引言

拧绞绳指由数根绳线单元按一定规则绞合、捻制成股的一束绳索[1].目前对拧绞绳力学性能的研究主要包括：风力载荷输电线缆[2]、公路桥梁拉索、升降拖曳绳缆[3]等张拉结构的小范围振动分析与静态力学特性分析.近年来随着绳系结构在空间机构中的广泛使用，其质轻、柔软、易折叠的特点使得钢丝绳、纤维绳更多用于机械臂传动[4]、绳系卫星[5]、空间非合作目标[6]捕获等空间任务中.由绳索组成的执行机构对操作、控制对象的运动控制精度与效率有一定影响，因此，本文旨在研究绳索微观力学特性并得到符合其实际构型的大变形动力学描述.

绳索复杂的捻制几何构型会大大增加描述绳索柔性变形所需要的自由度，因而在动力学建模与求解时，很少以多根绳线捻制成型的复合构型绳股为研究对象.本文的研究重点之一是绳股大变形柔性体的动力学建模，目前，基于三维梁理论得到了一系列以绳股为研究对象的精细模型.国内刘延柱和薛纭[7-8]对螺旋型大生物分子结构进行了基于Kirchhoff弹性杆理论的动力学模拟，推导了受拉、扭细杆的等效弯曲及等效扭转刚度.20世纪末，为了从传统Kirchhoff-Love杆理论延伸出更易参数化的三维梁方法，Simo[9]在Reissner[10]的基础上提出了完全几何精确梁方法，梁的初始曲率及初始截面形状可任意选取，截面转动由欧拉角或四元数给定.但是偏微分形式的几何精确梁控制方程不适合多体动力学问题的求解，需要将连续模型通过数值离散的方法改进为便于实施动力学仿真的模型，尤其是梁单元转动自由度的表现形式[11].其中，Shabana等[12-13]提出的绝对节点坐标方法(absolute nodal coordinate formulation，ANCF)通过梯度定义了全局系下的转动运动与弹性变形，从而避免了小转角、小应变对模型变形描述的限制，并发展了一系列三维梁单元模型[14-15].

通背拳研究会则是将通背拳各个派系团结在一起发展及传承通背拳的社团组织，其中主要包含了白猿、祁家、五行三大派系的通背拳传人.由于该社团存在多个派系的通背拳传承人，传承内容都有着各自门派独特的教学方式及内容，但同为一个派系的传承人在传承内容方面并不会出现过多偏差.以白猿通背拳来说，通背拳研究会与民族武术社的教学内容非常相似，传承内容都是以活背八法、十字拦、六路总手等单操为主，最后整合为白猿通背拳的二十四式单操.

许多学者根据梁理论研究了典型螺旋形拧绞绳的动力学建模方法.Foti等[16-17]对历经大转动运动的绳索在共旋坐标系下表示了部分运动自由度，结合几何精确梁方法改进了两种传统模型在处理运动耦合上的缺陷，分析了源于几何、材料及环境载荷等因素的梁非线性响应，但受到小应变限制，难以做到柔索运动的实时仿真计算.类似地，Provasi与Martins[18]建立了螺旋曲梁单元，充分考虑了绳索内部的弯曲、扭转耦合，避免了剪切闭锁.Wang等[3]直接把拧绞绳离散为由刚体质点组成的系统，将螺旋构型的质量--弹簧模型集成在计算机辅助设计软件中实现了拧绞绳的快速建模与运动学实时仿真.

除了考虑三维梁模型自身几何材料非线性、单元描述不当导致的应变耦合[19]等影响，在数值仿真中能够动态地确定多组元绳股内梁--梁之间接触、摩擦的分布状态才能从本质上提高绳股动力学模型强非线性描述的准确性.Gnanavel等[20]给出了单层拧绞绳绳芯--绳线之间的详细径向接触力、及其引起的切向接触应力与绳芯受压变形的细杆平衡方程.Hong等[21]严格推导了复杂螺旋几何与梁假设条件、滑动曲率上界之间的关系.更一般的拧绞绳包含多层，为了增强抗磨损性能，相邻两层交叉捻制，Lalonde等[22-23]据此引入了多级摩擦系数，使绳股的弯曲刚度在最大与最小值之间平滑地更加变化，通过有限元疲劳计算估计了风载荷激励下输电线缆的使用寿命.

