0 引言

相比于串联机构，并联机构具有结构紧凑、工作空间大、速度高，刚度高、运动精度高等诸多优点，多年来受到各行业的广泛关注[1-6]。目前，多数6-DOF并联机构均以Stewart平台为原型[7]，能满足空间六自由度的工作需求。然而，实际工程应用中，3～5个自由度即可满足大部分工作需求。因此，国内外学者对少自由度并联机构进行了大量研究。5-DOF方面，赵永生[8]等对5-UPS /PRPU构型做了深入探究；刘海涛等[9]对混联机械手做了研究；李秦川等[10]对3R2T构型进行了详细的分析；陈修龙等[11-12]提出了4UPS-UPU、4UPS-RPU等构型。4-DOF方面，耿明超等[13]对4UPS-UPR构型进行了分析。3-DOF方面，刘善增等[14]对3RRS进行了运动学和动力学的分析；柴馨雪等[15]对2-UPR-RPU构型进行了机构的奇异性分析；Lee等[16]对3-RPS构型做了运动学和动力学分析；GOSSELIN等[17]对平面三自由度并联机构运动学做了优化设计。

总体来看，4-DOF类型的并联机构研究相对较少，虽然较5-DOF可完成3R2T运动，但在并联机床加工工件过程中，动平台Z轴转动(刀具切削运动)仍需主轴电机单独提供，考虑到若在4-DOF机构动平台上外加Z轴转动，即可完成5-DOF的工作需求，从而不仅缩减支链数量，还提高了机构的紧凑性和刚度，也减小了机构的控制、运动学、动力学等分析难度；相对于3-DOF，虽然增加了支链数量和控制算法的难度，但较4-DOF可完成五自由度的需求，用于机械加工等工程应用中，将有比3-DOF更多的自由度选择的优势。

本文中我们结合集POC(Position and orientation characteristic， POC)POC方法[18]和支链构造法[19]，提出一种2UPS-RPS-UPU构型的四自由度并联机构，首先对机构进行描述，并建立机构运动学、动力学模型，完成了对该机构的各性能评估；并在此基础上，观察到传统拉格朗日方程的特点[20-21]，提出一种简化求解的方法，最后通过Matlab和ADAMS联合仿真的形式，对比两者结果，验证该方法的正确性以及合理性。

彭措和丹增是最先熟识的，每次去，他们总热情地倒茶，还分给我泡泡糖。他们的汉话说得最流利，因为每周都到寺院里上语文课。一天晚上他俩放学回来，手里拿着作业本，课后还得练习汉字。彭措要我念一篇课文《金色的鱼钩》给他们听，这篇课文把我带回了我的小学五年级。

1 机构描述

并联机构机床加工工件的过程中，最终目的是使刀具产生多自由度的运动空间，但当前能完成3R2T 的5-DOF并联机床，在加工过程中仍需在动平台上外加主轴驱动电机，以完成刀具绕Z轴转动及切割运动，故5-DOF支链所能产生的Z轴小转角转动显得意义不大，完全可由主轴驱动电机完成该自由度的需求。且在机构控制以及性能分析等方面，少自由度、少支链的并联机床拥有一定的优势。

随着科学技术的快速发展，建筑工程引入了新材料、新设备、新工艺和新技术，这给建筑行业提出了更高的标准要求，同时给建筑安全标准化管理体系也带来了难题。建筑企业及施工管理人员不及时更新安全标准化管理，就没有办法适应当下的新变化。只有建筑安全标准化管理稳步和建筑市场实现共同进步，不断的更新和完善新的标准要求，才能让建筑行业的安全问题有指导依据。

本文中基于方位特征集和支链构造法，并结合实际加工需求和控制要求，提出一种能完成2R2T运动的2UPS-RPS-UPU构型的并联机床，机构如图1所示。

分别对式(10)和式(11)化简，可得

图4为长杆弹变形非销蚀状态示意图。从图中可以看出弹体变形非销蚀侵彻半无限混凝土靶体的初始状态和变形状态。图中，A0为弹体未变形的横截面积；A弹体变形后的横截面积；L为初始弹长；EP为弹体变形部分与未变形部分的界面；CH为界面EP相对于O点的运动速度。

