0 引言

并联机构位置正解是机构学研究的重要内容，是研究机构工作空间、运动学、轨迹规划的基础。并联机构位置反解相对简单，而位置正解由于需要求解多元高次非线性方程组，过程比较复杂。

从横向上看，各类主题在媒体话语中的比重差异较大。在1 070篇传统媒体文本中，“问题反馈”和“热点事件”主题类话语比重较大，分别占31%、26%，即在与计划生育政策有关的报道中，传统媒体侧重于挖掘并呈现当前政策引发的各类问题，或持续跟进热点事件。相对的，在500条微博中，反映“问题反馈”和“热点事件”的较少，而“政策观点”类占比将近50%，这说明在新媒体平台上，发声者更倾向于“直抒胸臆”，鲜明地表达自身对当前政策的态度和立场。

求解并联机构正解的方法主要有解析法和数值法，国内外学者在这些方面进行了大量研究。解析法通过消元将机构的约束方程组转化为一元高次方程，然后进行求解[1-3]。解析法可以得到机构的全部正解，但消元过程因机构而异，同时还需要根据运动的连续性对解的合理性进行判定，计算时间长。数值法主要分为迭代搜索算法和优化算法。优化算法将并联机构的正解问题转化为目标函数的优化问题，可以得到机构的所有可能解，主要包括神经网络法[4]、遗传算法[5]和粒子群算法[6]，但计算效率低，一般不能满足实时性的需求。迭代搜索算法主要包括牛顿法和拟牛顿法，其准备工作量小，通用性好，求解稳定，适用于实时及非实时场合。赵新华等[7]基于牛顿法求解6SPS机构的位置正解。李大海等[8]利用牛顿法求解3RRS球面并联机构的位置正解。耿明超等[9]在牛顿法的基础上，利用拟牛顿法对并联机构的正解求解。拟牛顿法用当前的函数值代替导数，避免了每次迭代过程中雅可比矩阵的构造，能够减小计算量、提高计算效率。

由于2RUS/2RRS机构的工作空间受限，迭代搜索算法(牛顿法或拟牛顿法)在求解这类机构正解过程中，搜索空间很容易超出机构的工作空间，导致迭代求解失效。李耀斌[10]、韩磊等[11]引入阻尼因子对迭代过程进行修正，取得了一定效果，但并不能从本质上解决问题，尤其是对于工作空间边缘附近的目标位姿。

本文中我们对迭代搜索算法(牛顿法或拟牛顿法)在求解2RUS/2RRS机构位置正解时的局限性进行分析，提出适用于这一类工作空间受限并联机构的求解等效模型，并采用拟牛顿法对正解求解进行了数值验证。

1.3 统计学方法 采用SPSS 19.0软件对数据进行分析，计量资料以均数±标准差表示，比较采用独立样本t检验；计数资料以例(百分率)表示，比较采用χ2检验；采用Logistic回归分析对妊娠晚期羊水过少的发病危险因素进行分析，以P<0.05为差异有统计学意义。

1 2RUS/2RRS构型分析及正解模型

1.1 2RUS/2RRS并联机构描述

如图1所示， 2RUS/2RRS并联机构由定平台、动平台、2个RUS分支及2个RRS分支组成。其中，R代表转动副，U代表万向铰，S代表球副。

  

图1 2RUS/2RRS并联机构简图

给定广义坐标qm=(θ1 θ2 θ3 θ4)T，求解动平台位姿T=(α β yp zp)T的过程为机构的位置正解，求解过程表示为

结合两个RRS分支提供的约束力螺旋的几何关系可知，机构的4个自由度为绕x轴转动(俯仰)、绕y轴转动(侧倾)、沿z轴移动(垂荡)、沿y轴移动(纵荡)，能够实现对车辆运动的模拟，为人员的训练(如医护工作者对伤者的救治)、车载设备的测试提供平台。通过机构的输入选取理论可知，选择第1分支的第2个R副，第2、3、4分支的第1个R副为驱动副时，机构的输入选取合理，分析过程详见文献[12]。图1中的副表示驱动副。