显然，三维梁模型一旦引入接触摩擦力后不可避免会增加绳股运动动态捕获过程中的数值计算消耗，所以上述研究的对象大多跨度、运动范围较小，且难以进行高效多体动力学仿真.本文提出了针对大变形拧绞绳的一维介质等效梁模型，在同时考虑绳股微观捻制几何与接触分布的前提下，采用ANCF柔性梁离散方法推导拧绞绳多柔体动力学模型.为了验证等效模型，基于有限段梁离散方法[24]建立了拧绞绳精细模型.另一方面，与传统ANCF梁模型对比，输出大柔性绳股在大范围运动中的运动、变形及能量变化曲线.结果表明，等效模型高效预测了强非线性绳股的运动规律且在宏观层面体现出拧绞绳的微观力学特性.

1 绳股非线性弯曲模型

引起拧绞绳弯曲刚度非线性的主要原因在于张紧状态下绳线之间存在法向接触压力产生的切向摩擦[25].弯曲变形较小时，材料内部弹性力足以平衡摩擦力，绳线之间无相对滑动；当变形继续增大，绳股截面上不同相位处的绳线先后出现相对滑动，绳股内部的受力因此会在完全黏滞、部分滑动与完全滑动三个阶段之间切换[26]，弯曲刚度特性也随之改变.本节将建立不同摩擦状态下绳股的非线性弯曲本构力学模型.

1.1 螺旋线几何构型

进一步研究绳股运动变形过程中的弹性应变能，不考虑阻尼效应，每一时刻的应变能仅与当前广义变量状态相关，而与广义速度状态无关.

图1中，螺旋线形心轴的切线与绳股轴线的夹角α为捻角，捻角决定了外层绳线的螺旋程度与节距P=Rw/tanα，Rw为螺旋线中心到绳股轴线距离.在绳股一端面中心建立局部坐标系(x,y,z)，则任意螺旋截面中心点pw在(x,y,z)下的位置矢量为

 

根据库伦摩擦模型为接触摩擦系数，绳线截面受力平衡状态下有

  

图1 局部螺旋线Frenet参考坐标系Fig.1 Local Frenet frame of the helix wire

为描述螺旋线曲梁截面特性，在点pw建立表示截面方向的Frenet局部坐标系(t,n,b)，单位矢量分别沿形心轴切线方向、主法线方向与副法线方向，切向矢量t

在进行森林抚育工作的开展过程中，相关的林业单位必须要按照国家制定的《森林抚育规程》的技术规定进行操作，从而科学的选择森林抚育技术，针对实际森林的情况进行科学的选择，最终确定抚育方法。并且林业部门的工作人员需要对森林抚育地点的实际情况进行探查，并且将视察结果进行准确的上报，从而让上级部门对实际情况进行分析，最终制定科学的抚育方案，保证森林抚育的有效性。

 

螺旋线的弯曲程度由螺旋曲率矢量κw表示，矢量κw沿主法线方向n

于晓明要求，省人大常委会组成人员要围绕省委重大部署要求和常委会年度工作重点、有关法律法规实施情况、人民群众关心的热点难点问题等内容，积极联系代表，认真听取意见和建议。各级人大代表要认真履职，重点了解本地区经济社会发展、民生保障等方面的情况和问题，听取和反映群众意愿和要求，多为群众办实事、办好事。

 

图2描述了螺旋线的局部几何特征，微弧段的螺旋曲率半径ρw=1/κw，投影至绳股横截面上对应微弧段，弧长Rwdϕw有

 

  

图2 螺旋微弧段横截面投影Fig.2 Projection of the differential arc segment on the strand cross section

将式(4)代入式(2)和式(3)后分别对ϕw求偏导，最终得到螺旋曲率

第二，开掘杜甫君子人格中的独特个性。 前文已述，杜甫的“君子-圣人”人格在明清之际完全定型，与文人注杜关系密切，而时人在注杜中不但如以往注家以仁义忠爱等传统道德观念表彰杜甫，更衍发出更为生新而全面的观点。 如卢世《读杜私言》云：

 

