1 引 言

求解弹性力学平面问题的主要方法有解析解法[1]和数值分析方法。对于不规则平面弹性问题，很难得到其解析解，因此需要借助数值方法进行求解。求解不规则区域平面弹性问题的数值方法计算中，有限元法[2,3]、边界元法[4]、有限差分法[5]和无网格法[6,7]是应用最广泛的方法。有限元法有其不足之处，需要进行大量网格划分，影响了有限单元法的计算精度和实际应用范围。边界元法可只对不规则边界进行离散，离散化误差仅仅来源于不规则边界，但边界元法依赖于所求问题的基本解，需要进行奇异积分计算。对于不规则问题，采用有限差分法计算，需要构造特殊的差分格式。近年来兴起的无网格法有效弥补了有限单元法、边界元法和有限差分法的不足之处。基于径向基函数法的数值方法[7]将径向基函数引入未知函数近似过程，该方法不需要划分网格,局限性在于计算精度非常依赖形状参数的选取。

治疗以后的病患肿胀以及疼痛感消失,活动功能恢复到正常状态,JOA评分降低95%,X射线正常,代表临床控制;治疗以后的患者症状明显降低,关节活动不受约束,评分降低在70%-95%之间,X线表明改善明显,则代表为显效;治疗以后病患临床症状得到改善,关节活动受到了轻度限制,积分降低保持在30%-70%之间,X线表明有所好转,代表有效;治疗以后没有达到标准,则表明无效。总有效率=总有效人数/总人数。

配点法是一种真正意义上的无网格方法，该方法是基于微分方程强形式的离散方法，程序实施方便，无需进行网格划分。常用的配点法有拟谱法[8]和微分求积法(DQM)[9]。拟谱法是基于谱函数近似展开，数值求解微分方程的配点法。通过微分矩阵来表达未知函数的各阶导数，微分矩阵通过对未知函数的近似函数求导得到。为了提高计算精度，在拟谱法中的节点一般采用谱多项式的零点来求解。微分求积法是由Bellman和Casti在20世纪70年代提出的求解偏微分方程的一种数值计算方法，其本质是通过在全域节点的函数值加权近似得到未知函数的导数值。微分求积法的权一般通过Lagrange插值计算。拟谱方法和微分求积法不能直接应用于不规则问题的数值分析。

Lagrange插值是函数近似的重要方法，随着插值节点数量的增加，Lagrange插值表现出极大的数值不稳定性。将Lagrange插值公式改写成重心公式的形式，可以显著降低插值的数值不稳定性和改善计算精度。采用重心Lagrange插值近似未知函数的配点型方法即重心Lagrange插值配点法具有不需要划分网格、程序实施方便和计算精度高的优点，已广泛应用于求解线性和非线性微分方程的初值问题、边值问题和初边值问题[10-16]。

本文采用重心插值配点法求解不规则区域弹性平面问题。将不规则区域嵌入到规则的矩形区域，实现区域正则化。与有限单胞法相比[17]，本文方法为全局配点方法，不需要划分计算单元。在规则区域上，通过重心插值离散和施加边界条件得到规则区域上的位移数值解，利用重心插值得到不规则区域内任意节点的位移解。提出了一种研究不规则区域弹性平面问题的正则区域法，为求解不规则弹性平面问题提供了一种高精度的数值算法，通过数值算例验证了方法的有效性和计算精度。

2 重心Lagrange插值及其微分矩阵

2.1 一维重心Lagrange插值函数及其微分矩阵

u(x,y) = - y(2x+y)-exp(y)sin(x)+

 

(j = 1,2,…,n) (1)

v(x,y) = exp(y)cos(x)-x exp(x)cos(y)+

p(m)(xi) ≜

 

(m= 1,2,…)

(2)

写成矩阵的形式为

p(m) = D(m)p

(3)

方程组(11)可化简为

2.2 二维重心Lagrange插值函数及其偏微分矩阵

假设函数p(x,y)在定义的矩形区域Ω0 = [a,b]×[c,d]上，由节点a= x1,x2,…,xm = b,c= y1,y2,…,yn = d构成Ω0上张量积型节点(xi,yj),对应的函数值pi j = p(xi,yj)。函数p(x,y)的重心Lagrange插值为[16]

总之，语言理解是错综复杂的动态认知过程，Bach关于隐意解读的标准化假设无法对此做出全面且令人满意的解释，而最近受学界关注的以满足制约条件为依据的相关理论假设却具有一定的解释力。有些话语的默认隐意显著，相对独立于具体语境，根据听话者原有的经验知识，可以比其他意义优先解读，其加工速度快、难度低;而另一些话语的隐意不确切，对具体语境的依赖性较强，在给定的条件下，所言或其他可替代的解读并不需要很多认知努力。

