0 引言

具有六自由度的双臂服务机器人基本上可以模仿人类手臂的运动，能够增加对复杂任务的适应性。双臂服务机器人需要解决手臂的运动学、轨迹规划、避碰、双臂协作和目标识别等问题。然而，机械臂的运动学是研究机器人的基础，其中逆运动学的求解最为重要。

20世纪80年代，Paul等采用的解析法对机械臂运动学进行求解，对于后来的运动学求解过程具有指导性意义[1]；Primrose首次证明一般六自由度机械臂最多具有16组逆解[2]；Regnier等采用迭代法，能够计算出多种结构六自由度机械臂的逆解[3]；于艳秋等采用有理数的方法求解了一般六自由度机器人手臂逆运动学问题，虽然保证了解的精度，但是却难以解决实时实现问题[4]；朱世强课题组从算法的实时性角度出发，采用矩阵分解和向量内积的方法，对课题组研制的钱江一号机械臂逆解进行了研究[5-6]；钱东海等基于旋量理论建立机械臂运动学模型，利用消元理论和Paden-Kahan子问题相结合的方法，提出了一种机械臂的逆运动学算法[7]；卢喆等采用几何法和旋量理论对机械臂的运动学进行分析求解[8]。

针对课题组的双臂6R服务机器人手臂进行运动学研究。首先，其正运动学方程通过标准DH法进行结构建模而求得。接着，根据机械臂的几何结构特点，其逆运动学通过几何法和坐标系投影法进行分析求解。最后，基于MATLAB建立双臂的3D仿真运动平台，验证了逆运动学求解的正确性。与常用的代数法求解运动方程或用雅可比逆矩阵来求解逆运动学相比，几何法和坐标系投影法的求解过程具有形象直观、通俗易懂、表达式较为简单和计算量较小等特点。

1 机器人手臂运动学模型的建立

1.1 机械臂关节坐标系的建立

该双臂机器人的左右臂都有6个自由度，结构如图1所示。为了描述机械臂各杆件之间的平移和转动关系，采用标准DH法对该关节机器人进行运动学建模[9]2。为了在仿真平台中更好地显示，首先建立基坐标为Ob-XbYbZb，然后再建立左臂和右臂的坐标O0l-X0lY0lZ0l和O0r-X0rY0rZ0r，原点O0l和O0r都与基坐标原点重合。左臂和右臂的各关节原点都相应地关于基坐标对称，如图2所示。依据坐标系的建立，可确定其坐标参数，以右臂为例，由表1可详知。其中，θi为第i关节角度值，di为相邻关节间的杆件长度，ai为相邻关节间的杆件偏移量，αi为相邻坐标系间的扭转角。

  

图1 实验室中的双臂机器人

 

表1 FS03N右臂DH参数表

  

关节θi/(°)αi/(°)ai/mmdi/mm关节范围/(°)1-90-90120300-160～1602002500-150～603909000-120～15040-900250-360～360509000-135～135600080-360～360

图2中，d1r=d1l=300，a1r=a1l=120，a2r=a2l=250，d4r=d4l=250，d6r=d6l=80。

  

图2 双臂的坐标系

1.2 机械臂的正运动学方程

相邻两杆之间的齐次坐标变换矩阵T为

 

(1)

其中，c表示cos θi，s表示sin θi，下文中出现，也类似如此。

由式(1)可得杆件的变换矩阵为

最后可得机械臂的工具广义坐标(px，py，pz，φ，θ，ψ)。通过DH法所建立的坐标系，显然各关节的初始关节角不全为0°，而在仿真平台里，需要初始位置各关节角在仿真平台可视化文本框中显示为0°，进而能够使仿真平台中可视化文本框中的显示与实际各关节运动变化量一致，所以在仿真时对各关节角进行加权处理，即本实验平台只需将关节1和关节3的变量函数在程序中分别减去90°和加上90°。

将上面矩阵依次相乘，便可得到机械臂从基坐标系到工具坐标系的坐标变换矩阵为

bT6=bT0·0T1·1T2·2T3·3T4·4T5·5T6

（1）优化工艺，确保尾气达标排放。现有的碱液喷淋淋洗工艺是采用喷淋洗涤+填料使酸雾气体与碱液吸收剂接触，净化塔吸收液均采用6%的NaOH溶液喷淋洗涤中和，酸雾去除效率为85%，尾气由15m高排气筒排入大气。经检测：吸收塔进口酸雾含量为：230～550mg/Nm3，出口酸雾含量超过100mg/Nm3，外排废气不能满足《铜、镍、钴工业污染物排放标准》（GB25467-2010）硫酸雾≤45mg/Nm3的要求。

