0 引 言

滚动轴承广泛应用于旋转机械中，轴承缺陷是引起机械故障的重要因素之一。轴承缺陷包括两大类：分布式缺陷和局部式缺陷。一般来说，轴承划伤缺陷是引起轴承失效的主要原因。

轴承划伤缺陷的振动响应模型是为了研究缺陷对轴承冲击引起的轴承振动响应，在轴承结构振动模型的基础上提出的一种轴承振动简化模型[1]。对轴承缺陷模型的建立主要存在以下方法：

(1)局部式缺陷的冲击序列模型。MCFADDEN等[2-3]使用一串串周期性脉冲函数模拟单点和多点局部式缺陷对轴承振动的影响，使用脉冲函数中的放大系数表示缺陷的冲击程度；CHOUDHURY等[4]使用冲击力序列模拟轴承局部式缺陷的激励作用，该冲击力激起了内圈、外圈等轴承元件的共振模态；陈於学等[5]利用脉冲冲击波模拟滚动轴承早期缺陷振动；曹宏瑞等[6]、武济钢等[7]利用一系列冲击脉冲描述滚动体经过损伤时产生的冲击现象。

（1）仪器：选择美国Siemens Sequoia 512型彩色多普勒超声诊断仪，内置对比脉冲序列成像系统，可提供实时超声造影检查，探头为4CI-S，调整频率为15MHz；选择意大利Cracco公司提供的造影剂，每瓶25mg冻干粉与氯化钠溶液5ml（0.9%），经震荡为微泡悬浮液备用；

(2)轴承系统的多体动力学模型，这种模型建立轴承系统的非线性动力学模型，并对其进行求解得到轴承系统的振动响应，将轴承缺陷引起的轴承元件间的附加趋近量添加到正常情况下的弹性趋近量中，根据Hertz接触理论计算接触载荷。ARSLAN等[8]建立了轴承-转子系统的动力学模型，研究了局部式缺陷引起的角接触球轴承的振动特性；PATEL等[9]考虑局部式缺陷的宽度和深度建立了套圈含局部式缺陷的滚动轴承动力学模型；MOAZEN等[10]考虑滚动体的质量建立了滚动轴承非线性动力学模型，研究了局部式缺陷对接触载荷及振动的影响。

本文将通过引入划伤缺陷引起轴承内、外圈之间额外弹性趋近量，利用余弦函数建立内圈划伤、外圈划伤的缺陷模型，从而得到划伤缺陷滚动轴承外圈的非线性动力学模型，并基于Simulink进行仿真求解，得到外圈的缺陷振动响应，同时对振动特性进行分析，为滚动轴承振动仿真分析及故障诊断提供理论依据。

1 滚动轴承划伤缺陷动力学模型

滚动轴承无缺陷时，利用Simulink仿真得到的内圈-外圈接触变形量及接触载荷的变化、轴承外圈Z向的加速度响应如图6所示。

  

图1 轴承的振动模型

假设滚动体匀速转动，则t时刻第j个滚动体的方位角可以写为：

他分析，对患者来讲，就诊通常有两个节点：普通不适时，以方便为主；重大疾患时，以技术为焦点。当两家医院技术相差无几时，患者就会比较服务、价格、安全性。

[5] 陈於学，王冠兵，杨曙年. 滚动轴承早期缺陷振动的简化模型[J]. 轴承，2007(10):18-21，34.

3) HTML文档调用。在调用MTML文档时采用ID选择器的方式，在布局好的Div中添加ID选择器，若在某个Div中添加内容，可直接使用ID选择器。图5为HTML文档调用,采用的ID选择器为$(‘#mytest1’)，调用封装好的JQuery(GE1monter)，这里设置的是Div内容显示的宽度和高度，也可根据需要对其默认属性进行相应的修改。

 

(1)

式中：ωc—保持架转动角频率；φ0—首个滚动体的初始方位角；Z—滚动体个数。

参考文献(References):

1.1 接触变形量

考虑无缺陷轴承中的接触情况。根据图1所示的球轴承振动模型，在外界因素的作用下，轴承转动过程中内、外圈滚道与滚动体之间产生接触变形，方位角φj处的正常轴承内、外圈滚道的相对趋近量δj可以表示为：

δj=-xsinφj-zcosφj-Cr

(2)