①过流标准确定。泄流渠的过流标准根据下游的防洪标准、现场施工能力、上游的库容大小和上游水位的上升趋势等因素确定，在保证下游安全的前提下，应尽可能选用较大的过流流量，以尽快降低湖内水位并减少水量。

 

(4)

式中 Li(x)和Mj(y)是一维重心Lagrange插值基函数。由式(4)，函数p(x,y)的(l+k)阶偏微分可以写为

资源实现共享，必定涉及到多方利益。这些所涉及到的利益包括：高校教师和学生，高校自身以及相关的政府部门。在资源使用的过程中，要秉承“谁使用，谁负责”的原则。协调好各方的利益是关键，如果出现利益受损的一方，则受损方应得到相应的补偿。因为在资源共享的过程中受益人或受益单位有支付相应成本的义务，正所谓“谁受益，谁负担”。对于教育资源使用的各方，只有在教育资源不受损、可以利用资源共同收益的状况下，才能提高各部门以及个人的积极性。

 

(5)

未知函数p(x,y)在节点(xi,yj),i= 1,2,…,m,j = 1,2,…,n处的(l+k)阶偏微分值为

 

(p = 1,2,…,m, q = 1,2,…,n)

(6)

式(8)可以用矩阵形式表示为

P(l,k) = (C(l) ⊗ D(k))P

(7)

式中 C(l)为节点{xi}处l阶重心Lagrange插值微分矩阵，⊗为矩阵的Kronecker积，D(k) 为节点{yj}处k阶重心Lagrange插值微分矩阵。定义C(0) = Im和 D(0) = In,Im和In分别为m阶和n阶单位矩阵。向量P和P(l,k)分别为函数值及其(l+k)阶偏微分值构成的列向量。

3 不规则区域弹性平面问题的正则区域重心Lagrange插值配点法

3.1 直角坐标系下弹性力学的基本方程

exp(x)[λ++-λ)x]/(λ)

 

(8)

参考文献(References):

 

(9)

位移形式表达的力边界条件为

 

(10)

式中 E和分别为杨氏模量和Poisson比，fx和fy为体力分量，n1和n2为边界外法线方向余弦，和为边界面力分量。

3.2 不规则区域弹性平面的正则区域法

正则区域法是将任意不规则物理区域Ω嵌入到一个规则的矩形计算区域Ω0 = [a,b]×[c,d],将规则区域Ω0的几何边界条件记作Γ0,不规则区域Ω的几何边界条件记作Γ。在Ω0的x方向布置m个节点x1,x2,…,xm,y方向布置n个点y1,y2,…,yn,从而可以布置成m×n的张量型数值计算节点(xi,yj),i= 1,2,…,m, j = 1,2,…,n。如图1所示，·为区域Ω内的节点，°为区域Ω0外的节点，构成计算节点。

利用插值式(4)近似位移函数u(x,y)和v(x,y),并将其代入位移控制方程(8),利用偏导数的微分矩阵表达式(7),位移控制方程(8)的重心插值配点法离散方程可写作如下矩阵形式。

 

(11)

引进记号

 

 

 

式中为未知函数p(x)在节点处的m阶导数值列向量，p = [p1,p2,…,pn]T为未知函数在节点处的函数值，矩阵D(m)称为未知函数的m阶微分矩阵，其元素为

L U = F

(12)

式中 u,v,fx和fy分别为位移和体力函数在计算节点处函数值构成列向量。

Application of big bolting combined with anti slide pile in bedding slope support SHU Hai-ming YU Bang-jiang(88)

3.3 边界条件的离散及施加

对于规则边界，其位移边界条件可直接在计算节点上离散。对于不规则区域边界，在其边界上布置m0个节点利用重心插值式(4)，位移边界条件可离散为

 

 

(13)

式(13)的矩阵形式为

⊗

⊗

(14)

式中

 

 

图1 不规则区域Ω嵌入一个矩形区域Ω0

Fig.1 Irregular domain Ω embedded into a rectangular region Ω0

力边界条件(10)可采用类似的方式离散。将位移和力边界条件的离散方程，简记为

B0U = g, B1U = h

(15)

采用附加法[15,16]施加边界条件(15)，即将方程(15)附加到方程(12)，得到

 

(16)

方程组(16)为过约束线性方程组，采用最小二乘法求解。在数值算例实施过程中，采用MATLAB的反斜杠命令求解方程组(16)。为确保方程组(16)解的唯一性，选取的边界节点数量应大于正则区域边界点的数量。

