0 引言

运动学分析是进行轨迹规划的前提，逆运动学求解方法有多种，主要可分为反变换法[1]、迭代法[2]和几何法[3]。自由度小于6的机械手无法以任意姿态逼近同一目标位置，其在直角空间轨迹规划所得到的末端位姿可能不存在运动学逆解，或逆解存在与否难以直观判断[4]，因此反变换法求5-DOF机械手的逆解存在缺陷。本文中利用反变换法结合几何法求解逆运动学方程，得到了5-DOF机械手的逆解封闭解，并利用MATLAB进行了逆运动学仿真验证。对所求的两组逆解进行了多项式轨迹规划，得到相同的末端轨迹，验证了运动学逆解方程的正确性。之后，对关节转角范围内的逆解进行轨迹曲线的分段拟合，得到关节电机输入函数关于时间的分段函数表达式，通过SolidWorks软件进行机构仿真测量，验证了表达式的精确性。

1 运动学分析及仿真

此项研究所设计的机械手具有5个自由度，如图1所示。机构的关节1绕基座转动，2、3、4关节为相互平行的转动关节，转动5关节与末端执行夹手相连从而接近物体。机械手运动学主要研究末端执行器的位姿及运动轨迹，运用标准D-H坐标系变换法[5]对机械手运动学进行建模，建立各关节坐标系如图1所示，D-H坐标系参数如表1所示。

  

图1 5-DOF机械手结构及D-H坐标系

 

表1 D-H坐标系参数表

  

iαi/radai/mmθi/raddi/mm关节角范围/(°)1π/29.75θ100～25420104θ200～1603094.15θ30-127～1274-π/228θ40-127～127500θ590-180～180

表1中，αi为Zi-1轴绕Xi转到Zi轴的角度，ai为Zi-1轴沿Xi平移到Zi轴的距离，ai>0；θi为Xi-1轴绕Zi-1转到Xi轴的角度，di为Xi-1轴沿Zi-1平移到Xi轴的距离，di>0。由先Z轴再X轴的变换规则，根据表1得到如下的变换矩

她查到路线。先坐飞机，再坐火车，换客车，换当地小巴。一路辗转。形迹越来越荒凉，渐渐失去生机。路上看到因为地震而被劈成两半的山峦，裸露出来的白色伤口触目惊心。地动山摇，地球重新排列秩序。这种力量，人岂能抵挡。她已无法找到一个地方叫春梅。当地人的小巴，载着她穿越过迂回曲折的高山和田野上的窄小路径，始终在兜转。周围是望不到边际的冬季田野。黑灰色一片。草木萧瑟。

(1)

式中，c θi=cos θi，s θi=sin θi，c αi=cos αi，s αi=sin αi，下同。

1.1 正运动学分析

由式(1)及表1中的参数，可求出各关节坐标系间的正运动学齐次变换矩阵

有源功率因数校正，即所谓的APFC电路，目的在于确保网端交流侧单位功率因数运行，使网端电压电流同相位，常规做法是采用Boost电路，通过控制该电路中开关管的通断来达到网端功率因数校正的目的，当供电系统以单位功率因数运行时，可有效地消除谐波，大大减小了系统的非线性。

由此，末端执行器的齐次变换矩阵则为

刘伟说：“从现在开始，我们就是一条绳上的蚂蚱了，我们再确认一下分工，你俩（他指着泰森和黑背心），跟我一起进屋！你（他指着我），守在大门外，万一有人上门，你要设法让他离去！”

班主任要有强烈的责任心，尽可能减少工作失误，一旦出现教育方法不当，及时对学生做思想工作和心理补偿，促使矛盾化解。

(2)

1.2 逆运动学分析

由图1可知，机械手的2、3、4轴互相平行，满足Pieper法则[7]，具有封闭解[8]。本文中利用反变换法及几何法可求得封闭解，反变换法利用已知的末端位姿矩阵，依次对式(2)左分离各关节变量，求解简单且速度快；几何法将机械手空间几何参数分解成的平面几何参数求解关节角，由于机械手的关节2、3、4所构成的操作臂是平面的，可利用其在某一平面的投影运用几何法求解[9]。

执行器末端位姿矩阵可表示为

白日里，紫云坐在办公室里，隔着玻璃窗，看见林志在弯腰割草，她不禁默念道：“这就是我的男人，全世界最没出息的一个人。我苦读十几年，难道就是为了找个吃软饭的男人？”