  

图1 2UPS-RPS-UPU并联机构结构图

2 机构运动学分析

2.1 坐标系的建立

  

图2 2UPS-RPS-UPU 并联机构简图

因该机构初始状态下运动副完全对称，故建立如图2所示坐标系，定平台所处坐标系O-XYZ，动平台所处坐标系O1-X1Y1Z1，且Z轴和Z1轴共线，设定平台上运动副中心所处圆半径为R，动平台上运动副中心所处圆半径为r，可得到运动副坐标如下所述。

定平台运动副坐标(相对于O-XYZ坐标系)为

 

(1)

动平台运动副坐标(相对于O1-X1Y1Z1坐标系)为

 

(2)

式中，R、r分别为结构参数。

2.2 机构运动分析

并联机构的位置反解是已知动平台的6个位姿参数q=[x y z α β γ]T，反求驱动端参数。

已知此机构驱动端为移动副，故设反解结果为移动副位移矢量Li=[L1 L2 L3 L4]T。其中，(x y z)T为动平台相对于动坐标系在，3个方向的平移量；(α β γ)T为动平台绕动坐标系3个方向的旋转角度。考虑到此机构可完成4个自由度的运动，故设化简后，动平台位姿参数为

根据动平台已知位姿参数，联合位置反解方程，求解出系统中各构件的动能、势能。结合拉格朗日方程，求得动平台在自由度方向的广义力，再结合速度雅可比矩阵和力雅可比矩阵的对偶性，求得作用于伸缩杆上的驱动力，即为系统输入驱动力。

(3)

式中，a为动平台运动副中心点加速度矢量， a=[aU4 aS1 aS2 aS3]T。

Li=fi(q) i=1， 2， 3， 4

(4)

且已知机构坐标系的转换矩阵为

 

(5)

式中，s α表示sin α；c α表示cos α；其余类似，且由于机构无Z轴转动，故γ始终为0，化简后转换矩阵 (具体结果略)。

设动平台上运动副中心点在O1-X1Y1Z1内位置矢量为

 

(6)

定平台运动副中心点在O-XYZ内的位置矢量为

 

(7)

进而，可求解杆长矢量为

开展系统工程素养教育培训，要成为研究会今后发展的重要方向和主要业务。系统工程创新发展需要一大批具备科学精神、掌握科学知识、拥有科研能力等高素质人才队伍；系统工程广泛应用和发挥卓越作用，需要系统工程知识的普及和科学素养的广泛培育。

 

(8)

本文是基于拉格朗日方程方法在非保守系统下的应用，动力学模型建立过程中，设系统动能为E，势能为U(在计算过程中， 均设OXY面为零势能面)，设动平台自由度q下的广义坐标所对应的广义力为Q，则拉格朗日函数L为

已知杆长标量为则有

Li2=Li·Li=[f(q)]2

(9)

对式(9)两边时间求1阶导数变为

 

(10)

式中，V为动平台运动副中心点速度矢量，V=[VU4 VS1 VS2 VS3]T。

继续对式(10)两边对时间求1阶导数变为

 

(11)

利用杆长条件，建立反解方程为

该机构支链位置采用完全对称结构，以增加机构的刚度以及稳定性，使运动副尽量处在坐标系轴上，降低了机构分析过程中的难度，基座(定平台)与3个U副(万向铰， 可完成绕X、 Y轴转动)和一个R副(铰链， 可完成绕Y轴转动)连接，电机驱动作用于P副(移动副)，动平台与3个S副(球面副)和一个U副(万向铰， 可完成绕X、 Y轴转动)连接。综上分析，该机构一共拥有9个构件，12个运动副，采用Kutzbach-Grübler公式可验证该机构自由度为4，与驱动端输入数相等，故机构可完成确定运动。且分析机构可完成的4个自由度分别是：X、Z轴平移、绕X、Y轴转动。