4 数值算例

本文数值算例，采用MATLAB进行数值算例程序的编写，计算节点采用与Chebyshev节点同分布的点。不同数量节点计算的绝对误差和相对误差分别定义为Ea =‖Uc-Ue‖2,Er =‖Uc-Ue‖2/‖Ue‖2。Uc 和Ue 为计算值和解析解值列向量；‖•‖ 2表示向量的2范数。

算例1 拱形区域Ω,三条直角边固支，拱顶承受面力作用，各点坐标分别为O(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),如图2所示。拱顶曲线函数为抛物线y= 2-x2。拱顶上的面力和体力分量由位移解析解u(x,y) = y(x2-1)和v(x,y) = y(x2-1)确定。

Developmental characteristics and cause analysis of Karst collapse in Qiancuo village, Taoyuan town,

正则区域法计算时，弹性模量E=1000 Pa,泊松比=0.3。将不规则拱形区域Ω嵌入最小规则矩形区域Ω0 = {(x,y) ∶ -1<x<1,0< y<2},如图2所示。数值计算时，在规则区域Ω0上布置m×n个计算节点，直线边界上采用计算节点作为边界节点，在区域Ω的不规则抛物线边界上，按照x方向等距布置2m个点作为边界节点。用于误差计算的不规则区域插值节点分布，如图3所示。

 

图2 拱形区域嵌入矩形区域

Fig.2 Arch domain embedded rectangular region

在本文的数值算例中，不规则区域内的插值节点采用结构化的布置方式，这有利于计算结果的可视化绘图。不同数量计算节点的计算误差列入 表1。由表1可知，采用5×5个计算节点即可达到极高的计算精度，随着计算节点数量的增加，计算精度有所降低。这是因为本算例的解为二次多项式，重心Lagrange插值为多项式插值，采用高次多项式近似低阶多项式的误差，随着近似多项式的次数增加而增大。

算例2 花瓣形不规则区域，如图4所示，区域边界函数方程为Ω= {(x,y) ∶ (x-1)2+(y+1)22},= 1.0+0.3sin{4arctan[(y+1)/(x-1)]}。位移边界条件和体力由位移解析解确定[18]，

确保细胞平衡的最重要的就是对细胞增殖以及凋亡进行控制[12]。如果细胞出现过度增殖，不能对细胞凋亡进行及时清除，就会使患者发生疾病。对于AM患者而言，由于其体内具有与细胞增殖具有直接关系的基因，就会促进细胞的不断生长，并使患者的子宫内膜中的细胞出现异位增殖，并导致该疾病的发生以及发展。

 

 

exp(x)(x cosy+sin x)

正则区域法计算时，取拉梅常数 λ=5.2,= 12。将花瓣形不规则平面区域Ω嵌入最小规则矩形区域Ω0 = {-0.5<x<2.5,-2.5<y<0.5},如图4所示。数值计算时，在规则区域Ω0上布置m×n个计算节点，不规则区域Ω边界上按照曲线参数方程x=1(θ)cos θ,y=-1(θ)sinθ,0≤θ<2π的参数θ等距布置2(m+n)个边界节点。用于误差计算的不规则区域内的插值节点分布如 图5 所示。不同数量计算节点的计算误差列入 表2。由表2可知，随着计算节点数量的增大，计算精度随之提高。

表1 拱形区域的位移绝对和相对误差

Tab.1 Computational errors of displacement by barycentric interpolation collocation method under different numbers of nodes in example 1

  

计算节点数m=n绝对误差Ea相对误差Er52.3750×10-131.0065×10-14113.4157×10-121.4476×10-13151.5458×10-106.5509×10-12212.5137×10-91.0653×10-10

表2 花瓣型区域的位移绝对和相对误差

Tab.2 Computational errors of displacement by barycentric interpolation collocation method under different numbers of nodes in example 2

  

计算节点数m=n绝对误差Ea相对误差Er91.3919×10-31.1896×10-5131.3971×10-71.1941×10-9171.1323×10-109.6777×10-13217.4544×10-106.3709×10-12

 

图3 拱形区域插值节点分布图

Fig.3 Interpolated nodes in arch domain

 

图4 花瓣型区域嵌入矩形区域

Fig.4 Petals domain embedded rectangular region

 

图5 花瓣型区域插值节点分布图

Fig.5 Interpolated nodes in petals domain

 

图6 含有花瓣形孔洞的圆形域嵌入矩形区域

Fig.6 Circular domain with a petal-shaped holes embedded rectangular region

算例3 圆域含有花瓣型孔洞的多连通区域Ω = Ω2Ω1,如图6所示，花瓣型孔洞区域Ω1的边界曲线参数方程为

x= 1+(1+0.3sin(4θ))cosθ

y=-1+(1+0.3sin(4θ))cosθ (0≤ θ≤2π)

