1 引 言

图像修复作为图像处理领域的一个重要方向,一直都是备受关注的问题,从数学角度分析,图像修复问题实质上是为了解决一个病态的逆问题,利用目标破损图像周边的先验区域像素信息来估计和概化其破损区域信息从而达到所谓的修复效果。这类研究在日常生活中起着至关重要的作用[1]。

就目前而言,有两种类型的修复应用于图像修复领域:一种是基于纹理合成的修复方法,另一种是基于非纹理的修复方法。对于纹理合成的修复方法是在其破损区域的边界先验区域进行相应的纹理块匹配,从而选择最佳的纹理或者规则图案进行填补。如张晴等人[2]的纹理分布分析的快速图像修复算法和冯象初等人[3] 图像修复问题的低秩对偶逼近算法等。此类修复技术虽然对一些简单的纹理规则结构的图像有着显著的修复效果,但是对于一些有着丰富细节信息的破损图像其修复效果却并不理想。那么对于非纹理修复方法是对其破损区域的边缘先验区域利用相应的模型使其从已知的先验区域不断地扩散至其未知的破损区域,从而使其无限的接近其原有的像素信息来达到所谓的修复效果。全变差(Total Variation,TV)正则化图像去噪数学模型最初是由Rudin等人[4]所提出的,而后再由Chan等[5]人把此类方法转接到了图像修复领域,并且在后面的实验中取得了较好的效果。但是此类修复方法在修复破损图像时容易在其缺损部分产生“阶梯效应”和细节模糊等问题。

针对上述出现的问题,本文提出了一种基于纹理分解的自适应二阶总广义变分[6]和分数阶变分[7]的图像修复模型。首先该模型将待修复的目标图像分解为卡通与纹理两个部分,其中卡通对应目标图像的低、中频部分,因此利用抑制“阶梯效应”较好的二阶总广义变分模型对其进行修复；纹理对应其高频部分,因此利用对细节部分有增强效果的分数阶变分模型对其进行修复。由于文中所提到的修复模型均与线性鞍点结构下求取最优值的模型类似,因此在算法上均采用基于预解式的原始对偶算法对新模型进行求解。此外,为了取得更好的修复效果,在两种算法的正则项上均设计了一个自适应边缘指示算子,通过卷积滤波函数来自适应的控制该模型修复扩散的强弱，以更好地保护图像的边缘和细节部分。实验结果表明:与传统的TV、TGV修复模型相比较,新模型的修复效果在主观视觉上显得更加自然,且在峰值信噪比与相关系数等客观评价指标上均有提高。

2 相关模型分析

2.1 图像分解模型

图像分解[8]实质上就是把目标图像f:Ω→R分解成两部分的和,即f=u+v。其中u表示图像中的结构部分,也称作结构图像或卡通图像,包含了f的主要特征信息,所以可以看成是对图像的一个好的逼近；v是由纹理和噪声组成的振荡成分或者是一个统计采样,也可叫做纹理图像,其中Ω是R2中的一个有界开子集。则图像分解模型可以表示为:

 

μ‖|g|‖p

(1)

式中,分数阶正则项的离散形式为:

缺钾：番茄缺钾时，老叶和小叶呈灼烧状，叶缘卷曲，脉间失绿，有些会在失绿区出现边缘为褐色的小枯斑，茎变粗，木质化。根细弱。

  

图1 图像分解示意图Fig.1 Image decomposition diagram

2.2 TV修复模型

TV图像修复[9],从其实质意义上来讲是一类基于偏微分方程的图像修复方法。其修复的过程如图2所示,由待修复区域D的边缘先验区域E不断地向待修复区域D扩散的过程。则TV修复模型可以表示为:

 

(2)

式中,min表示对此模型求最小解,第一项为正则项,作用是在D∪E区域内的图像总变分求取最优。第二项为保真项,作用是平滑修复区域。u为原始图片,u0为破损图片,λ为正则化参数,用于平衡上述两项修复前后的像素差值有一个良好的折中。

由式(2)可知,能量泛函的梯度下降方程为:

 

(3)

其中,为扩散项,为扩散系数,其作用是修复图像时平衡图像在不同的像素梯度下的扩散强弱,以此来避免图像修复后破损区域与其邻域之间过度的平滑。因为TV修复模型在修复图像时只能有效的逼近分片常数,因此,在修复结果中常常出现 “阶梯效应”。

  