 

(3)

式(3)可以反映出机械手臂的工具坐标的位姿，其中，[n s a]为姿态，[bp]为位置。如今机械臂的位姿常用广义坐标[X Y Z O A T]来表示，这就需要进行欧拉变换。本文中采用ZYZ形式的欧拉角进行逆变换，进而bT6就可以用欧拉角来表

(4)

令式(3)和式(4)相等，采用逆变换方法可得

φ=atan2(ay， ax)

θ=atan2(axcφ， aysφ)

ψ=atan2(nycφ-nxsφ， sycφ-sxsφ)

(5)

［2］Lawrence Rudner,etal.An Overview ofThree Approachesto Scoring Written Essays by Computer.www.circ.cd.gov

2 逆运动学的求解过程

逆运动学的求解是已知机械臂末端的位姿，进而求解达到该位姿的各个关节角[9]2-3。针对课题组构建的双臂6R机器人手臂，该机械臂的后3个关节轴交于一点，显然符合Pieper准则[10]，即可得到8组解。分析机械臂的结构特点后，本文中我采用几何法和坐标系投影法求解逆运动学，可以让求解过程更加地清晰明了。

第六，学霸寝室浓厚的学习氛围具有外溢效应。学霸们的集体优异表现会受到老师同学的更多关注。一些学校往往会组织学霸寝室介绍经验，让其他同学从中受益。也有一些上进心强的学生会主动向学霸寝室靠拢，融入学霸团队，逐渐成为团队的一员，虽然他们不是学霸寝室的编内成员，却能受到学霸寝室氛围的感染。总体而言，学霸寝室的外溢效应在有组织的宣传中能让更多学生受益，受益者虽是非特定的、但可能数量更多，对建设优良学风的效应能体现得更为充分。

2.1 构型分析

通过图1和图2的观察可知，左右手臂的结构完全对称，并且a2r=a2l=d4r=d4l=250，即大臂和小臂相等。当机械臂的各关节任意转动时，其肩、肘和腕部三杆始终共面并且形成等腰三角形，此外，该平面始终与Xb-Zb水平面相互垂直。

2.2 求解θ1、θ2和θ3的关节角

通过用欧拉角所表示的矩阵可以得机械臂末端的位姿(px，py，pz，φ，θ，ψ)，进而可以得到姿态矩阵[n s a]，根据机械臂的构型特点可知其后3个关节轴线交于一点，在运用几何法的时候，前3个关节角用来控制其交点的位置。其交点的位置矢量p的定义为

对建立的输电塔有限元模型进行模态分析,可以确定结构的振动特性,得到反映结构动力特性的自振频率和振型.进行模态分析得到钢管塔的前12阶自振频率和振型特征如表1所示,前3阶模态振型如图2所示.由表1和图2可以看出:该钢管塔的1阶、2阶模态振型分别为横向和纵向的弯曲,模态频率相差不大,说明该钢管塔的横向、纵向刚度相差不大;第3阶振型为扭转振型,扭转振型出现在弯曲振型之后.

p=p6-d6a=(pu， pv， pw)T

(6)

它相应于bT4的位置矢量，即

 

(7)

  

图3 机械臂的肩、肘和腕的位置关系图4 关节1与坐标系的关系

由图3可以看出机械臂前3个关节与坐标系的几何关系，通过几何关系和坐标系投影法可以得出各关节角。当把腕关节的坐标点投影到Xb-Zb平面时，根据机械臂的构型特点可知，肩关节需与投影点向量平行。肩关节所旋转的角度为θ1，显然关节1的角有两种情况，具体如图4可知。结合图4可求得关节1的角θ1，具体如下：

θ11=atan2(pu，-pw)

(8)

θ12=atan2(pu，-pw)+π， (当θ12>π时，

θ12=-atan2(pu，-pw)+π)

(9)

关节5的解：

总之，构建新型大学校园二手物品交易平台，在一定程度上能够打破传统“跳蚤”市场的弊端，从而使大学生交易的范围不断扩大。通过阐述大学校园二手市场现状，同时分析构建新型大学校园二手交易平台的可行性，从潜在的市场范围分析和构建新型大学校园二手物品交易平台的可操作性分析入手，剖析构建新型大学校园二手物品交易平台的思路，开发环境及环境配置，实用操作。这样才能从根本上满足大学生对闲置二手物品的需求，从而确保社会的可持续发展。

 

(10)

进而W点的坐标位置在S坐标系可表示为

 

 

(11)

  

