引言

流固耦合广泛存在于土木工程、机械工程、海洋工程、航空航天工程和生物医学工程等众多工程领域[1-9].以土木工程为例，超高层建筑、高耸结构、空间结构、大跨桥梁及长径线缆等钝体结构在强风作用下风致振动是典型流固耦合现象.此类结构具有质量轻、柔性大、阻尼小和自振频率低等特点，流固耦合效应突出，风损风毁现象已屡见不鲜.例如，1940年11月7日美国华盛顿州塔科马窄桥在较低风速(约为设计风速的50%)下发生颤振失稳、进而垮塌.因此，准确考虑流固耦合作用对保障工程结构安全意义重大.

由于两相介质在交界面处存在耦合作用，一方变化会激发另一方的强烈响应，故解析求解流固耦合异常困难，目前多需依赖数值计算.流固耦合数值仿真已成为当前工程计算与设计中的重要需求，引起学者和工程师的广泛关注.一般而言，分区弱耦合算法效率较高，常用于气动弹性问题[6].然而，分区弱耦合算法难以克服强附加质量效应，易导致数值失稳，故多用于高质量比刚体流致振动[10].对于低质量比、大位移或柔性体等复杂情形，可采用分区强耦合算法进行求解.

分区强耦合算法在每时间步内依次迭代计算各单场方程直至收敛，具备良好的物理守恒性和程序模块性[11]，因而备受青睐.其中，固定点法是一种广泛运用的强耦合方法.Le Tallec和Mouro[12]提出了固定点法的预条件最速下降松弛技术，兼具数值稳定与能量守恒，已用于复杂工业问题.Küttler和Wall[13]根据界面位移构造Aitken动态松弛因子加速固定点迭代，极大扩展了该技术的应用范围.Bai等[14]利用ANSYS-CFX软件实施固定点迭代计算湍流下三维桥梁断面颤振问题.由于优化了网格运动，该方案具有工程应用潜力.Sun等[15]也基于分区强耦合的模块化优势，运用商业软件计算桥梁结构风致振动问题.笔者及其合作者提出新型混合界面耦合条件，采用固定点法数值模拟各类钝体流致振动问题[16-18].有关流固耦合数值方法的最新研究进展可参考文献[19].需指出，笔者提出一种部分强耦合迭代算法，进一步提升计算效率[17].

本文基于任意拉格朗日--欧拉(arbitrary Lagrangian-Eulerian,ALE)有限元方法，灵活选择不同物理模型及单场求解手段，提出一种精确高效的分区强耦合算法，数值模拟大位移流固耦合问题，并揭示相关流致振动现象，为流固耦合数值仿真研究提供新思路.

1 流体模型

1.1 控制方程

考虑移动网格情形，不可压缩黏性流体的质量守恒律和动量守恒律可写为ALE描述下的无量纲化Navier-Stokes(NS)方程

 

式中，∇为梯度算子，u和p为流体速度和压力，对流速度c=u−w，w为网格速度，σF为流体应力张量，fF为流体体力项.流体本构方程表述为

 

式中，I为单位矩阵，雷诺数Re=ρFUD/µ，ρF为流体密度，U和D分别为来流特征速度和特征长度，µ为流体黏度，上标T表示转置.初始条件和边界条件指定如下阻尼比

在完成煤壁填充后4种小颗粒之间形成黏结键，便可以形成一个由众多小单元组成的煤壁物理模型。当黏结的颗粒群受到外部作用力时，依据离散单元法，根据牛顿第二定律在单位时间步长内对颗粒的位移与转角进行更新，此时黏结键上会受到力与力矩的作用，当达到设定的黏结键最大法向应力σmax和切向应力τmax时，黏结键断裂，以此来模拟煤壁的截割过程。颗粒黏结参数设置如下：法向刚度系数4×107 N/m；切向刚度系数4×106 N/m；最大正应力2.1×106 Pa；最大剪应力2.1×106 Pa。

 

1.2 求解过程

式中，换算频率 转动换算频率自然频率转动自然频率转动阻尼比质量比和分别为平动方向的质量、阻尼和刚度，Iθ,cθ和kθ分别为扭转方向的惯性矩、阻尼和刚度，CD,CL和CM为流体阻力系数、升力系数和冲量矩系数.