 

(12)

 

(13)

式中，li为杆长单位向量，

党的十九大报告指出，现阶段我国社会的主要矛盾已经转化为“人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾”，具体到养老领域，则较大程度地体现为老年群众日益增长的美好老年生活需要与养老机构不平衡不充分发展之间的矛盾，这一矛盾在广西也同样突出地存在着。随着广西人民收入水平的提高，老年群众的养老能力也不断提高，如表1所示，广西城镇居民的可支配收入水平在不断提高。

为便于后续的推导和数值计算，写成矩阵形式为

 

(14)

 

(15)

由动平台已知参数q=[x z α β]T，可推导动平台运动副中心点速度、加速度，设动平台中心点速度为v=(vx vy vz)T，角速度为ω=(ωx ωy ωz)T，已知动平台vy、ωz均为0，为便于推导(故写成v、 ω形式)。

则动平台运动副中心点速度为

V(i)=v+ω×P(i)O1

(16)

设ε为动平台中心点的角加速度，ε=(εx εy εz)T ；A为动平台中心点平移加速度，A=(Ax Ay AZ)T，得

利用各类发酵菌种以虾壳为碳源、氮源来生产各类蛋白质和甲壳素取得了一系列成果[23-25]，但是发酵法生产虾壳蛋白、甲壳素等还存在一定的问题，利用细菌发酵过程中会产生影响目的产物稳定性、浓度的代谢产物，且代谢产物一般难以分离、纯化，发酵周期过长，生产成本较高。

a(i)=A+ε×P(i)O1+ω×[ω×P(i)O1]

(17)

已知空间中的向量r1，在旋转矩阵T下，从动坐标系到定标系的变换为

r0=T·r1

(18)

分别对左右对时间求导，得到

 

(19)

转换成角速度形式，即为

 

(20)

式中，D为输入动平台角度参数与动平台角速度的转换矩阵。

联合式(12)、 式(14)、 式(16)、 式(20)可以得到速度反解方程为

 

(21)

联合式(13)、 式(15)、 式(16)、 式(17)可以得到加速度反解方程为

 

(22)

由于动平台角速度不是角参数的1阶导数，且与中间转换矩阵D有关，为便于推导机构雅可比矩阵，设动平台速度矢量为

VP=[Vx Vy Vz ωx ωy ωz]T

(23)

那么，动平台运动副中心速度为

 

(24)

联合式(16)、 式(23)，并写成矩阵形式为

V(i)=[i j k i×P(i)O1 j×P(i)O1

k×P(i)O1]3×6·[Vx Vy Vz ωx ωy ωz]T=

 

(25)

将式(25)代入式(21)可得机构雅可比矩阵为

 

(26)

即机构雅可比矩阵为

 

(27)

3 机构动力学分析

下述各式中，已知y和γ始终常数，即y和γ的1阶、2阶导数均为0，但为便于参数整合，推导过程中均构造成六维广义坐标形式(真实四维结果略)。

 

(28)

为方便后续伸缩杆的受力计算，故将动平台、伸缩杆、摆动杆看为系统，伺服电机驱动伸缩杆的驱动力作为系统唯一广义力。

q=[x z α β]T

3.1 摆动杆动能与势能

已设OXY面为零势能面，求解摆动杆质心相对于Z轴坐标为

竹叶青酒是由配方药材浸泡液和基酒混合配制而成，因此也检测了相同条件下基酒的挥发性香气成分，离子色谱图见图2，分析结果见表2。

 

(29)

式中，Zbi为第i根摆动杆质心Z方向坐标值；ZDi为第i个动平台运动副中心Z方向坐标值；Li为第i根杆长值；Lbi为第i根摆动杆质心到基座运动副距离。

则摆动杆势能写成矩阵形式为

Ub=[mb1 mb2 mb3 mb4]g[Zb1 Zb2 Zb3 Zb4]T

(30)