图2 图像待修复域及其邻域示意图Fig.2 Image to repair domain and its neighborhood schematic

3 新模型的提出

本文的研究重点在于对一幅图像进行修复时,既能完全的修复其破损的区域又能较好地保持该图像的细节信息,使得修复后的图像无限的接近其原图像的像素信息。在这一工作中考虑到一幅图像它既有结构特征明显的卡通部分又有细节特征突出的纹理部分。如图3新模型流程示意图所示,在修复图像时可以把它分开处理,即可以把一幅图像分成卡通对应的低、中频部分和纹理对应的高频部分。然而TGV模型在对图像的低、中频部分处理时不仅能够在修复图像的同时且可有效地去除“阶梯效应”,而对于图像纹理的部分则可以使用全局性高且保护细节能力强的分数阶模型。此模型示意图如图3所示,首先将目标图像分解为卡通和纹理两部分而后用对应的两种模型分别处理,完毕后再将两种模型各自处理后的图像再次组合在一起,这样不仅去除了修复所带来的“阶梯效应”同时又保留了较好的细节特征。

  

图3 新模型图像修复流程示意图Fig.3 New model image repair flow diagram

3.1 自适应二阶总广义变分修复模型

二阶总广义变分实质上是传统变分模型的一种改进形式,它是基于传统变分模型在修复图像时易产生“阶梯效应”,针对这一不足,二阶总广义变分模型在传统变分模型的正则项上设计了一个对称梯度算子,以此来解决其模型衍生出来的问题。设Ω⊂Rd是一个开区域,k≥1且α=(α0,…,αk-1)>0。则对任意的阶TGV的定义为:

 

 

‖divlv‖≤αl,l=0,…,k-1},

其中,symk(Rd)为k阶对称张量空间。

由上可得,其模型如下所示:

 

(4)

其中,

如图1所示,把原图1(a)分解分为两个部分,即图1(b)卡通部分和图1(c)纹理部分。其卡通部分包含了整幅图像更多的低、中频信息,即结构框架和边缘轮廓,而纹理部分则描述了更多的高频信息,即图像中的细节信息。

是二阶总广义变分的正则项；D为图像中待修复的目标区域；E为目标区域周围的已知信息部分；ε(v)=(v+vT)/2为对称梯度算子；v为向量场；u0为破损图像；u为修复后的图像；λ1、λ0、β为三个大于零的参数。

二是活动不经常。有计划不落实、难落实，有活动简单化、随意化，是不少镇街人大代表活动存在的共性问题。往往上级人大有委托就搞点，遇到难题需要代表出面就组织组织，会前需要视察就开展开展，既主动又系统，常年持续坚持的少之又少。从活动内容看，听听看看的视察多，细查深究的调研少，学习培训、向选民述职、联系选民等代表活动还未引起所有镇街人大的足够重视，难以落实到位。

从式中可以看出,二阶总广义变分模型与传统变分模型相比多了一个正则项,使得TV模型变成了二阶TGV模型,并以此来修复低、中频部分的破损图像,同时也消除了其模型本身所带来的“阶梯效应”。

3.2 自适应分数阶变分修复模型

分数阶微分实质上是整数阶微分的一种推广形式,它是研究在合理阶次间分数阶阶次的微分和积分的一个特性及合理的应用到图像处理邻域与求解数学逆问题的一个分数阶微分算子。为了解决上述出现的问题,文中将ROF修复模型的正则项由一阶微分拓展到分数阶微分。这样就有效地解决了图像高频部分的修复问题。

图4所示是分数阶幅频特性响应曲线,从频域的角度分析,分数阶微分的阶次越高那么中频和高频的信号能够有效地被增强。即以此模型来修复和增强图像的高频破损部分的像素信息。

纳他霉素也可在发酵过程中添加，抑制杂菌生长，促进优势菌群生长繁殖。韩德权[33]将纳他霉素应用于酸菜发酵过程中，酵母菌、霉菌等杂菌的生长被抑制，而乳酸菌生长不受影响，使产品香气明显改善，酸菜的感官品质明显提高。

  

图4 幅频特性响应曲线分析图Fig.4 Frequency response curve analysis diagram

从数学角度分析,分数阶微分中有多种函数对其进行了相应的定义。尤其是Grünwald-Letnikov(G-L)定义构造的分数阶梯度算子,其离散形式为:

 

(5)

式中,

这道题值得反思：为什么在考场上不少考生不加思索地把B选项排除了？理由非常简单：“十分之一定律”（生态系统中能量流动的传递效率只是大约为10%～20%）在学生的脑海中印象深刻。教师是否过于关注生物学中的一般结论，而恰恰忽视了生物学规律经常有例外。试想一下，如果教师在最初的教学中，通过具体的情境，让学生自己计算某一营养级的能量传递效率，或许就不会发生丢分。

 

(6)