1.2 基础结构弯曲模型

绳线由于自身的结构材料属性具有一定抗弯能力，对应无摩擦、完全滑动状态下的纯结构弯曲，是绳股变形过程中体现的最小弯曲刚度.绳芯为半径Rc、弹性模量Ec的平直圆截面梁，可直接计算得到弯曲刚度为绳芯截面惯性矩.外层绳线为半径rw、弹性模量Ew的螺旋圆截面梁，弯曲时会附带有绕螺旋形心轴的扭转变形，同时引起单元剪切变形.Lanteigne[27]、Costello[28]、Doocy等[29]在建立考虑螺旋线剪切、扭转效应的弯曲模型时发现，绳线捻角在一定范围内时可忽略此耦合效应.因此，本文将绳股简化为截面刚性的 Euler-Bernoulli梁进行建模.

对发生图3中弯曲变形的绳股，微元段弯曲曲率κ=1/ρc，又有微分关系κ=dψ/dx，ψ表示绳股的弯曲圆心角，在螺旋线内分别引起轴向弯曲应力

 

式中，yw为螺旋线截面位置，螺旋线弯曲应变

 

其在坐标系(t,n,b)中沿t轴的分量为代表螺旋形心轴方向上的弯曲应变，后文将坐标系(t,n,b)下定义的变量表示为e·的形式.

  

图3 纯弯曲状态绳线应力分布Fig.3 Wire stress distribution under pure bending

根据应变张量坐标转换规律，这一应变可由以下关系得到

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此时，可通过材料本构方程给出螺旋线沿形心轴的弯曲应力则圆截面上的弯曲力矩为

 

式中，为螺旋线的截面惯性矩.

为深入推进普法依法治理工作，加快建设“法治国土”进程，自2016年以来，慈溪市国土资源局以党的十九大、十八大和十八届三中、四中、五中全会精神为指导，深入贯彻习近平总书记系列重要讲话精神特别是关于全面依法治国的重要论述，按照全面推进法治慈溪的目标要求，以创新、协调、绿色、开放、共享五大发展理念为新引领，以“干在实处永无止境，走在前列要谋新篇”为新使命，以做好做亮“法治国土”联系点为新目标，创新宣传形式，注重宣传实效，积极弘扬社会主义法治精神，通过不断增强慈溪市国土资源局公职人员尊法学法守法用法观念，帮助在全社会形成良好法治氛围和法治习惯。

进一步根据沿绳股弯曲方向的分量确定螺旋线的基础弯曲刚度

 

式中，cos3α是由于忽略螺旋线剪切、扭转变形而引入的弯曲刚度损失因子，取η=cos3α.

绳股的基础弯曲模型是绳芯与全体螺旋线弯曲刚度的总和，则1+m型拧绞绳有弯曲刚度

 

代表的抗弯特性仅与绳线的结构尺寸与材料属性相关，对螺旋线还需考虑捻角大小的影响，记为最小弯曲刚度.

1.3 附加弯曲模型

螺旋线沿绳芯成型后，依靠两者之间的接触摩擦阻碍相对滑移的出现以维持螺旋构型，接触摩擦引起螺旋线的附加变形在宏观上也体现为绳股抗弯特性变化，是拧绞绳弯曲非线性的主要来源之一.

ANCF一维梁模型的横截面保持刚性，连续梁经物理离散后每个单元的自由度在图5中绝对坐标系(X,Y,Z)下通过单元两端节点坐标表示.

 

  

图4 绳股径向接触力Fig.4 Strand radical contact force

式中，点pw投影至绳股截面后对应相位极角为ϕw.

 

沿截面分布角积分，得到轴向拉力随ϕw的变化规律

 

ϕw=0处的螺旋线微元在弯曲状态下与绳股轴线均处在中性层，轴向拉力为螺旋线轴向拉伸应力.该位置处的轴向力无径向分量，故滑动不受接触摩擦制约.弯曲过程中，螺旋线内为平衡接触摩擦而产生的附加轴向力为

 

继而得到其引起的螺旋线附加弯曲应力

 

建立位置矢量r与单元广义坐标q之间的关系

 

绳股弯曲继续增大，当黏滞摩擦力不足以平衡螺旋线变形力时，黏滞摩擦转为滑动摩擦，对应的附加滑动弯曲应力与式(17)一致

 

两种状态下的附加弯曲应力在螺旋线截面上积分得到附加弯曲力矩

 

分别将式(19)与式(20)代入上式，最终得到绳股弯曲平面内的附加弯曲刚度

 

绳线接触摩擦黏滞与滑动状态相互转换的判定由临界曲率确定，临界条件下式(19)与式(20)相等得到绳股临界曲率κc

 

综上，本节给出了绳股绳线在不同接触状态下的弯曲非线性模型.