圆形区域Ω2的边界曲线方程为x2+y2 = 3.52。位移边界条件和体力分量由位移解析解确定[18]

（9）上元司煞曹，上元盟天曹，上元幽都曹。（《太上說玄天大聖真武本傳神呪妙經註》卷一，《中华道藏》30/535）

对于区间[a,b]上的节点a= x1,x2,…,xn = b,函数p(x)在节点处的函数值为pj = p(xj),j = 1,2,…,n,则函数p(x)的重心Lagrange型插值函数为[16]

1.4 统计学分析 应用SPSS 22.0统计软件进行统计分析。预后因素的单因素分析采用Kaplan-Meier法，多因素分析采用Cox比例风险模型多因素分析。将单因素分析显示与预后相关的因素再纳入多因素分析中。P＜0.05为差异有统计学意义。

一些“动点路线问题”中点的路线，有时难以通过工具操作或描点画图直观发现，可根据条件通过抽象与推理发现运动规律，进而再进行定量计算.

在直角坐标系下，平面问题的位移表达控制方程为

式中利用式(1)，函数p(x)在节点x1,x2,…,xn处的m阶导数可以表示为

[(λ+)x2+(λ)y2+ xy)]/

(λ)

正则区域法计算时，取拉梅常数 λ = 5.2,=12。将不规则区域Ω嵌入最小规则矩形区域Ω0 ={-3.5<x<3.5,-3.5< y<3.5},如图6所示。数值计算时，在规则区域Ω0上布置m×n个计算节点，不规则区域Ω的外边界上布置2(m+n)个边界节点，内边界上布置m+n个边界节点。用于误差计算的不规则区域Ω的插值节点分布如图7所示。不同数量计算节点的计算误差列入 表3。由表3可知，重心插值配点法具有极高的计算精度。重心Lagrange插值配点法计算的不规则区域在x，y方向位移等值线图分别如图8和图9所示。

表3 圆域含有花瓣型孔洞的位移绝对和相对误差

Tab.3 Computational error of displacement by barycentric interpolation collocation method under different types and numbers of nodes in example 3

  

计算节点数m=n绝对误差Ea相对误差Er174.6793×10-75.8865×10-10212.5344×10-103.1883×10-13274.9887×10-106.2758×10-13295.2532×10-106.6085×10-13

 

图7 带有花瓣形孔洞的圆形域计算节点分布图

Fig.7 Interpolated nodes in circular domain with a petal-shaped hole

 

图8 含有花瓣形空洞的圆形域x方向位移数值计算等值线图

Fig.8 Contours of displacement in x direction for circular domain with a petal-shaped hole

 

图9 含有花瓣形空洞的圆形域y方向位移数值计算等值线图

Fig.9 Contours of displacement in y direction for circular domain with a petal-shaped hole

5 结 论

重心插值配点法求解不规则区域上的弹性问题，具有类似谱方法的高精度。采用较少数量的节点进行计算，即可实现极高的计算精度。重心插值配点法是一种真正意义下的无网格方法，计算过程不需要背景网格的数值积分。重心插值配点法既可以求解简单的单连通区域问题，也可以求解多连通区域问题。

矩阵-向量形式表达的计算公式，极大地简化了编写计算程序的复杂性。附加法施加边界条件，就是组合离散控制方程和边界条件为过约束代数方程，该方法可以实现任意边界条件的施加。

采用正则区域法计算时，应选取包含物理区域的最小的正则区域作为计算区域。数值试验表明，采用最小的正则区域，可以提高计算精度。对于多连通域上的弹性问题，也可以采用极坐标下的正则区域法求解[13,14]。应当注意的是，在极坐标系下的正则区域为圆、扇形或环形区域。

位移边界条件

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由表3可知，产城融合发展水平（ici）、市场化程度（mar）和农业发展水平（agr）存在单位根，科技进步（tec）、金融支持水平（fin）和人力资本（edu）则拒绝了“存在单位根”的原假设，而各个变量的一阶差分都拒绝了“存在单位根”或接受“平稳序列”的原假设，即残差项无单位根。

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余额宝毕竟是一种虚拟理财模式，依靠于网络，对于大多数人来说代表着一种不安全，风险。尤其是对于一些年龄大的投资者来说，不会将资金轻易转到余额宝，所以余额宝的客户群体主要还是一些年轻的“屌丝”投资者。

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在电解相关的实际生产中,可以根据不同生产目标,综合考虑以上各种情况来设计电解装置。所以,遇到电解相关的实际问题,在分析电解过程中离子迁移情况时要结合题给信息,进行综合分析。

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