏，让学生在游戏中学到知识，还能够有效提高学生的观察力，并且能够更加深刻地认识到几何图形的一些特点。

5.1 概率估计结果及扰动跟踪效果(Probability estimation and disturbance tracing)

不失一般性,设系统目标值为T=0,增益为β=3,模型匹配ξ=1.噪声如式(17)所示,噪声η(t)的IMA(1,1)的参数为drift扰动的前20个批次斜率是δ=0.25,后80个批次的斜率为δ=−0.25.设系统最大测量时延D=6,测量时延概率取均值1/6.

此外,不同drift扰动及模型不匹配系数下,本文算法的控制效果如表1.

 

其中N为生产批次数.

如图5所示，考虑到采油污水处理以及锅炉用水的需求，该方案中将部分采油污水通过泵加压后，引入AHT中与高温吸收器进行换热，随后得到的高温高压污水进入闪蒸罐获得水蒸气，经冷凝后可作为锅炉给水。此方案同时实现了对余热的回收以及对污水的回收利用。相比于方案一的直接换热系统，该系统增加了闪蒸罐等设备、回收利用效率相对较低，适合水资源稀缺及环保要求严格的地区。

设定本文算法(EM--EWMA)的各个参数,其中折扣因子ω=0.7,测量时延概率估计中取M=D=6个品质数据,收敛条件e=0.01.则本文算法对各测量时延的概率估计情况如图2所示.各子图中红色实线为设定的测量时延概率p(d),d∈{1,···,D};蓝色点画线为本文算法各批次对测量时延概率的估计pd(t);黑色点线表示本文算法最终的测量时延概率估计pEM(d).从图中可以看出,采用本文算法(EM–EWMA),各批次的测量时延概率估计有很大变化,而最终各测量时延的概率估计与设定值接近.

将概率估计结果带入式(20),得到扰动估计及系统输出如图3所示.图3(a)为系统输出;图3(b)为噪声跟踪,其中:红色实线为噪声,蓝色带叉实线是由式(20)得到的噪声跟踪.扰动估计能及时跟踪扰动,从而MSE较小.

本节主要针对低电压SRAM出现的各种静态故障类型,以March C+算法为基础推导出更有效的March算法来覆盖更多低电压SRAM中的静态故障类型。

仿真中取均方误差(MSE)为系统性能的评价指标,该值越小,表示控制效果越好:

[5]KWON J S-I,NAYHOUSE M,ORKOULAS G,et al.A method for handling batch-to-batch parametric drift using moving horizon estimation:Application to run-to-run MPC of batch crystallization[J].Chemical Engineering Science,2015,127(7):210–219.

 

  

图2 本文算法对系统随机测量时延的估计Fig.2 The estimation of stochastic metrology delay

  

图3 扰动跟踪性能Fig.3 The performance of disturbance tracing

 

表1 不同条件下的控制效果Table 1 Performance under difference conditions

  

No.δ ξ ω MSE 1 1.5 0.3 0.4 4.0398 2 1.5 0.9 0.6 2.0833 3 1 1 0.6 1.6093 4 0.5 1.1 0.8 1.6702 5 0.5 1.4 0.9 91.3027

 

  

图4 情况3和情况5条件下的输出Fig.4 The output in the case 3 and 5

5.2 本文算法与Markov链(文献[17])算法对时延概率估计比较分析(Comparison of metrology delay probability estimation between the Markov chain method(reference[17])and the proposed algorithm)

设系统目标值为T=0,增益为β=1,模型匹配ξ=1.噪声η(t)的IMA(1,1)的参数为θ=0.7.drift的斜率δ=3.系统最大测量时延为D=8.系统的随机测量时延概率为:p=[0.4 0.05 0.05 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1].

[16]WANG K B,JING L.A run-to-run control algorithm based on timely and delayed mixed-resolution information[J].International Journal of Production Research,2013,51(15):4704–4717.