(a)计算辅助速度场

 

式中，位移 d={d1,d2}T，质量比 m∗= ρS/ρF，σS为Cauchy应力，fS为结构体力项.St.Venant-Kirchhoff材料本构关系可写为

 

(c)修正速度场

2.3 医务人员院感知识认知现状 被调查医务人员医院感染知识总体认知平均正确率为74.68%。其中医务人员对操作相关知识认知正确率最高，为93.59%；对消毒与灭菌认知正确率最低，仅为46.04%，见表1。

 

CBS算法的稳定系数为(Δt)2/2，与单元尺寸无关，故动网格计算略为省时.半隐式CBS方法的稳定性较好且对时间步Δt限制较小.因CBS算法可对速度和压力采用等阶/低阶插值，选用三节点三角形(T3)单元进行有限元离散.

2 固体模型

2.1 刚体动力学

刚体位移记为 d={d1,d2,θ}T，其中di(i=1,2)和θ分别表示平动和转动分量，如图1所示.假定每个方向自由度相互解耦，则刚体运动方程的无量纲分量形式可写为

 

运用半隐式特征线分裂(characteristic-based split,CBS)算法[20]求解NS方程(1)和(2)，主要步骤说明如下∶

援疆干部一六七团党委常委、副团长韩任章在一六七团工作期间，结下的第一个亲戚是赛力克，虽然民族不同，语言不同，但是通过“民族团结一家亲”活动却结下了深厚的友谊。

  

图1 一般刚体平面运动Fig.1 Schematic view of generalized planar rigid-body motion

一般刚体平面运动还应满足协调条件[21].该条件阐述了边界位移、速度和加速度与重心变量之间的几何关系(参见图1).

2.2 弹性动力学

几何非线性固体的无量纲运动方程可写为如下形式

 

(b)更新压力场

 

式中，S是第二Piola-Kirchhoff应力，C为弹性本构张量，E表示Green-Lagrangian应变，F为变形梯度.第二Piola-Kirchhoff应力经构形转换可表示为Cauchy应力

 

其中，J=det(F).初始条件和边界条件如下

 

结构运动方程可写为如下一般形式

2.3 光滑有限元法

传统有限元法组装的结构刚度矩阵偏刚.为此，这里采用光滑有限元方法[23-24]求解式(12)线性化后的增量方程.光滑处理能有效“软化”刚度矩阵，令有限元解更接近理论解，亦未引入新自由度，其基本原理叙述如下.

以上仅仅考虑了Alice、Bob和 Charlie的联合测量结果为|φ+〉A1|ψ-〉B2|0〉5的情形。事实上,他们对粒子A与粒子1、B与粒子2、5的联合测量结果有36种,对于除上述讨论情况以外的31种,可用以上类似方法加以讨论,故本协议总的成功概率为

根据梯度光滑运算，任意场变量X的梯度可近似表示为

 

式中，x代表空间坐标，ΩC为光滑域，Φ为Heaviside型光滑核函数.由高斯散度定理可知，式(16)可进一步写为

 

其中，ΓC为ΩC边界，n是ΓC外法向.根据非负性和归一性要求，光滑核函数Φ可定义为

 

式中，AC为光滑域面积.

将式(18)代入式(17)中并注意到常数导数为零，则标量X的梯度可写为

 

用一点高斯积分即可准确计算上述线积分

 

其中，nsd为每单元内光滑域个数，xGP为高斯点坐标，li为边长.光滑域构造及其形函数值见后文.

2.4 时间积分

本文基于总体拉格朗日格式运用修正牛顿--拉普森法[22]求解非线性方程(12).另外，对变形梯度的处理详见下文.

(a)提取粗、细两层网格信息；

 

式中，M,C和K分别表示结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，FEX为外力向量.时间积分方案选用复合隐式时间积分法[25-27]，其基本思想是：将一时间步分为两子步，分别运用Newmark-β法[28]和三点向后欧拉差分.主要原理简述如下.