图5 坐标系的偏转图图6 关节2、3的角度关系图

在转换后的坐标系中各关节间的几何关系如图6所示，先根据反余弦函数原理求解关节3的角度值，然后再根据三角几何关系求解出关节2的角度值，具体如下所述：

 

(12)

∠SWE=arccos[(lSE2+lEW2-lSW2)/(2lSElEW)]

(13)

其中，lSE=a2r， lEW=d4r。

方案实施过程中，通过及时跟踪分析动态资料，对原有方案进行适当调整和完善，使其最优化。在此基础上，按照探明或控制储量的规范对储量上报方案进行研究和优选，确定储量参数，最终完成储量的上报工作，并对整个精细勘探研究过程进行总结，指导下一步的勘探和开发。

其中，x3和y3分别为bT3的第一列和第二列向量；sij=sin θicos θj+cos θisin θj， cij=cos θicos θj-sin θisinθj； a=(ax，ay，az)T，下同(当其旋转180°时， 可得另一组解)。

θ5=atan2(sin θ5， cos θ5)=atan2(c1c4c23-

(14)

r=pus1-pwc1-a1r

(15)

β=atan2(r， pu+d1r)

(16)

 

(17)

θ2=π/2-(β±α)， (当θ3>0时取加号， θ3<0时取减号)

(18)

2.3 求解θ4、θ5和θ6的关节角

在求解后3个关节时，由机械臂的构型特点可知，关节4和关节5共同使关节6的运动轴与给定的接近矢量对准，接着转动关节6，对准给定的方向矢量和法向矢量，通过关节坐标系的投影法，结合图7、图8和图9即可求解出θ4、θ5和θ6的关节角。下文用θ1、θ2和θ3的一组解来求解后3个关节角。

脓毒症是一种失控性全身炎症反应综合征,是感染因素引起的,其症极易发展为多器官功能障碍综合征和感染性休克[1]。研究[2]显示,血乳酸越高,病情越重,预后越差。对血乳酸浓度和血乳酸清除率的变化进行动态监测,可以评估患者的病情变化及治疗效果。连续血液净化治疗,能改善脓毒症患者的内环境,降低死亡率[3]。本研究探讨了重症脓毒症患者采用连续性血液净化治疗对其血乳酸水平及6h乳酸清除率的影响。

  

图7 关节4的解图8 关节5的解

  

图9 关节6的解

关节4的解：

根据几何关系可知，关节4的坐标系Z轴为

 

(19)

根据图7可知

sin θ4=-(z4·x3)

根据图9可知

cos θ4=z4·y3

(20)

进而得

凯安跟我说，学校的所有孩子都很羡慕他。上次，他跟同学说下课以后要赶紧回家把作业做完，这样就能跟哥哥玩弹珠，同学们都对他说：“你好幸运哦！我们回家要是写完作业，爸爸妈妈会很高兴。因为他们能够给我们布置更多的家庭作业，把我们累死了。所以，我们回家以后尽量拖拖拉拉写作业，为了避免做更多的作业。”

θ4=atan2(sin θ4， cos θ4)=atan2(c1az-s1az，c1c23ax+s23ay+s1c23az)

(21)

7.吃菌 菌是指真菌中能形成大型子实体或菌核并能食用的种类，有蘑菇、香菇、木耳、冬虫夏草、灵芝、茯苓等，它们含有大量对人体有益的营养物质，有降血脂、降血压、调节人体新陈代谢的作用，对高血压、新脑血管病、肝硬变、糖尿病等有很好的预防和辅助治疗作用，并可健肌肤、益容颜、提高免疫力、增进智力、改善视力，提高人体抗病能力。

由机械臂的构型特点可知，肩、肘和腕三点所构成的平面始终与Xb-Zb平面垂直。通过坐标系转换，把坐标原点转换到肩关节坐标点处，即图5中的S点，进而将空间问题转换到平面中来求解，具体由式(10)可知。在X1-Y1平面内，由图6中所表示的几何关系，可以求出关节2和关节3的角度。具体如下：

根据图8可知

sin θ5=a·x4，cos θ5=-(a·y4)

(22)

其中，x4和y4分别为bT4的第一列和第二列向量。

进而得

θ3=±(π-∠SWE)

s1s4)ax+c4s23ay+(s4c1+s1c4c23)az，

乡村旅游培训作为成人教育的一种形式，采用工作场所学习的培训方式，较之课堂集中讲授式培训方式有诸多亮点。首选培训地点设在具体旅游乡村，能够突破乡村旅游的培训名额限制，实现乡村旅游从业者广泛参与；其次培训内容因具体乡村的实际需要而设定，拉近学习内容与学习人的距离，避免产生“空中楼阁”培训效果。再次培训方式可以采用理论分析、技能指导、成果展示等多样化培训措施，实现培训与工作并行开展，激发学习人的学习兴趣，进而产生学习共鸣。

c1s23ax-c23ay+s1s23az)