关于书籍设计，电子设备的应用使得电子书籍迅速在阅读载体领域占据一席之地，电子书正在给阅读消费者提供越来越多便捷而实用的阅读体验。书籍设计课程教学也已经将电子书籍的设计作为一项主要内容和重要课题，但是，电子书籍的内容编辑和排版安排通常只需要操作电脑软件进行制作便可实现，所以，大多学生关于电子书籍设计的认识还只局限于传统书籍的设计理论内，在设计内容和方法上并未有所创新。书籍设计教学的目的不仅是要求学生掌握书籍设计的技能，而且还要求学生具备通识观念，因此，书籍设计课程中手工书籍制作的引入，一方面可以让学生换个角度来进行书籍的制作和阅读，另一方面还有利于学生创造思维的培养以及书籍形态的塑造。

1.2 位置正解模型

其中，当等效机构处于初始位姿时，由于动系和定系的方位重合，矩阵D是个单位阵。

bi=Ropbi0+pop

(1)

其中，Rop是p系相对于O系的旋转矩阵；pop是p系相对于O系的位置矢量。由于中间铰链点ci的运动被限定在xz或yz平面内，因此ci只包含两个变量，通过上、下连杆的长度约束，满足方程

 

(2)

求解该方程组，结合余弦定理及矢量的投影关系可以得到驱动副的转角θi。上述反解过程可以表示为

q=f(T)

(3)

在机构的定、动平台上各建立一个坐标系，定坐标系Oxyz原点O位于下平台的中心，x轴和a2a4重合，y轴和a1a3重合，z轴垂直定平台向上。动坐标系pxyz固连于动平台，其原点位于动平台的中心，在初始位置时方位与定系重合。

F(T)=f(T)-qm=0

(4)

式(4)是一个多维非线性方程组。

陶小西迟疑了一下，温衡笑着上了车，但心里却无比难过，他那么优秀，怎么会愿意娶她呢？他会担心她，也许只是顾念一起长大的缘分罢了，毕竟他从来没有对她说过一句喜欢。

2 分支极限位置奇异及等效求解模型

2.1 分支极限位置引起的工作空间受限

  

图2 2RUS/2RRS机构分支示意图

由式(4)可知，并联机构的正解就是求解多维非线性方程组的过程。在使用牛顿法或拟牛顿法迭代搜索的过程中，动平台的位姿往往超出其实际的工作空间，如图2所示。当动平台运动到p′时，由于机构杆长的约束，铰链点ci无解。机构的工作空间受到串联分支极限位置奇异的限制，并不能到达自由度允许范围内的任意位姿，这使得机构的反解模型失效，正解迭代过程也就不能继续。采用阻尼因子能够减少搜索空间超出机构工作空间的概率，但是对于工作空间边缘的位姿却效果不佳，因此有必要从根本上解决这个问题。

2.2 消除分支极限位置奇异的等效模型

以平面串联分支为例说明消除分支中极限位置奇异的等效方法，当然这种方法也可以扩展到空间分支中。如图3所示，平面RR分支末端被限制在点划线所示的圆内。图中p点为实际的目标位置，p′点表示搜索过程中的可能位置。从图中可知，p′超出了机构的工作空间。

在常爱兰的哭声里，驮子把绑着周小羽的绳子解开了。驮子说，向妈妈认个错，认个错就好了。驮子把周小羽拉到常爱兰的面前，说，快说呀，说你错了，说你下次不这样了。常爱兰还在那里抹眼泪，一抽一抽的样子。

令串联RR分支的广义坐标为q=(φ1 φ2)T。如图3(a)所示，将RR分支的第二个杆件打开，虚拟添加一个运动副。这样，RR分支等效为一个RP分支，其广义坐标为q′=(φ2e le)T，φ1用来确定铰链点的a位置。等效机构的搜索目标为其中，lap为第二个杆件的长度，是一个固定值。

利用上述等效方法将2RUS/2RRS机构分支中的极限位置奇异消除，将其等效为2UPS/2RPS机构，如图6所示。等效机构的下铰链点并不在一个平面上。等效机构的广义坐标为q′=(l1 l2 l3 l4)T，其中，li为第i个分支移动副的长度。等效机构的搜索目标为其中，θ1用于计算第1个分支移动副的长度，而θ2、θ3和θ4则用于确定铰链点ci的坐标，即等效机构第2、3、4分支下铰链点的坐标，lbc为上连杆的长度，为结构参数。