 

(7)

 

(8)

式中,Γ(·)表示Gamma函数;k表示分数阶梯度算子的展开项。

由上可得,自适应分数阶TV修复模型为:

 

(9)

其中,τ,μ为平衡参数;K为线性算子;f代表目标图像;u代表图像的卡通部分；divg代表图像的纹理；div为梯度算子-T；p在本文中取值为1。模型中第一项与第三项为正则项,其作用是此模型在对图像进行分解时求取一个最优值。第二项为保真项,其作用是为了调和图像的分解,以此来保证卡通和纹理图像之间的平衡。

因此，本研究收集同济大学附属东方医院心内科及上海市浦东新区唐镇社区卫生服务中心收治的慢性失代偿性心衰患者，比较托伐普坦联用和不联用传统抗心衰药物治疗慢性失代偿性心衰的短期疗效，并随访2年，比较两组患者的心衰再住院率、非致死性心梗发生率、心血管死亡率和全因死亡率，以探索托伐普坦对慢性失代偿心衰患者预后的影响。

 

(10)

其中:

 

(11)

由此可见,分数阶梯度算子在合理的阶次范围内不仅有效地增强了目标图像的细节部分,且由于其梯度算子的全局性在修复图像时能更好地结合破损区域邻域的先验区域对目标破损区域进行修复。

步骤一:初始化,

 

(12)

其中,Vσ为维纳滤波;t≥0为权重;“*”代表卷积。由上式可见,当t=0时,此模型就变为了一个单纯的TGV、分数阶TV修复模型。那么从模型中可以看出,当t值一定,|Vσ*u0|较大时,即对应图像的边缘区域或者细节部分,则v(x)变得较小,这时正则项的扩散变得很弱。假如这个区域有破损那么在修复破损的同时该周围的边缘信息能够较好地保持；|Vσ*u0|较小时,即对应图像的平滑区域,假如这个区域有破损那么破损区域将很快的被修复。总而言之,自适应边缘检测算子根据图像不同区域的破损能够自行选择其控制扩散的强弱,从而来更好地修复其破损区域使其无限的接近其原来的像素信息。

4 数值求解

在图像修复领域中,TV修复算法大部分都采用经典的梯度下降法。然而这种算法在模型的离散过程中,由于TV修复模型在修复图像时只能有效地逼近分片常数这一特性,那么必然会使得修复后图像产生较大的“阶梯效应”。为了克服这一困难,以及上述提出的两种新模型又均与线性鞍点结构下求取最优值的模型的方式类似,因此本文在算法上采用这种基于预解式的原始对偶算法[10]来对新模型进行求解。该算法不仅能够保证其修复效果的同时还能克服其修复过程中产生的阶梯效应及保护边缘细节的特征部分,使得修复后的图像在视觉效果上显得更加的自然。下面将详细介绍新模型的两种算法及其详细求解步骤。

4.1 算法一

针对图像的卡通部分,该部分主要是处理图像的低、中频信息,为了能够更好地利用原始对偶算法求解模型,首先,对此子模型进行Legendre-Fenchel变换,即可以推得新模型的对偶形式为:

相对而言，从法律和体制的角度进行社区治理的研究相对薄弱。这一视角针对当前社区治理法律法规的不健全和滞后的现状，主张及时修改相关法律法规，对社区治理主体之间的法律关系进行调整，建立科学、合理的社区治理体制。其研究焦点包括业主的权利、业主组织的法律地位，居委会、业委会与物业企业之间的关系等。

(13)

式中,〈·,·〉表示内积;

P={p=(p1,p2)|‖p‖≤λ1};

 

由式(13)可得求解模型(4)的原始对偶修复算法如下:

为了更好地保护卡通图像的结构部分和纹理图像的细节及边缘部分。与此同时,在两种模型的正则项上均设计了一个自适边缘检测算子,这里利用最小均方差(维纳)滤波卷积目标图像是为其找到目标图像的一个估计,从而在目标图像中滤除噪声和干扰同时提取有用的边缘细节信息,使得|Vσ*u0|在对有噪声的平滑部分数值小对细节部分数值大,以此来更好地指示其边缘及破损部分以至于此算子不过多的受图像噪声的干扰而影响整幅图片扩散的强弱。此算子如下式:

舞蹈和音乐在艺术表现形式上有时候会与画画、雕塑、设计等等艺术不一样，画画等艺术具有抽象与具象等多样形式，比如草间弥生的标志性的艺术就是画出无数的圆圈，比如苏比拉克的骑士，是雕塑的没有头的马，也许没有从事艺术行业的人们来说这不是很能被理解，但这就是艺术表现的其中一种表现形式，是具有抽象概念的。音乐与舞蹈就是具象，而且是经过实践才产生的艺术产物，能直接展现出属于它们二者独特的美并且让大众接受与欣赏，因为音乐与舞蹈都来源于生活的感悟，所以音乐与舞蹈是具象的、形象的。