举例说明：φ1 0 1 6 m m×26.2m m；检测是拍摄五张底片（800m m×80m m），每张需要电压2 6 0 k V，焦距1016+2+135=1153mm，曝光时间为1min，共需要10min。现场洗片为10min左右，底片观察5min，预计每道焊口25min能够出具检测结果。施工过程中过程中曾运用RT方法进行过根焊检测，效果良好，满足查看根焊质量的目的。

 

 

其中，s234=sin(θ2+θ3+θ4)， c234=cos(θ2+θ3+θ4)，等式中某些未使用且无关求解过程的元素用*表示。

等式两边元素(3， 4)对应相等，因(Py， Px)取不同符号、对应不同象限时有2种解，得

θ1=Atan2(Py， Px)或θ1=Atan2(-Py，-Px)

(3)

令(3， 1)及(3， 2)元素分别对应相等，得

令(1， 3)及(2， 3)元素分别对应相等，得

(4)

θ5=Atan2(s1r11-c1r21，s1r12-c1r22)

θ234=Atan2(-c1r13-s1r23，r33)

(5)

本文中引入反正切函数Atan2(y, x)求解方位角，该函数返回的是原点到点(x, y)的方位角，即其与x轴形成的夹角，也可以理解为复数的辐角。与Atan的不同，计算时Atan2比Atan稳定，如：Atan(y/x)，当y远远大于x时，计算结果是不稳定的。Atan2(y, x)的做法：当x的绝对值比y的绝对值大时使用Atan(y/x)；反之使用Atan(x/y)，这样就保证了数值稳定性。Atan2的返回单位为弧度的角度值，取值范围为(-π, π]。

由DH法利用MATLAB Robotics工具箱构建机器人模型，如图2所示，1、2和3关节不变，θ4取值不同时C和D的位置存在4种可能，需分情况讨论。

下面利用几何法求解θ2、θ3及θ4。将机械手在XY平面投影，令投影所在直线横坐标为X′，得到平面ZX′内的机械手如图2所示，关节2、3、4及5只在平面ZX′的一条直线上发生相对运动。末端P(Px， Py， Pz)，关节4处点C(Cx′， Cz)，关节5处点D(Dx′， Dz)， |CD|=a4， |DP|=d5， CD⊥a， DP∥a且同向，则有

2007年12月22日，朱炳仁倾力打造的“同源桥”经国家宗教局支持，由杭州灵隐寺赠送给台湾中台禅寺，成为两岸文化交流史上一件盛事。

  

图2 平面Z- X′内的机械手

由此得C点坐标为

或

㉛习近平:《共同创造亚洲和世界的美好未来——在博鳌亚洲论坛2013年年会上的主旨演讲》(2013年4月7日)，人民出版社2013年版，第4页。

根据全省闪电监测数据分析显示,7月27日19:00—20:00,在事发地5 km范围内,共监测到4次负地闪,强度分别为25.7～43.6 kA,地闪位置距离事发地分别为0.97～3.46 km。廊桥附近的监控视频显示,27日19:35事发前后,廊桥所在地出现大风、雷电、降雨等天气。

或

长崎，还有西方传教士修建的大浦天主教堂。这里景色很美，有纪念塔，有雕像，有喷泉，有爬满绿藤的长廊。我们站在教堂前的空地上远望大海，心里十分开心。

(2)C在D下方，如图2(b)所示， Cz<Dz，平面内为单位矢量，得C点坐标为

对式(2)两边分别左乘得

或

(3)依据旅游发展实力和旅游区位熵可将安徽省16市划分为三个等级．黄山市、安庆市、合肥市、芜湖市旅游产业发展实力雄厚，为一级旅游增长极城市；池州市、六安市、宣城市、滁州市旅游业发展状况较好，旅游发展潜力较大，为二级旅游增长极城市；蚌埠市、淮南市、马鞍山市、铜陵市、亳州市、淮北市、阜阳市、宿州市基础设施有待完善，缺乏有竞争力的旅游品牌，是安徽省旅游业发展的滞后区域，为三级旅游增长极城市．

在三角形ABC中，由余弦定理得

(1)C在D上方，如图2(a)所示，Cz>Dz，平面内为单位矢量，θ2<0，θ3>0，求D及C点坐标。

图2给出了θ2及θ3两组可能的解，由此得

θ3)，θ2=β+γ=arctan(-a3sin θ3，a2+a3cos θ3)+arctan(Cz，Cx′-a1)