式中，mbi为第i根摆动杆质量。

由于摆动杆固定于定平台，动能只包含转动动能，角速度为

 

(31)

式中，V(i)为动平台运动副中心速度矢量；li为摆动杆单位向量。

将式(16)代入式(31)得

 

(32)

则摆动杆动能写成矩阵形式为

阳翰笙听后并不气恼，仍执意请茅盾作序。于是茅盾就在序中不客气地写道：“《地泉》在描写人物时用了脸谱主义手法，在结构和故事情节上出现了公式化现象；在语气上用标语口号式的言词来表达感情。因此，从整个作品来讲，《地泉》是很不成功的，甚至是失败的。”

在先进材料领域：以先进聚烯烃材料技术为核心，建设“催化技术与先进材料”技术中心创新平台，以航空航天、国防军警、海洋工程、高铁轨交、石化矿业、汽车电力、医疗体育用高端材料为主要发展方向，打造行业技术领先、具有影响力的先进材料创新中心。

 

(33)

式中，为第i根摆动杆相对于定平台运动副中心转动惯量矩阵。

3.2 伸缩杆动能与势能

根据式(29)，设第i根伸缩杆质心相对于Z轴坐标为

 

(34)

式中，Zsi为第i根伸缩杆质心Z方向坐标值；ZDi为第i个动平台运动副中心Z方向坐标值；Li为第i根杆长值；Lsi为第i根摆动杆质心到基座运动副距离。

图9是更新150条数据存在不一致性的情况，没有对应删除的数据有26条，不更新，有125条更新后的数据存在不一致性，白色的柱状图表示有90条数据修复后更新，35条数据不执行插入操作。

则伸缩杆势能写成矩阵形式为

Us=[ms1 ms2 ms3 ms4]g[Zs1 Zs2 Zs3 Zs4]T

(35)

式中，msi为第i根伸缩杆质量。

2.2.1 乙醇体积分数对综合评分的影响 在提取时间2 h、液料比15∶1（V/m，mL/g）、提取2次的条件下，分别设置乙醇体积分数为20%、40%、50%、60%、70%、80%。取处方配比药材样品（均粉碎，过4号筛）适量，分别进行加热回流提取，按“2.1.6”项下方法进行各指标成分含量测定并计算综合评分，结果见图2A。由图2A可知，综合评分随乙醇体积分数的增大而先增加后趋于平缓并略有降低，当乙醇体积分数为60%时样品综合评分最高，故最终选择60%乙醇为提取溶剂。

伸缩杆动能求解过程中，不仅具有与摆动杆相同的角速度，还有li方向上的平移速度

 

(36)

其中，为第i根伸缩杆相对于定平台运动副中心的转动惯量矩阵；J4×6为机构速度雅可比矩阵(式(27))；[ms]为伸缩杆质量矩阵，即

 

3.3 动平台动能与势能

动平台运动过程中也存在转动和平动，故求解动能时需同时考虑两者，且已知动平台位姿参数，势能可表示为

Ud=mdgz

(37)

式中，md为动平台质量；z为动平台质心Z方向坐标值。

黑龙江省的农作物秸秆总量约为6305万吨，其中玉米秸秆约3610万吨，水稻秸秆约1954万吨，大豆秸秆约741万吨[11]。

动平台动能为

 

(38)

式中，为动平台平动速度，动平台转动参数1阶导数，为绕自身坐标系转动惯量矩阵；Md为动平台质量矩阵，即

 