记[t,t+Δt]=Δt[n,n+1]=Δt[n,n+α]∪Δt[n+α,n+1]，其中0＜α＜1.在第一个子步内将结构运动方程于tn+α时刻离散

 

对上式应用Newmark-β法，可得

 

其中，β≥1/4，γ≥1/2.由式(24)可得加速度

 

将式(23)～式(25)代入式(22)，那么

 

同理，在第二个子步内将结构运动方程于tn+1时刻离散

 

因任意变量的时间导数n+1可根据Qn,Qn+α和Qn+1近似获得[29]

 

其中，由式(28)可知

 

将式(29)和式(30)代入式(27)中，可得

硬水（Hard Water）是指含有较多可溶性钙、镁化合物的水，与之相对应的软水（Soft Water）则是指不含或含较少可溶性钙、镁化合物的水。硬水与人们的生产、生活关系比较密切，现对其相关知识做一简单介绍。

 

式中，β=1/4，γ=1/2和α=1/2.n+α时刻外力由n和n+1时刻值线性插值获得；弹性体的Kn+α由文献[30]所建议方法获得.表面上，复合隐式时间积分法的计算时间近两倍于Newmark-β法，但它能适应更大时间步，故总耗时并未显著延长[25].一般而言，结构时间步大于流体时间步，上述特性也将更利于流体子循环[31].

3 网格更新

这里采用简单高效的子块移动技术[32]结合正交—半扭转弹簧近似法[33]更新流体动网格，其基本思想是通过粗糙背景网格(即子块)运动插值获得精细网格的节点坐标，如图2所示.相比单纯使用弹簧近似法，该手段可大幅提高网格更新效率，具体过程描述如下∶

从图4接收信号相关后的频谱可以看出其中包括一次谐波和二次谐波的和频和差频,以及对应的倍频分量等高频信号,以及去调制后的低频信号[9];本文对相关处理后的信号设计了低通滤波器以滤除高频分量,考虑FPGA的资源限制,设计了一个32阶的FIR低通滤波器,截止频率设计为10 Hz[10];根据设计原理将低通滤波后的信号进行平方和开根号处理后,可得提取的一次谐波和二次谐波信号[11],如图5(a)、图5(b)所示。

(b)确定每个子块内的细网格节点数；

(c)计算每个动网格节点的插值系数；

(d)由结构运动更新界面节点位置；

这一部分我们还是主要研究 2014-2016 年北京市房地产成交价和成交量的关系。利用 copula 针对其“相互关联结构”和“边缘分布”分开建立模型。

3.2.4 上人梯外侧必须设剪刀撑，剪刀撑杆件与地面成45o至60o角，并自下而上连续设置，设置时与其他杆件的交叉点应互相连接，并应延伸到顶部大横杆上，剪刀撑搭接长度不少于1M，用3只扣件。上人梯外立面全部用安全网密封。

(e)如粗网格有内部节点则调用正交—半扭转弹簧近似法，否则跳过此步；

(f)对子块位置进行插值获得细网格新位置；

(g)检查两层网格质量.

  

图2 子块移动技术示意图Fig.2 Diagrammatic sketch of the MSA technique

同时，为满足几何守恒律，将一质量源项[34]引入压力泊松方程(7)可得

 

式中，Ae为单元面积，网格速度上标表示局部节点编号，下标表示坐标轴方向.由式(33)易知质量源项在欧拉网格上退化为零.引入质量源项可避免构造复杂的网格速度格式[35].

4 分区强耦合算法

4.1 界面条件

在流固交界面Σ处须满足速度连续性和应力平衡性，即

 

其中，流体拖拽力和结构拖拽力写为

分析可知，只有15家高职高专院校图书馆对岗位职责给出了详细描述，且集中在图书流通和参考咨询两方面。同本科院校图书馆一样，高职高专图书馆在其他需求上较为注重馆员的工作经历，不同的是，其对英语、计算机等相关证书没有做出要求。

 

式中，nS为界面法向向量，其方向由结构域指向流体域.此外，还需保障界面处的几何连续性

 

上述界面条件可通过构建高阶速度增量和高阶应力增量[16-18,36-38]进行修正，在此不再赘述.

4.2 强耦合算法

固定点法配合Aitken’s Δ2松弛[13]易实施、精度与效率较为理想，已见诸于各类流固耦合问题模拟.本文采用此手段耦合各场，主要步骤描述如下∶

(a)预测界面位移[39]

 

(b)开始迭代并令k←k+1；

(c)更新流体动网格并计算网格速度

 

(d)计算质量源项；

上述分区强耦合算法的流程图如图3所示.