(23)

关节6的解：

闻一多说周人能够在上下五六百年中编纂成这么一部伟大的诗集，这在当时语言、文字、音韵尚未统一，交通信息极不发达，甚至整个国家都处于一个很松散的联邦政权时代的局面下，这部语言统一、音韵一致、结构完善的《诗经》能够产生并流传下来，这本身就是一个奇迹。

sin θ6=n·y5， cos θ6=s·y5

(24)

其中，n=(nx， ny， nz)； s=(sx， sy， sz)；y5为bT5的第二列向量。

进而得

θ6=atan2(sin θ6， cos θ6)=atan2[(-s1c4-

s4c1c23)nx-s4s23ny+(s1s4c23+c1c4)nz，

3 肠内营养制剂的输注方式 肠内营养制剂可通过一次性输入、间歇性重力滴注或连续性泵入的方式输注。一次性输注的优点在于不受连续输注的约束，有类似正常膳食的间隔。间歇滴注比连续泵入有更多活动时间。连续泵入适用于危重症、十二指肠或空肠造口喂养的患者。应根据患者具体情况选择合适的输注方式。

(-s1c4-s4c1c23)sx-s4s23sy+(s1s4c23+

c1c4)sz]

(25)

2.4 解的对应关节

经过上文公式计算得到机械臂的各关节角度值，根据机械臂的构型特点，运用几何法和坐标系投影法可得到8组逆解。由式(8)和式(9)可得到关节1的两组解，在关节1的一组解的情况下，由式(14)可得到关节3的两组解，与之相应的，由式(18)也可得到关节2的两组解。但是依据机械臂的构型特点，在关节1的某一组解的情况下，关节2和3的解可能不存在，这样前3个关节就有两组或4组解。在前几组解的一种情况下，由式(21)可得到关节4的两组解，而关节5在关节4解情况下，由式(23)知只有一组解，关节6在关节5解的情况下，由式(25)可知只有一组解。综合上述，最多共有8组解，结合逆解树图10，可更加形象表达。

  

图10 逆解树

2.5 最优解的选取

为了使机械臂在工作的时候可以快速完成目标任务和降低能耗，这就要求我们能够从多组逆解中选取符合条件的最优解。此外，在关节空间里的轨迹规划中，运动学的逆解选取也十分重要。本文中我们依据行程最小原则来选取最优解，即各关节角度值变换量的绝对值之和最小来选取，由式(26)可以清楚地反映出。

 

(26)

其中，θ△i表示i关节角度值的变化量。求出式(26)的最小值，就可以满足所需的最优解。

3 双臂的仿真验证

本文中我们以双臂6R服务机器人为研究对象，分析求解了其正逆运动学问题，为了验证求解的正确性，运用MATLAB搭建了3D仿真平台，实时观测其运动情况，进行了正运动学和逆运动学的验证，图11为仿真建立的流程图，图12为搭建的仿真平台。

我国与发达国家的游泳教学内容和教法相比有着较大的文化差异。发达国家在低龄学段便将游泳设置为必修课，中小学生必须学习、掌握水上自救技能。其课堂游泳教学任务为安全游泳、自救游泳、救助他人游泳以及被他人救助时的游泳等技能培养，并在夏季开设专门的游泳救生、自救的模拟训练，内容覆盖学生穿着衣服鞋子游泳、水中抛物、水上救助比赛等，这种模式的学习有助于提高学生在危机情况下自救及施救的能力。相比之下我国学生水上自救和救助他人较少深入到中小学的基础教育中并缺乏具体实践演练，普遍停滞在概念理解状态，缺乏体系化的专门培养。

  

图11 仿真搭建流程图

  

图12 双臂的3D仿真平台

随机选取一组左右臂的关节角，左臂的关节角度为(85°，107°，-100°，-4°，-15°，53°)右臂的关节角度为(62°，-83°，137°，-168°，-17°，20°)。通过正运动学计算得到左臂的欧拉角形式的位姿为(372.96 mm，558.46 mm，-31.18 mm，-7.982°， 93.917°， 138.44°)，右臂的欧拉角形式的位姿为(288.24 mm， -270.5 mm， -147.7 mm， 71.202°， 95.831°， -32.07°)。得到两臂的欧拉角形式的位姿后，编写几何法和坐标系投影法求解逆运动学程序，结果由表2和表3可以详知各组解的情况，可以发现各8组解中会有一组解与初始随机选取的一组解相同，同时，得到了左右臂的最优解。然后将左臂和右臂的各8组解，分别逐组写入左臂和右臂正运动学计算的文本框内，每组计算所得到的相应欧拉角形式的位姿与原始数据计算所得到欧拉角形式的位姿进行比较，结果相同，从而验证了计算结果与仿真结果的一致性。