式中：Cr—滚动轴承的径向间隙。

若轴承元件中存在缺陷，当缺陷位于滚动体与内、外圈滚道的接触区域时，缺陷的存在将产生额外的弹性趋近量δ′。

滚动轴承内、外圈滚道表面划伤缺陷模型如图2所示。

  

图2 划伤缺陷示意图

此处假设缺陷为早期划伤缺陷，即缺陷宽度较小，滚动体经过划伤缺陷时不与缺陷底部接触。

当滚动体进入损伤区域时，其和滚道之间由于缺陷产生的额外趋近量可使用余弦函数表示为[11]：

 

(3)

式中：v—接触零件之间移动的相对速度；wd—缺陷宽度；φd0—缺陷初始方位角；φj，φd—滚动体和缺陷的瞬时方位角；φ—缺陷范围角，φ≈2wd/d；d—划伤缺陷所在滚道的直径(内圈或外圈滚道)；Δ—缺陷引起趋近量的幅值。

Δ大小由缺陷严重程度及轴承几何尺寸决定：

(2)在轴承转动过程中，某一滚动体并不是始终与内圈、外圈接触，存在脱离接触的情况，即图中接触变形量及接触载荷为零的时刻，该时间与径向载荷、轴承结构及游隙等有关，如图6(a，b)所示；

 

(4)

式中：“+”—内圈划伤情况；“-”—外圈划伤情况；φb≈2wd/Db；Db——滚动体直径。

此时，内、外圈间的总接触变形量为原接触变形与缺陷引起的内、外圈额外趋近量之和，即：

δej=δj+δ′

(5)

1.2 接触载荷和阻尼力

在滚动轴承的接触问题分析中，只有当滚子和内、外圈滚道接触时才产生接触载荷Qsj，因此，本研究将接触载荷表示为分段函数，即当接触变形量为正值时才存在接触载荷，否则接触载荷为0。根据Hertz接触理论，方位角φj处内、外圈的接触载荷Qsj可表示为[12]：

本文以宁波市主城区为研究对象，利用SPSS软件对重分类后的POI数据的街区密度进行主成分分析，然后根据各主成分对原始指标的载荷情况选出能够表示商业区、文教区、工业区的综合指标，即以第一主成分作为反映商业区特征的综合指标，以第二主成分作为反映文教区特征的综合指标，以第五主成分作为反映工业区特征的综合指标，对这三个综合指标进行可视化表达（图一至图三），颜色越深代表该综合指标载荷的相应POI点的数量越高，就越能够识别相应的功能区。依据可视化表达结果分析宁波市主城区功能区分布格局：

 

(6)

式中：Kn—内、外圈等效载荷-变形系数；n—载荷-变形指数。

对球轴承，n=3/2；对滚子轴承，n=10/9。

同样的，接触副间的阻尼力Qdj可以写为：

 

(7)

刘吗？一定是假的。她已经认出了我，她一定都知道了关于我的事，她哄我了。她不愿意再认识我了，便是友谊也不想继续了。女人！……她为什么改了姓呢？……也许这是她丈夫的姓？刘……刘什么？

1.3 轴承外圈动力学方程

根据图1可以得到轴承外圈X向和Z向的运动微分方程分别为：

 

(8)

 

(9)

式中：mo—外圈质量；Fr—施加在外圈上的径向载荷；Z—滚子个数；Qsj，Qdj—方位角φj处内、外圈接触副间接触载荷和阻尼力，分别由式(6，7)给出。

2.2 儿童精细动作智龄与实际月龄比较 各月龄组精细动作智龄与实际月龄比较见表2。月龄组6～、12～及24～的智龄与实际月龄比较差异有统计学意义 (P<0.05)，其各月龄组的智龄均数均低于实际月龄。

2 Simulink动力学仿真模型

Matlab是当今较流行的以数值计算为主的软件，其中自带的仿真工具包Simulink可以较为方便地按照给定方程对动力学系统进行建模、仿真求解和分析。用户既可用方框图建立仿真模型[13]，也可以使用Matlab语言编写M文件构建模型。与传统的仿真软件相比，Simulink具有直观、方便、灵活的特点。

式中：c—等效粘性阻尼系数。

利用Simulink进行数值仿真的一般步骤为：建立系统的数学模型；在Simulink中建立数字仿真模型并设置仿真参数[14]；执行仿真得出仿真结果并分析。

2.1 建立仿真模型

使用标准的积分模块，根据轴承外圈x向和z向加速度得到相应的速度、位移状态，根据式(8，9)可以得到Simulink环境下的滚动轴承划伤缺陷动力学模型，如图3所示。