(f)求解结构运动方程；

(g)计算界面残差，检查是否收敛,若收敛则进入下一时间步，否则进行第(h)步；

(h)重新计算Aitken因子[9]，并松弛界面位移

 

(i)返回至第(b)步.

(e)求解流体NS方程并获得流体激力；

  

图3 分区强耦合算法Fig.3 Flowchart of partitioned strong coupling algorithm

4.3 Aitken加速技术

在每一迭代步中，动态松弛因子按以下递归公式计算[13]

 

式中，k代表迭代步，err是界面位移残差，λMAX=0.1和λ0=0.5.

5 数值算例

5.1 桥梁截面颤振

H型桥梁截面在均匀来流下经历竖向平动和转动，如图4所示.相关参数设置如下[40]：流体密度ρF=1.25，流体黏性µ=0.1，结构质量m2=3000，阻尼因子c2=100，弹簧刚度k2=2000，转动惯量Iθ=25300，转动阻尼因子cθ=2200，转动弹簧刚度kθ=40000，入口速度U=10，特征长度D=12和雷诺数Re=1500.

在图4中动网格域限定为A2.网格划分和子块划分如图5所示，其中计算域包含6486个T3单元和3329个节点.时间步长取Δt=0.02.

1919年5月6日，北京爆发反帝反封建的“五四”运动的消息传到浙江。经亨颐与刘大白立即以浙江教育会名义拍电报致国务院和教育部，要求立即释放“五四”运动中被捕的学生，并于当日召开全校师生紧急大会，动员师生立即响应。又以教育会名义召集各校校长商议办法，成立“杭州学生联合救国会”，动员杭州各校师生立即参加到声援北京学生的爱国斗争中去。从而，浙江一师成为江南新文化运动的中心。魏金枝说：“‘五四’运动在北京爆发，全国响应，浙江省立第一师范学校就成为当时中国东南部文化运动的重镇。”⑤这时，魏金枝成了一个学生运动的热中者。

  

图4 桥梁截面问题描述Fig.4 Problem description of the oscillating deck

  

图5 问题网格划分Fig.5 Mesh and submesh for the problem

为检验网格无关性，选用M1(6486个T3单元和3329个节点)和M2(11714个T3单元和5953个节点)进行对比计算，结果列于表1.由表1可知，两组结果相差很小，故本文方法不受网格影响.综合考虑效率与精度，选取M1进行后续模拟.

 

表1 计算结果对比Table 1 Comparison between two sets of results

  

Mesh dMAX2 fO2 dMAXθ fOθ M1 0.0407 0.214 0.385 0.215 M2 0.0421 0.211 0.393 0.211

两方向振幅与振动频率列于表2.由表2可知，本文结果稍大于文献[40]结果；桥梁截面经历较大扭转振动且两方向振动频率相同.图6所示为两方向位移时程.由该图可知，本文位移时程曲线相当平滑，而文献[41]的位移曲线则略有起伏，说明本文方法表现稳定.综合表1和图6可知，结构振动频率非常接近其转动自然频率(fNθ=0.2001)，截面扭转强烈而竖向平动微弱.此时结构运动由扭转振动控制，出现明显扭转颤振现象.图7进一步给出某典型时刻涡量场.

At the end-of-life stage in advanced PC, thoracic epidural opioid in combination with local anesthetics could be considered[31].

 

表2 计算结果对比Table 2 Comparison between the existing and present data

  

dMAX2 fO2 dMAXθ fOθ Ref.[40] 0.0325～0.035 — 0.271 —Present 0.0407 0.214 0.385 0.215

  

图6 桥梁截面位移时程Fig.6 Time history of the deck displacement

  

图7 涡量云图Fig.7 Vorticity contour of the oscillating bridge deck

5.2 节流阀瓣涡激振动

在均匀流动下，槽道内节流阀瓣发生涡激振动，问题定义如图8所示.系统参数设定为 [42]：流体密度ρF=1.0，流体黏性µ=0.001，结构密度ρS=1000(Case A)和 ρS=62.5(Case B)，杨氏模量E=60000，泊松比υ=0.45，入口速度U=1，立杆高度D=1和雷诺数Re=1000.