 

表2 双臂机器人左臂的正逆运动学验证表

  

正解计算关节值85°107°-100°-4°-15°53°位姿值372.96 mm558.46 mm-31.18 mm-7.982°93.917°138.44°逆解计算 关节号组号 1l2l3l4l5l6l185°7.001°99.999°178.859°114.961°-131.345°285°7.001°99.999°-1.141°-114.961°48.655°385°107°-99.999°176°15.001°126.993°485°107°-99.999°-4.001°-15°53.007°5-95°138.8°16.398°-1.911°32.825°-129.252°

 

续 表

  

正解计算关节值85°107°-100°-4°-15°53°位姿值372.96 mm558.46 mm-31.18 mm-7.982°93.917°138.44°逆解计算 关节号组号 1l2l3l4l5l6l6-95°138.8°16.398°178.089°-32.956°50.748°7-95°155.198°-16.398°-1.367°49.173°-129.966°8-95°155.198°-16.398°178.633°-49.173°50.034°最优解85°7.001°99.999°-1.141°-114.961°48.655°

 

表3 双臂机器人右臂的正逆运动学验证表

  

正解计算关节值62°-83°137°-168°-17°20°位姿值288.24 mm-270.5 mm-147.7 mm71.202°95.831°-32.07°逆解计算 关节号组号 1r2r3r4r5r6r162.000 1°-82.999°137°12°16.999°-169.089°262.000 1°-82.999°137°-168°-16.999°20.911°362.000 1°54.001°-137°7.182°153.176°-144.239°462.000 1°54.001°-137°-172.188°-153.176°35.761°5-118°153.398°65.750°-176.297°110.011°-148.218°6-118°153.398°65.750°3.7033°-109.296°31.782°7-118°-140.552°-65.750°-174.994°44.156°-151.091°8-118°-140.552°-65.750°5.006°-44.156°28.909°最优解-118°-140.552°-65.750°5.006°-44.156°28.909°

4 结论

以双臂6R服务机器人为研究对象，针对其运动学中的逆解问题，采用几何法和坐标系投影法进行解决。在得到8组封闭解后，依据行程最小原则，选取最优解。为了验证算法的正确性，运用MATLAB搭建了3D仿真平台，验证了其正确性。同时，逆运动学的求解和3D平台的搭建，也为后续的轨迹规划和解决避碰等问题奠定了基础。

参考文献

[1] PAUL R P， SHIMANO B E， MAYER G. Kinematics control equations for simple manipulators[J]. IEEE Transactions on System， Man and Cybernetics， 1981， 11(6):449-455.

[2] PRIMROSE E J F. On the input-output equation of the general 7R mechanism[J]. Mechanism and Machine Theory， 1986， 21(6):509-510.

[3] REGNIER S， OUEZDOU F B， BIDAUD P. Distributed method for inverse kinematics of all serial manipulators[J]. Mechanism and Machine Theory， 1997， 32(7):855-867.

[4] 于艳秋， 廖启征. 基于有理数运算的一般6R机器人位置逆解算法[J]. 机械工程学报， 2005， 41(3):229-233.

[5] 刘松国， 朱世强， 王宣银. 基于矩阵分解的一般6R机器人实时高精度逆运动学算法[J]. 机械工程学报， 2008， 44(11):304-309.

[6] 刘华山， 朱世强， 吴剑波. 基于向量积的机器人实时性逆解算法[J]. 农业机械学报， 2009， 40(6):212-216.

[7] 钱东海， 王新峰， 赵伟， 等. 基于旋量理论和Paden-Kahan子问题的6自由度机器人逆解算法[J]. 机械工程学报， 2009， 45(9):72-76.

[8] 卢喆， 郑松. 基于几何法和旋量理论6自由度机器人逆解算法[J]. 机械传动， 2017， 41(6):111-114.

[9] 葛连正， 陈健， 李瑞峰. 移动机器人的仿人双臂运动学研究[J]. 华中科技大学学报(自然科学版)， 2011(S2):1-4.

[10] 熊有伦， 唐立辛， 丁汉， 等. 机器人技术基础[M]. 武汉：华中科技大学出版社， 2008:15-54.