同样，可以打开第一个杆件，并在其上添加虚拟的移动副，如图3(b)所示。其等效机构的广义坐标为q′=(φ1e le)T。机构的搜索目标为用来保证第二个杆件相对于第一个杆件的位姿。

  

图3 RR分支的等效模型

分支当中包含移动副并不意味着就不存在极限位置奇异，如图4所示，PR分支中包含移动副，但其末端的工作空间仍然不是整个2维空间。在图4(a)中，PR分支等效为一个RP分支，其广义坐标为q′=(φ2e le)T，搜索目标为在图4(b)中，PR分支等效为一个PP分支，其广义坐标为q′=(d1e le)T，搜索目标为图5为RRR和PRR两个3自由度分支的等效模型，其等效过程和2自由度分支类似，这里不再详细阐述。

通过分析上述等效过程，消除分支极限位置奇异的等效方法可以总结为：① 固定实际的关节输入；② 将固定的结构参数转换为关节变量，并将其作为关节变量的搜索目标(一般将连杆等效为移动副，以使等效分支末端在自由度允许范围内的工作空间为无穷大)；③ 利用迭代搜索算法找到等效关节变量对应的位姿，这个位姿就是目标位姿。

  

图4 PR分支的等效模型

  

图5 3自由度串联分支等效模型

3 2RUS/2RRS机构位置正解分析

3.1 2RUS/2RRS机构等效及雅可比矩阵

灌木丛遮掩的河湾那儿,拐出一些人来。几名老战士和两名知青样子的青年——他俩一个叫张靖严,一个叫齐勇。他们二人一组,用显然是临时砍下的树段当作杠子,用柳条和野草编成的绳子,抬着一只大柴油桶。桶在河水中半沉半浮,河水没过了他们的腰。

记者从济青高速铁路有限公司获悉，根据济青高铁联调联试及运行试验安排，2018年8月21日-24日，济青高铁济南东站至胶州北站顺利完成了最高运行速度385km/h的试验检测工作。济青高铁设计速度350km/h，按照《高速铁路工程动态验收技术规范》要求，联调联试和动态检测时，综合检测列车最高测试速度应达到设计速度的110%。

(5)

式中，和ωz为动平台对定系的角速度。

同理，在第3分支的铰链点c3处虚拟添加1个R副，建立速度映射矩阵。第2、4分支为6自由度RUS分支，可以直接建立其速度映射关系。每个分支各个关节速度与动平台速度的映射关系为

 

(6)

虚设机构的输入关节为第1分支的第1、3个运动副，第2分支的第3个运动副，第3分支的第1、3个运动副，第4分支的第3个运动副。采用虚设机构法可以得到主动输入速度与动平台速度的映射矩阵为

采用牛顿法或拟牛顿法迭代求解需要构造机构的雅可比矩阵。等效机构同样是少自由度机构，采用虚设机构法建立其雅可比矩阵[13]。在第1分支的铰链点a1处虚拟添加1个R副作为分支的第1个运动副，方向和定系的y轴重合，如图6所示。建立动平台速度与第1分支速度的映射关系为

公式中，下标b和下标r分别表示与规划河岸植被缓冲带和参考河岸植被缓冲带相关的变量；Tb/Tr表示坡面漫流与地下漫流中污染物在规划河岸植被缓冲带与参考河岸植被缓冲带的滞留时间之比；Bb/Br表示规划河岸植被缓冲带与参考河岸植被缓冲带的除污效率之比；n是反映地表粗糙程度，即曼宁系数；L是河岸植被缓冲带宽度（m）；K是饱和导水率（cm h-l）；s表示坡度（%）；c是指土壤储水能力（cm）。

OPC UA的接口主要有两种：一种是自定义接口，即CUSTOM标准接口，是服务商必须提供的，主要用于C++编写的客户程序；而另一种是OLE自动化标准接口，主要用于C#、VB等语言所开发的应用程序。而SINUMERIK 828D数控系统提供了OLE自动化标准接口，同时采用C#在HMI设计中较MFC更具有优势，因此本项目采用了OLE自动化标准接口。

 