2 柔性多体动力学等效模型

柔性体的大变形动力学 ANCF建模方法由Shabana[12]提出，与浮动坐标系方法所不同的是：节点处的广义坐标表示在绝对参考坐标系下，转动与变形共同由位移梯度表示，得到的ANCF模型质量矩阵为常值矩阵，避免了柔性体描述方法对小转角、小应变的限制.本文基于ANCF一维介质梁模型描述其大弯曲变形过程，建立拧绞绳的等效模型.等效模型根据绳线之间的微观力学状态与几何拓扑结构引入材料本构关系，绳线由均匀且各向同性的线弹性材料制成，假设螺旋线的捻角与未变形平直状态保持一致.

2.1 绝对节点坐标梁位移场

无摩擦作用时，绳线变形独立，当绳股受轴向拉伸，内部沿螺旋形心轴分布的轴向力会引起外层绳线对绳芯挤压，因此螺旋线受到径向反作用力如图4所示，进而产生切向接触摩擦.微元段的接触线压力分布载荷再将式(4)中几何关系与式(5)中螺旋曲率代入分布载荷表达式得到

文山州中心血站2003年成立,通过不断的探索和努力,虽然无偿献血工作得到健康持续发展,每年的采血量均以15%g~20%递增,从2006年至今12年以来我州所有临床用血100%均来自无偿献血。但由于长时间将工作重点放在城区和单位,致使本州农村无偿献血工作未得到良好发展,又因本州属于农业地区,90%以上的人口分布在农村,故而存在城市人献血,农村人用血的情况。为了更好做好农民无偿献血宣传工作,提高农民无偿献血比例,加快农村无偿献血的发展,笔者在文山州文山市追栗街镇对1280名农民开展了无偿献血知晓率调查,以了解农民对无偿献血的需求,为开展农村无偿献血工作提供依据,现将结果报告如下:

  

图5 梁单元变形位移场Fig.5 Deformed displacement fiel of beam element

取节点 j的广义坐标，包含6个自由度

 

式中，x为单元物质坐标.单元上任意一点位置矢量r由物质坐标的三次Hermite插值定义

 

螺旋线与绳芯之间接触状态为黏滞摩擦时，二者视为一个整体，对应的附加黏滞弯曲应变、弯曲应力可根据绳股曲率直接计算

 

式中，形函数矩阵S(x)中的I3为三阶单位矩阵，各系数分别为

 

式中，插值系数Si为 ξ的三次多项式，参数 ξ=x/L，每一列向量对应一个广义坐标.

2.2 单元广义弹性力

计算变刚度绳股的梁单元弹性力，需要在位于同一轴向物质坐标处对绳芯及螺旋线单元力进行加和.基于连续介质力学原理，在给定的虚应变上计算弹性力所做虚功.为统一表示，将绳芯参量下标c用w0表示，对应α=0,cosα=1

在风险管控上，台州市食品药品监管局探索形成药品生产“四环”工作法、医疗器械生产“ACE”工作法和药品不良反应监测“123”工作法等风险管控机制，先后在全省会议和全国会议上作典型经验介绍。而其实施的检测资源市区一体化改革，县级食品检测资源整合试点经验也获得国家食品药品监督管理总局的推广，检测资源整合绩效评价体系研究课题成为全国样本，市县综合检测能力居全省前列。

 

式中，分别为单元广义轴向力与弯曲力.