  

图3 滚动轴承动力学仿真模型

其中，为了使程序框图整洁、易理解，模型中使用了Subsystem、From、Goto、Bus Creator、Bus Selector等模块。

其中，ForceSum模块的功能是根据每个滚子位置处的接触弹性力Qsj和阻尼力Qdj计算x向和z向总接触载荷，如图4所示。

  

图4 计算总接触载荷的ForceSum模块

根据轴承外圈、内圈之间的相互位置关系及划伤缺陷模型，由式(2，5)可计算各滚子处的接触变形量δj，根据接触载荷的计算公式(6，7)，得到轴承外圈的接触载荷，如图5所示。

  

图5 各滚子处接触载荷的计算

在滚动轴承动力学问题中的载荷为接触载荷，仅当轴承元件接触时存在载荷，即该接触载荷为分段函数，如式(6，7)所示。使用Simulink标准模块可以对此进行建模，但模型将比较复杂。因此使用Matlab function实现模型中的分段函数，具有简单直观的特点，如图5中Judgement模块所示。

2.2 设置仿真参数

利用Simulink对动力学模型进行仿真，需要对仿真参数进行合理的设置：

(1)仿真时间的设置。开始时间为0 s，停止时间为0.2 s；

(2)求解器类型的选择。选择Variable-step变步长、ode45算法；

(3)初始值的设置。x、z的积分初值设置为静力平衡情况下的x0、z0。

3 仿真结果及分析

以某型号球轴承为例，主要参数如表1所示。

 

表1 球轴承主要参数

  

项目数值单位钢球直径11.509mm节圆直径48.5mm径向游隙-2μm钢球个数Z8个接触角α0(°)外圈质量0.2955kg

其中，径向载荷为1 000 N，主轴转速(内圈转速)为1 500 r/min，可得内圈转动频率ωs为25 Hz。对于内圈旋转、外圈不转动的轴承，当轴承内圈滚道、外圈滚道存在缺陷时，根据几何关系可得到滚动体通过内圈滚道或外圈滚道上一个缺陷的通过频率，即内圈缺陷频率、外圈缺陷频率，分别表示为：

 

(10)

 

(11)

因此，可得保持架转动频率ωc为9.5 Hz，外圈缺陷频率ωo为76.3 Hz，内圈缺陷频率ωi为123.7 Hz。

3.1 正常轴承仿真结果

假设轴承内圈以恒速旋转，外圈在外加径向载荷Fr的作用下不转动。本研究在建立滚动轴承振动模型时，忽略滚动体的质量，将滚动体与外圈和内圈间的接触采用弹簧和阻尼来代替，讨论轴承的振动特性，轴承的振动模型如图1所示。

  

图6 正常轴承振动响应

由图6可知：

(1)在径向载荷作用下，轴承中某一滚动体处的内圈-外圈接触变形量和接触载荷均呈周期性变化，如图6(a，b)所示；

末次治疗结束后第3个月，观察两组mMRC分级、CAT评分、CCQ评分，根据评价标准计算积分并记录，同时对随访期间出现的不良反应进行记录。

(3)正常轴承外圈Z向存在周期性的低幅振动(最大幅值约为0.2 m/s2)，其周期为滚动体通过频率，如图6(c)所示。实际上，这种振动是由于使用了有限个滚动体支撑方式，在轴承运转过程中，钢球的方位角是不断变化的，导致轴承承载区内的承载钢球数目及承载力周期性变化，轴承的刚度呈周期性变化，而轴承刚度变化引起了轴承的振动。

元代声律学家周德清在《中原音韵》中，对宫调的声情特色作出归纳，其中有“仙吕调清新绵邈，黄钟宫富贵缠绵”，与姜夔“清空峭拔”词风相偕，本词的宫调应合仙吕调。不论是否入乐，“燕”作去声时似乎更能将音韵延长，以达“绵邈”，且“燕子”轻灵之感亦增清新面貌。姜夔颇晓音律，对平仄音节应较为敏感。“燕”作平声时，与“雁”字连读，则似有不顺，略为拗口。尽管“燕地”渺远，有似开拓意境之嫌，但既思之意境，何不用“幽雁”“北雁”呢？