式中，为矩阵的第j行。

3）SAGD污水处理方式中，如MVC和MVR之类的蒸发式污水处理技术较为成熟且应用前景广泛，因此考虑结合MVC和MVR来进行余热回收利用的方案设计。

(7)

式中，为等效机构动平台的雅可比矩阵。

采用X-Y-Z欧拉角表示动平台的姿态，则动平台的转动角速度和欧拉角1阶导数的关系可以表示为

机构的速度映射为

(8)

给定动平台的位姿信息T=(α β yp zp)T，求解广义坐标q=(θ1 θ2 θ3 θ4)T的过程为机构的位置反解。2RUS/2RRS机构的广义坐标是4个驱动副的转角θi，因此，反解的关键是求解中间铰链点ci的坐标。令bi0为铰链点bi在p系中的坐标，则铰链点bi在定坐标系O中的表示为

虚设机构动平台欧拉角1阶导数及线速度与广义速度为的映射关系为

 

(9)

其中，

新时代推进生态文明建设,必须坚持“六项原则”。习近平总书记指出:“新时代推进生态文明建设,必须坚持好以下原则:一是坚持人与自然和谐共生;二是绿水青山就是金山银山;三是良好生态环境是最普惠的民生福祉;四是山水林田湖草是生命共同体;五是用最严格制度最严密法治保护生态环境;六是共谋全球生态文明建设。”[2]“六项原则”深刻揭示了经济社会发展和生态环境保护的辩证关系,为新时代协同推进生态文明建设和经济现代化指明了方向。

由于机构具有α、β、yp、zp这4个自由度，同时虚拟添加的转动副角速度为0，式(9)可以表示为

 

(10)

其中，即为等效机构动平台4×4欧拉角形式的雅可比矩阵。从式(10)可以看出，4自由度等效机构2UPS/2RPS的工作空间为无穷大的4维空间。

3.2 拟牛顿法求解位置正解

图7为采用拟牛顿法2RUS/2RRS机构的流程图，其主要求解过程如下：

(1)消除分支极限位置奇异，将2RUS/2RRS机构等效为2UPS/2RPS机构。

(2)给定位姿初值T0；设定控制误差ε；设定迭代步数N的最大值，防止程序进入死循环。

  

图6 2RUS/2RRS机构等效模型

  

图7 拟牛顿法求解2RUS/2RRS机构正解流程图

(3)构造等效机构的雅可比矩阵，作为迭代搜索初值。根据给定的2RUS/2RRS机构的广义坐标qm=(θ1 θ2 θ3 θ4)T，求解铰链点ci的坐标。依据3.1节推导过程，建立等效机构的雅可比矩阵

(4)采用X-Y-Z欧拉角描述等效机构动平台的姿态，建立其正解模型。等效机构的搜索目标为等效机构的反解就是求解各个分支虚拟移动副的长度li。对第1分支而言，l1=|b1-a1|；对第2、3、4分支而言，li=|bi-ci|。

采用离散余弦变换(Discrete Cosine Transform，DCT)求解，将解缠过程转换为采用DCT求解泊松方程的问题,即可恢复InSAR真实相位.

(5)令其中，为等效机构的在初始位姿对应的雅可比矩阵。

(6)拟牛顿法的迭代求解过程，详见文献[14]104-117。

求解过程(3)给出了第1种雅可比矩阵的构造方案，从方案1的流程图中可以看出，每给定一个广义坐标qm=(θ1 θ2 θ3 θ4)T，就需要重新计算铰链点ci的坐标，并构造等效机构的雅可比矩阵，影响了计算效率。可以利用拟牛顿法的自修正能力，将2RUS/2RRS机构在初始位姿对应等效机构的雅可比矩阵作为迭代求解的近似初值，这样每给定一个广义坐标就不需要重新构造雅可比矩阵，求解过程如图7中的方案2所示。初始位姿雅可比矩阵可以作为固定参数写入到程序中，省去了每次的构造过程，减少了计算量，同时其迭代的步数并不会明显增加。

4 数值算例

2RUS/2RRS机构铰链点参数如表1所示，机构的初始高度H=0.375 m，上连杆长度lbc=0.265 m，下连杆长度lac=0.30 m，定坐标系O和动坐标系p的初始方位重合。给定初始位姿T0=(0 0 0 0.375)T，目标位姿Tm=(15° 10° 0.050 0.475)T，目标位姿Tm对应的转角qm=(139.09° 70.94° 64.14° 59.72°)T。设置控制精度ε=10-6。