关于轴向刚度系数的计算，首先给出绳股、绳芯与螺旋线三者轴向应变关系

 

根据式(29)分别建立绳芯与螺旋线的拉伸本构关系

简析：据奥维云网（AVC）零售监测数据显示，2018年10月洗衣机零售市场监测销量78.4万台，同比下降9.5%，环比上升18%。

 

式中，即引起螺旋线拉伸变形的轴向力分量，此处认为弯曲应力不引起轴向长度的改变，则

将轴向刚度系数与弯曲刚度系数分别代入式(28)，先得到轴向广义弹性力为

 

弯曲广义弹性力对应接触状态也分为基础值及附加值两部分

 

由于每根螺旋线与绳芯的接触状态不一致，有的与绳芯间相对静止而有的出现相对滑动，需要根据临界曲率对螺旋线一一单独判断再加和方可得到绳股附加广义弯曲弹性力.

κ≤ κc时

设有限集合V={1,2,…n}，V是风险资产k组成的集合，k=1,2,…n，设ρ为风险资产的非系统性风险集函数，ρ:2V→R，若对∀S,T⊆V，T⊆S时有ρ(S)≤ρ(T)，并且有ρ(S)+ρ(T)≥ρ(S∪T)+ρ(S∩T)，则称ρ为投资组合中风险资产的非系统性风险的单调非增次模集函数，这里V及其任意子集均可视作一个由风险资产构成的投资组合.根据定义可知，对任意风险资产i,j∈V，不等式ρ({i})+ρ({j})≥ρ({i}∪{j})+ρ({i}∩{j})成立，即：

 

κ＞ κc时

 

式中，螺旋线相位角ϕwi关于物质坐标x的表达式及相邻螺旋线间的相位角满足

①绩效考核缺乏战略性和系统性。现行的绩效考核体系与公司的战略目标脱节，公司在制定绩效考核制度时并没有将其纳入公司的整个管理体系中去考虑，往往难以充分认识公司的经营目标和状况。人力资源管理体系有待健全，各种工作职能难以配合来共同推动公司获得持续发展能力。

 

2.3 单元应变能

定义一根钢丝或细纤维束为组成拧绞绳的基本单元，即绳线单元，首先在绳股平直构型下建立螺旋线的几何关系.经捻制、绞合得到捻角为α的螺旋线，紧密缠绕于中心绳线周围构成实际的绳索结构.其螺旋构型带来的几何上而非变形上的扭转使得绳线截面近似为一圆截面.

 

轴向本构关系为线性，轴向应变能由应变能密度在单元体积上的积分导出

 

弯曲变形的基础应变能部分

 

同理计算弯曲变形的附加应变能部分

κ≤ κc时

 

2.4 绳股多柔体动力学方程组

由虚功原理计算广义惯性力虚功

 

根据质量守恒，将单元惯性力的体积积分转化为沿物质坐标的一维积分，得到单元广义质量矩阵

 

下面推导柔性多体系统外部作用力的广义形式，以分布载荷外力为例，等效至单元节点后的单元广义分布载荷虚功

 

依据达朗贝尔原理建立拧绞绳的梁单元动力学方程组

 

将单元方程组扩展至含约束的绳股柔性多体系统，引入拉格朗日乘子λ，得到增广形式的可变弯曲刚度拧绞绳动力学模型

 

式中，Cq为绳股约束方程组C的雅可比矩阵，Qg为广义外力，Qc为广义约束力.等效动力学模型中，将绳股内绳芯与螺旋线之间的微观接触状态通过截面应力分析，避免了对螺旋线及接触的单独动力学建模，减少了计算量.

2.4 模型验证

为验证等效模型的精度，本文采用有限段离散梁方法建立拧绞绳精细模型进行对比.精细模型中，对每根螺旋线进行独立建模，分别沿螺旋形心轴均匀划分出一定数目刚性小段，在单元两端处添加段间弹簧力以捕捉螺旋线柔性特征；螺旋线与绳芯之间引入接触摩擦力，模拟拧绞绳的内部摩擦力.

图8显示了自重力作用下，g=−9.8065kg·m/s2时柔性绳摆由水平静止状态释放后的位形.可知,两种方法得到的位形在0～0.2s较好地吻合，0.3s之后位形差异略有增大.根据同一时刻相对位形，0.5s内位置误差在10−2m量级.