3.2 划伤缺陷轴承振动仿真结果

令划伤缺陷的宽度为0.8 mm，深度为0.1 mm，初始方位角为0°。本研究分别设划伤缺陷位于外圈滚道和内圈滚道，利用Simulink进行仿真求解，得到轴承外圈向振动加速度信号随时间的变化，如图7所示。

  

图7 划伤缺陷轴承振动响应(a外圈划伤b内圈划伤)

对应的包络谱如图8所示。

  

图8 划伤缺陷轴承振动包络谱(a外圈划伤b内圈划伤)

由图(7，8)可以看出：

到了这时候，萍萍申辩的声音仍然很轻微，这使我很不高兴，我对萍萍说：“你要大声说，大声对他说，我和你什么事都没有，就是拍桌子也行。”

(1)轴承划伤缺陷激起了轴承的高频固有振动，表现为轴承外圈振动信号中周期性的阻尼振荡衰减波，如本例中外圈划伤和内圈划伤引起的振动衰减波周期分别为13.11 ms和8.09 ms；

(2)产生的阻尼振荡衰减波出现的频率与钢球通过缺陷的频率有关，即特征缺陷频率，通过对振动信号进行包络分析可以有效地提取特征缺陷频率，可以看到轴承缺陷频率及其倍频的存在，即外圈缺陷频率为76.3 Hz，内圈缺陷频率为123.6 Hz，这与理论结果一致；

(3)外圈划伤缺陷产生的阻尼振荡衰减波幅值基本相等，而内圈划伤缺陷产生的阻尼振荡衰减波幅值受到了调制，调制波的周期为39.68 ms，频率为25.2 Hz，即为内圈的转动频率；这在图8包络谱分析中表现为在内圈划伤缺陷频率附近存在旁瓣频率成分，间隔为内圈转动频率25.2 Hz，该现象与文献[1]给出的结果一致。

3.3 动力学模型验证

基于BVT-5型轴承振动测量仪，笔者分别使用含有内圈划伤、外圈划伤缺陷的滚动轴承进行振动测试。当施加径向载荷为1 000 N，主轴转速为1 500 r/min时，采集轴承外圈径向振动信号，并对其进行包络分析。本研究将实验结果和仿真结果作对比，如图9所示。

  

图9 动力学模型的验证

其中，本研究对振动包络谱幅值经过了归一化处理。由对比结果可以看出：划伤缺陷轴承振动的仿真结果与实测结果基本一致，都存在划伤缺陷频率及其倍频成分。因此，本文给出的基于Simulink的滚动轴承动力学分析结果是正确的。

4 结束语

基于接触力学方法，本文通过将额外弹性趋近量引入到缺陷激励模型中，建立了滚动轴承划伤缺陷的非线性动力学模型，并基于Matlab/Simulink对模型进行仿真求解，得到了接触变形、接触载荷及外圈加速度随时间的变化结果。

根据仿真结果，本文对缺陷轴承的振动特性进行了分析。研究结果表明：径向载荷作用下，正常轴承内圈-外圈接触变形量和接触载荷均呈周期性变化，导致轴承刚度呈周期性变化，因而轴承外圈Z向仍存在周期性的低幅振动；划伤缺陷激起轴承的高频固有振动，产生周期性的阻尼振荡衰减波，其出现的频率为特征缺陷频率；外圈缺陷引起的阻尼衰减波幅值基本相等，而内圈缺陷引起的阻尼衰减波幅值受到了调制。同时，根据划伤缺陷引起的振动响应包络谱的实验结果与仿真结果的对比，验证了动力学模型及Simulink仿真模型的正确性。

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从以上证明过程，容易知道：当a,b,c都为2，或者a,b,c中一个为0，另两个为3时，所证不等式取得等号.

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(4)强化高校在校生的校友观念。毕业典礼中，毕业生代表通常会说“今日我以母校为骄傲，明日母校以我为荣光”。在校生置身于高校校园内，感受到了学校深厚的人文底蕴，校友文化是一点一滴的浸润在学生的周围，榜样的力量是伟大的，校友所在企业双选会为同学们提供了一次近距离感受校友在企业中成长的机会，校友的专题报告会、校友文化的专栏给在校同学们以深刻的思想、行动上的影响，引导他们树立正确的职业规划目标。同时，校友观念也深入广大师生的内心，从而实现由“今日我以母校为骄傲”升华到未来的“明日母校以我为荣光”，进而培育起学校的校友文化，为学校的发展提供更广泛的支持和更广阔的发展途径。

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