“我……我知道自己有些冒昧，但这个夜晚的确很美……也许你也很孤单，像我一样……”她的美让我惊诧。我一时竟无法回答。但我知道我用微笑回报她。我确信自己对她笑了。

计划性维护要求技术人员熟练掌握一个专业面的知识，而监测维护需要一专多能型技术人才，在设备运行、设备故障处理和设备维护过程中均能够把损失降低到最低点，保证设备利用率和整体效率。为此，电厂在实施全过程、全方位、全参与的“三全”培训制度，全过程、全方位地参与新设备的开发、设计、研制、安装及调试，有效利用电厂大中专以上学历职工，为电厂计划检修与监测维护的进程发挥应有的作用。在维护和技术改造过程中，电厂应与协作单位处于良好的合作关系，从维护和技术改造开始参与全过程。

步骤二:计算

 

直到满足uk+1,vk+1收敛为止。

注:算法中,

4.2 算法二

针对图像的纹理部分,该部分主要是处理图像的高频信息,为了能够更好的利用原始对偶算法求解模型(9),首先,对新模型进行Legendre-Fenchel变换,即可以推得新模型(9)的对偶形式为:

p0,q0=0,σ,μ,τ,β>0,k=0,t>0

 

(14)

式中,P={p=(p1,p2) | ‖p‖≤β}。

由式(14)可得求解模型(9)的分数阶原始对偶修复算法如下:

步骤一:初始化,

k=0,t>0。

步骤二:计算

因为关于生长痛与钙、磷、碱性磷酸酶的关系，目前仍存在不同的看法。有人认为生长痛与血钙、血磷的水平没有关系，在对某学校2837 名中小学生的普查中，符合生长痛诊断的所有患儿血钙、血磷水平都在正常范围。

 

直到满足uk+1收敛为止。

注:算法中,

5 数值实验

为了验证本文提出该模型的有效性,分别对两幅大小均为256×256的不同类型的破损图像进行修复实验,并比较本文算法和经典TV、TGV修复算法的修复结果。为了保证各算法比较的公平性,将从主观视觉效果和客观定量指标两个方面对图像修复的质量进行比较。主观视觉上对修复后图像的全局修复效果图和局部三维立体图进行肉眼观测,客观定量上采用峰值信噪比(PSNR)和相关系数(Corr)的精确定量值来进行评判。

1.创造性地提出加强党纯洁性建设，并将之纳入党的建设的主线。报告提出：“全党要增强紧迫感和责任感，牢牢把握加强党的执政能力建设、先进性和纯洁性建设这条主线”［1］。明确提出加强党纯洁性建设，并将之纳入党的建设的主线，对于进一步推进反腐倡廉建设具有重要的理论意义和实践意义。

实验一:对含有细节丰富的“Lena”图像进行修复,在本次实验中,整幅图片的各个结构部分被赋予白色掩码破损区域,并且加入了标准差为20的高斯白噪声。首先设定本次试验中的参数以便于更好的修复工作:

算法一:σ=0.1,τ=0.02,β=0.2,μ=0.5,β1=4,β2=8,t=0.02,

图5作为本次实验的测试图片,一幅为细节部分较多的 “Lena”测试图片,另一幅为规则纹理较多的“Barbara”测试图片。以此来增加实验的说明性。

2.鸡球虫病的发生会造成血液和组织液的大量流失，以及自体中毒。因此，在治疗本病的同时应添加电解质、多维素等补充体液、消除自体中毒，调节体内电解质及酸碱平衡。消除自体中毒可采取“先泻后补”的措施，先用泻药促进毒素及坏死黏膜的排出，然后再用肠道收敛剂止泻修复肠黏膜。

算法二:τ=0.02,σ=0.1,β=1,

μ=0.5,λ=0.7,t=0.02,α=1.8。

  

图5 测试图片Fig.5 The test image

图6给出了两种经典算法和本文修复算法修复后效果图,首先从图6(b)可以看出TV修复后有较大的阶梯效应,且图6(c) TGV修复后虽然平滑了其阶梯效应,但是同时也模糊了某些细节特征,使整幅图片看起来稍显模糊。然而图6(d)其帽子处可以很明显的看出本文修复算法在去除了其阶梯效应的同时又保留了更多的细节特征。同时图7又给出了这三种修复方法的局部三维效果图,此局部位置为图6(a)标记方框内区域。由局部三维图可以看出,图7(a)TV修复有很大的阶梯效应,图7(b)TGV的三维效果图过于的平滑，相比原图7(a)比较丢失了跟多的细节信息。而本文图7(e)的三维效果图看起来更接近于原图的信息。低、中频的部分平滑,高频部分细节也较为突出。