3.4 机构动力学模型

利用非保守系统下的拉格朗日方法做动力学分析，联合式(30)～式(38)，则系统拉格朗日函数为

为了最大程度保留紫菜的营养价值，提高紫菜的干燥效率，避免资源浪费，研究紫菜的干燥方法尤为重要。目前，紫菜干燥方法有热风干燥、微波干燥、真空冻干等方法。但是，关于采用微波干燥技术对紫菜进行干燥的研究报道比较少，因此试验利用微波干燥技术对紫菜的干燥工艺参数进行研究，分析紫菜堆放厚度、微波功率、微波时间等因素对紫菜水分含量的影响[6-7]。通过试验观察和数据分析，确定了紫菜的最优微波干燥工艺参数组合，同时为微波干燥技术在农产品干燥领域的应用提供有利的科学依据。试验以湿紫菜为原料，采用正交试验法，获得了使产品的品质得到保证的提取条件，为改进紫菜加工工艺提供了有价值的参考。

 

(39)

根据推导过程可知，为便于计算，系统拉格朗日方程可变形为

 

(40)

式(40)中，设为q(i)方向上的广义动量，则方程可变形为

 

(41)

即在位置反解过程中，给定动平台运动位置参数q=[x z α β]T情况下，求解式(40)、 式(41)，可得到广义坐标q下的广义力，设为

Q=[Fx Fz Mx My]T

(42)

已知在并联机构中，力Jacobian矩阵和运动Jacobian矩阵具有对偶性，即运动Jacobian矩阵是力Jacobian矩阵的转置的逆矩阵。

式(27)为机构运动雅可比矩阵，推导过程中未舍去自由度参数中的y和γ，计算力雅可比矩阵时，舍去对应两列，变为4阶方阵J4×4，则最终伸缩的驱动力为

[F1 F2 F3 F4]T=(J4×4T)-1·Q=

(J4×4T)-1·[Fx Fz Mx My]T

(43)

3.5 拉格朗日方程简化求解

根据推导过程，结合式(40)，已知L=E-U，且偏微分运算过程中，两式运动参数q和相互独立，且相互无干涉，即设为系统的广义动量，则拉格朗日第一项中的可化解为

 

(44)

由于E中涉及到多个结构参数和8个运动参数，无论是采用一般的2阶微分方程的求解方法，或是采用符号计算后的精确解，求解过程都较为复杂，且程序编写也较为冗长。

在采用数值计算时，结合式(44)，观察到任何系统的动能均能写成的形式，[M]为系统的质量转换矩阵，包含质量、转动惯量、运动参数q等信息，设为M=F(m1…mn; J1…Jn;q1…qn)，其中，质量m、转动惯量J均为固定值，q为关于时间的运动参数q=ξ(t)。

方程化简过程时，由于q=ξ(t)变化也会引起质量矩阵[M]的变化，数值计算时，设定微小步长Δq=qn+1-qn；设q变化微小时[M]不变化，即为[M(qn+1)]=[M(qn)]，最终将[M]看为公因式进行提出。

但最终数值计算过程，依旧采用中间参数qn+1/2求解[M]，以保证计算精确度，即最终参与广义动量计算的运动参数依旧为中间变量qn+1/2，此时质量矩阵为[M(qn+1/2)]，根据方程代数意义可如式(45)化简为

 

 

(45)

根据式(45)，可知求解最终转化为求解的乘积，计算过程中，从0到t时间段内进行数值仿真，平均分为n份，则Δt=t/n、 qk=Φk(kΔt)及分别求解，即

 

(46)

进一步对式(45)时间求导，对式(40)数值计算，第一项简化为

 

(47)

联合式(46)～式(48)完成对拉格朗日方程中的2阶偏微分项简化为乘积运算和1阶求导运算。

对式(40)第二项进行数值计算，即为拉格朗日方程1阶偏微分项求解，联合式(46)，采用类似于差商求导的方法，求解方程第二项时， 除q(i)项，其余全为中间参数项即为则求解公式为

 

(48)

最后，联合式(47)、 式(48)代入式(40)可得式(42)， 最终代入式(43)求得系统驱动力。

4 实列分析及仿真结果

4.1 机构结构参数

2UPS-RPS-UPU并联机构整体采用对称构型，且动、定平台上运动副初始位置均处于所处坐标系坐标轴上，便于参数设计，综合考虑，设计参数如表1所示。

 