信息技术革命正在如火如荼地展开，在计算机技术与无线网络技术迅猛发展的今天，数字化已经到来，它不仅是一个口号，更是一个颠覆传统企业管理，升级现代企业管理的模板。企业中任何经营环节都离不开企业管理的创新与改革。本文针对数字化时代企业管理的创新与改革问题展开讨论。

最后得θ4=θ234-θ2-θ3。

对于给定位姿时，由于θ1取值范围限制，只能取其一组解，因此θ1与θ5只有1组解，而θ2、θ3、θ4有2组可能解。

1.3 运动学仿真

通过机器人工具箱的滚动滑块设定末端轨迹路径点的关节角，利用运动学正解方程，获得末端位姿变换矩阵，由此利用逆运动学方程及ikine函数依次求出对应逆解，得到其中的部分如表2所示。

对比逆解结果可知，运动学逆解均得到2组解，而ikine函数仅有1组解。A1不在关节范围内，Ai=A2，故有1组可行解；Ci转化到可行区间内基本与C1相同，故得到2组可行解，但分析其运动轨迹可知，C2中的θ2较前一节点角度变化更小，考虑舵机驱动转角尽量小，轨迹尽量短，则应选择B2；D2不在关节转角范围内，Di转化到可行区间内基本与D1相同，因此得到1组可行的解。对比ikine函数求解结果，所分析得到的逆运动学方程对求解机械手逆解具有更好的指导性。

 

表2 部分逆解数值解

  

逆解θ1θ2θ3θ4θ5运动学逆解ikine逆解运动学逆解ikine逆解运动学逆解ikine逆解A1A2AiC1C2CiD1D2Di1.976 51.976 51.976 533.392 40.971 1819.820 73.206 13-0.794 30.417 922.453 50.794 32-0.418 12.453 50.794 32-0.418 12.776 95-0.605 80.218 792.202 20.605 82-0.418 1-10.364-5.677 418.431 53.206 13-0.794 30.417 922.453 50.794 32-0.418 133.869 4-87.17156.130 60.816 810.816 810.816 8125.949 60.816 8125.949 6

在此基础上，分别对不全在关节转角范围的第1组运动学逆解及满足关节角范围的第2组逆解，采用7次多项式插值末端轨迹，仿真轨迹如图3所示，两组逆解仿真得到同样的轨迹，验证了所求逆解正确性。

我站在这里觉得很尴尬，相比那些城里人，我总觉自己是个冒牌货。看打球的除了我，还有个坐轮椅的老头，他眼神怪怪地瞅着我，让我感到浑身不自在。

  

图3 两组逆解的机械手仿真轨迹

2 轨迹规划分析

对于设定的轨迹，如果能把关节变量转化为关于时间的简单函数表达式，将有助于简化计算，便于实现对机械手关节舵机的实时控制。为此本文中采用曲线拟合逆解关节变量的方式[10]，对表2中关节转角范围内的1组逆解结果采取多项式拟合，得到各关节舵机的输入函数表达式，并进行轨迹仿真及误差分析，验证拟合轨迹，分析运动学逆解准确性及拟合方法的合理性。

以θ3为例，选取第2组全在关节角范围内的运动学部分逆解，采取多项式拟合，由于拟合精度依赖于所选取的多项式次数，且次数越高拟合轨迹越光滑精确，但次数过高可能产生振荡过大的过度拟合现象，反而影响拟合精度。根据拟合效果，选取置信度为95%的置信区间进行7次拟合，拟合结果如图4所示。

由图4看出，拟合轨迹能够较好地逼近选取节点，精度较高，同时可得到关节角变量关于采样时间的显示解析式：θ3(t3)=9.006×10-13t7-6.634×10-10t6+1.886×10-7t5-2.555×10-5t4+0.001 608t3-0.035 16t2+0.296 1t+34.32，对其他关节角的拟合方法类似。由拟合结果可以看出，拟合后残差在[-0.05°， 0.5°]范围内，残差平方和(SSE):1.507，相关系数平方(R-square):0.999 8，修正后的R方(Adjusted R-square):0.999 7，均方差(RMSE):0.340 4，由于机械手关节MG996R舵机的转动精度为1°，由此可见拟合结果能保证轨迹精度。由于图4仅取了部分逆解值，其拟合效果不能表现关节的完整轨迹变化情况。取θ3完整轨迹的离散逆解进行多项式拟合，拟合结果如表3所示。

  

图4 第2组关节角逆解拟合曲线

 

表3 θ3完整轨迹拟合结果

  

多项式次数R-squareAdjusted R-squareRMSE20.744 60.738 811.6230.843 50.838 19.1540.853 90.947 28.89150.9070.901 67.13360.920 30.914 76.64370.942 60.937 95.66980.960.956 24.76190.969 60.966 34.175