令R1=R2=0.5，I0=1，在Matlab中画出干涉光强和腔长之间的关系曲线,见图4.图4中光强随着腔长周期性变化，且两者之间为多值关系，即一个光强对应多个腔长，这种状态下无法确定腔长.但根据式(2)可知光强随腔长变化的周期为λ/4.因而，将腔长的变化范围选择在半个周期之内时，光强-腔长曲线是单调的，可以保证干涉光强与腔长之间具有一一对应的值.

动网格域取为非对称域A2，测点置于立杆左上角，见图8.流体域划分为2786个T3单元和1523个节点，固体域则均匀划分为40×2个Q4单元.流场网格和子块划分如图9所示.由稳定性条件[23]，将一个Q4单元分为4个光滑子域，形函数构造如图10所示.时间步长取为Δt=0.005.

  

图8 节流阀瓣问题描述Fig.8 Problem description of the restrictor fla in a channel

  

图9 问题网格划分Fig.9 Mesh and submesh for the problem

  

图9 问题网格划分(续)Fig.9 Mesh and submesh for the problem(continued)

  

图10 光滑域与形函数构造Fig.10 Construction of smoothing domain and shape functions

选用两组不同流体网格验证算法的网格敏感性，即 M1(2786个 T3单元和 1523个节点)和M2(5006个T3单元和2644个节点).两种工况下测点最大水平位移列于表3.可见，两组网格结果相差较小，再次验证了本文算法不受网格划分影响.下文计算均基于M1网格.

 

表3 计算结果对比Table 3 Comparison between two sets of results

  

Mesh Case A Case B M1 0.641 0.575 M2 0.652 0.593

图11给出两种工况下测点水平位移时程曲线，并与文献[42]进行对比.由该图可知，两种工况下最大振幅均为0.6左右，与已有结果相符.进一步观察可知，Case A与文献[42]吻合较好，而Case B则与文献[42]有所不同.解释如下：结构密度较大时，结构在黏性流体中的振动主要受惯性影响，流体作用相当于阻尼振子，逐渐消耗结构动能.Case A中结构振动的衰减特征正说明了这点.在Case B中，文献[42]的时程曲线仍可维持相当振幅，而本文结构振动则衰减相当迅速.文献[43]同样报道了这一现象.系统参数与数值方法的不同导致了计算结果的差异.为清楚说明涡激振动现象，图12给出Case A中某典型时刻水平速度与压力云图.

首先，中小企业管理制度内容不能全面化地涵盖企业管理中的日常工作。制定制度的管理者由于自身知识的缺乏，对岗位要求和内容等认识不清，因而不能很好地完善制度政策。如管理思想的偏差或管理细节的缺失导致企业管理效能不均衡。其次，管理制度内容缺乏针对性，容易在执行时产生监管不力的情况，制度较难以落实，对管理形式和管理方式提出了很大的挑战。最后，管理制度内容不能及时更迭。在当前经济时代发展迅速的时代，管理模式和管理方法及管理思想一定要紧跟时代潮流，但中小企业管理者在制定和修改制度的时候没有很好地结合当前的经济形势对管理制度进行修改。

  

图11 测点水平位移时程Fig.11 Time history of horizontal displacement of the measuring point

  

图12 Case A中水平速度与压力云图Fig.12 Horizontal velocity and pressure contours in Case A

6 结论

本文基于ALE有限元公式提出一种分区强耦合方法，数值模拟了大位移流固耦合问题.采用半隐式CBS算法求解不可压缩NS方程，可进行速度--压力等阶插值且省时；运用新颖的复合隐式时间积分法对结构方程进行时间积分，能选取较大时间步.针对几何非线性，选用精确高效的光滑有限元法计算结构增量方程.动网格更新采用子块移动技术高效结合正交--半扭转弹簧近似法，同时引入质量源项保证流体分步算法满足几何守恒律.多场耦合经固定点迭代配以Aitken加速技术，简单高效.本文强耦合算法能灵活选取不同单场技术，兼具程序模块性、精度与效率优点.从原理看，较高的效率主要源于流场计算、网格更新和耦合迭代等.数值算例表明，计算结果与已有数据吻合较好，成功揭示了典型流致振动现象.

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