表1 机构构件尺寸及质量参数表

  

参 数数 值参 数数 值动平台运动副所处圆半径r/m0.066定平台运动副所处圆半径R/m0.290动、定平台初始位置差/m0.280摆动杆长度/m0.250伸缩杆长度/m0.250摆动杆质量/kg0.764伸缩杆质量/kg0.148动平台质量/kg1.168

摆动杆相对于定平台端的转动惯量矩阵为

(49)

伸缩杆计算过程中，角速度与摆动杆相同，给出伸缩杆相对于自身坐标系的惯量矩阵为[J1s]，计算时联合式(36)求解， 得

 

(50)

动平台相对于自身坐标系的转动惯量矩阵为

 

(51)

4.2 机构运动参数

考虑到本文中在求解拉格朗日方程过程中方法的特殊性，即式(48)中分母为运动参数为差值，不能为0，所以在仿真过程中对4个自由度的运动参数均赋值，进行最后的数值仿真，设一组运动参数为

(52)

4.3 机构运动学、动力学仿真结果

利用Matlab对机构进行数值计算，结合反解方程，进行运动仿真，并结合ADAMS，验证动力学模型推导的正确性，以及对提出的拉格朗日方程的求解方法进行验证，其仿真结果如图3～图7所示。

从仿真结果可以看出，机构驱动端最大位移和最大速度的出现均为X方向，位移最大为驱动杆1，速度最大产生在驱动杆3，最大驱动力为驱动杆1，为进一步分析机构驱动端和输出端关系，选取驱动杆3速度和动平台运动参数进行关系对比，如图6所示。

  

图3 驱动杆长变化曲线

从运动仿真结果以及图3、图4、图6中可以看出，该机构具有以下特点：

(1)驱动端位移、速度曲线基本满足正弦变化，与动平台输入参数基本相符合。

(2)由于驱动杆3所对应定平台运动副为R副，

故相比于其余U副，自由度减小，运动趋于集中，速度产生最大值，与仿真结果相吻合。

  

图4 驱动杆速度曲线

  

图5 系统驱动力

(3)图6分析得出，动平台运动参数中，动平台Z方向平移和绕Y轴转动对驱动端速度影响范围较另外两个参数大，故在做机构运动控制时，首先考虑参数z和β对系统的影响。

图7为分别对每一驱动端驱动力的Matlab和ADAMS仿真对比图，可以得到以下结论：

(1)Matlab数值计算和ADAMS仿真结果基本吻合，证明对该机构动力学模型推导的正确性。

  

图6 驱动杆3速度随输入参数变化曲线

  

图7 仿真曲线对比

(2)验证了本文中提出拉格朗日方程特殊求解的正确性，为以后该方法的推广提供理论依据。

(3)从实际两种结果对比可知，数值计算在最值处的变化速率明显快于ADAMS仿真结果，基本推断为数值计算过程中的参数步长造成的差异，总体对比看出，ADAMS仿真结果较为稳定。

(4)本文中采用的数值求解方法，虽然大大缩减计算传统2阶多参数偏微分方程，具有一定的优势，其结果误差也在可控范围内。

5 结论

(1)提出了2UPS-RPS-UPU构型的四自由度并联机构，采用对称构型，优点在于良好的运动解耦；并针对该机构进行运动学、动力学分析；其结果表明该机构在设定运动范围内，未出现奇异位置，力学性能平稳，具有一定的应用前景。

(2)针对传统利用拉格朗日方程求解机构动力学问题时，提出一种的简便数值计算方法，可为以后求解类似问题提供了一种简便可行的方法。

由于本文中只对该机构进行了运动学、动力学分析，对于机构各项性能评估具有一定的局限性，下一步将考虑对机构的工作空间以及奇异性等进行研究，更为全面的掌握该机构性能。其次对于本文中提出的特殊数值计算方法，还需进一步研究对比两种结果的差异性，以及造成结果的因素等。

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