 

表1 2RUS/2RRS并联机构结构参数 m

  

iaibi01( 0 0.24 0)( 0 0.21 0)2(-0.24 0 0)(-0.21 0 0)3( 0 -0.24 0)( 0 -0.21 0)4( 0.24 0 0)( 0.21 0 0)

拟牛顿法有多种修正方案，常用的有逆Broyden秩1算法、DFP和BFGS秩2算法[14]118-120。本文的数值算例应用逆Broyden秩1算法，其迭代公式为

(11)

其中，(sk)TBkyk≠0。

表2为采用拟牛顿法直接求解2RRS/RUS机构的迭代过程。由于目标位姿和初始位姿相差较多、机构的驱动副不对称等因素，导致表2中第2步迭代求解的位姿超出了该机构的工作空间，中间铰链点无解，迭代过程无法继续，正解求解失败。

对于同样的目标位姿，将2RUS/2RRS机构等效为2UPS/2RPS机构，利用拟牛顿法则能够对其进行正确求解，迭代过程如表3、表4所示。表3对应的雅可比矩阵构造采用图7中的方案1，即给定qm后，求解等效机构的下铰链点ci，然后将构造雅可比矩阵作为拟牛顿法迭代的准确初值。表4对应的雅可比矩阵构造采用图7中的方案2，即将2RUS/2RRS机构初始位姿对应等效机构的雅可比矩阵作为拟牛顿法迭代的近似初值，提前输入，然后给定qm进行求解。从表3、表4的迭代过程可以看出，两种方案的迭代路径不同，但迭代步数相当，方案2并没有因为近似初值的引入导致其迭代步数明显增加。

为探讨液氮冷浸对不同含水煤样的增透作用，自制不同含水饱和度的煤样进行液氮冷浸试验，对比冷浸前后煤样渗透率变化用于表征煤体内部孔隙结构的变化规律。液氮冷浸后，1—6号煤样的渗透率均有所增加且增加幅度随含水饱和度的增大而增大(表1)，增加幅度为70.6%～1 254.9%。

 

表2 2RUS/2RRS机构拟牛顿法直接求解迭代过程

  

No.α/(°)β/(°)yp/mzp/m10000.375 02-100.7614.59-0.247 80.519 43无解无解无解无解

 

表3 2RUS/2RRS等效机构拟牛顿法迭代过程-方案1(准确初值)

  

No.α/(°)β/(°)yp/mzp/m10.000.000.000 00.375 024.8012.23-0.000 90.517 5317.867.320.023 70.478 1414.969.320.041 30.476 9514.739.800.048 50.476 5615.069.910.050 00.475 0715.0710.020.050 30.474 7815.0110.010.050 10.474 9915.0010.000.050 00.475 01015.0010.000.050 00.475 0

 

表4 2RUS/2RRS等效机构拟牛顿法迭代过程-方案2(近似初值)

  

No.α/(°)β/(°)yp/mzp/m10.000.000.000 00.375 022.5514.48-0.000 90.519 4315.417.820.038 70.475 3415.119.460.046 30.475 5514.899.950.049 40.475 5615.009.970.050 10.475 1715.0310.010.050 20.474 8815.0110.000.050 00.475 0915.0010.000.050 00.475 01015.0010.000.050 00.475 0

5 结论

(1)针对分支中存在的极限位置奇异导致迭代搜索算法(牛顿法或拟牛顿法)求解2RUS/2RRS这一类机构位置正解失效的问题，提出了一种消除分支中极限位置奇异的等效方法来扩大机构的求解空间。

(2)将2RUS/2RRS机构等效为2UPS/2RPS机构进行正解求解，基于动平台转动角速度和欧拉角一阶导数的关系，通过虚设机构法得到了等效机构4×4 欧拉角形式的雅可比矩阵。

(3)提出将2RUS/2RRS机构初始位姿对应等效机构的雅可比矩阵作为拟牛顿法迭代的近似初值，能够进一步减少计算量，提高计算效率。研究成果为并联机构位置正解在实时场合的应用提供了理论参考。

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