  

图6 两种典型修复模型和本文算法修复效果图Fig.6 Two typical repair models and the algorithm of this paper repair the rendering

  

图7 两种典型修复模型和本文算法局部三维效果图Fig.7 Two typical repair models and local 3d renderings of this algorithm

实验二:对含规则纹理较多的“Barbara”图像进行修复,在本次实验中,整幅图片被赋予白色文字掩码破损区域,并且加入了标准差为20的高斯白噪声。首先设定本次试验中的参数以便于更好的修复工作:

算法一:σ=0.1,τ=0.01,β=0.2,μ=0.5,β1=4,β2=8,t=0.02,

算法二:τ=0.01,σ=0.1,β=1,μ=0.5,λ=0.7,t=0.02,α=1.8。

图8给出了两种经典算法和本文修复算法修复后效果图,首先从图8(b)可以看出TV修复后有较大的阶梯效应,且图8(c)TGV修复后虽然平滑了其阶梯效应,但是同时也模糊了某些细节特征。从其膝盖处可以很明显的看出图8(d)本文修复算法在去除了其阶梯效应的同时又保留了更多的细节特征。同时图9又给出了这三种修复方法的局部三维效果图,此局部位置为图8(a)标记方框内区域。由局部三维图可以看出,图9(a)TV修复有很大的阶梯效应,图9(b)TGV的三维效果图过于的平滑相比原图9(a)比较丢失了跟多的细节信息。而本文图9(e)的三维效果图看起来更接近于原图的信息。低、中频的部分平滑,高频部分细节也较为突出。

  

图8 两种典型修复模型和本文算法修复效果图Fig.8 Two typical repair models and the algorithm of this paper repair the rendering

  

图9 两种典型修复模型和本文算法局部三维效果图Fig.9 Two typical repair models and the local 3d rendering of this algorithm

以上两组实验结果图在主观视觉效果上较好地反应了本文算法较其他两种算法更为自然,且更接近原图的图像信息。表1、2将继续从客观角度,采用峰值信噪比(PSNR)和相关系数(CORR)作为客观评判指标,进行定量评判新模型的修复性能。

 

(15)

式中,u0表示无破损的原始图片；u表示利用新模型修复后的图片。

Corr(u,u0):

(16)

式中,cov(·,·)和var(·)分别表示的是协方差和方差;u0表示无破损的原始图片;u表示利用新模型修复后的图片。

水务信息系统的作用和价值不仅表现在信息技术本身，更表现在面向业务的实用性、稳定性和安全性。面对不断增加的信息系统进入应用和维护范围，引入社会专业力量，利用市场对资源的配置效率，为管理部门提供有效的资源补充，提升IT对核心业务的支持能力和保障水平，既符合信息化进程的发展规律，也是实现水务信息化发展战略的客观需要。

 

表1 三种不同修复模型的PSNR比较Tab.1 comparison of PSNR of three different repair models

  

NAMETVTGV本文Lena27.934828.596728.8716Barbara26.314727.038427.2578

 

表2 三种不同修复模型的CORR比较Tab.2 CORR comparison of three different repair models

  

NAMETVTGV本文Lena0.98040.98310.9841Barbara0.97320.97630.9775

由表1、2两组实验数据分析比较可以得出,本文算法的峰值信噪比和相关系数较其他两种算法比较均有提升。从而更进一步地从客观角度表明,本文算法的有效性。

6 结束语

在研究TV图像修复时发现,若使用该模型修复图像时,易产生较大的阶梯效应,后再研究TGV图像修复,虽然能够较好地去除其阶梯效应,但是修复后的图片过于的平滑。针对这一系列问题,通过对一幅图像进行分解使得其分解为卡通和纹理两个部分。然后分别对这两部分进行处理,即卡通对应着目标图像的低、中频部分,因此利用抑制“阶梯效应”较好的二阶总广义变分模型对其进行修复；而纹理则对应其高频部分,因此利用对细节部分有增强效果的分数阶变分模型对其进行修复。这样不仅能够在修复图像时去除其阶梯效应,而且还能够较好地保留其修复后的细节信息。仿真实验表明,新算法的修复结果在主观视觉和客观峰值信噪比及相关系数数据上明显优于其他两种方法。

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