 

  

图5 本文算法与Markov链方法(文献[17])算法比较Fig.5 The comparison between the proposed algorithm and Markov chain method in reference[17]

图5中:红色实线为设定的测量概率为p(d);蓝色虚线为Markov链算法(文献[17])对概率的估计,用pMa(d)表示;黑色点线为本文算法对测量概率的最终估计pEM(d).图中,除对p(1)和p(4)的估计,文献[17]中采用的Markov链方法(蓝色虚线)更准确外,本文算法(黑色点线)对测量时延概率的最终估计均优于Markov链方法,且当测量时延大时,优势更加明显,如对p(7)和p(8)的估计比较.即本文算法在估计测量时延概率方面,尤其在测量时延较大的时候,本文算法较文献[17]的Markov链方法更具优势.

5.3 本文算法与COM–EWMA–RtR(文献[18])算法的系统输出比较(Comparison of system output between COM–EWMA–RtR(reference[18])and the proposed algorithm)

采用文献[18]中的仿真条件,T=0,β=1,模型匹配ξ=1,噪声η(t)中IMA(1,1)的参数为=0.5,系统最大时延为D=3.文献[18]考虑系统中可能存在未被测量的输出,设其概率为pn=0.2782,随机测量时延的概率为p=[0.2707 0.2707 0.1804].本文视所有产品都被测量,只是测量时延更大.故将文献[18]提及的未被测量的概率视为测量时延为4进行估计,取M=D=4个品质数据,收敛条件e=0.01,其结果如表2所示.

 

表2 与COM--EWMA--RtR(文献[18]算法)的比较Table 2 Comparison with COM--EWMA--RtR algorithm(in Reference[18])

  

文献[18]EM--EWMA No.δ ξ ω MSEω MSE 1 0.5 0.8 0.1 0.6772 0.1 0.5725 2 0.1 0.8 0.1 0.4988 0.1 0.5054 3 0.1 0.8 0.9 1.0515 0.9 0.9644 4 0.1 0.5 0.9 0.6744 0.9 0.6017

对于第5.2节中的各个参数,COM--EWMA--RtR算法与本文算法的控制结果如图6.

  

图6 EM--EWMA与COM--EWMA--RtR算法的输出比较Fig.6 Comparison between EM--EWMA and COM--EWMA--RtR controller

其中图6(a)为文献[18]的COM--EWMA--RtR算法控制效果;图6(b)为本文算法控制效果.如表2及图6所示,当系统的随机测量时延变化较小时,本文算法能达到COM--EWMA--RtR算法的效果,而当测量时延变化较大时,本文算法仍可以保持较好的控制效果.

5.4 本文算法与dEWMA在线估计时延(文献[19])的系统输出比较(Comparison of system output between the online metrology estimation algorithm based dEWMA(reference[19])and the proposed algorithm)

设系统及控制参数如式(1)中各值,噪声η(t)仅采用白噪声,系统的测量时延如图7所示.

  

图7 系统测量时延Fig.7 The system metrology delay

采用文献[19]的方法,选择滚动窗口w=5得到该方法控制效果与本文算法的效果如图8所示.其中:图8(a)为文献[19]的算法控制效果;图8(b)为本文算法控制效果.

  

图8 本文算法与文献[19]的输出比较Fig.8 The comparison between the proposed algorithm and the algorithm(Reference[19])

由图8可知,文献[19]的方法在时延估计不准确的批次,系统输出偏差较大,特别是在时延数值变换时,MSE比较大.但采用本文的算法,取估计的加权均值则可以改善控制效果.

《傲慢与偏见》和《南方与北方》都有一个鲜明的牧师形象——柯林斯先生和黑尔先生。柯林斯先生虽然和班纳特先生一家并不亲近，但由于班纳特先生没有儿子，于是他便成了家族的继承人。简奥斯丁并没有用大量篇幅去描写宗教及其相关内容，但从她对柯林斯的描写中，我们可以窥探到她对这位牧师的态度。“柯林斯先生并不是个通情达理的人”[1]“先天的缺陷却简直没有得到什么弥补”[1]。柯林斯是个守财奴，虚伪且自高自大，而其对咖苔琳太太不断的奉承和讨好更显示出作者对这一角色的鄙夷。但从这一角色的设定和背景可以看出，牧师作为英国社会文化的一部分，起着相当重要的作用。夏绿蒂正是因为柯林斯的财产和地位才嫁给他。