利用软件中的灵敏度分析功能对理论塔数进行分析。初始条件为，原料进料位置：第5块，萃取剂进料位置：第3块，回流比：1，溶剂比：0.9，对塔板数进行灵敏度分析。

 

表1 绳股结构与材料参数Table 1 Structure and inaterial parameters of the strand

  

Parameter Value strand length/m 0.4 helix wire diameter/m 2.0×10−3 core wire diameter/m 3.0×10−3 laying angle/(°) 20 pitch length/m 4.32×10−2 number of helix wire 6 Young’s modulus/Pa 2.0×108 density/(kg·m−3) 7801

  

图6 分布载荷作用下的一端固定柔性绳股Fig.6 Cantilevered flxible strand with distributed load

首先，研究不同大小载荷作用下的准静态构型，g 分别取 −8kg·m/s2,−10kg·m/s2 与 −12kg·m/s2.对FS模型的独立螺旋线划分77个单元；对ANCF等效梁模型划分8个单元，所得结果如图7所示.

  

图7 准静态构型Fig.7 Quasi-static configuratio

可知，等效模型在准静态构型上与精细模型的符合度较高.随着力载的增大，拧绞绳根部弯曲变形逐渐加大，该区域内的变形描述是影响位形精度的主要因素，位置误差为10−3m，量级较小.

  

图8 不同时刻的绳摆位形Fig.8 Position of the strand pendulum at various times

本文以1+6型钢丝绳为建模研究对象，结构与材料参数见表1.将其一端固定，沿绳股轴线均匀加载−Y方向上的分布载荷，如图6所示.

3 拧绞绳力学特性分析

3.1 悬臂梁静力学分析

在验证了等效模型可行性的基础上，本节进一步详细研究拧绞绳的力学特性，拧绞绳的结构与材料参数取值变为：绳长1m、弹性模量2.0×109Pa、密度 5747kg·m−3，其他与表1一致.

首先，对绳股划分30个单元，研究准静态力学特性.绳股上加载沿−Y方向的均匀分布载荷g，对比等效ANCF拧绞绳与传统ANCF梁的静态构型.传统单元计算所采用的柔索弯曲刚度为常值，仅与弹性模量及截面尺寸有关，截面按拧绞绳外包络线所构成的圆柱面给定.

静平衡状态下，绳股在运动平面内的位形如图9所示，等效模型在固定端根部的弯曲变形明显大于传统模型，整体沿X,Y方向的偏移量也更大，体现出绳股较大柔性，力载变化范围内的位形差别较小.

  

图9 不同分布载荷下的静态位形Fig.9 Static configuratio under different distribution loads

根据式(11)、式(22)导出受力平衡状态下绳股弯曲刚度沿轴向的分布，如图10所示.可以看到等效ANCF模型反映出了绳股抗弯特性的变化，弯曲刚度随外力加载的差异沿不同路径在最小与最大值区间内变化，梁根部值对应式(11)的基础结构弯曲刚度，梁末端对应绳线间完全黏滞时包含式(22)中一式的最大弯曲刚度.传统ANCF模型的弯曲刚度为常值，不因外力加载发生变化，其值高于等效ANCF模型的最大弯曲刚度.

  

图10 绳股弯曲刚度沿轴向分布Fig.10 Distribution of the strand bending stiffness along the axis line

等效ANCF模型非线性弯曲刚度对应的接触状态主要依据弯曲曲率进行判定.绳股曲率的分布如图11所示，等效模型在根部具有较大弯曲变形，曲率大于全部绳线的临界值，处于滑动摩擦状态；0～0.4m区间内曲率迅速递减，末端的外力方向与位形接近一致，几乎不引起弯曲变形，曲率小于全部绳线的临界值，处于黏滞摩擦状态.图11中曲率的变化规律一定程度上解释了图10中弯曲刚度的分布特征.局部放大末端曲率曲线，传统模型的末端仍受外载荷作用发生弯曲，因而曲率有起伏并未直接减小至零.

  

图11 绳股静态弯曲曲率分布Fig.11 Bending curvature of the strand

另一影响绳股附加弯曲刚度值的因素为轴向张紧力，如图12所示，它直接与绳线接触摩擦力相关.选取g=−12kg·m/s2情况，研究位于绳股轴向0.92m,0.925m,0.93m处特征点一周螺旋线与绳芯之间的接触状态，图10显示，这段绳股的弯曲刚度呈上升趋势.根据图12，3个位置处的轴向张紧力分别为0.149N,0.14N,0.13N，通过比较绳股当前弯曲曲率与螺旋线的临界值，可得螺旋线的接触状态.