由表3可知，离散点选取足够多时，7次甚至更高次多项式也可能无法得到满意的拟合效果，且应避免采用过高次的表达式。由此本文采取分段拟合的方法[11]，将θ3的轨迹分成5段，根据每段各自拟合情况选择不同的拟合次数，拟合后R-square及Adjusted R-square均在0.995以上， 同时RMSE<0.5，说明方程的变量对θ3的解释能力较强，拟合曲线精度较高。分段选取离散点得到各段拟合曲线及5个多项式函数，其中θ3(t3)前文已给出。

 

θ3(t1)=1.014×10-9t5-5.882×10-7t4+

0.000 121 2t3-0.009 873t2+0.156 7t+45.12

θ3(t2)=1.187×10-10t5-3.012×10-8t4+p3t3+

p4t2+p5t+p6

θ3(t4)=-2.959×10-7t4+0.000 816 2t3-

0.841 5t2+384.1t-6.542×104

θ3(t5)=2.854×10-7t4+0.000 939 5t3-

1.157t2+631.8t-1.29×105

其他关节拟合方法类似，由关节空间轨迹规划的结果，对舵机输入函数自变量随机取值，由正运动学得一系列的末端轨迹点的坐标Pi[xi， yi， zi]；同时将计算的因变量即θ值，通过SolidWorks软件进行机构仿真测量，所得任务空间位置机构轨迹测量仿真如图5所示。

  

图5 机构轨迹测量仿真

则位置误差为：对‖E‖求解结果为0.017 23 mm，可见机构仿真测量得到的结果能够很好地逼近拟合前的目标轨迹，由此验证分段拟合方法准确性较高，能满足驱动舵机的精度要求及较高精度要求的轨迹规划场合。

3 结论

(1)分析了正、逆运动学，通过反变换法及几何法求得5-DOF机械手逆解，由于ikine只能得到1组逆解，且其结果未考虑关节转角范围，因此所求逆运动学方程对机械手运动学分析具有良好的指导性。对2组逆解进行轨迹插值，得到相同的末端轨迹，验证了逆运动学方程的正确性。

(2)对关节转角范围内的1组逆解进行曲线拟合，分析拟合结果后采用分段拟合，以降低多项式次数并减小误差，得到了关节角变量关于时间t的分段函数表达式，便于实现输入舵机的实时控制。由于拟合方法的精度依赖于所选点数量及拟合次数，因此对整个轨迹的拟合可选择分段式方法、更高次拟合或其他拟合类型，根据实际精度要求择优确定。

参考文献

[1] 韩磊， 刁燕， 张希斌， 等. 基于改进牛顿迭代法的手腕偏置型六自由度关节机器人逆解算法[J]. 机械传动， 2017， 41(1):127-130.

[2] HINDMARSH A C， SCHIESSER W E. The numerical method of lines: integration of partial differential equations[J]. Mathematics of Computation， 1993， 60(201):433.

[3] 陈鹏， 刘璐， 余飞， 等. 一种仿人机械臂的运动学逆解的几何求解方法[J]. 机器人， 2012， 34(2):211-216.

[4] 卢喆， 郑松. 基于几何法和旋量理论的6自由度机器人逆解算法[J]. 机械传动， 2017， 41(6):111-114.

[5] NIKU S B. Introduction to robotics : analysis， control， applications[M]. Prentice Hall， 2001， 14(1):125-126.

[6] 李诚， 谢志江， 倪卫， 等. 六自由度装校机器人雅可比矩阵的建立及奇异性分析[J]. 中国机械工程， 2012， 23(10):1165-1169.

[7] SICILIANO B， KHATIB O. Springer handbook of robotics[J]. Springer Handbook of Robotics， 2007， 56(8):987-1008.

[8] 郭万金， 李瑞峰， 曹雏清. 五自由度机器人逆运动学解法与工作空间分析[J]. 华中科技大学学报(自然科学版)， 2015(s1):14-18.

[9] 傅国栋， 郑相周， 黄思. 一种5自由度机械手的运动学分析[J]. 机械传动， 2015， 39(9):151-154.

[10] 范雨， 蔡敢为. 一种焊接机器人的运动学分析及轨迹规划方法[J]. 上海大学学报(自然科学版)， 2014， 20(4):411-419.

[11] 杨文忠. 采用分段拟合机器人焊接热误差补偿控制技术[J]. 焊接， 2015(6):56-59.