6 总结(Conclusions)

式中:为第t批次的参数矩阵,(这里仅阐述第t批次的测量概率估计,故pd(t)的批次标号省去),且µd,Σd分别为第t批次、测量延时为d所得晶圆品质数据的均值和方差,即

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情况2–4在定理1给出的稳定性充分性条件内,情况1,5分别在给定的稳定性充分性条件上下界外.其中第3种和第5种情况的系统输出见图4所示.

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将获取到的生命体征数据按照格式要求填充至输入张量（tensor）中，将输入数据与权值相乘，再与偏移值相加，经过两个隐藏层后，再通过ReLU 变换和Softmax 层得到最终输出变量，在进行梯度下降函数求解过程中，将会采用神经网络模型的输出结果作为其输入，保证梯度下降函数的最优。

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需要指出的是，X404上堰沟主次峰在峰值和数据点的分布上差距较明显，在粒度区间-1Φ～0.27Φ主峰数据点个数占总个数的12.5%，而峰态平坦较宽的次峰数据点个数占总个数的77.5%，所以可能是主峰粗粒组受到搬运作用，沉积在该处粒径分布较为均匀的原有粒组旁，且在这过程中受到了较差分选作用，使两粒组混合有限，主峰峰态表现为陡而窄。

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设本文算法(EM--EWMA)中,取M=D=6个品质数据,收敛条件e=0.01,折扣因子ω=0.7.本文算法测量时延概率的最终估计结果与Markov链理论算法(文献[17])的比较如图5所示.

[17]AI B,SENTIS L,NICHOLAS P,et al.Stability and performance analysis of time-delayed actuator control systems[J].Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control,2016,138(5):051005.

我国改革开放四十年，也是我国宪法玉汝于成的四十年。回顾我国宪法发展历程，从1949年制定的起着临时宪法作用的《中国人民政治协商会议共同纲领》(以下简称《共同纲领》)到新中国第一部宪法1954年《宪法》的诞生，从“文革”期间宪法被架空到1975年《宪法》和1978年《宪法》的修订，从现行1982年《宪法》的颁布实施到如今的依宪治国、依宪执政，我国宪法在跌宕起伏中完成着它的使命。

拿着一支百合的何西推门进咖啡厅，举目环视一眼看到一巨胖女孩单独坐在一张桌前一副等人的模样，就有一种不祥的预感，再往里面走了几步想看看还有没有别的女孩，这时胖女孩往门口这边张望，何西吓得慌不择路直往门口跑，跑到门口急忙掏出手机打电话：“何东，特胖……”

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沿着HBSP传输数据包能够减少端到端传输时延,并且防止数据包到达空洞边界,缓解了局部最小问题。然而,如果所有数据包沿着HBSP传输,则增加了边界网络区域的负载,如图1(b)所示。

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附录A 系统输出渐近收敛(Appendix A Asymptotic convergence of system output)

令式(20)中由式(20)(4)控制的系统(1)的输出为

 

由终值定理得系统的最终输出为

 

附录B 系统稳定的充分性条件(Appendix B The sufficient condition of system stability)

若要满足系统稳定时的要求,由过程模型(1)得在扰动不计情况下要求满足首先构建系统状态空间方程,设系统的目标值T=0,综合式(1)(20)(4)得

 

式(B1)可描述成状态空间的形式

 

若则该状态空间方程渐近稳定.

定义X(0)为系统非零初始状态.从而可以得到X(t)=另外定义对于∀k∈[1,t],这里表示中第i行,矩阵的维数为D.所以∥当时,满足如下几个式子:

 

 

当t=2时,若以上3式显然成立;

当t>2时,假设上式仍然都成立,则

 

当时,

故对于任意t均有式(B3)–(B5)成立.所以有

令且存在N0,使得MN0,∞<1时,从而可得

 

 

其中有令从而有则即系统是稳定的[24].