  

图12 轴向张紧力Fig.12 Axial tension force

 

  

图13 曲率随相位角的变化曲线Fig.13 Curves of curvature versus the sweep angle

图13显示了特征点曲率与螺旋线临界曲率之间的关系，并根据式(36)与式(37)按逆时针标注出实际结构中螺旋线在绳股截面所处位置与对应相位角，特征点当前弯曲曲率低于临界值的螺旋线对应黏滞接触摩擦状态，截面标注为深色.显然，随着黏滞接触状态的螺旋线数目增大，绳股等效模型的弯曲刚度也逐步增大.另外，临界曲率在绳股中性层上下部分的分布是不对称的，相位角小于0°的区域更易出现滑动.

3.2 柔性单摆自由运动仿真分析

上述静力学仿真分析从数值上验证了变化弯曲刚度的拧绞绳等效模型静态弯曲力学性能.为了进一步研究等效模型在大范围运动中的动态非线性弯曲特性，将拧绞绳从水平静止状态释放，重力作用下做 XY面内的自由摆动运动，重力加速度 g=−9.8kg·m/s2，方向沿 −Y向，仿真时长 1s.动力学仿真数值计算采用相对稳定的保结构二阶Stomer-Verlet几何积分方法[30].

根据图14(a)中X,Y方向上位移曲线，0.1s内，两种模型得到的末端位移曲线大体一致，随着重力作用下的绳股弯曲继续增加，变化弯曲刚度的等效ANCF模型末端点沿水平、竖直方向上摆动所能达到的运动范围均大于传统模型.根据图中末端运动轨迹进一步分析可知，柔性较大的等效ANCF模型摆动周期大于传统ANCF模型，传统模型的弯曲刚度较大，做较小范围的往复运动.

图14(b)显示了绳股末端点速度变化曲线，等效模型沿水平、竖直方向上达到的最大速度大于传统模型，运动开始阶段0.2～0.4s内等效模型末端速度突然增大，这一现象主要由固定端弯曲变形超过临界曲率，螺旋线与绳芯之间的接触摩擦逐渐由黏滞转为滑动摩擦，因而导致绳股弯曲刚度骤减.

  

图14 梁水平、竖直方向末端位移、速度Fig.14 Tip displacement and velocity along the horizontal and vertical direction

最后研究动态过程中系统各部分能量的变化，如图15所示.图15(a)中，等效ANCF模型的系统总能量略有下降，是由滑动摩擦引起；图15(b)中，传统ANCF模型忽略了绳股微观接触，因而为保守系统，满足能量守恒.相对保守的传统模型而言，等效模型在运动仿真中能量曲线没有明显周期性变化.

  

图15 能量转换Fig.15 Energy conversion

综上，在拧绞绳大变形动力学建模的同时考虑螺旋线空间几何构型与微观接触摩擦，仿真结果体现了等效模型较强的弯曲非线性特性.

4 结论

本文针对实际应用中具有捻制螺旋结构的拧绞钢丝绳研究了一种大变形等效动力学建模方法，经仿真验证得到以下五点结论：

(1)拧绞绳结构宏观力学特性复杂，具有较强的材料非均匀、非线性特性，通过对微观结构及受力的分析，得到了拧绞绳可变弯曲刚度模型；

(2)基于绝对节点坐标方法，建立了变刚度拧绞绳的大变形等效动力学模型，将绳股的捻制微观力学行为在大范围的宏观动力学特性中予以反映；

(3)通过与拧绞绳精细模型进行准静态与动态位形对比，验证了等效模型的可行性与精度；

(4)通过数值仿真分析了变刚度大变形梁模型动态过程中的运动规律、力学性能与能量转化，验证了等效模型由于接触状态的改变引起的模型抗弯特性变化及能量消耗；

(5)该等效模型避免了对螺旋线单元精细划再由接触力描述相互作用关系而导致的大规模运算消耗，可对多种边界条件下的绳股运动状态进行预测、验证、设计与分析.

参考文献

1 Leech C.The Modelling and Analysis of the Mechanics of Ropes.New York∶Springer,2014

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